初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题02 从求根公式谈起_答案[精品]

专题02 从求根公式谈起

例1 －3或2

例2 C 提示：当2x －1≥0时，即≤－1或≥1时，原方程化为2x －（4－32）＋7－34－9＝0，解得1x ＝4－33，2x ＝3，均符合；当2x －1＜0时，即－1＜＜1时，原方程可化为2x ＋（4－32）＋7－34＝0，解得3x ＝3－2，满足题意． 例3 1991

例4 ①当m ＝1时，解得＝2． ②当m ≠1时，2b －4ac ＝12m －11．

当m ＞1211

时，2,1x ＝()

12111221--±-m m m ；

当m ＝

1211时，＝5；当m ＜12

11

时，原方程无实根． 例 5 为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①、②、③、④，设方程①和方程②的公共根为α，则

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.

0,

012

2

c b a αααα两式相减，得b a c --=1α．同理可得，方程③和方程④的公共根为1--=c b a β．∴αβ＝1．注意到方程①的两根之积为1，则β也是方程①的根，从而12++αββ＝0．又∵a ++ββ2

＝0，两式相减，得（a －1）β＝a －1．若a ＝1，则方程①无实根，这与方程①有根有矛盾，∴a ≠1．∴β＝1，α＝1．于是a ＝－2，b ＋c ＝－1．又∵a －b ＋c ＝3，∴b ＝－3，c ＝2．

例6 解法一：∵1＋（a ＋17）＋（38－a ）－56＝0，∴＝1为原方程的一个根，从而原方程可化为（－1）()[]

56182

+++x a x ＝0．①∵为正整数，∴方程2x ＋（a ＋18）＋56＝0的判别式Δ＝()2

18+a －224

必为完全平方数．设()2

18+a －224＝2m （m 为非负整数），则()2

18+a －224＝224，即（a ＋m ＋18）（a

－m ＋18）＝224＝112×2＝56×4＝28×8．又∵a ＋m ＋18与a －m ＋18具有相同的奇偶性，且a ＋m ＋18＞

a －m ＋18，a ＋m ＋18＞18，∴⎩⎨

⎧=+-=++218,11218m a m a 或⎩⎨⎧=+-=++418,5618m a m a 或⎩⎨⎧=+-=++818,2818m a m a 解得⎩⎨⎧==55

,

39m a 或

⎩⎨⎧==26,12m a 或⎩⎨⎧==.10,0m a 又a 为正整数，∴⎩⎨⎧==55,39m a 或⎩

⎨⎧==26,

12m a ．当a ＝39时，方程①的根为－1和－56；当a ＝12时，方程①的根为－2和－28．综上所述，当a ＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a ＝

12时，原方程的三个根为1，－2和－28．

解法二：原方程可化为（2

x －）a ＝56－38－172

x －3

x ②，显然≠0．当＝1时，②式恒成立．当≠1时，

方程②可化为a ＝x x x x x ----232173856＝－－18－x 56．∵a 为正整数，∴－－18－x 56＞0，∴＋18＋

x

56＜0．显然＜0，∴2

x ＋18＋56＞0，解得＜－35－9或35－9＜＜0．又为整数，且|56，∴可取－56，

－28，－2，－1．由韦达定理知（－56）×（－1）＝（－28）×（－2），若－56和－1为方程②的两个

根，则－（a ＋18）＝－56－1，即a ＝39；若－28和－2为方程②的两个根，则－（a ＋18）＝－28－2，即a ＝12．综上所述，当a ＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a ＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28． A 级

1.()2

p x -＝q ＋7 2．2 3．

1994

1

4．1x ＝2x ＝－1，4,3x ＝－3±52 5．C 6．B 7．C 8．D 9．1998 10.m ＝

219 提示：由已知得a ＋a

1

＝－4． 11.假设存在符合条件的实数m ，且设这两个方程的公共实根为a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++②，

①，

020222

m a a ma a ①－②得（m －

2）（a －1）＝0，∴m ＝2或a ＝1．当m ＝2时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故m ＝2舍去；当a ＝1时，代入①得m ＝－3，可求得公共根为＝1．

12.当＝4或＝8，分别求得＝1或＝－2．当≠4且≠8时，原方程可化为()[]84--x k ()[]48--x k ＝0，∴1x ＝

k -48，2x ＝k

-84

．∵为整数，且1x ，2x 均为整数，∴4－＝±1，±2，±4，±8且8－＝±1，±2，±4，∴＝6，12．故＝4，6，8，12时，原方程的根为整数． B 级

1．4 2．－1

3.－3 提示：代入根得（7＋2a ＋b ）＋（－4－a ）3＝0．

4.C 提示：由题给方程2x －3＝2[]x ．又∵[]x ≤，则2x －3≤2，∴2x －2－3≤0，则－1≤≤3，∴[]x 只可能取值为－1，0，1，2，3．分别代入原方程解得＝－1，7，3，故原方程共有三个解． 5．D 6．C 7．D 8．D

9．5 提示：由＝4－3，得2

x －8＋13＝0．

10.当2－1＞0即＞21时，原方程化为2

x －2－3＝0，解得1x ＝3，2x ＝－1（舍去）；当2－1＝0即＝2

1时，2

x －4＝

41－4≠0，舍去；当2－1＜0即＜2

1时，原方程化为2

x ＋2－5＝0，解得1x ＝－1－6，2x ＝－1＋6＞2

1

（舍去），故所有根之和为3＋（－1－6）＝2－6．