(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值

第23讲 几何定值

知识纵横

几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：

分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。

例题求解

【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，

BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的

面积的

3

1

. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的

3

1．

（广东省中考题）

思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ∆∆=3

1

，只需证明OCF OAG ∆≅∆；对于（2），类比（1）的证明方法证明。

【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；

（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；

（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

（沈阳市中考题）

思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若︒=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。

【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．

（第18届加拿大数学竞赛题）

思路点拨 不管ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT ∠的度数都是定制，从探寻SPM ∠与

SOT ∠的关系入手。

【例4】如图，扇形OAB 的半径3=OA ，圆心角︒=∠90AOB ，点C 是弧AB 上异于B A ,的动点，过点C 作OA CD ⊥于点D ，作OB CE ⊥于点E ，连接DE ，点H G ,在线段DE 上，且HE GH DG ==.

（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；

（2）当点C 在弧AB 上运动时，在DG CG CD ,,中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度； （3）求证：2

2

3CH CD +是定值．

（广州市中考题）

思路点拨 对于（3），设法把CH 用CD 的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。

【例5】 如图，已知等边ABC ∆内接于圆，在劣弧AB 上取异于B A 、的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与

AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选

择无关．

（湖北省竞赛题）

思路点拨 即要证BN AK ⋅是一个定值，在图形中ABC ∆的边长是一个定值，说明

BN AK ⋅与AB 有关，从图知AB 为ABM ∆与ANB ∆的公共边，作一个大胆的猜想，

2AB BN AK =⋅，从而我们的证明目标更加明确．

以退为进

【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于B A ,两点，交y 轴于D C ,两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为

()8,0,2=-AE ．

（1）求点C 的坐标；

（2）连接BC MG ,，求证：BC MG ∥；

（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PF

OF

的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．

（深圳市中考题）

学力训练

基础夯实

1. 阅读下列材料，然后解答问题．

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．

如图，已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为1S ，正四边形ABCD 的面积为2S ，以圆心O 为顶点作MON ∠，使︒=∠90MON ，将MON ∠绕点O 旋转，

ON OM ,分别与⊙O 相交于点F E ,，分别与正四边形ABCD 的边相交于点H G ,．设

由,,OF OE 弧EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S . （1）当OM 经过点A 时（如图①），则21,,S S S 之间的关系为：=S （用含

1S 、2S 的代数式表示）；

（2）当AB OM ⊥时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；

（3）当MON ∠旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

（邵阳市中考题）

2. 如图，在等腰三角形ABC ∆中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB ,相

切，切点分别为E D ,．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB ,于N M ,．求证：CN BM ⋅为定值。

3． 如图，已知等边三角形ABC 的周长为a ，P 为其内任一点，

AB PD ⊥于D ，BC PE ⊥于E ，AC PF ⊥于F 。

求证：（1）PF PE PD ++为定值；

（2）CF BE AD ++为定值。

（三明市中考题）