初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第8讲 由常量数学到变量数学

第八讲由常量数学到变量数学

数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．

函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．

在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．

【例题求解】

【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．

思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程．

注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：

(1)利用几何计算求；

(2)通过解析式求；

(3)解由解析式联立的方程组求．

【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，

继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的

函数关系，大致是下列图象中的()

思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0

h．

注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．

【例3】南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：

千米．

(1)如果用W l、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出W l、W2、W3与小x间的函数关系式．

(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?

思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由W l—W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．

【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(23，8)．

(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；

(2)写出A、B两点的坐标；

(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F 关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

思路点拨(1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P 与F只可能关于直线DC对称．

注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．

【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．

(1)当AP ＝3cm 时，求的值；

(2)设AP=cm 时，求y 与x 的函数关系式；

(3)当y=2cm 2，试确定点P 的位置．(2001年天津市中考题) 思路点拨 对于(2)，由于点P 的位置不同，y 与x 之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x 值．

注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：

(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；

(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．

学力训练

1． 如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB ＝90°，有直角三角形与

Rt △ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 ． 2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)．

3．根据指令[S ，A](S ≥0，0°

4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 的坐标为(一2，0)，点B 在x 轴上方，设AB ＝a ，那么点B 的横坐标为( ) A ．2

2a -

B ．2

2a +

C ．2

2a -

- D ．2

2a +

-

5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸

爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( ) A ．爸爸登山时，小军已走了50米

B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面

C ．小军比爸爸晚到山顶

D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快 6．若函数m

x x

y

++=21

2

的自变量x 的取值范围为一切实数，则m 的取值范围是( )

A ．m

B ．m=1

C ． m>l

D ．m ≤1

7．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)． 8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题： （1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出

y

与n (n 表示第n 个图形)的函数关系式；

(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； (3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖? (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?

9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数的点)．

10．如图，已知边长为l 的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标是 ．

11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为 ．

12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )

A ．1个

B ．2个

C ． 3个

D ．4个

13．已知点P 的坐标是(

a

+2l ，b +2)，这里a 、b 是有理数，PA 、PB 分别是点P 到x 轴

和y 轴的垂线段，且矩形OAPB 的面积为

2

，则P 点可能出现的象限有（ ）