信息安全数学基础课件 第7章 素性检测

7.1

拟素数

7.2 素性检测

7.3 Euler拟素数

第7章素性检测

2019/6/2计算机科学与技术学院1

2019/6/2计算机科学与技术学院2

定义1设n是一个奇合数.如果整数b, (b,n)=1,使得同余式b n-1=1 (mod n) 成立,则n叫做对于基b的拟素数.

2340=1 mod 341, 2560=1 mod 561, 2644=1 mod 645, 2019/6/2计算机科学与技术学院3

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7.1 拟素数

7.2 素性检测

7.3 Euler拟素数

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生成大素数:素性检测

•随机生成一个大奇数

•然后检验它是否是素数

•需要检验多少个随机整数?

–一般每ln n个整数有一个素数

•对于一个512 bit的n, ln n = 355. 平均需要检

测大约177=355/2个奇数

•需要解决素性检验问题

8

•欧拉定理: 若a和n互素,则a (n) 1 mod n

•费马小定理:设p是素数, 由于对任意的a(0

a p-1 1 mod p

9

•Miller-Rabin算法(费马测试)

•n 是素数 a n-1 1 mod n

•n-1=2k m且a n-1=((a m)2)2…

–a m 1 mod n a n-1 1 mod n

–((a m)2)2 … 1 mod n a n-1 1 mod n

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Miller-Rabin 检验

•确定一个给定的数n是否是素数

–n-1 = 2k m, (m 是奇数)

–选择随机整数a, 1 a n-1

–b ← a m mod n

–若b=1,则返回“n 是素数”

–计算b, b2,b4,…,b2^(k-1) mod n, 若发现 1,返回

“n 是素数”

–返回“n 是合数”

11

Why Rabin-Miller Test Work?

•声明:若输出“n 是合数”, 则n一定不是素数

•Proof:if we choose a number n and returns composite

–Then a m 1, a m -1, a2m -1, a4m -1, …, a2^{k-1}m -1 (mod n)–Suppose n is prime,

–Then a n-1=a2^{k}m=1 (mod n)

–There are two square roots modulo n: 1 and -1 a2^{k-1}m

= 1 (mod n)

–There are two square roots modulo n: 1 and -1 a2^{k-2}m

= 1 (mod n)

–…

–Then a m= 1 (contradiction!)

–因此若n是素数, 算法不将输出“合数”

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偏“是”

•Bias to YES

–如果n是素数,那么Rabin-Miller 检测一定返回

“素数”

–但a n-1 1 mod n 不能证明n 是素数

–合数以1/4的概率通过检测

–我们可以检验多次来减少错误概率!

•但是有一些非素数!

–Carmichael 数: 561, 1105, …

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Carmichael 数

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