学而思五年级秋季第七讲知识总结
2011学而思第七讲 数的整除的综合运用
第七讲 数的整除的综合运用一、 数的整除的特征：1、 看末位2、5 只需看末一位能否被2或5整除 2510×= 4、25 只需看末两位能否被4或25整除 425100×= 8、125 只需看末三位能否被8或125整除 81251000×=以四位数abcd 为例，四位数abcd =1000×a +100×b +10c +d 。
10、100、1000都是2或5的倍数，只需d 也是2或5的倍数即可。
2、 看各位数字和3、9 只需看各位数字的加和是否为3或9的倍数3、 分段系列7、11、13 从右往左三位一格、三位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被7、11或13整除。
11 从右往左一位一格、一位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被11整除 11、33、99 从右往左两位一格、两位一格，求加和，和能被11、33或99整除4、 合数判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。
二、 数的整除的性质：（1）传递性：若，，则；|c b |b a |c a （2）可加性：若，，则|c a |c b |c a b ±（）。
三、 试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，另被除数为最大或者最小。
当被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。
当被除数最小时，除以除数会得到一个余数，让除数把余数减去即为所缺少的数，再用被除数把这些数加上即为所求的数。
四、 经典例题例1、在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数． （1）请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； （2）一共有多少种满足条件的填法？【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+是9的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．□（1）依次填入3、6，因为433+++2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；（2）经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法。
学而思奥数2016秋季班提高班第7讲讲义
6 6 7 7 7 7 86436； （2）多拆 3，少拆 2，不拆 1： 20 3 6 2,3 3 3 3 3 3 2 1458 ．
四年级秋季尖子班第 7 讲 最值问题初步
例1 电视台要播放一部 30 集电视连续剧. 如果要求每天安排播出的集数互不相 等，不能不播，该电视连续剧最多可 以播几天？ 【答案】7 【分析】由于 1 2 3 4 5 6 7 28 30 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 36 30，所以 至多播 7 天．
形（小棍不能折断），这个长方形的面
积最大是多少？如果用 98 根呢？
【答案】169；600
【分析】 （1）长与宽的和一定，和为52 2 26 厘米，26 13 13，所以面积最大为 13 13 169平方厘米； （2）长与宽的和一定，和为98 2 49 厘米，49 24 25，所以面积最大为 24 25 600平方厘米．
次，分别组成两个三位数，这两个三 位数的乘积最小是多少？ 【答案】54243 【分析】使乘积最小，首位 1、3，十 位 4、6，个位 7、9，和一定差大积小， 所以乘积最小为147 369 54243．
作业 5 （1）把 31 拆成三个互不相同的自然 数的和，使这些自然数的乘积最大， 最大乘积是多少? （2）把 31 拆成若干个可重复自然数 的和，使这些自然数的乘积最大，最
4．5123 4876 247 首先千位要接近，而千位大的数后边 的三位数尽量小，千位小的数后边的 三位数尽量大，才能减出最小的差， 所以后三位最好分别为 876 和 123， 5123 4876 247.
5．82
其余 4 人共得 334 分， 334 4 83 2 ．所以得分依次为 85， 84，83，82．
数学常规秋季班】 第3册 PE 第07讲 期中复习(下)教师版
第07讲期中复习（ PART 2 ）1、复习并梳理五年级第二学期上半学期重难点后半部分知识；2、提高学员知识的系统性，训练学员的归纳总结能力以及知识的整合应用能力；3、提高学员学习数学的自信。
【讲解室】1、图形计算：（单位：分米）(1)求下面形体的表面积。
(2)求组合体的体积.666【解答】解：S=6a²解：V1=8×10×8=640dm3 =6×6×6 V2=18×10×12=2160dm3 =216dm2 V=2800dm32、填空：（1）10平方分米5平方厘米=（）平方厘米 3.5立方厘米=（）立方分米（2）仓库里运进货物150吨，记作＋150吨，那么运出货物200吨，记作（）（3）数轴上表示－6的点，在原点的（）边，离原点（）个单位长度。
（4）在数轴上画出表示下面各数－3、＋2、－5、的点，并分别用字母A、B、C来表示：（5）将－1、+3、0、2、－4从大到小排列，最小的数是（）。
【解答】（1）1005、0.0035（2）-200吨（3）左、6（4）（5）-41、选择题(1) 48除以一个数所得的商是3，余数是6，求这个数的方程是（）。
A、 48÷x－6=3B、（48-6）÷x =3C、3x－6=48（2）我们把规定了原点、正方向、单位长度的一条（）叫做数轴。
A. 线B. 线段C. 射线D. 直线（3）至少用（）个棱长为3厘米的同样大小的正方体可以拼成一个棱长为9厘米的大正方体。
A. 4B. 6C. 8D. 27（4）下列图形中，不能折成正方体的是（）。
【练习场】（5）在一个长为20cm,宽14cm,高为9cm的长方体盒内，最多能放入棱长为2cm的小立方体木块（）块。
A、315B、280C、350D、无法求出【解答】B、D、D、B、B1、拓展：学校大队部举行少先队的队干部选举，需要制作一个长方体的投票箱，如图所示，投票箱的上方开一个面积为189平方厘米的长方形的小口。
学而思的知识点
学而思是一家致力于教育的机构，提供了丰富的学科知识点。
本文将使用步骤思维的方式介绍学而思的知识点。
首先，我们来了解一下步骤思维的概念。
步骤思维是一种解决问题的方法，它将问题分解为一系列的步骤，使问题更容易理解和解决。
通过使用步骤思维，我们可以更加系统和有条理地学习和掌握学而思提供的知识点。
接下来，让我们以数学知识点为例，使用步骤思维来学习学而思的知识点。
第一步，了解基础概念。
在学习数学知识点之前，我们首先要了解基础概念。
例如，在学习代数知识点时，我们需要了解代数中的变量、常数、系数等基本概念。
学而思提供了丰富的基础概念解释和示例，帮助我们更好地理解。
第二步，学习解题方法。
学而思提供了各种各样的解题方法和技巧，帮助我们解决不同类型的数学问题。
例如，在学习方程求解时，学而思会介绍代数方法、图形方法等不同的解题方法，并通过实例演示如何运用这些方法。
第三步，进行练习和巩固。
学而思提供了大量的练习题和习题册，帮助我们巩固所学的知识点。
通过反复练习，我们可以更好地掌握和应用所学的知识。
第四步，复习和总结。
在学习完一部分知识点后，我们需要进行复习和总结。
学而思提供了知识点总结和复习材料，帮助我们回顾和巩固所学的知识。
第五步，拓展和应用。
学而思的知识点不仅局限于课堂教学，还提供了一些拓展和应用的内容。
通过拓展和应用，我们可以更好地理解所学的知识，并将其应用到实际生活中。
总结起来，通过使用步骤思维，我们可以更加系统和有条理地学习学而思的知识点。
从了解基础概念到学习解题方法，再到练习和巩固，最后进行复习和总结，我们可以逐步掌握所学的知识点，并将其应用到实际生活中。
学而思提供了丰富的教学材料和习题册，帮助我们更好地学习和掌握知识。
希望通过步骤思维的方式，可以帮助大家更有效地学习学而思的知识点。
2024年人教版小学生五年级数学知识点总结
2024 年人教版小学生五年级数学知识点总结人教版小学生五年级数学学问点总结（8 篇）还在苦恼没有小学五年级的学问点总结吗?在日常的学习中，是不是听到学问点，就立即醒悟了?学问点就是驾驭某个问题/学问的学习要点。
下面是我给大家整理的人教版小学生五年级数学学问点总结，仅供参考希望能帮助到大家。
人教版小学生五年级数学学问点总结篇 11、长方形周长=(长+宽)×2字母公式：C=(a+b)×2长方形面积=长×宽字母公式：S=ab2、正方形周长=边长×4字母公式：C=4a正方形面积=边长×边长字母公式：S=a23、平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4、三角形的面积=底×高÷2 字母公式：S=ah÷2(三角形的'底=面积×2÷高; 三角形的高=面积×2÷底)5、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2字母公式：S=(a+b)h÷2(上底=面积×2÷高-下底，下底=面积×2÷高-上底;高=面积×2÷(上底+下底) )注明：求三角形的底或高和梯形的上下底或高时，可依据公式列方程求解。
这样简单列出方程，也好理解。
6、三角形面积公式推导：平行四边形可以转化成一个长方形; 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底;长方形的宽相当于平行四边形的高;因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高，长方形的面积等于平行四边形的面积。
平行四边形的底相当于三角形的底;平行四边形的高相当于三角形的高;平行四边形的面积等于等底等高三角形面积的 2 倍。
7、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
平行四边形的底相当于梯形的上下底之和;平行四边形的高相当于梯形的高;平行四边形面积等于梯形面积的 2 倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷28、等底等高的平行四边形面积相等;等底等高的三角形面积相等;等底等高的平行四边形面积是三角形面积的 2 倍。
学而思小学奥数知识点梳理
学而思小学奥数知识点梳理The final edition was revised on December 14th, 2020.学而思小学奥数知识点梳理学而思教材编写组前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
概述一、计算1．四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；②乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简2．简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数形如：3．估算求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小①通分a. 通分母b. 通分子②跟“中介”比③利用倒数性质若，则c>b>a.。
形如：，则。
5．定义新运算6．特殊数列求和运用相关公式：①②③④⑤⑥⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n二、数论1．奇偶性问题奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶2．位值原则形如： =100a+10b+c3．数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或59 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4（或25）的倍数8和125 末三位数是8（或125）的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数4．整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
学而思大语文 五年级部编版知识点总结
学而思大语文五年级部编版知识点总结在学习语文的过程中，我们经常会遇到大量的知识点，而对这些知识点的掌握程度往往直接影响着我们对语文学科的理解和运用能力。
特别是在五年级部编版语文教材中，内容更加丰富而深入，需要我们更加认真地学习和掌握。
在本文中，我将对学而思大语文五年级部编版的知识点进行全面的总结和回顾，以便帮助大家更好地掌握这些知识，提高语文学习的效果。
1.《人教版》五年级语文上册知识点总结1.1 文言文阅读在五年级的上册语文教材中，文言文阅读是一个重要的内容。
通过学习古代文言文，我们不仅能够了解古人的思想和情感，还能提高自己的语文表达能力。
希望大家在阅读文言文的过程中，能够结合上下文，理解古代作者想要表达的意思，从而更好地掌握这一部分内容。
1.2 古诗词欣赏古诗词是中华传统文化的瑰宝，也是语文学习中的重要内容。
在五年级上册的语文教材中，我们学习了许多美丽动人的古诗词，例如《登鹳雀楼》、《江雪》等。
通过诵读和品味这些古诗词，我们能够领略到古人的情感和意境，也能够启发自己的情感和想象力。
1.3 古代文学作品阅读在五年级上册的语文教材中，我们还学习了一些古代文学作品，如《孔子》、《百家姓》等。
这些古代文学作品不仅具有很高的艺术价值，还能够帮助我们更好地了解古代社会和文化。
希望大家能够在阅读这些古代文学作品时，多加思考，从中领悟到作者的用心和智慧。
2.《人教版》五年级语文下册知识点总结2.1 散文阅读在五年级的下册语文教材中，我们开始接触一些有关现代生活的散文，如《白雪公主的坟墓》、《我们家的那条小河》等。
通过阅读这些散文，我们能够更好地了解当代生活的点点滴滴，也能够提高自己的阅读理解能力。
希望大家能够多读一些散文，从中汲取到更多的人生智慧。
2.2 寓言故事阅读寓言故事是一种具有启发意义的文学形式，通过这些故事，我们能够领悟到很多道理和哲理。
在五年级下册的语文教材中，我们学习了一些寓言故事，如《小毛驴》、《老虎和猎狗》等。
学而思培优-2017-2018--一年级数学知识点第七讲
第七讲 时间爷爷的胡子去哪了一、 认识钟表1、 12个数：1~122、 格子：12个大格子，60个小格子3、 指针：秒针 →数小格子分针 →数小格子 时针 →数大格子二、 时间换算1分=60秒 1时=60分 三、 认识时间四、 时间的计算1、 时和时，分和分2、 求具体时刻再过几分钟，做“+” 几分钟前，做“-” 3、 求某个时间段经过的时间等于结束-开始 注：变成24小时制五、 镜子里的时间上下不变，左右改变。
1.按要求填写下面的时刻。
解析：（1）第一辆车发车时间是7时4分，再过6分钟，用加法，第二辆车发车时间是7时4分+6分=7时10分，再过6分，用加法，第三辆车发车时间是7时10分+6分=7时16分。
（2）第二辆车发车时间是8时，第一辆车在第二辆车8分钟前发出，用减法，分钟是0不够减，所以可以找小时兄弟借过来1小时，将1小时变成60分，8时变成了7时60分。
第一辆车的发车时间是7时60分-8分=7时52分。
第三辆车在第二辆车后面发出，也就是8分钟后，用加法，第三辆车发车时间是8时+8分=8时8分。
（3）第三辆车发车时间是11时25分，第二辆车在第一辆车15分钟前发出，用减法，第二辆车的发车时间是11时25分-15分=11时10分，第1辆车在第二辆车15分钟前发出，用减法，我们发现分钟不够减，怎么办？那咱们就想办法借一借，从哪借？看到小时兄弟时间挺多的，就找他借过来1小时，将1小时变成60分，将1小时变成60分，第一辆车发车时间是10时70分-15分=10时55分。
2. 下面钟表上所表示的是什么时刻？用电子计时法表示出来。
解析：首先我们先知道那个是分针，哪个是时针，又矮又胖身材不好的是时针，又瘦又高身材最好的是分针。
读时间其实就是数格子，那么分针和时针都是怎么走的呢？分针是走小格子，它身材很好，走的很快，它走一大圈，时针慢腾腾的才走了1大格。
所以我们就知道了分针走小格子，时针走大格子。
现在要读时间了（1）我们先看走的快的，分针，分针从起点开始走到3，也就是从12到3之间有15个小格子，一个小格子是一分钟，那15个小格子就是15分，再看时针，时针是不是刚过了8，但是还没有到9，我们能不能说现在是9点？是不是不可以，没有到9，刚过了8，就表示现在就是8时，最后，合起来，我们就知道现在是8时15分，电子示法就是8：15.（2）我们依然先看走的快的，分针，分针从起点开始走到4，也就是从12到4之间有20个小格子，一个小格子是一分钟，那20个小格子就是20分，再看时针，时针是不是刚过了10，但是还没有到11，我们能不能说现在是11点？是不是不可以，没有到11，刚过了10，就表示现在就是10时，最后，合起来，我们就知道现在是10时20分，电子表示法就是10:20. （3）我们还是先看走的快的，分针，分针从起点开始走了7个小格子，一个小格子是一分钟，那7个小格子就是7分，再看时针，时针是不是刚过了1，但是还没有到2，我们能不能说现在是2点？是不是不可以，没有到2，刚过了1，就表示现在就是1时，最后，合起来，我们就知道现在是1时7分。
学而思奥数5年级(数论相关)笔记
学而思奥数5年级（数论相关）笔记数论模块是小学学习的痛点，思维强度大，体系性强，而在各大杯赛和小升初考试中，又频繁考到，比例高，低分率低，可谓“得数论者得杯赛”。
五年级是数论模块学习的关键时期整除模块的学习终于五年级寒假，春季也将利用五讲的时间学习余数问题等。
五年级将学习完所有数论模块的知识点，五年级数论模块是否掌握扎实，直接影响到小升初的成绩。
尤其就是对于五年级的杯赛，杯赛中数论就是必考点，但五年级的孩子在寒假准备工作杯赛时，数论模块还未自学完，可以给杯赛集训增添很大的障碍，因此，寒假前提前剖析数论模块，能使杯赛集训事半功倍。
本次短期班如何保证学习效果？梳理体系，查漏补缺：本次短期班通过剖析数论模块，构筑数论科学知识体系，总结数论易错点、难点，使孩子熟识考试中的“陷阱“，加强数论思维能力。
【课程大纲】【班次设置】【课次精心安排】每周1次，共3次课08-09.数的整除特征综合应用01：承揽：4年级下数论数的相乘特征1.末尾系则：2.和系：3，93.差系：11，7，134.女团系则：试除法（应用条件)整除特征练习：09.数的相乘特征综合应用领域02：相乘特征+边线原理（本节难度很大）26.因数和倍数01：（数论版块的重点）1.因数和倍数概念；2.用短乘法：水解质因数；长乘法的应用领域3.用短乘法：谋最小公因数（重点）；4.用短除法：求最小公倍数（重点）；注意：两两分解到最后24-36-905.因数个数公式：本节重点：最小公因数/最轻公倍数43.因数和倍数02：本节重点：长除模型因数个数公式应用领域15.质数与合数：试除法31-32.完全平方数：本节重点：偶指奇因性典型例题：基本思路典型例题余数性质41.拎余乘法：基本公式的应用领域（代数思想）典型例题：化有余为无余42.余数定理：余数简便计算方法：可+可－可x性典型例题典型例题52.十进制问题：59－60.同余问题：其它：游戏策略与数论相关。
学而思数学五年级名师
学而思数学五年级名师
（原创实用版）
目录
1.学而思数学五年级名师课程介绍
2.学而思数学五年级名师的教学特点
3.学而思数学五年级名师的课程优势
4.学而思数学五年级名师的教学成果
正文
学而思数学五年级名师课程是针对小学生推出的一门在线教育课程，主要教授五年级数学知识。
课程邀请了有多年教学经验的名师进行授课，旨在帮助学生掌握数学知识，提高数学成绩。
学而思数学五年级名师的教学特点主要表现在以下几个方面：首先，课程采用直播教学的方式，让学生能够实时参与课堂，与老师进行互动。
其次，课程注重理论与实践相结合，让学生在掌握数学知识的同时，能够运用所学知识解决实际问题。
最后，课程还提供了课后作业和答疑服务，让学生在学习过程中遇到问题能够得到及时的解答和指导。
学而思数学五年级名师的课程优势主要体现在以下几个方面：首先，课程内容丰富，涵盖了五年级数学的全部知识点，让学生能够全面掌握数学知识。
其次，课程教学方式灵活，适合不同学习习惯的学生，提高了学生的学习兴趣和积极性。
最后，课程还提供了定期的学习报告和测评，让学生和家长能够及时了解学习进度和效果。
学而思数学五年级名师的教学成果显著，很多学生在参加课程后，数学成绩都有了明显的提高。
这些成果的取得，离不开学而思数学五年级名师的优秀教学质量和学生的努力学习。
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学而思小学奥数知识点梳理精选文档
学而思小学奥数知识点梳理精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-学而思小学奥数知识点梳理学而思教材编写组前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
概述一、计算1．四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；②乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简2．简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数形如：3．估算求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小①通分a. 通分母b. 通分子②跟“中介”比③利用倒数性质若，则c>b>a.。
形如：，则。
5．定义新运算6．特殊数列求和运用相关公式：①②③④⑤⑥⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n二、数论1．奇偶性问题奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶2．位值原则形如： =100a+10b+c3．数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或59 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4（或25）的倍数8和125 末三位数是8（或125）的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数4．整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
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学而思小学奥数知识点梳理概述一、计算1．四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；②乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简2．简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数形如：1212......(......)nn a b a b a ba a a b3．估算求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小①通分a.通分母b.通分子②跟“中介”比③利用倒数性质若111abc，则c>b>a.。
形如：312123m m m n n n ，则312123n n n m m m 。
5．定义新运算6．特殊数列求和运用相关公式：①21321n n n②612121222n n n n ③21na n n nn④412121222333n n nn ⑤131171001abc abc abcabc ⑥bab aba22⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n2二、数论1．奇偶性问题奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶2．位值原则形如：abc =100a+10b+c3．数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4（或25）的倍数8和125 末三位数是8（或125）的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数4．整除性质①如果c|a 、c|b ，那么c|(ab)。
②如果bc|a ，那么b|a ，c|a 。
③如果b|a ，c|a ，且（b,c ）=1,那么bc|a 。
学而思五年级数学教材
学而思五年级数学教材第1讲平均数专题简析学而思五年级数学教材学而思五年级数学教材下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数例1某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？分析解答：原来三个数的和是2×3=6，后来个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1.3×3-2×3=34-3=1答：被改的数原来是1.随堂练习：1、已知九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8.这个改动的数原来是多少？例2把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？分析解答：先求五个数的和：38×5=190.在秋初前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144.用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数.27×3+48×3-38×5=35答：中间一个数是35.随堂练习：1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲乙的平均年龄是18岁，乙丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？2、十名参赛者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？拓展训练1、化肥厂在一星期前3天平均每天生产化肥250吨，后4天共生产化肥1126吨，这个星期平均每天生产化肥多少吨？2、修一条渠，第一天修3小时，平均每小时修4.5千米;第二天修5小时,平均每小时修5.3千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?3、三个小组采集树种,第一小组10人,一天采集树种180千克;第二小组12人,一天采集树种240千克;第三小组13人,一天采集树种280千克.平均每人采集树种多少千克?4、张红前三次数学测验平均成绩是92分,第四次得了96分.他四次的平均成绩是多少分?5、下面是某小学五(1)中队第一小队向灾区捐款的情况统计表,请你算出平均每人捐多少元?6、55人,二、三班的平均人数是56人,一、三班的平均人数是52人,问这三个班各有多少人?7、 15个同学分连环画,平均每人分到7本,后又来了若干个同学,大家重新分配,平均每人分到5本,问又来了几名同学?8、甲、乙两地相距161千米.汽车从甲地到乙地用了3小时，从乙地返回甲地时，比去时多用了1小时，这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？9、爸爸、妈妈的平均年龄是36.5岁，儿子的年龄是11岁，再过3年，他们三人的平均年龄是多少岁？10、九个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是多少？11、韩磊期末考试语文、外语、思想品德和自然的平均成绩是81分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高2分，他的数学成绩是多少分？12、五年级5个同学参加作文竞赛，其中4人的平均成绩是65分，加上李明的分数后，平均成绩就是70分，李明得了多少分？13、李华期末考试思想品德、语文、数学、英语、社会五科的平均成绩是89分，思想品德、数学两科的平均成绩是91分，语文、英语两科的平均成绩是84分，思想品德、英语两科的平均成绩是86分，且英语比语文多10分.问李华这五科的成绩各是多少分？第2讲倍数问题（一）专题分析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题.解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其他几个数与这个数的关系，确定“和”或者“差”相当于这样的几倍.最后用用除法求出1倍数.和数÷（倍数＋1）＝较小数差数÷（倍数－1）＝较小数例1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18米，第二根剪去26米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍.原来两根铁丝各长多少米？分析解答：这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差.根据余下的铁丝第一根是第二根的3倍.则余下的铁丝相差2倍.这样很容易计算第二根余下的铁丝是：（26－18）÷（3－1）＝4（厘米）则原第二根铁丝长30厘米.随堂练习：1、两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍.两根绳子原来各长多少米？2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和5个梨后，剩下的梨是苹果的6倍.原来两筐水果一共有多少个？例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍.原来甲组有图书多少本？分析解答：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍，事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，这样24本正好对应后来两组的（5－3＝2）倍.因此后来乙组的图书是：（6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）.则原来乙组为18本，甲组就是18×3＝54（本）.随堂练习：1、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人个买了5张，这样小明的画片就是小红的2倍.原来二人各有多少张画片？2、一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的4倍，从下层拿出5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍.原来下层有几本书？拓展训练1、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，还有苹果正好是梨的5倍.原来买来苹果和梨共多少个？2、两个数的和是682，其中一个数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个数.这两个数各是多少？3、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出40吨，乙粮库每天运出30吨.若干天后，乙粮库的粮食全部运完，甲粮库还有80吨.甲乙粮库原来各有粮食多少吨？4、高年级同学分7人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍，如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么杉树正好分完，杨树还剩20棵.参加植树的一共有多少人？5、兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元.弟弟买了3支笔，每支1.2元.现在弟弟的钱数是哥哥的3倍.兄弟两人原来各有多少钱？6、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男女生人数相等，如果参加的男生名额给4个女生，则男生人数是女生的一半.原定夏令营中男女生各多少人？7、体育室有排球和篮球共65个，已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个.排球和篮球各有多少个？8、甲乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等，求甲乙原来各存有多少钱？9、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍.食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？10、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍.饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？第3讲倍数问题（二）例1 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍，如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩16个.两种水果原来各有多少个？分析解答：因为苹果是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果就应为6个，这样才会一起分完.可实际每组只分4个苹果，少分2个，剩下的16个苹果就告诉我们有8个组.因此苹果的个数是：8×4＋16＝48（个），梨有24个.随堂练习：同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的3倍，如果每位老人拿2个橘子和4个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多14个.问同学们把苹果分给了几位老人？例2 有两筐橘子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的橘子是乙筐的2倍.甲乙两筐原来各有多少个橘子？分析解答：“如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；”表示两筐橘子相差16个，“如果从乙筐拿出13个放到甲筐，”表示现在两筐的橘子差距是16＋13×2＝42（个）“甲筐里的橘子是乙筐的2倍”说明现在倍数差是2－1＝1（倍），这样就可以计算现在乙筐的橘子数是：42÷1＝42（个）则原来就是55个.甲筐的计算就容易了.随堂练习：甲乙仓库存有货物，若从甲仓库取31吨放入乙仓库，则两仓库存货物同样多；若乙仓库取14吨放入甲仓库，则甲仓库的货物是乙仓库的4倍.原来两仓库各存货物多少吨？拓展训练1、养鸡场新买来100只小鸡，其中，母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只.买来母鸡、公鸡各多少只？思路：题中已知母鸡和公鸡只数的和是100只，就可以计算它们的4倍是400只.又因为母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍，则公鸡的只数是40只，母鸡就是60只.2、有两块地共有80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷.这两块地各有多少公顷？3、养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡的只数就是公鸡的4倍.原来养鸡场一共养了多少只鸡？思路：养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，则母鸡应增加360只，这样才能保证母鸡是公鸡的6倍，实际上母鸡只增加了60只，少增加的300只就是母鸡只数是公鸡只数的4倍.所以现在的公鸡数是：60×（6－1）÷（6－4）＝150（只）原来的总数为：（150－60）×（1＋6）＝630（只）.4、今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍.今年小明多少岁？练习七：5、有1800千克的货物，分装在甲乙丙三辆车上.已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克.甲乙丙三辆车各装货物多少千克？思路：把乙车看成1倍数，因为乙车比丙车多装200千克，甲车是乙车装的2倍，这样在总数中加上200千克，就可以看成乙车的4倍.所以乙车装了500千克.甲车和丙车就好计算了.6、三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱，三堆货物各多少箱？7、甲乙丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲乙丙三数各是多少？8、把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是上层的2倍多1本.问：上中下三层各放书多少本？9、甲乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本.乙书架原来有书多少本？思路：先计算现在的甲书架的书的本数：600÷3×2＝400（本），根据甲书架的书是乙书架的2倍还多150本，可计算现在乙书架的书的本数：（400－150）÷2＝125（本），因为从乙书架借出四分之三后是125本，所以原来的本数是：125÷1×4＝500（本）.10、某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍.这个学校共有学生多少人？第4讲假设法解题专题分析：假设法解题是一种常用的思维方法，在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案.例1 有5元和10元的人民币共14张，共100元，问5元和10元的人民币各多少张？分析解答：先假设有14张5元的，则总数是70元，那么与实际相差30元，所以这30元就是10元人民币少出来的，因此10远人民币的张数是30÷（10－5）＝6（张）.也可以假设有14张10元的……随堂练习：1、笼中共有鸡兔100只，鸡和兔的脚共248只，求笼中鸡兔各多少只？2、一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元.问2分和5分的银币各有多少枚？3、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币.求换来的这两种人民币各多少张？例2 有一元、二元、五元的人民币50张，总面值为116元.已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有多少张？分析解答：如果减少2张一元的，那么，总张数就是48张，总面值就是114元，这样一元和二元的张数就同样多了.假设48张都是5元的，则总面值为240元，比实际多了126元，这126元不仅包括把一元的假设为5元，而且包括把二元的假设为5元，这样在两张5元中就多了7元.所以二元的就有18张，一元的就有20张，五元的有12张.随堂练习：1、有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元.其中7元的和5元的张数相等，三种价值的电影票各有多少张？2、有一元、五元、十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2张，问三种人民币各有多少张？3、有1角、2角、4角、5角的邮票共26张，总计6.9元.其中，1角和2角的张数相等，4角和5角的张数相等.求这四张邮票各有多少张？拓展练习1、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍.如果从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，那么取了多少次后，白子余1个，而黑子余18个？思路：假设每次取出3个白子，黑子应取出6个，那么白子剩下1个时，黑子应剩下2个.而实际剩下了18个，是因为每次少取了2个黑子.所以取了（18）÷（6－4）＝8（次）.2、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的3倍.如果从这堆棋子中每次同时取出黑子6个，白子3个，那么取了多少次后，白子余5个，黑子余36个？3、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍.如果从这堆棋子中每次同时取出黑子3个，白子4个，那么取了多少次后，白子余2个，黑子余29个？4、操场上有一群同学，男生人数是女生的4倍，每次同时有2名男生和1名女生回教室，若干次后，男生剩下8人，女生剩下1人？操场上共有多少名同学？5、用大小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱.现有18车货，价值3024元.若每箱便宜2元，则这批货物价值2520元.问大小汽车各多少辆？思路：根据“若每箱便宜2元，则这批货物价值2520元.”可以知道一共便宜了504元，这样可以计算出货物有252箱.假设18辆都是大汽车，可以装324箱，比实际多装72箱.用一辆大汽车换一辆小汽车可少运6箱，所以有12辆小汽车.6辆大汽车.6、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次.平均每天运14次.这几天中有几天是雨天？7、有鸡蛋18箩，每只大箩装180个，每只小箩装120个，这批蛋共值302.4元.若将每个鸡蛋便宜2分出售，这些鸡蛋可卖252元.问大箩、小箩各有多少个？8、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元.如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问有多少千克大西瓜？9、甲乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分.两人各投10次，共得152分.其中甲比乙多得16分，问两人各中多少次？思路：根据共得152分.其中甲比乙多得16分，可计算甲得84分，乙得68分.甲投10次，假设全中.应得100分，这样比实际多了16分，由于脱靶一次扣6分，所以甲脱靶一次应扣16分，这样可计算出甲脱靶了1次.同理可计算乙脱靶了2次.那么计算甲乙投中的次数就容易了.10、百货公司委托搬运站送500只玻璃瓶，双方商定每只运费0.24元.如果打破一只，不但不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果，搬运站共得运费115.50元.问搬运中打破了几只？第5讲作图法解题专题分析：用作图法把应用题的数量关系表示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用.在解答已知一个数或者几个数的和差、差倍以及相互之间的关系、求其中一个数或者几倍数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式.例1 五（一）班的男生人数和女生人数同样多.抽去18名男生和26名女生参加合唱团，剩下的男生人数是女生的3倍.五（一）班原有男女生多少人？分析解答：先作图：由于男生人数和女生人数同样多，抽去18名男生和26名女生参加合唱团，说明男生比女生少抽8名，剩下的男生人数是女生的3倍，这8名正好是剩下男女生相差的2倍.这样很容易计算剩下的女生是4人.则原有女生30名.随堂练习：1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍.这两根电线原来共长多少厘米？2、甲乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍.原来两筐水果各有多少个？3、哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元.二人的存款正好相等.哥哥原来存有多少钱？例2 两根电线共长59米，如果第一根剪去3米，第一根电线的长度就是第二根的3倍.求原来两根电线各长多少米？分析解答：如果把第一根剪去3米，则总长是56米，这56米正好是原来第二根电线的4倍.这样计算就十分容易了.随堂练习：1、甲乙两筐苹果共重83千克，如果从甲筐取出3千克后，甲筐苹果的重量就是乙筐的4倍.甲乙两筐苹果原来各重多少千克？2、学校图书室共有图书和故事书250本，又买来50本科技书后，科技书的本数是故事书的2倍，学校图书馆原来各有科技书和故事书多少本？3、参加奥数竞赛集训的男生和女生共有21人，如果女生减少5名，男生人数就是女生的3倍，参加奥数竞赛集训的男女生各有多少人？拓展训练1、甲乙丙丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍丁组植树减少一半，那么四个组植的树正好相同.原来四个小组各植树多少棵？思路：我们把现在的丙组看成1份，丁组则为4份，由于甲乙两组一组多2棵，一组少2棵，故总数不变.这样现在的丙组为：45÷（1＋4＋2＋2）＝5（棵）其他组的计算就简单了.2、甲乙丙丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4，四个数正好相等，求这四个数.3、甲乙丙三人分113个苹果，如果把甲分得个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数相同.三人原来分得苹果各多少个？4、甲乙丙丁一共做370个零件，如果把甲做的个数加10，乙做的个数减少20，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件就相同.求乙实际做了多少个？5、五（一）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人.第二次及格人数增加5人.使及格的人数是不及格人数的6倍.五（一）班有多少人？思路：先作图，第二次及格人数增加5人，也就是不及格的减少5人，因为第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人.那么及格人数应减少15人，这样及格与不及格相差24人，这24人对应着（6－3）倍.第二次不及格的人数就是8人.其他问题就容易计算了.6、有两筐苹果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，这时甲筐的水果恰好是乙筐的5倍.原来两筐水果各有多少个水果？7、某车间有两个小组，A组的人数不B组人数的2倍多2人.如果从A组中抽10人去A组，则A组人数是B组的4倍.原来两组各有多少人？8、五（一）班上学期体育达标的人数比未达标人数的5倍多2人，今年又有2位同学达标，这样达标人数正好是未达标人数的7倍.这个班共有学生多少人？9、用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余16分米，把绳子四折来量，井外余4分米，求井深和绳长.思路：把绳子三折来量，井外余16分米，就是绳长是井深的3倍多48分米，同理，把绳子四折来量，井外余4分米，就是绳长是井深的4倍多16分米，两次多余的差就正好是两次倍数的差.即井深是16分米.绳长计算就简单了.10、用一根绳子量大树的周长，把绳子2折后正好绕大树2圈，若把绳子3折，绕大树一圈还余30厘米.求大树的周长和绳长. 第6讲周期问题专题分析：周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期.在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期有关的问题.这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键. 例1 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？分析解答：249÷（5＋9＋13）＝9（组）……6（朵）这六朵花包括5朵红花和1朵黄花.红花：5×9＋5＝50（朵）黄花：9×9＋1＝82（朵）绿花：13×9＝117（朵）随堂练习：1、1÷7＝0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？2、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着.最后一盏灯是什么颜色？三种颜色的灯各占总数的几分之几？3、在100米的跑道两侧每隔2米站着一个同学.这些同学从一端开始，按两女生，再一男生的规律站立着.问这些同学中共有多少个女生？例2 下面是一组数列，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？8（）（）（）？（）（）（）（）（）6分析解答：根据规律，第四个数一定是8，第二个数一定就是“6”.不信你数数就知道了.随堂练习：1、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是14，你知道“？”表示的数字是几吗？3（）（）（）？（）（）72、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是15，你知道“？”表示的数字是几吗？你能填出其他数字吗？8（）（）（）（）？（）（）（）（）33、1998个7相乘，它的结果的末位数字是几？拓展训练1、2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？92÷7＝13（周）……1（天）星期一加上一天就是星期二了.2、2002年1月1日是星期二，2002年的儿童节是星期几？3、如果今天是星期五，那么80天后是星期几？4、以今天为标准，算一算今年你的生日是星期几？5、将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问一问2001所在的列以哪个字母作为代表？A、B、C、D、E1、3、5、715、13、11、917、19、21、2331、29、27、25…………因为2001是一列数中的1001个数，所以1001÷8＝125……1.即2001这个数在B为代表的列中.6、将偶数2、4、6、8……按下图依次排列，2014出现在哪一列？A、B、C、D、E8、6、4、2、10、12、14、1624、22、20、18、26、28、30、32…………7、把自然数按下面规律排列，865排在哪一列？A、B、C、D、1、2、3、6、5、47、8、912、11、10…………8、小学生小学生小学生……热爱劳动热爱劳动热……上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）.……求460组是什么？9、有一个100位数，每位上的数字都是8，这个数除以7，当商是整数时，余数是几？88888……8÷7＝126984126984……余数分别是（146520循环）100÷7＝16……4所以余数就是5.10、有一个100位数，每位上的数字都是4，这个数除以3，当商是整数时，余数是几？第7讲置换问题专题分析：置换问题主要研究把数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题.“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题，解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法.解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法.2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法.例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等.求苹果和梨的单价.。
五年级秋季班讲义
秋季班课程讲义一、小数乘法和小数除法计算题（一）小数乘法小数乘整数（利用因数的变化引起积的变化规律来计算小数乘法）知识点一：1、计算小数加法先把小数点对齐，再把相同数位上的数相加2、计算小数乘法末尾对齐，按整数乘法法则进行计算,再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
知识点二：积中小数末尾有0的乘法。
先计算出小数乘整数的乘积后，积的小数末尾出现0 ，要再根据小数的性质去掉小数末尾的0。
如：3.60 “0” 应划去知识点三：如果乘得的积的小数位数不够要在前面用0补足，再点上小数点。
如0.02×2=0.04知识点四：计算整数因数末尾有0的小数乘法时，要把整数数位中不是0的最右侧数字与小数的末尾对齐。
小数乘小数知识点一：因数与积的小数位数的关系：因数中共有几位小数，积中就有几位小数。
知识点二：小数乘法的一般计算方法：先按整数乘法算出积，再给积点上小数点（看因数中一共有几位小数，就从积的右边起输出几位，点上小数点。
）乘得的积的小数位数不够要在积的前面用0补足，在点小数点。
知识点三：小数乘法的验算方法1、把因数的位置交换相乘2、用计算器来验算1、列竖式计算0.86×17= 3.5×0.16 = 12.5×4.21 =1.6×0.75 = 1.36×0.8= 0.85×1.12=0.15×2.34= 2.34×0.15= 0.26×7=3.105×18= 63.08×25= 11.4×19=3.8×5 = 0.59×4 = 0.56×0.8(保留两位小数)=4.8÷11（保留三位小数）=0.56×0.04= 3.7×4.6=0.025×14= 3.06×36=0.04×0.12＝0.042×0.54 =15.6×13=0.18×15=5.76×3＝7.15×22=1.08×25 4.8×0.25＝ 3.7×0.016= 0.76×0.32 =（二）小数除法计算题小数除以整数列竖式计算小数除以整数时：1、按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
学而思讲义
小学阶段的几何知识主要包括直线型面积、曲线型面积、立体图形的表面积和体积等．初中阶段的几何知识以全等三角形、相似三角形及其性质定理和判定定理的应用为重点．分班考试的命题重在考查学生对这两部分知识关联性和数学思想转换的理解和应用．作为各类竞赛和考试的重点，几何问题一直是学生的一个难点，所以在本次分班考试课中，我们安排了两讲几何内容，通过对解决几何问题常用数学方法的分类学习，梳理小学和初中的几何知识，以期融会贯通之效．上一讲我们以“割补法”为主线，将小学阶段的直线型面积和初中阶段的平面几何融合在一起，初步探知全等三角形和相似三角形，涉及“平移”、“旋转”、“勾股定理”等知识．这一讲以立体几何为主，在探究趣味新题目的同时，学习折叠、全等三角形和相似三角形的基础知识 以及简单的物理常识，培养空间思维能力．真题演练1.折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5 倍．已知阴影部分面积之和为1 ，则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？【分析】折叠后图形的面积为原来图形面积的 2 ，所以由于重叠而消失的面积等于原来面积的1 - 2 = 1，3 即右图中空白三角形的面积为原来图形面积的 1313 3，所以未重叠的阴影部分面积之和也等于原来图形面积的 3，即与重叠部分面积相等，所以重叠部分(即空白部分)的面积是1 ．2.将一正方形的纸对折 2 次后，还是正方形，用同样的方法，可把某种形状的纸对折 3 次后，成为三角形．已知可把 4 种形状的纸对折 3 次后，折成如图的三角形，请画出这 4 种形状．【分析】此题虽然不难，但需要用逆向思维解决．从小三角形开始，向外展开，分别讨论不同展开方向下变成的形状，可得如下 4 种：第 8 讲人大附分班考试真题与模拟专题之几何(二)HIFGHIFG3.已知∆ABC 中，AB =AC =12cm ，∆ABC 的面积是42cm2 ，P 是BC 上任意一点，P 到AB ，AC的距离分别是x 厘米、y 厘米，那么x +y = ．AP C【分析】如图所示，连接AP ．三角形ABC 的面积等于三角形APB 与三角形APC 的面积之和，而这两个三角形的底AB 、AC 相等，高分别为x 和y ，所以12 ⨯(x +y )⨯1 = 42 ，可得x +y = 7 ．2本题也可运用特殊值法，设P 在B 点，则此时x = 0 ，那么S x +y = 7 ．∆ABC=1AC ⨯y = 42 ，得到y = 7 ，24.右图中，正方形ABCD 的边长为8 厘米，E 为AD 的中点，F 为CE 的中点，G 为BF 的中点，H为AG 的中点．四边形FGHI 的面积比三角形DIE 的面积大平方厘米．A E D A E DB C B C【分析】如图，连接EG 、EH 、EB ．根据差不变原理，要求四边形FGHI 与三角形DIE 的面积差，相当于求四边形EFGA 与三角形DAH 的面积差．而三角形DAH 的面积等于三角形EAH 的面积的2 倍，三角形EAG 的面积也等于三角形EAH 的面积的2 倍，所以四边形EFGA 与三角形DAH 的面积差就等于∆EFG 的面积．根据题意，∆EFG 的面积等于∆EFB 的面积的一半，∆EFB 的面积等于∆ECB 的面积的一半，∆ECB的面积等于正方形ABCD 面积的一半，所以∆EFG 的面积等于正方形ABCD 面积的1⨯1⨯1=1，2 2 2 8为82 ⨯1= 8 平方厘米，所以四边形FGHI 的面积比三角形DIE 的面积大8 平方厘米．85.如图所示，铁板A 中有个半径为3.2cm 的圆形孔，孔内有96 个齿．还有一个半径为1.2cm ，且外侧有36 个齿的齿轮B ．其中在距齿轮B 的中心为0.6cm 的地方打了一个圆孔C ，圆孔C 内插有一枝圆珠笔．现转动笔让齿轮B 与A 相啮合并沿A 齿轮的齿作旋转．问此时圆珠笔所画出的图形是下图哪一个？ABCDEF【分析】 先要确定齿轮 B 沿铁板 A 的内孔旋转多少周，圆珠笔才能回到初始位置．由于 A 齿轮有96 个齿，B 齿轮有36 个齿，由于(96,36) = 12 ，而96 = 12 ⨯ 8 ， 36 = 12 ⨯ 3 ，因此，考虑到在12 ⨯ 8 ⨯ 3 = 288 个齿咬合之后，则绕 A 孔旋转了 288 ÷ 96 = 3 圈，而齿轮 B 则旋转 288 ÷ 36 = 8 圈．这就是说，当齿轮 B 绕着 A 孔转了8 圈后便返回到原来所在的位置．由此可知，圆珠笔应该有8 次离 A 孔的距离最近．此后，圆珠笔则重复原来已画出的曲线，不会显出新图形．所以圆珠笔画出的图形应该有 8 个顶点， A 、 B 、 E 、 F 均不合题意．另外，而在绕 A 孔旋转一圈的过程里，齿轮 B 自身所转的圈数为 3 圈，而 D 图中的图形只转了 1 圈，不合题意，所以正确的图形应该是C 图．［拓展］如果齿轮 B 的半径是1.6cm ， B 圆周上的点C 画出来的轨迹是什么图形？［分析］此时齿轮 B 的半径等于 A 的圆形孔的半径的一半，点C 画出来的轨迹是圆形孔的一条直径．真题精讲1.如图⑴，线段 MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿 MN 将这张长方形纸对折后得到图⑵，将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的 310，阴影部分面积为 6 平方厘米．则长方形的面积是多少平方厘米？⑴ ⑵ ⑶【分析】根据折叠的过程可知，图⑶中阴影部分是 2 层，空白部分是 4 层，如果将阴影部分缩小一半，即变为 3 平方厘米，那么阴影部分也变成 4 层，此时覆盖的面积占长方形纸片面积的 1，即缩小的43 平方厘米相当于长方形纸片面积的( 3 - 1 ) ，所以长方形纸片面积为3 ÷ ( 3 - 1) = 60 平方厘米．10 4 10 4OOD EDBDE2.在长方形纸片 ABCD 中， AD = 4 ， AB = 3 ，现在将它折叠，使得 C 与 A 重合，则折痕的长度是 ． AFD ABCH F DEC【分析】如右图所示，连接 FC ，过 E 作 AD 的垂线 EH ．由于折痕 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直，设 AF = CF = x ，则 FD = 4 - x ，在直角三角形 FDC中，根据勾股定理，有： (4 - x )2+ 32 = x 2 ，则 x = 25 ， FD = 4 - 25 = 7 ，那么 HE = 3 ， FH = 4 - BE - FD = 4 - 2FD = 9 ，8 8 8 4再由勾股定理，得 EF = 15 ．即折痕的长度为15．4 4［巩固］如右图，长方形的长为8 ，宽为 4 ，将长方形沿一条对角线折起压平，求重叠部分(阴影部分)的面积．8D［分析］如右上图，因为∠EDB = ∠EBD ，所以 BE = DE ，AE = CE ．设 BE = DE = x ，则 AE = CE = 8 - x ．由勾股定理得(8 - x )2+ 42 = x 2 ，解得 x = 5 ．所以 S = 1 ⋅ BE ⋅ CD = 1⨯ 5 ⨯ 4 = 10 ，所以重叠部分(灰2 2色三角形)的面积为10 ．3.如图，直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ， AD = 2 ， BC = 3 ，将腰CD 以 D 为中心逆时针旋转90︒ 至 ED ，连接 AE 、CE ，则∆ADE 的面积是 ．FEAABCBHC【分析】如图所示，将∆ADE 以 D 为中心顺时针旋转90︒ ，到∆FDC 的位置．延长 FD 与 BC 交于H ． 由于 ABCD 是直角梯形， AD 与 FD 垂直，则四边形 ADHB 是长方形，则 BH = AD ．由于∆ADE 与 ∆FDC 面积相等，而∆FDC 的底边 FD = AD = 2 ，高CH = BC - BH = 3 - 2 = 1 ，所以∆FDC 的面积为2 ⨯1 ÷ 2 = 1 ，那么∆ADE 的面积也为 1．4. 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点 P 为中心转动一个正方形．当BAB = 5 厘米， BC = 13 厘米， CA = 12 厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．【分析】右图由左图旋转而得，则右图中的 8 个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去 4 个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5 + 13 + 12 = 30 厘米， 所以重叠部分的面积为： 302 - 4 ⨯ (5 ⨯12 ÷ 2) = 780 (平方厘米)．5.有 2 个大小不同的正方形 A 和 B ．如下左图所示的那样，在将 B 正方形的对角线的交点与 A 正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为 A 正方形面积的 1．求 9A 与B 的边长之比．如果当按下右图那样，将 A 和 B 反向重叠的话，所重叠部分的面积是 B 的几分之几？左图 右图【分析】以 B 正方形为中心，将整体图形放大后，如右上图所示．图中，由于 A 和 B 均为正方形，所以可认为画阴影的两个三角形是以 B 的对角线的交点为中心转过90︒ 所形成的．因此，所求的 A 与 B 所重合部分的面积，只要让 B 的对角线的交点与 A 的一个顶点相重合，则不管什么情况下，该面积均为 B 正方形面积的 1 ．这样， A 4 的面积的 1 9 与 B 的面积的 1相等，故 A 与 B 的面积之比为49 : 4 ．因为二者均为正方形，所以其边长之比为3 : 2 ．如果 A 的对角线的交点与 B 的一个顶点相重合的话，所重合部分的面积仍为 A 的面积的 1．但是4由于 B 的面积是 A 的面积的 4 ，所以重合部分的面积应为 B 的面积的 1 ÷ 4 = 9．9 4 9 166.往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分．过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，1体积会缩小到 3(也就是说泡沫的体积是相应液体的3 倍)．另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同．即使是往相同的容器里倒入的啤酒量，也会因倒入的方法不同而不同．如图， 往深度为30 厘米的圆柱形的容器里倒入500 毫升的啤酒，从容器的底部到以上15 厘米高处的部 分是液体，再往上一直到容器的顶端，全都是泡沫(第一次)．然后，往相同的容器里倒入700 毫升的啤酒，从容器的底部到以上 x 高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端，全都是泡沫(第二次)．求 x 的值．P第二次【分析】第一次泡沫全部变成液体时，高度是15 + 15 ÷ 3 = 20 (厘米)，因此高度1 厘米的液体是25 毫升；第二次泡沫全部变成液体时，高度是700 ÷ 25 = 28 (厘米)，高度是1 厘米的液体成为泡沫时变为 高3 厘米，高度增加2 厘米，有(30 - 28) ÷ 2 = 1 厘米，即由泡沫变成的液体有 1 厘米，那么原有的 液体为 x = 28 -1 = 27 (厘米)． 7.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2 倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼ ⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套． 对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4 个角后得到(如下左图，切去 ABDA 1 、 CBDC 1 、D 1 A 1C 1D 、 B 1 A 1C 1B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去 2 个角后得到(如下右图，切去 BACB 1 、 DACD 1 )．⑵ ⑶⑴ ⑷⑸ ⑺⑻ ⑹⑾⑼ ⑽B1DB1DB HB C AB CA C1C1A1 D1 A1 D1假设左图中的立方体的棱长为 a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：a3 -1a2 ⨯a ⨯1⨯ 4 =1a3 ，2 3 3以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3 -1b2 ⨯b ⨯1⨯ 2 =2b3 ．2 3 3由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2 倍，即b = 2a ．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：1a3 :2b3 =1a3 :2⨯(2a)3 =1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立3 3 3 3体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16 倍．8.如图所示的立体ABCD -EFGH 是长1 米、宽1 米、高2 米的长方体的箱子，在这个箱子里有一根直棒，棒的一端在顶点G 处，另一端在棱AE 的中点I 处．在不考虑棒的粗细的情况下，请问：⑴在点 F 处有一亮着的灯泡，请画出棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影；⑵在EF 边的中点J 处有一亮着的灯泡，请画出棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影．D C CAIG GE F【分析】⑴棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影是两条直线段，而且它们与∆IFG 在同一个平面上．连结IF ，过点I 作IK ∥FG 交DH 于K (实际上K 就是DH 的中点)，连结KG 即可．KBHABIHEJFDCADDCAIIKKGEF EHHGDCA D D CGIMEHHG⑵连结GJ 延长与 HE 的延长线交于点 M ，连结 MI 并延长与 DH 交于点 D ，连结 DG 即可． 点评：本题涉及两个重要的知识点： ①光线的传播路径是直线；②公理：直线和不在这条直线上的一点共面．在本题的应用就是光源、棒 IG 、光线的传播路径、在面上形成的阴影共面．［拓展］如图，一个边长为5 厘米的正方体，这个正方体由边长为1 厘米的小正方体组成．A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 分别是大正方体的各个顶点， P 是 ABCD 面上 AC 与 BD 的交点，请问：A G⑴如右上图所示，用一个 E 、P 、F 三点所在的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？ ⑵经过⑴切开后剩下部分(包括 E 、 F 、G 、 H 面)的体积是多少？⑶再分别用 F 、P 、G 三点所在的平面， G 、P 、H 三点所在的平面， H 、P 、E 三点所在的平面进一步切割剩余部分，最后剩余的是一个包括 E 、 F 、G 、 H 面的立体图形，请写出这个立体图形的名称(即是哪种形状的立体图形)．⑷在最后剩下的立体图形中，包括几个完整的边长为1 厘米的小正方体？［分析］⑴切开的面是四边形，两组对边分别平行且相等，但相邻两边长度均不相等， 4 个角都是直角，所以是长方形．HGHG⑵切下部分的体积正好是原体积的 1 ，所以剩下部分的体积是5 ⨯ 5 ⨯ 5 ⨯ 3= 93.75 立方厘米．4 4D CPPPABHGEF E F EF⑶如上图，在 ABCD 面中最后剩下 P 点，底面 EFGH 完好，连结 PE 、PF 、PG 、PH ，所以剩下的立体图形是底面为正方形的正四棱锥，如右上图．⑷切完后，从正面、侧面看均如下图所示，从下往上数，第一层是 3 ⨯ 3 = 9 (个)，第二层是 3 ⨯ 3 = 9 (个)，第三层是1 个，第四层是1 个，共9 + 9 + 1 + 1 = 20 个边长为 1 厘米的小正方体．真题模拟1.右图为一个正八边形，它的每条边长都是10 厘米，每个内角都相等，求图中阴影部分与非阴影部分的面积之差．【分析】如右上图，延长正八边形的两组对边，并连接竖直方向的两条对角线．图中标有 1，2，3，4 的4 个等腰直角三角形合起来为一个边长为 10 厘米的正方形，所以它们的面积之和为10 ⨯10 = 100 平方厘米．而中间标有 5 的空白小正方形的面积也为10 ⨯10 = 100 平方厘米，所以这个空白小正方形的面积等于四个角上的小三角形的面积之和．至于剩下的部分，容易看出标有 6，7 的两个空白长方形与标有 8，9 的两个阴影长方形的面积相等，所以图中阴影部分与非阴影部分的面积相等，它们的面积差为零．2.将边长分别为 4、8、12、16、20 的正方形并排在一起(如图)，一条与正方形的边平行的直线CD 将该图形分为面积相等的两个部分，那么 AB 的长是多少？182657 394BBA BA 16 4CD81220A164CD81220【分析】如图所示，作出边长为 12 的正方形的上面的边所在的直线，这条直线也将整个图形分成两部分．整个图形的面积为42 + 82 + 122 + 162 + 202 = 42 ⨯ (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = 16 ⨯ 1⨯ 5 ⨯ 6 ⨯11 = 880 ，所6以直线CD 所分成的两部分的面积都为880 ÷ 2 = 440 ．图中虚线所分成的两部分，上面的部分的面积为： 42 + (20 + 16)⨯ (20 - 12) = 304 ，所以这条直线与 直 线 CD 之 间 的 图 形 的 面 积 为 440 - 304 = 136 ． 这 个 图 形 是 一 个 长 方 形 ， 它 的 长 为12 + 20 + 16 = 48 ，所以它的宽为：136 ÷ 48 = 2 5．6那么 AB 的长为： 20 - 12 + 2 5 = 10 5．6 63.如图，在相距9cm 的平行线 a 和b 之间有一个直角三角形 A 和长方形 B ．直角三角形沿直线a 以1cm/s 、长方形 B 沿直线b 以3cm/s 的速度同时朝箭头所指方向开始运动．问 A 和 B 开始运动后从多少秒到多少秒 A 与 B 所重合部分的面积是一个定值(即保持不变)．a6cm b 12cm A 12cm B 20cma 6cmb图⑴aabb图⑵ 图⑶【分析】先考虑在长方形 B 的左上角顶点与直角三角形 A 接触时，位于直角三角形斜边的哪个位置．由于长方形 B 的高为6cm ，即上边离b 直线之距离为6cm ，所以上边到直线a 的距离是3cm ．另外， 由于直角三角形 A 下边的顶点到直线a 的距离为6cm ，所以当直角三角形与长方形相交时，则长方形的上侧边通过直角三角形斜边的中点．这样，在重合之前的状态(图⑴)，各横向长度如图所示．在图⑴中，由于三角形上侧的边长为12cm ，而过斜边的中点的虚线长度6cm ，即是该直角三角形的切口长度，这个长度正好等于上侧边长的一半．A 与B 两图形重合时的面积保持定值是指从图⑵的重合状态到图⑶的重合状态，将该状态与图⑴ 时的状态相比较，可知，直角三角形与长方形所移动的长度之和分别是：到图⑵状态为20cm ， 到图⑶状态则为26cm ．由于直角三角形的速度是1cm/s 、长方形的速度是3cm/s ，相加便知二者A BAB以每秒4cm 相互接近．所以到达图⑵状态时，需要20 ÷ 4 = 5(s) ；到达图⑶状态需要26 ÷ 4 = 6.5(s) ， 也就是说，从5s ∼ 6.5s 之间重合的面积是定值．4.如图所示，圆紧贴着全长为30 厘米、有直角拐弯的折线从一端滚动到另一端(没有离开也没有滑动)，在圆周上设一个定点 P ，点 P 从圆开始滚动时是接触折线的，当圆停止滚动时也接触到折线，然而在圆滚动的全部过程中 P 点是不接触折线的．请问：圆的半径是多少厘米？( π = 3.14 ， 保留两位小数)．⑴caba⑵⑶【分析】设半径为a 厘米，首先考虑一下圆在直线上滚动过的角度是90︒ 时转了 1 圈，如图⑴所示．图中 14 4圆的弧长和圆滚动过的距离相等，即 PQ = 2a ⨯ 3.14 ÷ 4 = 1.57a 厘米．由于本题中在圆滚动的全部 过程中 P 点是不接触折线的，于是圆滚动到拐角时滚动过的角度有以下两种情况：①滚动到拐角时不满270︒ ：此时圆恰好转了270︒ ，即 3圈，而图⑵中的b + c 是圆滚动过的距离，4因此b + c = 1.57a ⨯ 3 ， b + a + a + c = 1.57a ⨯ 3 + a + a = 16 + 14 ，得到a ≈ 4.47 厘米；②滚动到拐角时滚动过的角度不小于270︒ 也不大于360︒ ：此时圆共转动了270︒ + 360︒ = 630︒ ，即圆恰好转 7圈，而图⑶中的d + e 是圆滚动过的距离，因此d + a + a + e = 1.57a ⨯ 7 + a + a = 16 + 14 ，4得到a ≈ 2.31 厘米．检验是否满足条件： d = 16 - 2.31 = 13.69 厘米；圆周 = 2.31⨯ 2 ⨯ 3.14 ≈ 14.51 > d > e ．所以在开始滚动和结束滚动以外，点 P 没有接触到折线，所以a = 2.31 厘米也满足条件．P14P16 O a P1.57 Qead aEF真题巩固1.以长方形 ABCD 的边 AB 和CD 为斜边向长方形内作等腰直角三角形 ABE 和CDF ，已知三角形 ABE 的面积为16 ，长方形的周长为 44 ，则三角形 BED 的面积是 ． A DB C【分析】由于三角形 ABE 是等腰直角三角形，所以四个这样的三角形可以拼成一个边长为 AB 的正方形，故16 = 1⨯ AB 2 ，得到 AB = 8 ．由周长为 44 可知 BC = 44 ÷ 2 - 8 = 14 ，4则 S ∆BED = S ∆ABD - S ∆ABE - S ∆AED = 14 ⨯ 8 ÷ 2 - 16 -14 ⨯ 4 ÷ 2 = 12 ． 2.如图，将边长为 1 的正三角形Ⅰ放在一条直线上，让三角形绕顶点C 顺时针转动到达Ⅱ，再继续这样转动到达Ⅲ，则 A 点走过的路程的长为 ．AC【分析】图中圆弧即为 A 点走过的路程，分为两段，均为圆心角为120︒ 、半径为 1 的扇形的圆弧．所以，两个扇形圆弧长之和= 2 ⨯ π ⨯1⨯ 120 ⨯ 2 = 4π ，即 A 点走过的路程的长是 4π．360 3 33.如右图，面积为 l 的 ∆ABC 中，BD : DE : EC = 1: 2 :1 ，CF : FG : GA = 1: 2 :1 ，AH : HI : IB = 1: 2 :1 ，求阴影部分面积．A ABCC【分析】设 IG 交 HF 于 M ， IG 交 HD 于 N ，如果能求出 IM 和 IG 以及 IN 和 IG 的长度之比，根据面积比例模型就可以求出∆HMN 的面积，进而求出阴影部分的面积．而要求 IM 和 IG 以及 IN 和 IG 的长度之比，只需要求 IM 和 MG 以及 IN 和 NG 的长度之比，为此连接 DI 、 DG 、 IF 、GH ．由于 S= 2 S= 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S= 1 ， S = ⎛1 - 1 ⨯ 1 - 3 ⨯ 3 - 1 ⨯ 3 ⎫S = 3 ，∆HID 3 ∆HBD 3 4 4 ∆ABC 8∆HGD 4 4 4 4 4 4 ⎪∆ABC 16 ⎝ ⎭(如果对线段的平行关系较为熟悉，可以看出 HG ∥ BC ，GD ∥ AB ，所以 BDGH 是平行四边形，那么 S ∆HGD = S ∆BDH = 1 ⨯ 3 S 4 4 ∆ABC = 3 ) 16HGMIF NHGI FB Ⅰ ⅡⅢ根据蝴蝶定理， IN : NG = S∆HID : S ∆HGD = 1 : 3 8 16 = 2 : 3 ，所以 IN = 2IG ；5由于 S ∆HIF = 2 S 3 ∆AIF = 2 ⨯ 3 ⨯ 3 S 3 4 4 ∆ABC = 3 ， S 8 ∆HGF = 2 S 3 ∆HAF = 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S 3 4 4 ∆ABC = 1，根据蝴蝶定理， 8IM : MG = S : S= 3 : 1 = 3 :1 ，所以 IM = 3IG ； ∆HIF ∆HGF8 8 4(同样地，有 HG ∥ BC ， IF ∥ BC ，所以 HG ∥ IF ，且 HG = 1 BC ， IF = 3BC ，根据相似三角4 4形性质，有 IM : MG = IF : HG = 3 :1 )所 以 MN = IM - IN = 3 IG - 2 IG = 7IG ，4 5 20那么 S ∆HMN = 7 S 20 ∆HGI = 7 ⨯ 2 S 20 3 ∆AGI = 7 ⨯ 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S 20 3 4 4 ∆ABC = 7 ． 160同理可得其他 5 个阴影小三角形的面积均为 7 ，所以阴影部分的面积为 7 ⨯ 6 = 21．160 160 804. 四个面积为1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则∆AGF 与∆CEH 都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则∆AGF 与∆CEH 的边长都是4a ，所以大正三角形 DEF 的边长为 4 ⨯ 2 - 1 = 7 ，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍．而一个正六边形是由 6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1 ，三角形 DEF 的面积为 49．6 6由于 FA = 4a ， FB = 3a ，所以∆AFB 与三角形 DEF 的面积之比为 4 ⨯ 3 = 12．7 7 49同理可知∆BDC 、∆AEC 与三角形 DEF 的面积之比都为 12，所以∆ABC 的面积占三角形 DEF 面49积的1 - 12 ⨯ 3 = 13 ，所以∆ABC 的面积的面积为 49 ⨯ 13 = 13．49 49 6 49 65.有同样大小的立方体 27 个，把它们竖 3 个，横 3 个，高 3 个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体．如果有 1 根很直的细铁丝穿过这个大立方体，最多可以穿透几个小的立方体？【分析】假设铁丝穿过3 ⨯ 3 ⨯ 3 的立方体每穿过一个小立方体就被小立方体的面给切断，那么本题可以先考虑铁丝最多可以被切成几段．由于3 ⨯ 3 ⨯ 3 的立方体内部有 6 个截面(每个方向 2 个)，铁丝穿过时 不可能与其中的某个截面有 2 个或 2 个以上的交点，也就是说与每个截面最多有 1 个交点，那么 与 6 个截面最多有 6 个交点，铁丝最多被切成 7 段．由于每一段铁丝对应一个小立方体，所以最 多可以穿过 7 个小立方体．。
学而思五年级秋季第七讲知识总结教学文案
学而思五年级秋季第七讲知识总结学而思五年级秋季第七讲知识总结神奇的9（接上讲）2. 9的整除特征①一个数能否被9整除，我们只需要看它的各个数位数字之和能否被9整除；并且它除以9的余数与数字和除以9的余数保持一致。
②实际上算除以9的余数，不仅可以看数字和，也可以将原数任意分割后再相加，看这个和除以9的余数。
例如：12345…9899除以9的余数，就等于1 + 2 + 3 + 4 + …… + 98 + 99的和除以9的余数。
证明和第①条一样，都是用位值原理。
③弃9法：在算除以9的余数时，如果几个数的和是9或9的倍数，可以直接弃掉。
注意等差数列中连续的9个数之和一定是9的倍数。
对应题目：例4、例5、提3、尖33. 进位原理与整除特征的综合运用对应题目：例6、提4、尖4下面以例6为例，再把解题方法复习一下：例6：下面算式由1~9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。
那么“数学解题”与“能力”的差的最大值是__________.【解析】首先判断哪一个数字没有用。
在这个算式中，结果2010除以9余3，所以所有加数的数字和除以9也余3。
因为1 + 2+ …… + 9 = 45能被9整除，所以显然数字6没有用。
其次计算进位的次数。
加数的数字和为45 –6 = 39，和的数字和为3，相差36，所以发生了4次进位。
最后根据最值的要求往里填数。
现在要求“数学解题”与“能力”的差最大，也就是“数学解题”尽可能大，“能力”尽可能小。
显然“数”= 1；“数学解题”最大，那么“学”= 9；此时百位和十位分别发生了一次进位，那么个位进位两次，即“题”+“力”+“示”= 20。
现在还有数字2、3、4、5、7、8没有用，相加为20，只能是5 + 7 + 8 = 20；所以根据差最大的要求，“题”= 8，“力”= 5；同理，“解”= 4，“能”= 2；即“数学解题”与“能力”的差的最大值为1948 – 25 = 1923。
小学奥数知识点梳理-全(大字)
学而思小学奥数知识点梳理一、计算............................................................1、四则混合运算繁分数............................................2、简便计算......................................................3、估算..........................................................4、比较大小......................................................5、定义新运算....................................................6、特殊数列求和..................................................7、大数计算：....................................................9、重复数字：....................................................10、头同尾和十...................................................11、452=2025 .....................................................12、7×11×13=1001...............................................37×3=111........................................................13、7的秘密： ...................................................14、位值原理：...................................................二、数论............................................................1、奇偶性问题....................................................2、位值原则......................................................3、数的整除特征：................................................4、整除性质......................................................5、带余除法= .....................................................6.唯一分解定理...................................................7、约数个数与约数和定理..........................................8、两数的约数也是两数差的约数；..................................9、同余定理......................................................10．弃九法.......................................................11．完全平方数性质...............................................12．孙子定理（中国剩余定理）见下.................................13．余数应用.....................................................14．辗转相除法---根本在于辗转相减................................15.质数..........................................................16．求最大公因数，最小共倍数.....................................17．数论解题的常用方法...........................................三、几何图形........................................................1、平面图形......................................................2、立体图形：长方体、正方体......................................3、周长..........................................................4、图形计数：....................................................5、图形分割和拼接................................................6、一些特殊图形..................................................7、勾股定理......................................................8．曲线形图形....................................................9、一些特殊的图形：..............................................四、典型应用题......................................................2．方阵问题......................................................3．列车过桥问题..................................................4．年龄问题......................................................5．鸡兔同笼......................................................6．牛吃草问题....................................................7．平均数问题....................................................8．盈亏问题......................................................9．和差问题......................................................10．和倍问题.....................................................11．差倍问题.....................................................12．逆推问题.....................................................13．代换问题.....................................................五、行程问题........................................................1．相遇问题......................................................2．追及问题......................................................3．流水行船......................................................4．多次相遇......................................................5．环形跑道......................................................6．行程问题中正反比例关系的应用..................................7．钟面上的相遇与追及问题。
学而思钟表解析
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学而思一对一五年级数学在线课堂：时钟解密。
对世界上的一切学问与知识的掌握也并非难事，只要持之以恒地学习，努力掌握规律，达到熟悉的境地，就能融会贯通，运用自如了。
每个位置的算式都等于那个位置的数字，猜也能猜到的。
涉及到三角函数，取整，极限，微分，积分，求和等好多好多
1点：欧拉公式
2点：等比数列求和取极限值
3点：对数然后取整
4点：分母是反三角得T/4
5点：斐波那契数列特征方程？
6点：排列数
7点：定积分
8点：函数最小值
9点：对数指数运算
10点：极限值
11点：开4次方
12点：二进制。
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学而思五年级秋季第七讲知识总结神奇的9（接上讲）2. 9的整除特征①一个数能否被9整除，我们只需要看它的各个数位数字之和能否被9整除；并且它除以9的余数与数字和除以9的余数保持一致。
②实际上算除以9的余数，不仅可以看数字和，也可以将原数任意分割后再相加，看这个和除以9的余数。
例如：12345…9899除以9的余数，就等于1 + 2 + 3 + 4 + ……+ 98 + 99的和除以9的余数。
证明和第①条一样，都是用位值原理。
③弃9法：在算除以9的余数时，如果几个数的和是9或9的倍数，可以直接弃掉。
注意等差数列中连续的9个数之和一定是9的倍数。
对应题目：例4、例5、提3、尖33. 进位原理与整除特征的综合运用对应题目：例6、提4、尖4下面以例6为例，再把解题方法复习一下：例6：下面算式由1~9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。
那么“数学解题”与“能力”的差的最大值是__________.【解析】首先判断哪一个数字没有用。
在这个算式中，结果2010除以9余3，所以所有加数的数字和除以9也余3。
因为1 + 2 + ……+ 9 = 45能被9整除，所以显然数字6没有用。
其次计算进位的次数。
加数的数字和为45 – 6 = 39，和的数字和为3，相差36，所以发生了4次进位。
最后根据最值的要求往里填数。
现在要求“数学解题”与“能力”的差最大，也就是“数学解题”尽可能大，“能力”尽可能小。
显然“数”= 1；“数学解题”最大，那么“学”= 9；此时百位和十位分别发生了一次进位，那么个位进位两次，即“题”+“力”+“示”= 20。
现在还有数字2、3、4、5、7、8没有用，相加为20，只能是5 + 7 + 8 = 20；所以根据差最大的要求，“题”= 8，“力”= 5；同理，“解”= 4，“能”= 2；即“数学解题”与“能力”的差的最大值为1948 – 25 = 1923。
④③②①ODCBA蝴蝶模型1. 任意四边形中的蝴蝶模型（1）①×③ = ②×④（2）ABD BCD S AO S OC =△△；ACD ABC S DO S OB=△△对应题目：例12. 梯形中的蝴蝶模型（1）①×③ = ②×④（2）ABD BCD S AO S OC =△△；ACD ABC S DO S OB=△△ （3）② = ④（4）若AD : BC = a : b ，则①：②：③：④ = a 2：ab ：b 2：ab在各种杯赛里，蝴蝶模型考查最多的就是梯形中的蝴蝶模型，尤其是第（3）和（4）条性质，大家一定要记熟。
在题目中，看见交叉线一定要想到构造蝴蝶模型蝴蝶模型这一讲并不算难，关键是熟练掌握并应用蝴蝶模型的几个性质。
下面是第七讲补充习题答案1. A 的数字和是2012，B 的数字和是1997，已知A 和B 作差的时候退了15次位，那么结果的数字和是多少？ 【解析】：2012-1997+15×9=150或者1997-2012+15×9=120．2. 如下图所示的竖式中相同ABCDEF 分别表示1-9中7个不同的数字，那么这七个数字的和是多少？2 13 0A B C D E F G + 【解析】：共进位3次，所以数字和为2+1+3+9×3=33，而1624+389=2013是其中的一个解．3. 123×123×1234×99999999结果的数字和是多少？ 【解析】：容易得知123×123×1234<200×200×2000=8000000<999999999，所以结果的数字和为9×8=72．4. 1234567891011…19881989除以9的余数是多少？ 【解析】：1+2+3+…+1989=1990×1989÷2=995×1989，而1989是9的倍数，所以原来的数除以9的余数为0．5.将0-9中的9个数字填入下列算式中，那么没被选中的数字是多少？□□□□+□□+□□□=2290 【解析】：左右两边除以9的余数相同，右边除以9余4，所以左边除以9的余数也是4，所以没选中的数字应该是5．1. 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【解析】：根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD的面积是OCDBA本讲巩固上讲回顾第七讲 蝴蝶模型123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米．2. 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？【解析】：⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯ ，那么6BGC S =⑵:1:3AG GC =3. （2007年第12届华杯赛决赛）在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=∆BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是平方厘米．【解析】：上底：下底=5：10=1:2，根据梯形蝴蝶模型的结论，:::1:2:4:2AOD AOB BOC COD S S S S ∆∆∆∆=，所以:4:9梯形BOC ABCD S S ∆=，所以梯形ABCD 的面积为20÷4×9=45平方厘米．4. 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【解析】：显然422S S ==，所以12431S S S S =⨯÷=，所以梯形面积为1+2+2+4=9．5. （2009年第14届华杯赛决赛）如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积．【解析】：根据题意，AB =5，CD =3，CD :AB =3:5，则根据蝴蝶模型22::::::9:15:25:15DOC AOD AOB COB S S S S a ab b ab == ，令AOB S =25份，则梯形ABCD 共有：9+15+25+15=64份．所以1份为：4÷64=116，则三角形OAB 的面积为116×25=2516．6. 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米。
则阴影BODCBAA BCDO部分的面积是平方厘米．【解析】：连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯= ，所以6AOC S = （平方厘米），9AOD S = （平方厘米），又6915ABC ACD S S ==+= （平方厘米），阴影部分面积为61521+=（平方厘米）．7. 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是1004，三角形BCH 的面积是1009，求四边形EGFH 的面积．【解析】：如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是1004+1009=2013．8. 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形ABF 的面积为8平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．【解析】：连接DE ，BE :AD =1:2，根据梯形的蝴蝶模型，得到:::1:2:4:2BEF EFD AFD ABF S S S S ∆∆∆∆=，所以:2:9梯形ABF ABED S S ∆=，所以梯形ABED 的面积为8÷2×9=36平方厘米，所以△DCE 的面积为36÷3=12平方厘米，所以正方形面积为36+12=48平方厘米．9. E 是平行四边形ABCD 的CD 边上的一点，BD 、AE 相交于点F ，已知三角形AFD的面E HG FE DCB AHG FEDCB AA BCDEF FEDCBA积是12，三角形DEF 的面积是8，求四边形BCEF 的面积为多少？【解析】：如图，根据梯形的蝴蝶中，△BEF 的面积为12，△ABF 的面积为12×12÷8=18，所以△ABE 的面积为18+12=30，所以梯形的面积为30×2=60，所以△BEC 的面积为60-12-12-8-18=10，所以四边形BCEF 的面积为12+10=22．10. 如图所示两个正方形ABCD 和CEFG 并排放置，已知BF 与CD 交于H 并且DH =2CH ，三角形DHF 的面积为24，那么五边形ABEFD 的面积是多少？【解析】：连BD 、CF ，那么四边形BCFE 是梯形，而CH ：DH=1：2，根据梯形中的蝴蝶模型，得到△CHB 的面积为24，△CHF 的面积为12，△BHD 的面积为48，所以△CDB 面积为24+48=72，所以大正方形面积为144．那么得到边长CD 的长度为12，而△CDF 的面积为12+24=36，所以可以得到GF=36×2÷12=6，那么小正方形面积为36，△GDF 面积为（12-6）×6÷2=18，所以五边形面积为18+36+144=198．FEDCBA F ED CBA HG FE D C BA HG FED C BA。