高等代数(北大版第三版)习题答案II复习课程

。
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
，
于是由1）知 ，从而 ，再对 进行类似的初等变换，使矩阵 的第二行和第二列中除 外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将 化成对角形
。
由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵 ，左乘一个下三角形阵 ，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在 ，使 ，命题得证。
，
由归纳假设知
与
合同，从而 合同于矩阵
，
再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对 级矩阵也成立，即证。
6．设 是 阶实对称矩阵，证明：存在一正实数 ，使对任一个实 维向量 都有
。
证 因为
，
令 ，则
。
利用 可得
，
其中 ，即证。
7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。
1）设 是一对称矩阵， 为特殊上三角矩阵，而 ，证明： 与 的对应顺序主子式有相同的值；
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
3）由2）知，存在 使
。
又由1）知 的所有顺序主子式与 的所有顺序主子式有相同的值，故
， ，
所以 。
，
所以
，
因 是非退化线性替换，且
，
由于 都大于零，故 是正定的。
8。证明：1）如果
是正定二次型，那么
是负定二次型；
2）如果 是正定矩阵，那么
，
这里 是 的 阶顺序主子式；
3）如果 是正定矩阵，那么
。
4）如果 是 阶实可逆矩阵，那么
17． 是一个实矩阵，证明：
。
证 由于 的充分条件是 与 为同解方程组，故只要证明 与 同解即可。事实上
，
即证 与 同解，故
。
注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
一、补充题参考解答
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：
1） ；
2） ；
3） ；
，
故当 为偶数时，都有
。
3）由配方法可得
，
于是可令
，
则非退化的线性替换为
，
且原二次型的标准形为
，
相应的替换矩阵为
，
又因为
，
所以
。
4）令
，
则
。
由于
，
则
原式
，
其中所作非退化的线性替换为
，
故非退化的替换矩阵为
。
又
，
所以
。
2．设实二次型
，
证明： 的秩等于矩阵
的秩。
证 设 ，因
，
下面只需证明 即可。由于 ，故存在非退化矩阵 使
2）证明：如果对称矩阵 的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵 使 成对角形；
3）利用以上结果证明：如果矩阵 的顺序主子式全大于零，则 是正定二次型。
证 1）采用归纳法。当 时，设
， ，
则
。
考虑 的两个顺序主子式： 的一阶顺序主子式为 ，而二阶顺序主子式为
，
与 的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。
归纳假设结论对 阶矩阵成立，今考察 阶矩阵，将 写成分块矩阵
， ，
其中 为特殊上三角矩阵。于是
。
由归纳假设， 的一切 阶的顺序主子式，即 的顺序主子式与 的顺序主子式有相同的值，而 的 阶顺序主子式就是 ，由
，
知 的 阶顺序主子式也与 的 阶顺序主子式相等，即证。
2）设 阶对称矩阵 ，因 ，同时对 的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
当 时
，
故 与 合同，结论成立。
假设 时结论成立，今考察 的情形。这时
，
如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设 ，并将最后一行和最后一列都乘以 ，则 可化成
，
再将最后两行两列的其他非零元 化成零，则有
证 必要性。采用反证法。若正惯性指数 秩 ，则 。即
，
若令
， ，
则可得非零解 使 。这与所给条件
矛盾，故 。
充分性。由 ，知
，
故有 ，即证二次型半正定。
15．证明： 是半正定的。
证
（
）
。
可见：
1）当 不全相等时
。
2）当 时
。
故原二次型 是半正定的。
16．设 是一实二次型，若有实 维向量 使
， 。
证明：必存在实 维向量 使 。
，
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在 中，令
则可得一线性方程组
，
由于 ，故可得唯一组非零解 使
，
即证存在 ，使 。
13．如果 都是 阶正定矩阵，证明： 也是正定矩阵。
证 因为 为正定矩阵，所以 为正定二次型，且
， ，
因此
，
于是 必为正定二次型，从而 为正定矩阵。
14．证明：二次型 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
高等代数（北大第三版）答案
第一章多项式
第二章行列式
第三章线性方程组
第四章矩阵
第五章二次型
第六章线性空间
第七章线性变换
第八章 —矩阵
第九章欧氏空间
第十章双线性函数与辛空间
wk.baidu.com注：
答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！
12．设 为一个 级实对称矩阵，且 ，证明：必存在实 维向量 ，使
。
证 因为 ，于是 ，所以 ，且 不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换 使
4） ，其中 。
解 1）作非退化线性替换
，
即 ，则原二次型的标准形为
，
且替换矩阵
，
使
，
其中
。
2）若
， ，
则
，
于是当 为奇数时，作变换
，
则
，
且当 时，得非退化替换矩阵为
，
当 时，得非退化替换矩阵为
，
故当 为奇数时，都有
。
当 为偶数时，作非退化线性替换
，
则
，
于是当 时，得非退化替换矩阵为
，
于是当 时，得非退化替换矩阵为
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。