初中数学竞赛辅导讲义：从创新构造入手

初中数学竞赛辅导讲义:从创新构造入手

有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解．

所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有:

1．构造方程；

2．构造函数；

3．构造图形；

4．对于存在性问题，构造实例；

5．对于错误的命题，构造反例；

6．构造等价命题等．

【例题求解】

【例1】 设1a 、2a 、1b 、2b 都为实数，21a a ≠，满足))(())((22122111b a b a b a b a ++=++，求证:1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a ．

思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a 、2a 可看作方程1))((21=++b x b x 的两根，则))((1))((2121a x a x b x b x --=-++，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．

注:一般说来，构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．

【例2】 求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值．

思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值． 222222)30()2()10()1(13422-+-+-++=+-+++x x x x x x ，

于是问题转化为:在x 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．

【例3】 已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．

思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出b 、c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由

于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令c bx x y ++=25，从讨论抛物线与x 轴交点在1-与0之间所满足的约束条件入手．

【例4】 如图，在矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，问:能否在Ab 边上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E 点有几个?若不能找到，请说明理由．

思路点拨 假设在AB 边上存在点E ，使Rt △ADE ∽Rt △BEC ∽Rt △ECD ，又设AE=x ，则BC BE AE AD =，即a

x b x a -=，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．

【例5】 试证:世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．

思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作:

已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明:不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．

注:“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在:

(1)几何问题代数化；

(2)利用图形图表解代数问题；

(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．

利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．

特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．

有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握． 对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．

学历训练

1．若关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是 ．

2．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且1))((=++d a c a ，1))((=++d b c b ，那么))((c b c a ++的值是 ．

3．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为 ．

4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是 ．

5．若实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的取值范围是 ．

6．设实数分别s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st ，求

t s st 14++的值． 7．已知实数a 、b 、c 满足0))((<+++c b a c a ，求证:)(4)(2c b a a c b ++>-．

8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．

9．求所有的实数x ，使得x x x x 111-+-= ．

10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证:2110132>

++c b a ．

11．已知关于x 的方程k x x =+-1322有四个不同的实根，求k 的取值范围．

12．设10<

13．从自然数l ，2，3，…354中任取178个数，试证:其中必有两个数，它们的差为177．

14．已知a 、b 、c 、d 、e 是满足8=++++e d c b a ，162222=++++e d c b a 的实数，试确定e 的最大值．

15．如图，已知一等腰梯形，其底为a 和b ，高为h ．

(1)在梯形的对称轴上求作点P ，使从点P 看两腰的视角为直角；

(2)求点P 到两底边的距离；

(3)在什么条件下可作出P 点?