初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第30讲从创新构造入手

第三十讲从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解．所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1．构造方程；2．构造函数；3．构造图形；4．对于存在性问题，构造实例；5．对于错误的命题，构造反例；6．构造等价命题等．【例题求解】【例1】设1a 、2a 、1b 、2b 都为实数，21a a ≠，满足))(())((22122111b a b a b a b a ++=++，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a ．思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a 、2a 可看作方程1))((21=++b x b x 的两根，则))((1))((2121a x a x b x b x --=-++，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．【例2】求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值．思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．222222)30()2()10()1(13422-+-+-++=+-+++x x x x x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．【例3】已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．思路点拨利用求根公式，解不等式组求出b 、c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令c bx x y ++=25，从讨论抛物线与x 轴交点在1-与0之间所满足的约束条件入手．【例4】如图，在矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，问：能否在Ab 边上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E 点有几个?若不能找到，请说明理由．思路点拨假设在AB 边上存在点E ，使Rt △ADE ∽Rt △BEC ∽Rt △ECD ，又设AE=x ，则BC BE AE AD =，即ax b x a -=，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．【例5】试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．思路点拨构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．学历训练1．若关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是．2．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且1))((=++d a c a ，1))((=++d b c b ，那么))((c b c a ++的值是．3．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为．4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是．5．若实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的取值范围是．6．设实数分别s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st ，求ts st 14++的值．7．已知实数a 、b 、c 满足0))((<+++c b a c a ，求证：)(4)(2c b a a c b ++>-．8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．9．求所有的实数x ，使得xx x x 111-+-= ．10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：2110132>++c b a ．11．已知关于x 的方程k x x =+-1322有四个不同的实根，求k 的取值范围．12．设10<<z y x ，，0，求证1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x ．13．从自然数l ，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．14．已知a 、b 、c 、d 、e 是满足8=++++e d c b a ，162222=++++e d c b a 的实数，试确定e 的最大值．15．如图，已知一等腰梯形，其底为a 和b ，高为h ．(1)在梯形的对称轴上求作点P ，使从点P 看两腰的视角为直角；(2)求点P 到两底边的距离；(3)在什么条件下可作出P 点?参考答案。

初中创新题讲解教案

初中创新题讲解教案教学目标：1. 让学生掌握创新题的基本概念和特点；2. 培养学生解决创新题的能力；3. 激发学生的创新意识和思维。

教学内容：1. 创新题的概念和特点；2. 解决创新题的策略和方法；3. 创新思维的培养。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考：什么是创新？2. 学生分享对创新的理解。

二、讲解创新题的概念和特点（10分钟）1. 介绍创新题的定义；2. 分析创新题的特点：新颖性、挑战性、综合性。

三、解决创新题的策略和方法（15分钟）1. 分解法：将创新题分解为若干个小问题，逐一解决；2. 联想思维法：从不同角度出发，展开联想，寻找解决方案；3. 逆向思维法：从问题的反面出发，思考解决方案；4. 交叉学科法：结合不同学科的知识，寻找创新题的解决方案。

四、创新思维的培养（10分钟）1. 鼓励学生多角度思考问题；2. 引导学生勇于尝试，不怕失败；3. 培养学生的耐心和毅力；4. 创设有利于创新的环境，如学校、家庭和社会。

五、实践演练（10分钟）1. 出示一道创新题，如：“设计一个环保的出行方案”；2. 学生分组讨论，运用所学策略和方法解决问题；3. 各组分享解决方案，大家共同讨论，完善方案。

六、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本次课的收获；2. 教师点评学生的表现；3. 学生反思自己在解决问题中的不足。

教学评价：1. 学生对创新题的理解程度；2. 学生解决创新题的能力；3. 学生创新思维的培养情况。

教学反思：本节课通过讲解创新题的概念和特点，以及解决创新题的策略和方法，旨在培养学生创新思维。

在实践演练环节，学生分组讨论，积极运用所学知识解决问题，表现出较高的参与度。

但在教学过程中，要注意引导学生从多个角度思考问题，避免单一思维模式。

此外，还需加强对学生的鼓励和引导，培养他们勇于尝试、不怕失败的精神。

(完整版)初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题

第三十讲创新命题计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷．与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：1．定义一种新运算； 2．定义一类新数；3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题．解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用．例题【例1】一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是． (北京市竞赛题) 思路点拨自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手．注：定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题．【例2】在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ⋅，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ⋅”和“C A ⋅”的是( ) ．A ．(a)，(b)B ．(b)，(c)C ． (c)，(d)D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题)思路点拨从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆．【例3】有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口．【例4】设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x －21(全国初中数学联赛题) 思路点拨解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来．注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质：(1)x=[x]+r ，0≤r<l ； (2) [x]≤x ＜[x]+1； (3)x －1＜[x]≤x ； (4)[n+x]＝n+[x]； (5)[x+y]≥[x]+[y]其中当n 为整数，当且仅当x 为整数时等号成立．【例5】如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式(a 一d)(b 一c)>0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作．(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0?请说明理由．(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0 ?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)思路点拨 (1)从1～6中选取满足(a 一d)(b 一c)>0的四个数，按题设条件操作，直至符合结论的要求；(2)略．注：解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤，或指出按规则要求不能实现的理由．解题的关键是善于在变化中把握不变量，利用不变量解题，此外，还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法．【例6】假设a#a+b 表示经过计算后a 的值变为a 的原值和b 的原值的和，又b#b.c 表示经过计算后b 的值变为b 的原值和c 的原值和乘飘假设计算开始时a=0，b=1，c=1，对a 、b 、c 同时进行以下计算：(1) a#a+b ；(2) b#b.c ；(3) c#a+b+c(即c 的值变为所得到的a 、b 的值与c 的原值的和)．连续进行上述运算共三次，试判断a 、b 、c 三个数值之和是几位数?思路点拨对a 、b 运算次数1 2 3 a 1 2 5 b 1 3 24 c3837经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一个两位数．学力训练1．现定义两种运算：，对于任意两个整数a ，b ，＝a+b －1，=a b －1，那么 = ．2．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定bc ad dc b a -=,如果81122<--x ，那么x 的取值范围是． 3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在l ～100这100个数中，“发财数”有个． (“五羊杯”竞赛题) 4．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-50112n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为； ②计算：∑=-512)1(n n＝（填写最后的计算结果）。

全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义(28—33)讲

全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2)三角形的边角性质内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。

用式子表示如下：a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ，五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 1803. 边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。

② 在直角三角形中，△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+⇔(勾股定理及逆定理) △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。

(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->>51135.1a a ∴1.5<a<5答当1.5<a<5时，三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形例2.如图A B C DAB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？① x<2z , ②y<x+2z , ③y<2z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧>>+>x z y z x z y 2222∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<>222z x z x y z y 答y<x+2z 和y<2z 必须满足。

人教版八年级数学培优竞赛之欧阳道创编

目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一BACDE F模拟测试二模拟测试三第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AF CEDBAB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是A BCDO FE_______命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中,AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中,AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DCE∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求A E第1题图A BCDE BCDO第2题图A CEFBD证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中,AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】AFECB DB（E ）OC F 图③DA01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（） A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° C ． AC ＝DF D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证EFB ACDG 第2题图△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°,∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中,2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90°∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA am ，此时梯子的倾斜角为75°垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a b m +B ．2a bm-C ．bmD ．am21 ABCPQEF D03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________ 演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（） A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠BCB ＝30°，则∠ACA的度数是（） A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（） A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（） A . CB ＝CDB .∠BAC ＝∠DACC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°05△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（） A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45°D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC交AD 于M ，DE交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（）A . 小华、小明都对B . 小华、小明都不对C . 小华对、小明不对D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD ,AB ＝ED ,如果∠BCA＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D ,BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.AE FBD C11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：DAC.Q P.BD B ACEFA EBF DC对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BCC . ABD .AE ＋AC A B C D A 1 B 1C 1D 1 F 第6题图 2 1 A B CE N M 3 2 1 A D E B CF A D E CO AEOB FC D第1题图 B 第2题图第3题图A E FCD B AE B DC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定. 08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E A B E D CA BC D E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

培优联盟骨干教师数学讲座-竞赛培优课件讲座(共82张PPT)

4、赛前训练：不同时间，不同训练。7月初（初赛前）日前主要练训练初赛题，可找一些全国各省的初赛真题（8次左右），7月中旬后，主要对参加决赛的同学进行一、二试训练（大概10次左右）。
单墫:怎样搞数学竞赛【很重要的高中竞赛学习策略】
在进度方面：要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了120分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得较粗略；要多向老师学习并要不断地总结重要的思想方法，使自己能够灵活运用。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——
费马点，到三角形顶点距离的平方和最小的点——重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等试，三角形不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。 N个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
3、立体几何多面角，多面角的性质；三面角、直三面角的基本性质；正多面体，欧拉定理；体积证法；截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应；二元一次不等式表示的区域；三角形的面积公式；圆锥曲线的切线和法线；圆的幂和根轴。 5、其他抽屉原理；容斥原理；极端原理；集合的划分；覆盖。

初中数学试卷命题讲座题目

一、讲座背景随着新课程改革的深入推进，初中数学教学评价方式也在不断变革。

试卷命题作为教学评价的重要手段，其质量直接影响着教学效果和学生的发展。

为了帮助广大初中数学教师更好地掌握试卷命题的策略与技巧，提高试卷命题质量，特举办本次讲座。

二、讲座目的1. 提高教师对初中数学试卷命题重要性的认识；2. 帮助教师掌握试卷命题的基本原则和策略；3. 提升教师试卷命题的技巧，提高试卷的信度和效度；4. 促进教师对初中数学教学评价方法的深入研究。

三、讲座内容1. 初中数学试卷命题概述- 试卷命题的意义和作用- 试卷命题的基本原则- 试卷命题的基本要求2. 试卷命题策略- 确定试卷命题的目标- 选择合适的命题内容- 制定试卷结构- 设计试题类型- 设置试题难度3. 试题设计技巧- 确定试题知识点- 设计题干和选项- 设置试题难度梯度- 避免命题陷阱- 试题语言规范4. 试卷评价与反馈- 试卷评价标准- 试题评分细则- 试卷分析及反馈5. 案例分析- 分析典型试卷的命题特点- 举例说明不同类型试题的设计方法- 讨论试卷命题中的常见问题及解决策略四、讲座形式1. 讲座授课：邀请具有丰富教学经验和命题经验的专家进行专题讲座；2. 互动交流：组织教师针对讲座内容进行讨论，分享命题经验；3. 案例分析：选取具有代表性的试卷进行分析，帮助教师理解命题策略和技巧；4. 试题设计：现场设计试题，检验教师对命题技巧的掌握程度。

五、讲座时间与地点时间：2022年X月X日（星期X）上午9:00-11:30地点：XX中学报告厅六、讲座对象初中数学教师、教研员、教育管理者等相关人员七、讲座报名请有意参加本次讲座的教师于2022年X月X日前通过电话或电子邮件报名，报名电话：XXX-XXXXXXX，报名邮箱：***********。

八、讲座费用本次讲座免费，无需缴纳任何费用。

九、讲座总结通过本次讲座，希望广大初中数学教师能够掌握试卷命题的策略与技巧，提高试卷命题质量，为学生的全面发展提供有力保障。

初中数学创新题讲解教案

初中数学创新题讲解教案教学目标：1. 让学生掌握创新题的基本解题技巧和方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 提高学生对数学学习的兴趣和积极性。

教学内容：1. 创新题的定义和特点2. 创新题的解题技巧和方法3. 典型例题解析4. 课堂练习和总结教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍创新题的定义和特点，让学生对创新题有一个初步的了解。

2. 强调创新题的重要性，激发学生的学习兴趣。

二、讲解创新题的解题技巧和方法（15分钟）1. 引导学生理解创新题的解题思路，让学生明白创新题并不是无规律可循的。

2. 讲解创新题的常见解题方法，如转换法、归纳法、构造法等。

3. 通过具体例题，演示解题过程，让学生掌握解题技巧。

三、典型例题解析（15分钟）1. 选择具有代表性的典型例题，进行分析和解题。

2. 引导学生参与解题过程，让学生亲身体验解题的乐趣。

3. 通过例题解析，让学生加深对创新题解题方法的理解和运用。

四、课堂练习（15分钟）1. 设计一些与讲解内容相关的练习题，让学生进行实际操作。

2. 引导学生独立思考，自主解决问题，培养学生的自主学习能力。

3. 对学生的练习结果进行及时反馈，指导和帮助学生纠正错误。

五、总结（5分钟）1. 对本节课的内容进行简要回顾，让学生巩固所学知识。

2. 强调创新题解题技巧和方法在实际应用中的重要性。

3. 鼓励学生在日常生活中多思考、多动脑，培养学生的创新思维能力。

教学评价：1. 对学生的课堂练习进行评价，了解学生对创新题解题方法的掌握程度。

2. 关注学生在课堂上的参与情况和表现，了解学生的学习兴趣和积极性。

3. 收集学生的反馈意见，不断改进教学方法和策略，提高教学质量。

教学反思：本节课通过讲解创新题的解题技巧和方法，让学生对创新题有了更深入的了解，提高了学生的解题能力。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够有效地掌握所学知识。

中学数学讲座题目精选

中学数学讲座题目精选数学是一门深受学生喜爱和折磨的学科，它既有趣味还有挑战，能够培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

为了帮助中学生更好地掌握数学知识，提高他们的数学水平，我们策划了一系列数学讲座，精选了一些热门题目，让我们一起来探讨吧！1. 斐波那契数列的奥秘（500字）斐波那契数列是数学中一道经典的题目，它的特点是前两项是1，后续项等于前两项的和。

我们将通过有趣的小故事以及实际应用场景引入斐波那契数列，并讨论其数学原理和数列特性。

此外，我们还将分享一些有趣的斐波那契数列的扩展应用。

2. 利用概率模型解决生活中的问题（400字）概率是数学中的一个重要分支，它在生活中有着广泛的应用。

我们将介绍概率模型的基本概念和计算方法，并通过举例解决一些实际生活中的问题，如赌场游戏的胜率计算、购买彩票的概率分析等。

学习概率模型不仅能够提高数学思维能力，还能帮助我们做出明智的决策。

3. 空间几何的魅力（400字）空间几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、线、面的性质和关系。

我们将介绍一些基本的空间几何概念，如平面与直线的相交关系、三角形的性质等，并通过一些有趣的例题加深理解。

了解空间几何的知识，有助于我们更好地理解和应用于生活中的空间问题。

4. 解密复数的魅力（500字）复数是数学中一个让人着迷的概念，它的引入解决了许多实数无法解决的问题。

我们将从复数的定义方法入手，介绍复数的基本运算法则和性质，并与实际问题结合，讨论复数在电路分析、力学问题中的应用。

通过学习复数，我们能够拓宽数学领域的视野，解决更多的问题。

5. 数据的呈现与分析（400字）数据是我们生活中不可或缺的一部分，我们需要学会如何有效地呈现和分析数据。

在本次讲座中，我们将介绍一些常用的数据呈现形式，如条形图、折线图等，并教授数据分析的基本方法，如求平均值、中位数等。

通过学习数据的呈现与分析，我们能够更好地理解和应用数据，提高问题解决的能力。

初中数学题目命制创新点

初中数学题目命制创新点
在设计初中数学题目时，我们可以引入一些创新点，以激发学生的兴趣和思维能力。

以下是一些可以应用的创新点：
1. 实际应用：将数学问题与实际生活中的情境相结合，让学生能够将所学的数学知识应用到实际问题中。

例如，设计一个与购物相关的问题，让学生计算折扣、税率等，以提高他们的数学技能。

2. 多元化的题型：创造不同类型的题目，包括选择题、填空题、解答题等，以满足不同学生的学习需求。

这样可以鼓励学生运用不同的解题方法和策略。

3. 推理与证明：引导学生进行推理和证明，帮助他们理解数学知识的本质。

例如，设计一个需要学生用逻辑推理来解决的问题，鼓励他们从不同角度思考和解决问题。

4. 利用技术：利用计算机或智能手机等技术设备，设计与数学相关的应用程序或游戏，让学生在娱乐中学习数学。

这不仅能提高学生的学习积极性，还能增加他们的数学技能。

5. 组合与拓展：设计一些需要学生组合和拓展数学概念的题目，帮助他们建立数学知识之间的联系。

例如，设计一个需要学生将不同的
数学概念组合起来解决的问题，让他们能够运用多个概念来解决复杂的问题。

通过引入这些创新点，我们可以让初中数学题目更加有趣和有挑战性，帮助学生提高数学思维能力和解决问题的能力。

同时，这也能激发学生对数学的兴趣，使他们更加乐于学习这门学科。

数学培优竞赛新方法(七年级)

数学培优竞赛新方法（七年级）引言数学培优竞赛对于学生的数学能力和解题能力有很高的要求，因此在备战竞赛时，学生需要掌握一些有效的方法和技巧。

本文将介绍一些适用于七年级学生的数学培优竞赛新方法，帮助学生在竞赛中取得好成绩。

1. 提前熟悉竞赛要求在备战竞赛之前，学生需要认真研读竞赛的规则和要求。

这些规则和要求通常包括考试时间、题型、考察的知识点等内容。

通过了解竞赛要求，学生可以更有针对性地准备，并合理安排备考时间和学习重点。

2. 掌握基础知识在解题过程中，基础知识的掌握是非常重要的。

学生需要牢固掌握七年级数学课本上的基础知识，如小数、分数、平方根、百分数等。

同时，对于一些常见的数学概念和定理，比如勾股定理、等腰三角形的性质等，也需要熟悉掌握。

3. 针对性练习为了提高解题能力，学生需要进行针对性的练习。

可以选择一些竞赛辅导书或试题集进行练习，找出其中的薄弱环节，并有针对性地进行强化训练。

对于容易出错的题型，如代数方程、几何证明，可以多做相关题目，并总结解题技巧和方法。

4. 学会总结归纳在备战竞赛时，学生需要将解题过程中的经验和技巧进行总结归纳。

可以将常用的解题方法、套路和技巧进行整理，并编写成笔记或思维导图，方便复习和查阅。

同时，总结归纳也有助于学生对知识的理解和记忆，提高解题的速度和准确性。

5. 切忌只注重题目数量备战竞赛时，很多学生容易陷入做大量题目的误区。

虽然多做题目有助于提高解题速度和熟悉考点，但过多的题目练习可能导致理解水平不足。

因此，在备考过程中，学生需注重提高解题的深度和质量，而不仅仅追求题目的数量。

6. 合理安排备考时间备战竞赛需要一定的时间规划和安排。

学生可以制定每天的复习计划，在每个时间段内专注于某一类题型或知识点的学习和巩固。

此外，备考期间也要注意休息和放松，保持良好的身体和精神状态，以便更好地发挥自己的水平。

7. 寻求老师和同学的帮助备战竞赛时，学生可以向老师请教一些疑难问题，或与同学进行讨论和交流。

新课标下初中数学命题的原则与创新

164学习版作为一名数学教学，在初中数学教学中，我们每天都要进行数学命题，如今我们的现状大多是采用他人的现成试题（陈题），甚至整份试卷直接拿去复印使用。

我深知命题与教学一样，也是教师一项不可缺的基本功。

目前，随着我国新课程教学改革的深入实施，深入探究数学命题技巧，是充分发挥新课改理念下的评价功能、导向功能和选拔功能所必需的；同时，在课堂教学中，我们数学教师也要时刻反思自身教学行为，改进自己的教学方法。

我们数学教师要敢于打破一些教学现状，试着改造或编造一些具有创新性试题，更加深入了解数学命题的原则，学到很多命题的方法。

一、初中数学命题的原则及注意点。

在初中数学教学中，我们教师要遵循我国《数学新课程标准》的基本理念，要以十个核心概念“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识”为理论依据；对于初中数学试题注重考查“四基”，即把考查学生的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验放在首位。

因此，初中数学命题应遵循这几个原则：导向性、基础性、创新性、知识的发展性等原则，还要紧密联系学生的生活实际。

同时，命题过程中还要注意这几点：（1）命制的试题不超纲，要围绕四基进行命题；试题在科学性上要准确无误，题干表述要清楚，要简明易懂无歧义，在符号使用上要规范，在图文匹配上要和谐。

（2）试卷的知识结构要合理，注意突出对主干内容的考查，题目背景公平、立意新颖、表述严谨；注意知识的使用率，同一知识不要多次考查。

（3）要依据命题中常用的技术指标：效度、信度、难度和区分度等指标来衡量数学试卷的质量。

难易要适当，要有较高的区分度，即能保护学生的积极性，又能拉开学生的档次。

（4）要注意考查学生理解和掌握“四基”的情况，注重考查学生的能力，包括解决简单的实际问题的能力，还要尽可能编写一些能对学生进行思想品德教育的试题。

二、初中数学命题的技巧。

在初中数学教学中，我们教师要知道创新命题要有价值，要有“含金量”。

赠送：初二数学竞赛辅导三十讲

第一讲：因式分解(一) (1)第二讲：因式分解(二) (4)第三讲实数的若干性质和应用 (7)第四讲分式的化简与求值 (10)第五讲恒等式的证明 (13)第六讲代数式的求值 (16)第七讲根式及其运算 (18)第八讲非负数 (22)第九讲一元二次方程 (26)第十讲三角形的全等及其应用 (29)第十一讲勾股定理与应用 (33)第十二讲平行四边形 (36)第十三讲梯形 (39)第十四讲中位线及其应用 (42)第十五讲相似三角形(一) (45)第十六讲相似三角形(二) .............................................. 48 第十七讲* 集合与简易逻辑. (51)第十八讲归纳与发现 (56)第十九讲特殊化与一般化 (59)第二十讲类比与联想 (63)第二十一讲分类与讨论 (67)第二十二讲面积问题与面积方法 (70)第二十三讲几何不等式 (73)第二十四讲* 整数的整除性 (77)第二十五讲* 同余式 (80)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (83)第二十七讲列方程解应用问题中的量 (86)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (90)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (94)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99)第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c ＞0时，则a3+b3+c3-3abc≣0，即a3+b3+c3≣3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≣0，y=b3≣0，z=c3≣0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3³1+2=0；f(-2)=(-2)2-3³(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n 的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4³22+6³2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x 2-3x-2．解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2 =x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x 2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3．分析由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x ＋y ＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决．解设x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x 4-2x 3-27x 2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)的形式．解设原式=(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)=x 4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x 2-7x+1)(x 2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a ，c 的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a 为有理数，b 为无理数，则 (1)a+b ，a -b 是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得：由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a ，b 是两个任意有理数，且a ＜b ，求证：a 与b 之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a ＜b ，所以2a ＜a+b ＜2b ，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a ，b 是两个任意有理数，且a ＜b ，问是否存在无理数α，使得a ＜α＜b 成立？即由①，②有存在无理数α，使得a ＜α＜b 成立．b 4+12b 3+37b 2+6b -20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b 2，所以b 2+6b=5．b 4+12b 3+37b 2+6b -20=(b 4+2²6b 3+36b 2)+(b 2+6b)-20 =(b 2+6b)2+(b 2+6b)-20 =52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a ，x ，y ．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42²n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a 有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≣0，(c2-d2)2≣0，(ab-cd)2≣0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y 和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x 2y 2z 2=1．分析本题x ，y ，z 具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x 2y 2=1．三元与二元的结构类似．证由已知有①³②³③得x 2y 2z 2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x 的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x 2+3x -1=0，所以 6x 4+15x 3+10x 2=(6x 4+6x 3-2x 2)+(9x 3+9x 2-3x)+(3x 2+3x -1)+1 =(3x 2+3x -1)(2z 2+3x+1)+1 =0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a ，b ，c 为实数，且满足下式： a 2+b 2+c 2=1，①求a+b+c 的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(bc+ac+ab)=a 2+b 2+c 2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c 的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：。

「精品」初中数学几何培优30讲

「精品」初中数学几何培优30讲
特级老师编写：初中数学几何培优30讲，语言优美，原来学习数学还可以这么文艺，一起来看目录吧。

1.彩蝶翩翩、解法悠悠
2.轴对称变化的“至真”境界
3.抽丝剥茧、层层深入
4.深思寻关联、模型觅巧解
5.为有源头活水来
6.万变不离其宗
7.由因导果、执果索因
8.窥一斑而知全题
9.折叠问题、勾股为王
10.挖掘本质、寻求通法
11.类似相等角度问题的证明
12.“源”于本质“流”向精彩
13.一类问题、一种方法
14.触类旁通、多管齐下
15.以其改变、探索其不变
16.洞察形异质同、应对“动点”问题
17.深入其中、洞悉本质
18.老马识“图”彰显本质
19.纵横不出课本、万“编”不离其宗
20.寻法问道、提升谋略
21.方圆之内、大有乾坤
22.线段倍数关系证明的解题策略
23.就近联想、转化应用
24.多解归一、仍可优化
25.相似三角形与圆的美丽邂逅
26.对圆的基本性质的再认识
27.让“隐圆”现形探“动点”规律
28.一个常见的平面几何问题的拓展与应用
29.从一道课本习题谈研题、变题和解题
30.一个几何试题命制过程中的发现与思考今天分享其中的几个精彩内容，
一、“源”于本质“流”向精彩
二、一类问题、一种方法
三、触类旁通、多管齐下
四、以其改变、探索其不变
五、洞察形异质同、应对“动点”问題
六、深人其中、洞悉本质。

(完整版)初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第30讲从创新构造入手

第三十讲从创新结构下手有些数学识题直接求解比较困难，可经过创建性结构转变问题而使问题获解．所谓结构法，就是综合运用各样知识和方法，依照问题的条件和结论给出的信息，把问题作适合的加工办理．结构与问题有关的数学模式，揭露问题的实质，进而交流解题思路的方法．结构法是一种创建性思想，是成立在对问题结构特色的深刻认识基础上的．结构法的基本形式是以已知条件为“原料” ，以所求结论为“方向”，结构一种新的数学形式，初中阶段常用的结构解题的基本方法有：1．结构方程；2．结构函数；3．结构图形；4．对于存在性问题，结构实例；5．对于错误的命题，结构反例；6．结构等价命题等．【例题求解】【例 1】设 a、 a、 b 、 b都为实数， a1a，知足 (a1b )( a b)(a2b )(a2b ) ，1212211212求证： (a1 b1 )(a 2b1 )(a1b2 )(a 2 b2 )1．思路点拨能够从睁开已知等式、按比率性质变形已知等式等角度试试．特色， a1、 a 2可看作方程(x b1 )( x b2 ) 1的两根，则( x b1 )( x b2 )认真察看已知等式1 ( x a1)( x a2 ) ，经过结构方程揭露题设条件与结论的内在规律，解题思路新奇而深刻．注：一般说来，结构法包括下述两层意思：利用抽象的广泛性，把实质问题转变为数学模型；利用详细问题的特别性，给所解决的问题设计一个框架，重申数学应用的数学建模是前一层意思的代表，尔后一层意思的“框架”含义更加宽泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．【例 2】求代数式x 2 2x2x24x 13 的最小值．思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．x 22x2x 24x 13( x1) 2(0 1)2( x 2)2(0 3) 2，于是问题转变为：在x轴上求一点 C(1 ，0)，使它到两点A( 一 1，1)和 B(2， 3)的距离和 (CA+CB) 最小，利用对称性可求出 C 点坐标．这样，经过结构图形而使问题获解．【例 3】已知b、 c 为整数，方程52bx c 0的两根都大于1且小于 0，求 b 和c的值．x思路点拨利用求根公式，解不等式组求出 b 、c的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．因为二次函数与二次方程有深刻的内在联系，结构函数，令y 5x2bx c ，从议论抛物线与x 轴交点在 1 与0 之间所知足的拘束条件下手．【例 4】如图，在矩形ABCD 中， AD= a，AB= b ，问：可否在Ab 边上找一点E，使 E 点与 C、D 的连线将此矩形分红三个相互相像的三角形?若能找到，这样的 E 点有几个 ?若不可以找到，请说明原因．思路点拨假定在 AB 边上存在点 E，使 Rt△ADE ∽ Rt△ BEC ∽ Rt△ ECD ，又设 AE= x，则AD BE ，即 a b x ，于是将问题转变为对于x 的一元二次方程能否有实根，在必定条AE BC x a件下有几个实根的研究，经过结构方程解决问题．【例 5】试证：世界上任何 6 个人，总有 3 人相互认识或许相互不认识．思路点拨结构图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比方 2 个人相互认识就把连结 2 个人的对应点的线段染成红色； 2 个人相互不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有 3 个人相互认识就是存在一个 3 边都是红色的三角形，不然就是存在一个 3 边都是蓝色的三角形，这样此题就化作：已知有 6 个点，任何 3 点不共线，每 2 点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，而且一条边只好染成一种颜色．证明：不论怎么染色，总能够找出三边同色的三角形．注：“数缺形时少直观，形缺乏时难入微”数形相助是一种重要的思想方法，主要表此刻：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)结构函数，借用函数图象商讨方程的解．利用代数法解几何题，常常是以较少的量的字母表示有关的几何量，依据几何图形性质列出代数式或方程 (组 )，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可结构方程，利用一元二次方程必然有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，议论几何图形地点的可能性．有些问题可经过改变形式或换个说法，结构等价命题或协助命题，使问题清楚且易于把握．对于存在性问题，可依据问题要求结构出一个知足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“结构性证明” ．学历训练1．若对于 x 的方程 (1 m 2 )x 2 2mx 10 的全部根都是比 1 小的正实数，则实数 m 的取值范围是．2．已知 a 、 b 、 c 、 d 是四个不一样的有理数，且(a c)( a d) 1 ， (b c)(b d )1 ，那么(a c)(b c) 的值是．3．代数式x 24(12 x)29 的最小值为．4． A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F 六个足球队单循环赛，已知 A 、 B 、 C 、D 、E 五个队已经分别比赛了 5、 4、 3、 2、 1 场，则还未与 B 队比赛的球队是．5．若实数 a 、 b 知足 a 2ab b21 ，且 tab a 2 b 2 ，则 t 的取值范围是．6．设实数分别 s 、 t 分别知足 19s299s 1 0 ， t299t 190 ，而且 st 1 ，求st4s 1 的t值．7．已知实数 a 、 b 、 c 知足 (a c)(a bc) 0 ，求证： (b c) 24a(a bc) ．8．写出 10 个不一样的自然数，使得它们中的每个是这 10 个数和的一个约数，并说明写出的10 个自然数切合题设条件的原因．9．求全部的实数 x ，使得 xx1 1 1 ．xx10．假如不全为零且绝对值都小于6的整数．求证： a 2b 3c110 1021 ．11．已知对于 x 的方程 x 2 2 3x 1 k 有四个不一样的实根，求 k 的取值范围．12．设 0 x ，y ，z 1 0，求证x(1 y)y(1 z) z(1 x) 1 ．13．从自然数 l ， 2， 3， 354 中任取 178 个数，试证：此中必有两个数，它们的差为177． 14．已知 a 、 b 、 c 、 d 、 e 是知足 abc d e 8 ， a 2 b 2 c 2 d 2e 16 的实数，试确立 e 的最大值．15．如图，已知一等腰梯形，其底为 a 和 b ，高为 h ．(1) 在梯形的对称轴上求作点 P ，使从点 P 看两腰的视角为直角；(2) 求点 P 到两底边的距离；(3) 在什么条件下可作出 P 点 ?参照答案。

余老师讲初中数学新颖题

余老师讲初中数学新颖题摘要：1.引言：介绍余老师讲初中数学新颖题的背景和意义2.主体部分：分析余老师讲解的新颖题类型及解题方法a.例题1：题目描述、解题思路及步骤b.例题2：题目描述、解题思路及步骤c.例题3：题目描述、解题思路及步骤3.总结部分：归纳余老师讲解的新颖题解题技巧和策略4.结尾：表达对余老师的感谢和期待更多数学新颖题的分享正文：【引言】在我国教育事业中，教师是传递知识、启迪智慧的火炬手。

他们辛勤耕耘，无私奉献，为学生的成长铺就道路。

其中，余老师便是这样一位优秀的教育工作者。

他擅长讲解初中数学，尤其善于剖析新颖题型，让学生在掌握基础知识的同时，拓展思维，提高解题能力。

本文将分析余老师讲解的新颖题类型及解题方法，以期为广大初中生提供实用的学习参考。

【主体部分】下面，我们将以三个具体的新颖题为例，分析余老师讲解的解题思路。

【例题1】题目：已知一个正方体的侧面积是48平方厘米，求这个正方体的体积。

【解题思路及步骤】1.根据正方体的侧面积公式（S=4a），得到a=√(S/4)=√(48/4)=3厘米；2.根据正方体的体积公式（V=a），得到体积V=3=27立方厘米。

【例题2】题目：一辆自行车行驶10分钟，平均速度为20公里/小时，求行驶的路程。

【解题思路及步骤】1.将时间转换为小时：10分钟÷60=1/6小时；2.利用速度×时间=路程公式，得到路程：20公里/小时× 1/6小时= 10/3公里。

【例题3】题目：一个等差数列的前5项和为35，第5项为11，求该等差数列的通项公式。

【解题思路及步骤】1.根据等差数列前n项和公式（S=n/2 × [2a + (n-1)d]），得到方程：35 = 5/2 × [2a + 4d]；2.根据第5项公式（a = a + 4d），得到方程：11 = a + 4d；3.解方程组，得到a=3，d=2。

因此，通项公式为：a_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1。

余老师讲初中数学新颖题

余老师讲初中数学新颖题
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目录
1.余老师介绍
2.初中数学新颖题的特点
3.余老师讲解的题目示例
4.学生反馈和效果
5.结论
正文
近日，我们有幸邀请到了余老师，一位在数学领域具有丰富教学经验的专家，来为我们讲解初中数学中的新颖题。

余老师首先介绍了自己，他拥有多年的教学经验，对于数学的理解和教学方法有着独到的见解。

他告诉我们，初中数学新颖题的特点在于它们的题目设置灵活，需要学生运用所学的基础知识进行综合运用，同时要求学生具有一定的创新思维能力。

接着，余老师为我们讲解了几道典型的初中数学新颖题。

他以生动的语言，清晰的思路，让我们理解了这些题目的解题思路。

他强调，对于这类题目，学生首先要做的是读懂题意，然后根据题目要求，灵活运用所学的知识点，寻求解题的方法。

对于余老师的讲解，学生们纷纷表示受益匪浅。

他们表示，余老师的讲解让他们明白了，原来数学不仅仅是死板的公式和定理，更是一种灵活的思维方式。

他们也明白了，学习数学不仅要掌握基础知识，更要学会如何运用这些知识。

总的来说，余老师对于初中数学新颖题的讲解，不仅让学生们对于数学有了更深的理解，也让他们明白了学习数学的重要性。

初中数学讲课三十分钟

初中数学讲课三十分钟一、引言数学作为一门学科，对于学生的思维能力和逻辑思维的培养具有重要作用。

而在初中阶段，数学教育更是起到了扎实基础的作用。

本文将以初中数学讲课三十分钟为主题，介绍其中的教学要点和教学方法，旨在帮助初中数学教师更好地进行教学。

二、教学要点1. 数的认识和比较：尽可能多地引入实际生活中的情境，通过比较大小、排序等活动，培养学生对数的感知能力。

2. 四则运算的基本概念：重点讲解加、减、乘、除的概念和运算规则，引导学生进行简单的运算练习，巩固基本的计算能力。

3. 分数的引入和认识：通过实物和图形等形象化的方式，引入分数的概念，让学生理解分数的意义和基本性质。

4. 分数的加减运算：分数的加减运算是初中数学的难点之一，教师应重点讲解通分、约分等基本概念和运算方法，并通过实例演示来让学生掌握技巧。

5. 小数的引入和认识：通过日常生活中的实例，引入小数的概念和意义，让学生理解小数的大小关系和运算规则。

6. 小数的加减运算：与分数类似，教师应重点讲解小数的加减运算方法，引导学生进行练习和应用，巩固所学知识。

7. 平方数和平方根：通过图形和实例，引入平方数和平方根的概念，让学生理解平方数的特点和平方根的意义。

三、教学方法1. 情境教学法：通过创造适合学生认知特点的情境，激发学生的兴趣，提高学习效果。

2. 案例教学法：通过具体的实例，让学生在实践中理解数学知识，培养学生的解决问题的能力。

3. 归纳演绎法：通过给出具体的例子，引导学生总结规律，并由此推导出相应的数学概念和定理。

4. 前后呼应法：在教学过程中，教师应注意前后知识的呼应，使学生能够形成知识体系，提高学习效果。

5. 激励教学法：通过赞扬和鼓励学生的努力和进步，激发学生的学习兴趣和积极性，提高学习效果。

四、教学实施1. 教学准备：教师应提前准备好教案、教具等教学资源，确保教学过程的顺利进行。

2. 教学引导：教师应通过提问、讲解等方式引导学生主动参与，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

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