构建轴对称模型求线段和的最小值

构建轴对称模型求线段和的最小值

构建轴对称模型求线段和的最小值

张店区沣水中学 高刚

近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。

学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。

能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，

进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。

情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学

的能力。

引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。

分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。

首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。

l

（1）A B A B C C / （2） l A B A / C

跟踪练习1：如图7，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_______________。

图7

跟踪练习2. 如图8，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值.

M

C

A

B

P

图8

例2. 如图9，抛物线c

bx

x

y2+

+

=与x轴交于)0,1

(

A-、)0,3(B两点。

（1）求该抛物线的解析式。

（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC

∆

的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

图9

重点分析第（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要

CQ+QA 最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN ，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN 上找点Q ，使CQ+QA 最小。由抛物线的对称性可知，点A 、点B 关于直线MN 对称，连结BC 交MN 于点Q ，只要找出点Q 的位置，其坐标不难求得。

跟踪练习3:点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为2的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。

跟踪练习4：如图10，抛物线2323333y x x =-

-+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点Ｃ，顶点为D ．

（1）求A 、B 、C 的坐标．

（2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180o ，得到四边形AEBC ：

①求E 点坐标．②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．

（3）试探索：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△PAD 的周长最小，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

学生总结：

分层作业：

A 组：1、如图11，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为_____________。

图11

2、如图12， 在锐角△ABC 中， AB=42，∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________.

D

C

M

图12

B 组：1、如图，在直角坐标系中，A ，B ，

C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，

D 为直线l 上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标； (3)以点A 为圆心，以AD 为半径作圆A ；

①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与圆A 相切；

②写出直线BD 与圆A 相切时，点D 的另一个坐标。

2、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标；

（2）若y=c bx x 7362++-

过点A 、E ，求抛物线的解析式。 （3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最小值，

并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。