数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-抛物线

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第8讲抛物线(2)(2014!师。培优竞赛新方法。)

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①∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；又对称轴 x=-��＜0，∴b＜0；而该函数图象与 y 轴交于正半轴，故 c＞0，∴abc＞0，正确； ②当 x=-2 时，y＜0，即 4a-2b+c＜0；正确； ③根据题意得，对称轴-1＜x=- ＜0，∴2a-b＜0，正确；
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∵CD∥y 轴，∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ��， 2 ∴y1= �� =3a，∴点 D 的坐标为（ ��，3a）， ∵DE∥AC，∴点 E 的纵坐标为 3a，∴ �� =3a，∴x=3 ��，∴点 E 的坐标为（3 ��，3a）， ∴DE=3 ��- ��，DE/AB=(3 ��- ��)/ ��=3- ��．故答案为：3- ��． ★3、(2014.湖南株洲)如果函数 y=(a-1)x +3x+ 范围是
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B组 ★★6.(2014.江西抚州) 如图，抛物线 y=ax +2ax（a＜0）位于 x 轴上方的图象记为 F1，它与 x 轴交于 P1、 O 两点，图象 F2 与 F1 关于原点 O 对称，F2 与 x 轴的另一个交点为 P2，将 F1 与 F2 同时沿 x 轴向右平移 P1P2 的长度即可得到 F3 与 F4；再将 F3 与 F4 同时沿 x 轴向右平移 P12P 的长度即可得到 F5 与 F6；…；按这样的方
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【例 3】(1)(2014.江苏省南京市)已知二次函数 y=ax +bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x …… -1 0 1 2 3 …… y …… 10 5 2 1 2 …… 则当 y<5 时，x 的取值范围是 0<x<4 。 ★(2)(山东省聊城市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所的阴影部分的面积为（B） A、2； B、4； C、8； D、16

数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法

配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。

熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。

【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。

（北京市竞赛题）思路点拨设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。

【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。

练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于（天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为。

数学培优竞赛新方法(九年级)-第8讲抛物线

第8讲抛物线知识纵横一般地，我们称函数)0(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，、、为x 的二次函数，其图像为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1、a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；2、抛物线关于a b x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22处取得最值；3、抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式：k h x a y +-=2)(；③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根。

确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。

例题求解【例1】已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则二次函数的解析式为。

（天津市中考题）思路点拨从表格中可获取丰富的信息，用不同方法求该二次函数的解析式。

【例2】二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)1)((≠+>+m b am m b a 。

其中正确的结论有（）A 、1个B 、2个C 、 3个D 、 4个思路点拨由抛物线的位置确定a 、b 、c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理。

【例3】已知二次函数1)1(22+-++=m x m x y 。

（1）随着m 的变化，该二次函数图像的顶点p 是否都在某个抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由。

（2）如果直线1+=x y 经过二次函数1)1(22+-++=m x m x y 图像的顶点p ，求此时m 的值。

【九年级】九年级数学竞赛抛物线讲座

【九年级】九年级数学竞赛抛物线讲座九年级数学竞赛抛物线讲座一般来说，我们称函数（，，常数，）为二次函数，其图像为抛物线。

有关抛物线的知识如下：1．、、的符号决定抛物线的大致位置；2.抛物线是对称的，抛物线的开口方向和大小只与长度有关，抛物线在顶点（，）处获得最大值；3．抛物线的解析式有下列三种形式：① 通式：；②顶点式：；③ 求交公式：，这里是方程的两个实根确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它体现了整体的和谐与平衡之美。

抛物线是一种轴对称图形。

在解决问题时，我们应该积极捕捉并创建对称关系，以便从整体上把握问题。

通过抛物线捕捉对称信息的方法如下：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；（2）对称信息由抛物线的对称轴方程和被该轴切割的抛物线的弦长获得【例题求解】【例1】二次函数的图像如图所示，因此当函数值为时，对应的值范围为思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值．【例2】已知抛物线（<0）通过点（I，1，0）并满足以下结论：①; ②；③；④ . 正确的数字是（）a．1个b．2个c．3个d．4个抛物线的位置大致由条件决定，然后确定、和的符号；从特殊点的坐标中求出等式或不等式；利用根的判别式和根与系数的关系【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，mn＝4分米，抛物线顶点处到边mn的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形abcd，使矩形顶点b、c落在边mn上，a、d落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?如果建立好直角坐标系，很容易得到M、N和抛物线顶点的坐标，从而得到抛物线的解析公式。

设a（，）并建立包含的方程。

矩形铁皮的周长是否等于8分米，取决于计算值是否在所得抛物线解析式中自变量的值范围内注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．[示例4]二次函数的图像在两点a和B处与轴相交（点a位于点B的左侧），在点C处与轴相交，以及∠ ACB=90°(1)求这个二次函数的解析式；（2）设计两种方案：画一条与轴线不重合的直线，并与轴线两侧相交△ ABC，所以切割三角形类似于△ ABC，该地区是△ BOC区域，写出切割三角形三个顶点的坐标（注：设计方案不需要证明）思路点拨(1)a、b、c三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注：要解决函数与几何结合的综合问题，善于求点的坐标，进而求函数的解析式是解决问题的基础；解决问题的关键是充分发挥形式因素，数与形式相互帮助，论证与计算相结合【例5】已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小．其思想是修改函数的解析公式以获得匹配方法，其对称轴为，因为，所以函数的最小值只能在取时达到，所以解决这个例子的关键是分类讨论学历训练1.如图所示，如果抛物线和被四条直线包围的正方形之间有一个公共点，，，的值范围为2．抛物线与轴的正半轴交于a，b两点，与轴交于c点，且线段ab的长为1，△abc的面积为1，则的值为．3.如图所示，抛物线的对称轴是一条直线，与a点和B点的轴相交，与C点的轴相交。

中考数学培优复习第7讲一元二次方程

2019-2020年中考数学培优复习第7讲一元二次方程一：【知识梳理】1. 一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。

它的一般形式是（其中、）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为。

⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．二：【经典考题剖析】1. 分别用公式法和配方法解方程：2. 选择适当的方法解下列方程：（1）；（2）（3）；（4）2(21)3(21)20x x ++++=3. 已知22222()()60a b a b +-+-=，求的值。

初中培优竞赛第7讲一次方程和一次方程组

一. 选择题1.（2、3）（数学、初中数学竞赛、一次方程、选择题）若k为整数，则使得方程k−1999χ=2001−2000χ的解也是整数的k的值有（）A.4个 B. 8个 C.12个 D.16个分析：将方程进行整理得到x=2001k+1，要使解为整数，k+1整除2001即可.又因为2001=1×3×23×29,k+1可取±1，±3，±23，±29,± (3 ×23) ,±(3×29), ±(23× 29), ±2001共 16 个值. 答案：D技巧：先将方程得根用k表示出来，在来讨论它为整数的情况.易错点：容易遗漏可能性.2.（3、4）（数学、初中数学竞赛、浓度问题、一次方程、应用题、选择题）从100升纯酒精中取出1升倒入10升水中，混合均匀后取出1升倒回纯酒精中.若这时酒精含水的比是x，水中含酒精的比是y.则A.x>y⋅B.x=yC.x<yD.x，y大小无法确定分析：易求出x=1101,y=1101,所以x=y⋅答案：B技巧：画图分析或者直接模拟分析，发现这个水和酒精是对等的.易错点：容易陷入水和酒精的误区，导致得出水比究竟多，或水比酒精少的错误结论.3.（3、4）（数学、初中数学竞赛、一元一次方程、选择题）关于x的一元一次方程. 21+6x7−6+21−6x7+6=23的根是( )A.− 2B.− 3C.7D.6分析：先进行分母有理化得到12χ=−123，所以χ=−3.答案：B技巧：分母有理化.易错点：进行有理化时很容易出现化简和计算的错误.4.（江苏省第21届初中数学竞赛题）若x=2n+1+2n,y=2n-1+2n-2,其中n为整数，则x与y的数量关系为（）A.x=4yB.y=4xc.x=12yD.y=12x5.（1998年希望杯竞赛题）某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且超过乙，在第23分钟时甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是()A. 30分钟B.24分钟C.20分钟D.25分钟6.（2006年浙江省竞赛题）要使方程组3x+2y=a2x+3y=2的解是一对异号的数，则a的取值范围是A.4<a<3 B.a<4C.a>3D.a<4或a>37.（2000年全国初中数学竞赛题）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年时，甲25岁，那么()A.甲比乙大5岁B.甲比乙大10岁C.乙比甲大10岁D.乙比甲大5岁8.（全国初中联赛题）若关于x的方程||x−2|−1|=a有三个整数解，则a的值为()A.0B.2C.1D.3二、填空题9.（2、3）（数学、初中数学竞赛、应用题、成本利润问题、一元一次方程、填空题）某种商品的进货价是每件a元，零售价是每件1100元，商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），a= .分析：由题意知：1100×80% −a=10%∙ a解得a=800答案：800技巧：成本+利润=零售价.易错点：注意下计算方面的问题.这是众多学生的一个通病.10. （2、3）（数学、初中数学竞赛、绝对值方程、填空题）若0<x<10，则满足条件|x−3|=a的整数a的值共有个，它们的和是.分析：当0<.x<3时，则有|x−3|=3−x=a,a的值是1，2；当3≤x<10时，则有|x−3|=x−3=a,a的值为0，1，2，3，4，5，6.答案：7,21.技巧：以3分界，进行去绝对值讨论.易错点：去绝对值最容易出错的是符号问题.11.（4、5）（数学、初中数学竞赛、一次方程、无穷多解问题、填空题）If the equation m(x−1)=2001−n x−2for x has i n f i n i t e（无穷、无限）r o o t s, t h e n m2001+n2001=分析：该题的意思是，不论χ取何值，方程均成立，那么就需要将方程进行变形，原方程化为(m+n)x=2001+m+2n，得m=2001,n=−2001.答案：0.技巧：方程有无穷多解，就需要将未知数表示出来，然后令其系数为0即可。

数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-转化与化归

第七讲转化与化归可化为一元二次方程的方程及方程组数学(家)特有的思维方式是什么若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为。

思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。

@【例2】1=的解的情形是（）A 、无解B 、恰有一个解C 、恰有两个解D 、有无穷多个解，思路点拨1=，即231=，通过讨论去掉绝对值符号。

【例3】解下列方程：（1）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+ （河南省竞赛题） :（2）33(1999)(1998)1x x -+-=；（山东省竞赛题）（3）21313()4211x x x x x x --+=++；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）2(1)(35)1444524x x x y x x y ++=⎧⎨++=⎩ （西安市竞赛题）思路点拨：按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从(1999)(1998)1x x -+-=受到启示；对于（3），设131x y x -=+，则可导出x y +、xy 的结果；对于（4），视2x x +，35x y +为整体，可得到2()(35)x x x y +++、2()(35)x x x y ++的值。

【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全)

初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P２－--－７）第２讲二次根式的化简与求值(P7----１2)第3讲一元二次方程的解法(P13----１6)第4讲根的判别式及根与系数的关系（P1６----２２)第5讲一元二次方程的应用（Ｐ23-－－-26)第6讲一元二次方程的整数根(Ｐ27----3０)第7讲旋转和旋转变换(一）(P30--－-38)第8讲旋转和旋转变换(二）(Ｐ38--－-46）第9讲圆的基本性质（P47－－-－5１)第1０讲圆心角和圆周角(P52-－-－61)第11讲直线与圆的位置关系(P６２－-－-６9）第12讲圆内等积证明及变换（(P70-－--７６）第１3讲弧长和扇形面积(P76--－－78)第14讲概率初步(P78--－-85)第15讲二次函数的图像和性质(P85--－-91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P９2--－-9８) 第17讲二次函数的应用(P99-－-－1０8)第1８讲相似三角形的性质(P109-－--１17)第1９讲相似三角形的判定(P118－--－-１２4)第20讲相似三角形的综合应用(P12４--－--130)每天进步一点点!坚持就是胜利!第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析; ２.掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件,求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例1】 (荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ )A.Ｂ【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. Ｂ中含分母，C 、D 含开方数４、9,故选A ．【变式题组】１.⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是( ）Ａ.ＢA.①,②ﻩB.③,④ﻩC.①，③D.①,④【例2】(黔东南)方程480x -=,当y >0时，m 的取值范围是（ )A.0＜ｍ＜1 B ．m ≥２ﻩ C ．m ＜2 ﻩD.m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题,隐含两个代数式均为０的结论．由题意得4x －8＝0,x －ｙ－m =0.化为y =2－ｍ,则２-m >０,故选C.【变式题组】２．（宁波）若实数ｘ、y 2(0y -=，则xy 的值是_＿_＿_＿___＿.3.（荆门)2()x y =+,则x －y 的值为( )A ．- 1ﻩB ．1ﻩC ．２ ﻩD ．34．(鄂州)使代数式4x -有意义的x 的取值范围是( ） A ．x >3 Ｂ.ｘ≥3ﻩﻩＣ.ｘ>4 ﻩD.ｘ≥３且x ≠４５．(怀化)22(4)0a c --=,则ａ－b －c =＿__＿＿__＿.【例3是同类二次根式的是( )B C ﻩ【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式,再看被开方数是否一样. A=; B不能化简；=D=,=故本题应选Ｄ．【变式题组】６.,则ａ＝_____＿__. 7.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）CＤ8．已知最简二次根式ba ＝＿_____＿，b =__＿___. 【例４】下列计算正确的是（ )=4=ﻩC= D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜;③0,0)a b =≥≥;0,0)b a =≥＞进行化简计算,并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并．D. 2(111+=-=-．故本题应选C.【变式题组】９. （聊城）下列计算正确的是( )Ａ．= Ｂ=C3=ﻩ3=-10.计算：200720074)(4⋅=_＿_＿_____＿_＿_ 11．22-=___＿____＿____１2．(济宁)已知a 为实数,( ） A.a B.－a ﻩ C.－1 D ．０ 1３．已知a ＞b ＞０，a ＋b ＝的值为( ）A.2B.２ﻩCﻩD ．12【例５】已知ｘy ＞0，化简二次根式的正确结果为（）ＡＢﻩ C ．ﻩ D ．【解法指导】先要判断出y ＜0,再根据ｘy >0知ｘ＜０. 故原式= D. 【变式题组】１4.已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --___＿___．15.===，算果中找出规律,并利用这一规律计算:1)2006++⋅=＿____＿＿__.16．已知，则0＜ｘ＜１,=_＿__＿____．【例6】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++,其中12a =，12b =.⑵已知x =，y =值为_____＿__．【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值,再代入求值．【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝１，ａ＋ｂ⑵由题意得:xy ＝1，x ＋y =1０, 原式10199=-. 【变式题组】17.(威海)先化简,再求值：(a +b )2＋（a －ｂ)（２a+b ）－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石)已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________．【例7】已知实数x 、ｙ满足(2008x y =，则3x 2－2y ２＋3x -3y -2０07的值为( )Ａ.－200８ﻩﻩＢ．2００8C.－１ﻩﻩＤ．１【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形,找出a 、b 的关系,再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得ｘ2=200８,所以３ｘ２－2y 2＋3ｘ-３ｙ-2０07＝3x ２－2x 2＋3x －３x -2０0７=ｘ2－2007=１,故选D ．【变式题组】１9.若a >0,ｂ＞0=的值.演练巩固·反馈提高０1．若4m =,则估计ｍ的值所在的范围是（ )A ．１＜m ＜2B ．2＜m <3ﻩC ．3＜m <4 ﻩD ．4＜m <５02．(绵阳)ｎ的最大值为( )A ．1２ ﻩＢ.11C.8 ﻩD ．3０3．(黄石)下列根式中,不是．．最简二次根式的是（ )A.０４.（贺州)下列根式中，不是最简二次根式的是( ）A.C 05.下列二次根式中,是最简二次根式的是（ )Ａ．C06.(常德）设ａ＝２0，ｂ=(-3)2， c =11()2d -=, 则a 、ｂ、ｃ、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ )Ａ．ｃ<ａ<d ＜b ﻩ B.b ＜ｄ＜ａ＜c ﻩﻩC.a ＜ｃ＜ｄ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是( ）Ａ+=ﻩ B =Ｃ．21)31=-ﻩﻩ 53=-08.如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内,化简的结果为( ）A ．Ｃ.ﻩD ．09.（徐州)2x -化简的结果为2x －3，则ｘ的取值范围是( )Ａ.x ≤１ ﻩB ．x ≥２ﻩ C ．１≤x ≤2ﻩ D.ｘ>010.(怀化)函数y =中自变量的取值范围是____＿_＿_.11.(湘西)对于任意不相等的两个数ａ，b ，定义一种运算ａ※b =那么12※４＝_＿____＿_.12．(荆州）先化简，再求值:22321121a a a a a a -+÷-+-,其中a =13．（广州）先化简,再求值:((6)a a a a --,其中12a =. 培优升级01.(凉山州）已知一个正数的平方根是3x －２和５x +6，则这个数是___＿＿_＿_．02．已知ａ、b 是正整数，且满足是整数,则这样的有序数对(a ,ｂ）共有_＿__＿___对.03．（全国）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-＿_＿＿___＿． 04．(全国）设x =a 是ｘ的小数部分,b 是x 的小数部，则a 3＋b 3+3a ｂ＝____＿＿__.０５.(重庆)已知2y =,则x 2+y ２=________.0６.(全国）已知1a =,a =2a =,那么ａ、b 、c 的大小关系是（ )Ａ.a ＜b ＜c ﻩﻩＢ.b <ａ<c ﻩﻩC.ｃ<b <a ﻩ D ．c ＜a ＜b07．（武汉)已知y =(ｘ,ｙ均为实数),则ｙ的最大值与最小值的差为( )A 3ﻩB ．3ﻩ3ﻩ D０８．(全国)已知非零实数a 、ｂ满足24242a b a -+++=，则ａ＋b 等于( ) A ．-1ﻩ B.0ﻩﻩC ．1Ｄ．20９．(全国) )Ａ．5-ﻩB ．1ﻩﻩC.5ﻩﻩD ．１10.已知0(0,0)x y x y -=>>的值为( ）A.13ﻩﻩB ．12 ﻩC. 23ﻩ D ．3411.已知152a b c +-=-,求a ＋b +c 的值．1２.已知9+9a 和b ,求ａb －3ａ+4b ＋8的值.第2讲二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2.会进行二次根式的有理化计算,会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例1】(河北)2=的值等于＿__＿＿＿_＿_＿【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得,124x x ++=，12x x+= ,两边同乘以x 得,212x x += ，∵2315x x x ++=,29111x x x ++=,∴原式511-1．若14a a +=(0<ａ＜1）,=_____＿＿_ 2=-( ) A ．1a a -ﻩ B ．1a a -ﻩﻩC ．1a a+ﻩﻩD ．不能确定【例２】（全国）满足等式=20０3的正整数对(x ,y ）的个数是（）A ．1ﻩ ﻩＢ.2ﻩﻩ Ｃ.３ D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形,将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>,0=，则xy =2０03,且20０３是质数，∴正整数对（x ,y )的个数有2对，应选Ｂ. 【变式题组】3．若a >0，b >0=的值.【例3】(四川)1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x -2,x 2－4ｘ为整体,=移项用含a 的代数式表示x －2,ｘ２-４x ，注意0<a ＜1的制约.解：平方得,12x a a =++,∴12x a a -=+,2221442x x a a -+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式=(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--4．（武汉)已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5.(五羊杯)已知1m =+1n =-且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则ａ的值等于( ) A .-５ﻩB .5ﻩ ﻩC .-9ﻩD .9【例４】(全国）如图，点Ａ、C都在函数0)y x =>的图像上,点Ｂ、Ｄ都在x 轴上，且使得△OAB 、△ＢC Ｄ都是等边三角形,则点Ｄ的坐标为＿___＿＿__.【解法指导】解:如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设ＯE=ａ,BF=b ，则，CFb ，所以,点Ａ、C 的坐标为（aa ）、（2ａ＋b）,所以2(2)a b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6．(邵阳）阅读下列材料,然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=; (一) 36333232=⨯⨯=；（二) ()()()131313132132-=-+-⨯=+; （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； (四）(1)请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=__＿__＿________＿___________＿__；（要有简化过程）②参照(四）试得:352+=_＿_＿＿_＿____________＿________＿；（要有简化过程)(2)2n +++【例5】（五羊杯)设a 、b 、c 、d 为正实数,a <ｂ,c <d ，ｂc ＞ad ，，，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么ａ、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图,作长方形AB ＣD ，使AB ＝b －a ，ＡD ＝c ，延长DA 至E ，使DE =d ，延长D Ｃ至F ,使D Ｆ=ｂ，连结EF 、ＦB 、EB ，则ＢＦＥF=,BE ＝,从而知△BEF 就是题设的三角形,而Ｓ△ＢEＦ=S 长方形ABCD ＋S △ＢＣF＋S △ＡBE －S △DEF =(b -a )c +12（d -c ）(b -ａ)－12bd =12（bc -a ｄ)【变式题组】7.（北京)已知ａ、b 均为正数，且ａ+ｂ＝2,求U演练巩固·反馈提高01.已知x =,y =值为___＿＿_____ ０２．设1a =-,则32312612a a a +--＝（ )A.ﻩ２4ﻩB .25ﻩﻩC．10ﻩﻩＤ.1203．(天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=____＿___＿_0４.(北京)若有理数x 、y 、z 1()2x y z =++,则2()x yz -=___＿______０５.(北京)正数m、n 满足430m n +-=,=＿_＿_______06.(河南）若1x =,则32(2(15x x x -++的值是( ）A .２ ﻩB ．４ﻩﻩC ．6ﻩﻩﻩD ．807.已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是( ） A ．199９ﻩＢ．2０00 C .２001 ﻩ D ．2002０8.设a =b =c =则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ) A .a ＜b <c ﻩﻩB ．c <b <ａ ﻩＣ．ｃ<a ＜bﻩＤ．ａ＜c ＜ｂ０9．已知1x =培优升级0１．（信利）已知1x =+那么2111242x x x +-=+--___＿_____＿02.5=,=___＿＿_____03.（江苏)已知(2002x y =,则2234x xy y --6658x y --+=__＿＿______0４．(7x =,则ｘ＝＿__＿______０５.已知x =，y =,那么22y x x y +=_____＿____０６．（武汉)如果a b +=，a b -=,3333b c b c +=-,那么333a b c -的值为（ )A .ﻩＢ．2001ﻩﻩﻩC .1 ﻩﻩD .00７.(绍兴）当12x +=时,代数式32003(420052001)x x --的值是( ) Ａ．0ﻩ ﻩ B ．－1 ﻩＣ.１ﻩﻩ D ．20032-08.（全国）设ａ、b 、c 为有理数,且等式a +=,则29991001a b c ++的值是（ )Ａ．1９９９ﻩ B .2000 ﻩ C ．2００１ﻩﻩ D ．不能确定09．计算:（(24947++（10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<,化简代数式11()(1)a b a b---,将结果表示成不含b 的形式.11.已知21(0)a x aa +=>,化简１２．已知自然数x 、y 、z 0=，求ｘ＋y +z 的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1.掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

初三培优竞赛试题及答案

初三培优竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac的描述，正确的是（）。

A. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根B. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根C. 当Δ<0时，方程没有实数根D. 以上说法均正确答案：D2. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：A3. 已知函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，2）和（-1，0），则k和b的值分别是（）。

A. k=1，b=1B. k=-1，b=1C. k=1，b=-1D. k=-1，b=-1答案：B4. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，那么这个三角形的周长是（）。

A. 14B. 16C. 18D. 205. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，那么△ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B6. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是（）。

A. 5B. 6C. 7D. 87. 一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1或-1答案：D8. 已知一个等差数列的首项为a₁，公差为d，那么这个数列的第n项可以表示为（）。

A. a₁+(n-1)dB. a₁-(n-1)dC. a₁+ndD. a₁-nd答案：A9. 已知一个二次函数的顶点坐标为（2，3），且经过点（1，1），那么这个二次函数的解析式是（）。

A. y=(x-2)²+3B. y=(x-2)²-3C. y=(x-1)²+3D. y=(x-1)²-3答案：A10. 一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1）和（2，-3），那么这个二次函数的解析式为：________。

初三抛物线经典例题讲解

初三抛物线经典例题讲解抛物线，听起来就像是某种高大上的东西，对吧？但其实你一学就明白，嘿！它其实就像你打篮球时投篮的轨迹，或者是你丢石子水里的涟漪那样，都是抛物线的一部分。

今天就来聊聊初三那经典的抛物线题目，你会发现，它其实没你想象的那么复杂，甚至比你想象的要有趣得多。

你别看它一开始那么让人头疼，真正理解了之后，你会发现抛物线其实就像是解谜一样，让人上瘾。

好了，咱们直接开始，带你深入了解抛物线的世界。

你们学过数学，应该知道有个公式叫做y = ax² + bx + c吧？这个公式就是抛物线的“身份证”。

说白了，只要你能看懂这个公式，你就能搞定抛物线题目了。

那它到底是啥意思呢？嗯，简单来说，抛物线就是一个图形，它有个尖尖的底部，像是个倒过来的“U”字。

至于a、b、c，它们分别控制着抛物线的开口方向、宽度以及位置。

你可以想象它们就是调皮的小精灵，想怎么跳就怎么跳，随便控制抛物线的各种“表情”。

抛物线的题目会问到它的顶点在哪。

这个问题听起来有点吓人，但其实它并不难。

顶点就是抛物线的最高点或者最低点，具体看开口朝上还是朝下。

别担心，你只需要用公式顶点的坐标公式，就能轻松算出来。

公式是：x = b/2a。

嘿！记住了这个公式，计算起来就像是吃饭一样简单。

找到了x之后，代入原方程就能得到y坐标，完事儿！题目还会问抛物线与x轴的交点在哪？这个就稍微麻烦点，得用到求解二次方程。

不过别怕，求根公式就是你最好的朋友，能帮你轻松搞定。

再说说抛物线与实际生活的关系吧。

你有没有在夏天的时候，看到某个人把水泼出去，看它划出一条优美的弧线？对了！那就是抛物线的真实写照。

投篮也是一样，篮球离开手的瞬间，飞行的轨迹也是抛物线。

很多体育动作，比如羽毛球、跳远、甚至你跳水时，你的身体轨迹都可以用抛物线来描述。

所以说，抛物线并不是只有数学题里才有，它活跃在你我生活的方方面面。

嘿，说到这里，你是不是也对这个数学小家伙感兴趣了？不过说实话，有些同学学抛物线的时候，常常会觉得头大，弄不清楚它究竟是啥。

九年级数学培优2015年抛物线篇

九年级数学培优（150303）
第一题：如图，抛物线()022
32≠--=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标
为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的
最大值，并求出此时M 点的坐标．
第二题：
在平面直角坐标系xoy 中，抛物线()0222≠--=m mx mx y 与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；
（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．
、B点重合），过点P作x轴的垂线交。

九年级数学下结识抛物线课件北师大版

合作交流
Y
10 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X
Y 10 8
Y 10
8
6 4 2
6 4
2 -4 -3 -2
-1
0
1
2
3
4
X
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
列表描点连线
y 10 8 6 4 2 1
y = x2
-4
-3
-2
-1
0 -2
1
2
3
4
x
合作交流，探究新知 1．认识抛物线问题1：你能描述y=x2的图象的形状吗？
-6 -8 -10
（3)当x取什么值时,y的值最小? 最小值是什么？你是如何知道的？
y=-x2
（4)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
（5)当x<0时,随着x的值增大,
y 的值如何变化？当x>0呢?
增减性
合作交流，探究新知
y o
x
抛物线y= -x2 的性质
y随x的增 y=-x2
向下当x＝0， y最大＝0 大而增大
y随x的增
大而减小
左增
右减
联系
二者关于x轴对称.
变式训练，巩固提高
1．在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25) 对称的点的坐标是（ 5，25 ）． 2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y= -x2上，且x1 ＞ x2＞0，则y1_ _y2 . 3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（ C ）

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E，它们关于 y 轴对称，点 G，B 在 y 轴左侧，BA⊥OG 于点 A，BC⊥OD 于点 C，四边形 OABC 与四边形
ODEF 的面积分别为 6 和 10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为
。
5.在平面直角坐标系中，将抛物线 y x2 2x 3 绕着它与 y 轴的交点旋转180 ，所得抛物线的解析
2
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例 5.某学生为了描点作出函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像，取自变量的 7 个值：x1 x2 ... x7 ，
且 x2 x1 x3 x2 ... x7 x6 ，分别算出对应的 y 的值，列表如下：
x
y
x1
51
x2
107
x3
185
x4
285
例 1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：
x
...
3
-1
1 0
2
2
1
1
2
y
...
5
-2
9
-2
5
0
4
4
4
3
...
2
7
...
4
则二次函数的解析式为
。（天津市中考题）
思路点拨从表格中可获取丰富的信息，用不同方法求该二次函数的解析式。
例 2.二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示，现有以下结论：① abc 0 ；②
b a c ；③ 4a 2b c 0 ；④ 2c 3b ；⑤ a b m(am b)(m 1) 。其中
正确的结论有（）
A、1 个
B、2 个
C、 3 个
D、 4 个
思路点拨由抛物线的位置确定 a 、b 、c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解
并能综合推理。
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九年级数学培优竞赛辅导讲座
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第 7 讲抛物线
知识纵横
一般地，我们称函数 y ax2 bx c(a、b、c为常数，a 0) 为 x 的二次函数，其图像为一条
抛物线，与抛物线相关的知识有：
1、 a 、 b 、 c 的符号决定抛物线的大致位置； 2、抛物线关于 x b 对称，抛物线开口方向、开口大小仅与 a 相关，抛物线在顶点
x5
407
x6
549
x7
717
但由于粗心算错了其中一个 y 值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由。（“宇振杯”上海市竞赛题）
分析设 x2 x1 x3 x2 ... x7 x6 d ，且 xi 对应的函数值为 yi ，计算
△ k yk1 yk 的值，并由此导出△ k1 △ k 为一常数，这是解本题的关键。
y 2x2 4x 5 ，则原抛物线的顶点坐标是
。
2.已知二次函数 y (x 2a)2 (a 1)(a 为常数），当 a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。
如图分别是当 a 1, a 0, a 1, a 2 时二次函数的图像，它们的顶点在一条直线上，这条直线的解
析式是 y
。
3.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) ，其中 a 、 b 、 c 满足 a b c 0 和 9a 3b c 0 ，则该
二次函数图像的对称轴是直线
。
4.如图，抛物线 y=ax2+c（a＜0）交 x 轴于点 G，F，交 y 轴于点 D，在 x 轴上方的抛物线上有两点 B，
式是（
）。
A、 y (x 1)2 2
B、 y (x 1)2 4
C、 y (x 1)2 2
D、 y (x 1)2 4
6.如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与 y 轴交于
（0，2）点，且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2 ＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac．其中
D、4 个
能力拓展
7.不论 m 取任何实数，抛物线 y x2 2mx m2 m 1 的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析
式为
。（太原市竞赛题）
8.二次函数 y x2 bx c 的图像顶点为 D，与 x 轴正方向从左至右依次交于 A、B 两点，与 y 轴正方
4
（全国初中数学竞赛题）
综合创新
16.已知 m 、n 、 p 为正整数，m n ，设 A(m,0), B(n,0),C(0, p),O 为坐标原点。若∠ ACB 90 且 OA2 OB2 OC 2 3(OA OB OC) ，求图像经过 A、B、C 三点的二次函数的解析式。（2011
年全国初中数学联赛题）
交点从左到右依次为 D、E。
①当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值。 ②在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求此时 m 的
值；若不存在，请说明理由。（江西省中考题）
3
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学力训练
基础夯实
1. 将抛物线 y ax2 bx c(a 0) 向下平移 3 个单位，再向左平移 4 个单位得到抛物线
2
5
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15.如图，已知点 M、N 的坐标分别为（0，1）、（1，-1），点 P 是抛物线 y 1 x2 上的一个动点。 4
（1）判断以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 y 1的位置关系；（2）设直线ＰＭ与抛物线 y 1 x2 的另一个交点为Ｑ，连接 NP、ＮＱ，求证：∠ PNM ∠ QNM
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
处取得最值；
3、抛物线的解析式有下列三种形式：
一般式： y ax2 bx c ；
顶点式： y a(x h)2 k ；
交点式： y a(x x1)(x x2 ) ，这里 x1 、 x2 是方程 ax2 bx c 0 的两个实根。确定抛物线的解
析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。例题求解
例 6.将抛物线 c1 : y1 3x2 3 沿 x 轴翻折，得抛物线 c2 ，如图所示。
（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式。
（2）现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 M ，与 x 轴的交点从左
到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与 x 轴
（浙江省竞赛题）
思路点拨对于（1），原二次函数图像的顶点 p 的坐标含参数 m ，消去 m 或对 m 赋值求出 p 点所
在抛物线的解析式。
例 4.如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 顶点为（1、1），且过原点 o 。过抛物线上一点 p(x, y) 向直线 y 5 作垂线，垂足为 M ，连接 FM 。
4 （1）在直线 x 1 上有一点 F (1, 3) ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此
4 时△ PFM 为正三角形；（2）对抛物线上任意点 P ，是否存在点 N (1, t) ，使得 PM PN 恒成立？请说明理由。
（黄冈市中考题）
思路点拨对于（1），通过计算证明 PF PM ；对于（2），由（1）知 F 为可能满足条件的点之一，再观察抛物线上的特殊点（顶点）便知是唯一点，以此猜想 F 就是所求的 N 点，通过数式计算证明 PF PM 。
例 3.已知二次函数 y x2 2(m 1)x m 1 。（1）随着 m 的变化，该二次函数图像的顶点 p 是否都在某个抛物线上？如果是，请求出该抛物线的
函数表达式；如果不是，请说明理由。
（2）如果直线 y x 1经过二次函数 y x2 2(m 1)x m 1 图像的顶点 p ，求此时 m 的值。
向交于 C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形，O 为坐标原点，则 b 2c
.
(2011 年全国初中数学联赛题）
4
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9. 若关于 x 的函数 y (a 3)x2 (4a 1)x 4a 的图像与坐标轴有两个交点，则 a 的值
为
。（天津市竞赛题）
10.已知正△AOB 的三个顶点都在抛物线 y 1 x2 上，其中 O 为坐标原点，则正△AOB 的面积为 2
（
）（2011 年《数学周报》杯全国初中数学竞赛）
A、 4 3
B 、12 3
C 、6 3
D 、24
11.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和点（-1,0），则
6
A、 2b 5
B 、 b2 5
C 、2002
D、5
a
4a
13.已知二次函数 y ax2 4ax 4a 1 的图像是 C1 .
（太原市竞赛题）
（1）求 C1 关于点 R(1,0) 中心对称的图像 C2 的函数解析式；
（2）设曲线 C1 、 C2 与 y 轴的交点分别为 A、B 当 AB 18 时，求 a 的值。
s a b c 的值的变化范围是（
A 、0 s 1
B 、0 s2
）。（荆州市竞赛题）
C 、1 s 2
D、 1 s 1
12.已知 A(x1,2001), B(x2 ,2002) 是二次函数 y ax2 bx 5(a 0) 的图像上两点，则当 x x1 x2
时，二次函数的值是（
）（绍兴市竞赛题）