高一数学必修二直线与方程专题复习精编版
高中数学必修二《直线与方程》复习课
《直线与方程》复习课一、要点梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .②倾斜角的范围为 .(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝ ，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式:经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为 .2．直线方程的五种形式二、基础自测：1．已知直线l 经过点 P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝02.过点(3,4)M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ______.三、例题讲评题型一 直线的倾斜角与斜率例1 已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．题型二求直线的方程例2(1)求过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5的直线l的方程。
(2) 在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：①顶点C的坐标；②直线MN的方程．例3 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y 轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．四、思想方法 感悟提高方法与技巧1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：2121y y k x x -=-，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(12x x ≠)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3．求直线方程中一种常见的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．五、作业：试卷六、思考题：1.已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0 与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．2.已知△ABC 中，已知A (1，3)，AB ，AC 边上中线方程为210x y -+=和10y -=，求 △ABC 各边所在的直线方程。
高一数学必修2 直线与方程 精讲
一、直线的一般式方程【知识要点】1. 一般式：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=； 与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时， 则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； 1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==； 1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 【经典例题】例1、已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .例2、（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.例3、已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．例4、直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交； （2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交； （4）是x 轴所在直线； （5）是y 轴所在直线.【经典练习】1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（ ）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（ ）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12ab D ．12||ab 4． 直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（ ）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行D. 重合5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ． 8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴； （3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交； （2）l 1⊥l 2； （3）l 1//l 2； （4）l 1和l 2重合.二、两条直线的交点坐标【知识要点】1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点， 其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.【经典例题】例1、判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0； （2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.例2、求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.例3、已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.例4、若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.【经典练习】1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（ ）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（ ）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（ ）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ． 8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.三、两点间的距离【知识要点】1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-； 当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量； （2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.【经典例题】例1、在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.例2、直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.例3、如图，已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -.oxA (1,a )B (1,b )y【经典练习】1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（ ）. A. 4 B.10 C. 6 D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（ ）. A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或53．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（ ）. A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+= 6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 . 7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . 8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．四、点到直线的距离及两平行线距离【知识要点】1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.【经典例题】例1、求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.例2、在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.例3、求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3.例4、求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程. .【经典练习】1．点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ）.A. 52B. 5C. 32D. 522．动点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）.A.10 B. 22 C. 6 D. 23．（03年全国卷）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（ ）. A ．2 B ．－2C ．21-D ．21+4．两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（ ）.A.213 B. 113C. 126D. 5265．直线l 过点P (1，2)，且M (2，3)，N (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ）.A. 4x+y －6=0B. x +4y －6=0C. 2x +3y －7=0或x +4y －6=0D. 3x +2y －7=0或4x+y －6=0 6．两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是 .7．与直线l ：51260x y -+=平行且到l 的距离为2的直线的方程为 .8．（1）已知点A （a ，6）到直线3x －4y ＝2的距离d =4，求a 的值.（2）在直线30x y +=求一点P , 使它到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等.五、直线与方程复习【知识要点】理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定平行或垂直；握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【经典例题】例1、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜P A ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（ ）.A.240x y --=B. 210x y --= 2C.50x y +-=D.270x y +-=例2、一直线被两直线1l ：460x y ++=，2l ：3560x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.例3、光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.【经典练习】1． 在x 轴和y 轴上的截距分别为－2、3的直线方程是（ ）. A. 2360x y --= B. 3260x y --=C. 3260x y -+=D. 2360x y -+=2．若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件（ ）. A. A 、B 、C 同号 B. AC ＜0，BC ＜0C. C ＝0，AB ＜0D. A ＝0，BC ＜03． 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）. A. x －y =0B. x +y =0C. |x |－y =0D. |x |－|y |=04．下列四种说法中的正确的是（ ）.A. 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B. 经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C. 不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D. 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示5．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x -y +1=0上，若直线PQ 垂直于直线x +2y -5=0，则点Q 的坐标是（ ）.A ．（－2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（－2，－1） 6．已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 . 7．点P 在直线x +y -4=0上，O 为原点，则|OP |的最小值是 . 8．求经过直线772400x y x y +-=-=和的交点，且与原点距离为125的直线方程．9．已知点A 的坐标为(4,4)-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程.第24讲 §3.2.3 直线的一般式方程¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.¤知识要点：1. 一般式（general form ）：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线.2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. ¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0.（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--, 解得m ＝1. 【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程； （2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0x y -+-=，化为一般式4140x y +-=. （2） 由题意得所求垂直直线方程(3)2(0)0x y ---=，化为一般式230x y --=.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x +4y －12=0的斜率为34-， ∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.【例4】直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线. 点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.第24练 §3.2.3 直线的一般式方程※基础达标1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（ ）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（ ）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12abD ．12||ab 4．（2000京皖春）直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（ ）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合 5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ．※能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.※探究创新10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.第25讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.¤例题精讲：【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0； （2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.解：（1）解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得22x y =-⎧⎨=⎩.所以，l 1与l 2相交，交点是（－2，2）.（2）解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+.当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l .当1n =-时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合. 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-， l 1与l 2相交. ∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21(,)11n n n n ---. 【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.解：设所求直线的方程为28(21x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=.【例3】已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限. 解：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为(3)(21)0a x y x y -+-+-=.对任意实数a 恒过直线30x y -=与210x y -+=的交点为(15,35)，∴ 直线系恒过第一象限内的定点为(15,35).所以，无论a 为何值时直线总经过第一象限.点评：化为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=后，解方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩所得到的解，为何就是直线恒过的定点坐标？实质就是方程组的解能使方程成立，即点在直线上.【例4】若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l ：y ＝kx 3-必过点（0，－3）.当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴；当直线l 绕C 点逆时针（由位置AC 到位置BC ）旋转时，交点在第一象限. 根据303033AC k --==-，得到直线l 的斜率k >33. ∴倾斜角范围为(30,90)︒︒. 点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.第25练 §3.3.1 两条直线的交点坐标※基础达标1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（ ）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（ ）.A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（ ）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（ ）.A. 1B. －1C. 2D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ． ※能力提高8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.※探究创新10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.第26讲 §3.3.2 两点间的距离¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.解：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ， 根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即,解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴ 直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩， 所以线段22|'|(41)(30)32A B =-+-=. 【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy . 设点A (a ,b)、B (-c ,0)、C (c ,0),由两点间距离公式得：|AB |=22()a c b ++，|AC |=22()a c b -+，|AO |=22a b +， |OC |=c .∴ |AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++， |AO |2＋|OC |2=222a b c ++.∴ |AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点评：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将△ABC 的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和.三角形的中线长公式：△ABC 的三边长为a 、b 、c ，则边c 上的中线长为2221222a b c +-. y xB (-c ,0) A (a ,b )C (c ,0) O【例4】已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -. 解：由|()()|f a f b -=22|11|a b +-+，在平面直角坐标系xoy 中，取两点(1,),(1,)A a B b ，则2||1,OA a =+ 2||1O B b =+, ||||AB a b =-.△O AB 中，||||||||OA OB AB -<，∴ 22|11|a b +-+<||a b -. 故原不等式成立.点评：此证法为数形结合法，由22a b +联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系.第26练 §3.3.2 两点间的距离※基础达标1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（ ）.A. 4B. 10C. 6D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（ ）.A. 1B. －5C. 1或－5D. －1或5 3．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（ ）.A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+=6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 .7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . ※能力提高8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．oxA (1,a )B (1,b )y※探究创新10．燕隼（sun ）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米. 近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟. 经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A （32.65厘米，25.2厘米），B （33.4厘米，26.9厘米）. 你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？第27讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A B A B++-==++. ¤例题精讲：【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=, 整理得(31)(3)100x y λλ++--=.由点到直线的距离公式可知，22101(31)(3)d λλ==++-, 解得3λ=±. 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为450x y --=. 设2(,4)P a a , 则点P 到直线的距离为22222|445||4(1/2)4|4(1/2)417174(1)a a a a d ------+===+-.高一数学21 当12a =时，点1(,1)2P 到直线的距离最短，最短距离为41717. 【例3】求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3. 解：由点线距离公式，得22|(2)4(1)(1)(64)|(2)(1)m m m d m m +-+--+=+++ =22|3|(2)(1)m m m ++++. 假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=.∵ 248417361400∆=-⨯⨯=-<， ∴ 21748360m m ++=无实根.∴ 3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=.由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-. 所以直线L 恒过定点(2,2)Q -. 点P 到直线L 取最大距离时, PQ ⊥L ，即最大距离是PQ =22(24)(21)-+-+=5. ∵ 5<3， ∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大.【例4】求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程.解：直线1l 的方程化为4620x y +-=. 设正中平行直线的方程为460x y C ++=， 则2222|2||5|4646C C ----=++，即|2||5|C C +=+，解得72C =-. 所以正中平行直线方程为74602x y +-=. 点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=的正中平行直线方程为12()/20Ax By C C +++=。
高一数学必修2《直线与方程》知识点与例题
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它 们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
y y1
x x1 (x1 x2 , y1 y 2 )
y2 y1 x 2 x1
2、直线的截距式方程：已知直线 l 与 x 轴的交点为 A( a,0) ，与 y 轴的交点为 B(0,b) ，其中
a 0,b 0
5 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0（A，B不同时为 0）
∴k2＝tan 2＝tan(180 °－ 45°) ＝－ tan45 °＝－ 1．
12． 1 ．
2
解：∵ A，B，C三点共线，
∴k ＝ AB k ， AC －2－3＝ m－3 ．解得 m＝ 1 ．
3＋ 2
1 ＋2
2
2
13．(2 ，3) ．解析：设第四个顶点 D的坐标为 ( x，y) ，
∵AD⊥CD，AD∥ BC，
A． k1＜ k2＜k3
B． k3＜ k1＜k2 C ．k3＜k2＜ k1
D．k1＜k3＜ k2
3．已知直线 l 1 经过两点 ( －1，－ 2) 、( －1，4) ，直线 l 2 经过两点 (2 ，1) 、( x，6) ，且
l 1∥l 2，则 x＝( ) ．
A．2
B．－ 2
C． 4
D． 1
4．已知直线 l 与过点 M( － 3 ， 2 ) ，N( 2 ，－ 3 ) 的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是 ( ) ．
高中数学必修2第三章直线与方程重点复习2
高中数学必修2第三章第二部分1、 关于点对称(1)点关于点的对称若两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于点00(,)P x y 对称，则P 是线段AB 的中点，并且 12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，特别地，点(,)M a b 关于坐标原点的对称点为(,)N a b --。
(2)直线关于点的对称问题：若两条直线12,l l 关于点P 对称，则①1l 上任意一点关于P 的对称点必在2l 上，反过来，2l 上任意一点关于点P 的对称点必在1l 上；②若12//l l ，则点P 到直线1l ，2l 的距离相等；③若能过点P 做一直线与1l ，2l 分别交于A,B 两点，则点P 是线段AB 的中点。
2、 关于轴对称问题(1) 点关于直线的对称问题：若A,B 两点关于直线l 对称，则l 是线段AB 的垂直平分线，①直线AB 与直线l 垂直，1AB l k k =-；②线段AB 的中点在直线l 上；③直线l 上任意一点到A,B 两点的距离相等。
例如：点111(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=的对称点是222(,)P x y ，则有 12122112210221(0,)x x y y A B C y y A B x x x x B ++⎧++=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-=-≠≠ ⎪⎪-⎝⎭⎩(2) 直线关于直线的对称问题：若两条直线1l ,2l 关于直线l 对称，①1l 上任意一点关于直线l 的对称点必在直线2l 上，反过来，2l 上任意一点关于直线l 的对称点必在1l 上；②若能过直线l 上的一点P 且垂直与直线l 作一直线与1l ,2l 分别交于A,B 两点，则点P 是线段AB 的中点。
特别地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点'P 的坐标为00(2,)a x y -点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点'P 的坐标为00(,2)x b y -点00(,)P x y 关于直线y x =的对称点'P 的坐标为00(,)y x3、 知识点：（复习）直线方程的四种形式：(1) 点斜式：当直线斜率k 存在时，则过点00(,)P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-；(2) 斜截式：当直线斜率k 存在时，设在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y kx b =+；(3) 两点式：111(,)P x y ，222(,)P x y ，当1212,x x y y ≠≠时，直线方程为112121y y x x y y x x --=--； (4) 截距式：当直线在x 轴、y 轴上的截距分别存在(分别为,a b )且不为0时，直线方程为1x y a b+=。
人教版 高一数学必修2 第三单元第三章直线与方程综合复习课件(共19张PPT)
0,另一个不存在 .
若A、B、C三点共 k线 AB kBC或kABkAC
2 、l1 若 :y k 1 x 直 b 1 ,l2 :y k 线 2 x b 2 ,则
l1 /l2 / k 1 k 2 ,且 b 1 bห้องสมุดไป่ตู้2
l1l2 k1k21
3、若l直 1:A1x线 B1yC10，
l2:A2xB2yC20
l1//l2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
，l1
l2
A1A2 B1B2
1
或l1
// l2
BA11CB22
A2B1 B2C1
0 0
或AA11CB22
A2B1 A2C1
0 0
l1 l2 A 1 A 2 B 1 B 2 0 .
练习：
已知两条直l1线: x(1m)y 2m, l2 :2mx4y 16,m为何值时l， 1与l2： (1)平行 (2)相交 (3)垂直.
五、重点题型（难点）
1、求斜率的值或取值范围； 2、由两直线平行和的垂判直定条件
求参数的值；
3、求直线的方程；
4、光线的反射问题（称对点）；
5、过定点问题；
6、求距离问(距 题离的最大、最小 )；
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。
高一数学必修二直线与方程专题复习
专题复习 直线与方程【基础知识回忆】1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 .（2）直线的斜率①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
倾斜角为 的直线斜率不存在。
2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：⇔21//l l ⇔ ； ⇔⊥21l l ⇔ .（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 .3.直线方程的几种形式注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.4.三个距离公式（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .（2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .【典型例题】题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则：A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2例3、利用斜率证明三点共线的方法：若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 .总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
高中数学必修2第三章 直线与方程 章末复习课件
2．直线方程的五种形式及比较
章末复习课
章末复习课
章末复习课
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和 斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽 然可以表示任何直线，但要注意 A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况 进行讨论．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
即 x－12＋4 ＝ x－22＋1 ，解得x＝0，此时点M在坐标 原点， y最小＝0. 又由三角形性质可知||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝ |AB|，也即是当A、B、M三点共线时，y取最大值． 由已知得AB的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3，令y＝0得x＝3，
画一画·知识网络、结构更完善
章末复习课
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型一 待定系数法的应用 待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的， 但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件 来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法 求解． 选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下， 与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程； 与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
例1 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得 的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件， 得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足 4x0＋y0＋3＝0， 3－2－x0－54－y0－5＝0，
＋y－6＝0.
研一研·题型解法、解题更高效
高一数学必修二人教版新课标__第三章__直线与方程___复习提纲
第三章：直线与方程---复习学案♥本章知识点归纳一、直线的斜率：已知两点如果，那么直线PQ的斜率为说明：：1、直线上任意两点确定的斜率总是相等的。
2、线的倾斜角：当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。
因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°。
3、线倾斜角与斜率的关系：k=tan二、直线方程的求法：存在存在1、点斜式方程：已知直线经过点，且斜率为直线的方程：为直线方程的点斜式。
注意：时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，直线方程为。
2、斜截式方程：已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为k直线的方程：为斜截式。
3、两点式方程：已知直线上两点，B（直线的方程：注意：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示4、截距式方程：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距。
直线的方程：♥题组训练1. 若三点，，共线，求的值。
2. 已知两点A（－3,4）、B（3，2），过点P（2，－1）的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率k的取值范围。
3. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（８，－2）；（2）经过点B（４，2），平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－４）.5. 直线方程的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与轴相交；（3）只与轴相交；（4）是轴所在直线；（5）是轴所在直线。
6. 求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程。
一、选择题1. 下列四个命题中，真命题是（）A. 经过定点的直线都可以用方程表示B. 经过两个不同的点，的直线都可以用方程：来表示C. 与两条坐标轴都相交的直线一定可以用表示D. 经过点Q（0，b）的直线方程都可以表示为y＝kx＋b2. 直线m（x＋y－1）＋（3y－4x＋5）＝0不能化成截距式方程，则m的值为（）A. 5B. －3或4C. －3或4或5D. m∈（－∞，－3）∪（4，5）∪（5，＋∞）3. 关于直线的斜率，下列说法中正确的是（）A. 斜率是正数时，直线必过一，三象限；B. 直线的倾斜角越大，斜率就越大；C. 直线的位置是由斜率确定的；D.所有直线都有斜率4. 若点P（x0,y0）在直线Ax＋By＋C＝0上，则直线方程可表示为（）A. A（x－x0）＋B（y－y0）＝0B. A（x－x0）－B（y－y0）＝0C. B（x－x0）＋A（y－y0）＝0D. B（x－x0）－A（y－y0）＝05. 若直线4x－3y－12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则c的值为（）A. 1B.C. ±D. ±16. 过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线l有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7. 直线（＝0）的图象是（）8. 若三点（2，3），（3，a），（4，b）在一条直线上，那么（）A. a＝3，b＝5B. b－a＝1C. 2a－b＝3D. a－2b＝3二、填空题9. 若直线过（－2，3）和（6，－5）两点，则直线的斜率为，倾斜角为10. 已知两点A（x，－2），B（3，0），并且直线AB的斜率为，则x＝。
必修2第三章 直线与方程知识点归纳、习题汇总(精选)
3.1倾斜角和斜率1.直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2.倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3.直线的斜率:直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做直线的斜率,常用k 表示,即 k = tan α.⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 注意：由此可知, 直线的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4. 斜率公式:若直线过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 . 【题型1】求直线斜率33-D. 33C. 3-B. 3.A 120.1的斜率为（），则直线的倾斜角为若直线l l ︒ 34D. 43C. 34B. 43A..,53sin .2±±=则此直线的斜率为（），若已知直线的倾斜角为αα21D.C.2 21-B. 2-A..52B 31A .3率为（））两点，则此直线的斜，（），，（若直线过 31-D. 31C. 3-B. A.3.013.4的斜率是（）直线=+-y x 【题型2】求直线倾斜角︒︒︒︒D.135C.60 B.45 A.30.1.1的倾斜角为（），则直线的斜率为若直线l l︒︒︒︒=+- D.90C.60 B.45 A.30.0122.2的倾斜角为（）：直线y x l，不存在，不存在，，（）的倾斜角和斜率分别是直线︒︒︒︒-= D.180 C.90 1B .135 1A.45.1.3x不存在的倾斜角为（）直线 D. C.90 B.45 A.0.1.4︒︒︒=y【题型3】直线斜率大小比较123321213231321321 D. C. B. A...1k k k k k k k k k k k k k k k l l l <<<<<<<<，则必有（）、、的斜率分别为、、如图，直线【题型4】求直线斜率、倾斜角范围)2[ ]4D.[0 ]4[0 C. )43[ ]4[0 B. )[0 A..))(1(B )12(A 2.) [0,]1D. ]1 C. ) B.[-1, A.1350.12ππππππππαα，，，，，，（）的倾斜角的取值范围为两点，那么直线，，，经过点直线，（，（），（）的斜率的取值范围为（，则直线，且的倾斜角为已知直线⋃⋃∈∞+⋃-∞--∞-∞+∞+∞-≤≤︒︒l R m m l l l3.2.1 点斜式方程1.点斜式方程：（1）条件：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k .（2）方程：2.斜截式方程：（1）条件：直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点为),0(b .（2）方程：3.2.2 两点式方程1.两点式方程：（1）条件：两点),(),,(222111y x P y x P其中),(2121y y x x ≠≠.（2）方程：2.截距式方程：（1）条件：直线l 与x 、y 轴的交点分别为A )0,(a 、B ),0(b ，其中0,0≠≠b a . （2）方程：3.2.3 直线的一般方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程 （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
必修二第二章《直线与方程》复习
两条直线l1 , l2 的公共点
直线l1 , l2 间的位置关系
一组
无数组 无解
一个 相交
无数个
重合
零个 平行
平面上两点之间的距离
y
y2
x1
P2 x2 , y2
平面上 P x1 , y1 , P2 x2 , y2 两点 1 间的距离公式
y
B
定义中的关键词： 与x轴相交的直线、绕着交点、 按逆时针、重合、最小正角
A
N
O
x
图2 1 5 1
与x 轴平行或重合的直线的 倾斜角为0 .
0
由定义可知 直线的倾斜角 的取值范 , 围是 0 180 .
0 0
当直线的斜率为正时 直线的倾斜角 , 为锐角图2 1 51, 此时 ,
两条直线的垂直
因此 ,当两条直 线 的斜率都存在时 , 如果 它们互相垂直, 那么它们斜率的乘积等于 1, 反之, 如果它们斜率的乘积等于 1, 那 么它们互相垂直.即
l 1 l 2 k 1 k 2 1 k 1 , k 2 均存在 .
两条直线的交点
设两条直线的方程分别 是 l 1 : A1 x B1 y C1 0, l 2 : A2 x B2 y C2 0 .
l1 y
B
l2
E
C
A
F
D
o
x
k1
BC EF k2 AC DF
2
l1 // l2 k1 k2 k1 , k2均存在.
l1
y
l2
o
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习答案
直 线 与 方 程(i )直线的倾斜角定义：X 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与 ____ X 轴平 行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是|0°WaV i80 2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常 用出表示。
即k tan 。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线I 与X 轴平行或重合时,a =0° , k = tanO ° =0; 当直线l 与x 轴垂直时,a = 90 ° , k 不存在.当 0 ,90时，k 0; 当 90 ,180 时，k 0; 当 90时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公匚：k 上一 (x 1 x 2)( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 工x2)X 2 X-!X 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90 ° ;k 与P i 、P 2的顺序无关；以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
y y i k (X X i )直线斜率k ，且过点X 1,y 1注意下面四点：(1)(2) (3)(4)注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点 l i : A i X B i y C i 0 I 2 : A 2X交点坐标即方程组 Ax A 2X 方程组无解(8)两点间距离公式:B 2yC 2 0相交 0的一组解。
方程组有无数解 l i 与12重合(X 2, y 2)是平面直角坐标系中的两个点,B i y B ?yC i C2设 A(X i ,y) 当X 1注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是 y=y i 。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示•但因I上每一点的横坐标都等于X i ,所以它的方程是X=X i 0(9) o ol i : Ax By C 0(10) 两平行直线距离公式已知两条平行线直线l i 和12的一般式方程为l i : Ax直线的方程方法二 设直线l 的方程为y-2=k(x-3).令y=0,得直线l 在x 轴上的截距a=3- 2 ,令x=0,得直线l 在y 轴上的截距b=2-3k. k3 - (2-3 k)=24.解得 k=--.二所求直线方程为 y-2=- - (x-3).即 2x+3y-12=0. k 3 3By C i 0 ,l 2 : Ax By C 20,则l i 与12的距离为d1.设 a ，b, c 是互不相等的三个实数，如果A (a, C 三点共线，k AB =k AC ,a 3)、B(b ，b 3)、C(c ， c 3)在同一直线上，求证: a+b+c=0.证明333b ac a b a c/• b -c +ab-ac=0, ( b- c)(a+b+c)，化简得 a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2,=0， 二2.若实数x,y 满足等式(x-2) 2+y 2=3,那么1的最大值为xA 12 答案 D3.求经过点A (-5 , 2)且在x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的2倍的直线方程; 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,D. 3将(-5 , 2)代入y=kx 中，得k=--，此时，直线方程为5 2y=- x,即 2x+®=0.5②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 x 2a =1,将(-5，2)代入所设方程，解得a1 a=_ —， 2此时，直线方程为x+2y+仁0.综上所述，所求直线方程为4.直线l 经过点P ( 3，2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于 x+2y+1=0或 2x+5y=0.A B 两点，△ OAB 的面积为12,求直线I 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为-丄1 (a> 0, b> 0)a b 二 A( a,0),日0, b),ab 24, 3 2 解得1. a ba 6,b 4.二所求的直线方程为 - -=1,即 2x+3y-12=0.6 49.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1 ,1)、( 2, 2),若直线l : x+my+mF0与线段PQ有交点，求m的取值范围< me方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-仁-_1 (x+1),即y=-x+4 ,代入x+my+m=O, 2 1 3 3 整理，得x=-.由已知-1 e - 7m< 2,解得-2e n e 1. m 3 m 3 32两直线方程例 1 已知直线 l 1：ax+2y+6=0和直线 l 2：x+(a-1) y+a 2-1=0,(1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) 丨！丄12时，求a 的值.解 (1)方法一 当 a=1 时，11： x+2y+6=0, 12： x=0, 11 不平行于 12；当 a=0 时，11： y=-3, 12： x-y-仁0,11 不平行于 12； 当a 工1且 a 工0 时，两直线可化为 11： y=- a x -3,12：y= 1 x-( a+1),21 aa111 // 122 1 a ，解得 a=-1,3 (a 1)综上可知， a=-1 时，l 1 // l 2,否则l 1与l 2不平行方法二 由 AB-AB=0,得 a (a-1 ) -1 x 2=0，由 AC 2-A2G 工0,得 a( a 2-1)-1 x 6工0,/• X //a 2 a 2 02a =-1,a(a 2 1) 6否则丨1与12不平行.(2)方法一当a=1时，l 1： x+2y+6=0, l 2： x=0, l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.当a 工1时,11： y=- a x-3, 2 l 2： y= 1 x-( a+1),由a1 a 21 2 =-1 a=. 1 a3方法二 由 A1A+B 1E 2=0,得a+2( a-1)=0 a=2.3例3已知直线 l 过点P (3, 1)且被两平行线l1： x+y+1=0, 12： x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l 的方程.解方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x=3,此时与丨1,丨2的交点分别是A ( 3，-4 )，B( 3, -9 )， 截得的线段长| AB=|-4+9|=5,符合题意.若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线lj 2的方程联立, 由 y k(x 3) 1,解得 A 3k^,^ .x y 1 0k 1 k 1 8分与线段PQ 有交点，•••所求m 的取值范围是a(a 1) 1 22a(a 21) 1 6故当 a=-1 时，l1/ l 2,解 方法一 直线x+my+n=0恒过A ( 0, -1 )点.32由y k（x 3） 1,解得 B ―,x y 6 0 k 1 k 1由两点间的距离公式，得2 23k 2 3k 7 丄 1 4k 1 9k+ =25,k 1 k 1 k 1 k 1解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知，直线I的方程为x=3或y=1.方法二设直线 I 与 11, 12分别相交于 A^y）, B（X2,y2）,则 1=0x+y2+6=0,两式相减，得（X1-X2）+（ y1-y2）=5 ① 6 分又(X1- X2) 2+( y1- y2)2=25 ②联立①②可得X1 X2 5或X1 X2 0, 10 分y1 y2 o y1 y2 5由上可知，直线I的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为 x=3或y=1.例4求直线I * y=2x+3关于直线I : y=x+1对称的直线I 2的方程.解方法一由y 2x 3知直线丨1与I的交点坐标为（-2，-1），y x 1设直线丨2的方程为y+1=k（ x+2）,即kx- y+2k-1=0.在直线I上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线I1、I2的距离相等, 由点到直线的距离公式得|k 2 2k 1 = |2 2 3U2 k2. 22（ 1）2解得k=l（k=2舍去），二直线I 2的方程为x-2 y=0.2方法二设所求直线上一点P （x, y）,则在直线I1上必存在一点R（X。
必修2直线与方程知识点总结与题型汇编
x - xx - xy - y x - xA B C A B C A B两条直线的交点坐标学习-----好资料第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l 的倾斜角 α 的范围是 0 ≤ α < π .2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 k = tan θ . 如果知道直线上两点y - yP( x , y ), P ( x , y )，则有斜率公式 k = 2 1 . 特别地是，当 x = x ， y ≠ y 时，直线与 x 轴垂直，斜率 k1 12 2 1 2 1 2 21不存在；当 x ≠ x ， y = y 时，直线与 y 轴垂直，斜率 k=0.1212注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率 k =0；当0︒ < α < 90︒ 时，斜率 k > 0 ，随着α的增大，斜率 k 也增大；当 90︒ < α < 180︒ 时，斜率 k < 0 ，随着α的增大，斜率 k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线 l 、 l ，其斜率分别为 k 、 k ，有：1212（1） l // l ⇔ k = k ；（2） l ⊥ l ⇔ k ⋅ k = -1 .121212122. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于 x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线 l 过点 P ( x , y ) ,且斜率为 k ，其方程为 y - y = k ( x - x ) . 02. 斜截式：直线 l 的斜率为 k ，在 y 轴上截距为 b ，其方程为 y = kx + b .3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P ( x , y ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角为 90°， 0斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 x - x = 0 ，或 x = x .0 0y - y4. 注意：0 = k 与 y - y = k (x - x ) 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 P ( x , y ) ，后者才是整 0 0 0 0 0 0条直线.直线的两点式方程y - y x - x1. 两点式：直线 l 经过两点 P ( x , y ), P ( x , y ) ，其方程为1= 1 ， 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 x y2. 截距式：直线 l 在 x 、y 轴上的截距分别为 a 、b ，其方程为 + = 1 .a b3. 两点式不能表示垂直 x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直 x 、y 轴及过原点的直线.直线的一般式方程1. 一般式： Ax + By + C = 0 ，注意 A 、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax + By + C = 0 (B ≠ 0) 化为斜截式A C A C方程 y = - x - ，表示斜率为 - ，y 轴上截距为 - 的直线.B B B B2. 与直线 l : Ax + By + C = 0 平行的直线，可设所求方程为 Ax + By + C = 0 ；与直线 Ax + By + C = 0 垂直的1直线，可设所求方程为 Bx - Ay + C = 0 .13. 已知直线 l , l 的方程分别是：l : A x + B y + C = 0 （ A , B 不同时为 0），l : A x + B y + C = 0 （ A , B 不1 2111111222222同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1） l ⊥ l ⇔ A A + B B = 0 ；（2） l // l ⇔ A B - A B = 0, AC - A B ≠ 0 ；121 21 2121 22 11 22 1（3） l 与 l 重合 ⇔ A B - A B = 0, AC - A B = 0 ； （4） l 与 l 相交 ⇔ A B - A B ≠ 0 .1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1A B C A B C A B如果 A B C ≠ 0 时，则 l // l ⇔ 1 = 1 ≠ 1 ； l 与 l 重合 ⇔ 1 = 1 = 1 ； l 与 l 相交 ⇔ 1 ≠ 1 .2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 21. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 ⎧⎨ ⎩ A x + B y + C = 0 | PP |=| y - y | ；线段 P P 中点坐标公式 ( 1 2 2x = x +λx 2 , y = A 2 + B 2x +y x +y=- A 2 + B 2 A 2 + B 2 学习-----好资料A x +B y +C = 0 1 1 1 2 2 2. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程 λ ( A x + B y + C ) + ( A x + B y + C ) = 0 为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是111222A x +B y +C = 0 与 A x + B y + C = 0 的交点.；1 1 12 2 2总结直线系方程1. 与直线：Ax+By +C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：Ax+By +C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 (A,B 不全为 0)4. 过直线 l 1、l 2 交点的直线系方程：（A 1x+B 1y+C 1）+λ( A 2x+B 2y+C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含 l 2.两点间的距离1. 平面内两点 P ( x , y ) ， P ( x , y ) ，则两点间的距离为： | PP |= (x - x )2 + ( y - y )2 .1112221 2 1 2 1 2特别地，当 P , P 所在直线与 x 轴平行时， | PP |=| x - x | ；当 P , P 所在直线与 y 轴平行时，121 21212x + x y + y2 , 1 2 ) .1 21 2 1 22. 定 比 分 点 坐 标 分 式 ， 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 PP 所成的比为λ即PP = λPP , 其 中 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2). 则1 21 2y + λy 1 1 1 + λ 1 + λ2点到直线的距离及两平行线距离1. 点 P( x , y ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离公式为 d = | Ax 0 + By 0 + C | .2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线 l : Ax + By + C = 0 ，l : Ax + By + C = 01122之间的距离公式 d = | C 1 - C 2 | 。
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高一数学必修二直线与
方程专题复习精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
专题复习直线与方程
【基础知识回忆】
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交;ⅱ.x 轴正向;ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为③倾斜角α的范围.
（2）直线的斜率
①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是
②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
倾斜角为的直线斜率不存在。
2.两直线垂直与平行的判定
（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：
⇔21//l l ⇔；⇔⊥21l l ⇔.
（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线；当一条直线斜率为0，另
一条直线斜率不存在时，两条直线.
3.直线方程的几种形式
注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.
4.三个距离公式
（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .
（2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .
（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率问题
例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .
（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.
（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.
例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则：
A ．k 1＜k 2＜k 3
B ．k 3＜k 1＜k 2
C ．k 3＜k 2＜k 1
D ．k 1＜k 3＜k 2
例3、利用斜率证明三点共线的方法：
若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为.
总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值范围。
变式：若0<AC ，且0<BC ，则直线0=++C By Ax 一定不经过（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
题型二：直线的平行与垂直问题
例1、已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程,l '满足
（1）过点)3,1(-，且与l 平行；（2）过)3,1(-，且与l 垂直.
本题小结：平行直线系：与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为01=++C By Ax
垂直直线系：与直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为02=+-C Ay Bx
变式：（1）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程
（2）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程
例2、1l ：0)1(=+-+m y mx ，2l ：02=-+m my x ，①若1l ∥2l ，求m 的值；②若1l ⊥2l ，求m 的值。
变式：（1）已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）
08-210（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=（ ）
A ．-3
B ．-6
C ．23-
D ．32 （3）若直线1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直，则m 的值是．
题型三：直线方程的求法
例1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。
例2、已知ABC ∆三个顶点是)4,1(A -，)1,2(B --，)3,2(C ．
(1)求BC 边中线AD 所在直线方程；(2)求AC 边上的垂直平分线的直线方程
（3）求点Ａ到ＢＣ边的距离．
变式：1．倾斜角为45?，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（）
A ．1y x =+
B ．1y x =--
C ．1y x =-+
D ．1y x =-
2．求经过A （2，1），B （0，2）的直线方程
3.直线方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 在两轴上的截距相等，求a 的方程；
4、过P （1，2）的直线l 在两轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程
5、已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程． 题型四：直线的交点、距离问题
例1：点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）
A ．2
B ．21
C ．1
D ．2
7 例2：已知点P （2，-1）。
（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；
（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
例3：已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=，
（1）试判断1l 与2l 是否平行，如果平行就求出它们间的距离；（2）1l ⊥2l 时，求a 的值。
变式：求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离。
题型五：直线方程的应用
例1、已知直线0355:=+--a y ax l .
（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.
例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（）
A ．（-2，1）
B ．（2，1）
C ．（1，-2）
D ．（1，2）
【检测反馈】
1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（）.
（A ）030（B ）045（C ）060（D ）090
2.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线与过点)0,2(k M -和点)4
,0(k N 直线的位置关系是（） （A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合
3.过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）.
(A)012=-+y x (B)052=-+y x (C)052=-+y x (D)072=+-y x
4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（）.
（A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）52=-y x
5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（）.
6.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点O ，则直线l 的方程为.
7.已知,0>a 若平面内三点),3(),,2(),,1(32a C a B a A -共线，则a =.
8.过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（）.
（A ）1条(B)2条(C)3条(D)4条
9.已知直线l 过点)1,1(P ，且被平行直线01343=--y x 与0743=+-y x 截得的线段长为24，求直线l 的方程.。