阿拉伯数学
第六章：阿拉伯数学
第一节综述
阿拉伯数学是指7世纪伊斯兰教兴起后，崛起于阿拉伯半岛，建立在横跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国统治下各民族所开创的数学．通常所谓伊斯兰国家的数学或中亚细亚数学也是指阿拉伯数学．在伊斯兰国家里，科学文化的发展是许多民族的学者共同劳动的结果，数学也不例外．他们是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、犹太人和阿拉伯人，等等．他们大都是伊斯兰教徒．讲到这一时期这一地区的数学，没有很恰当的词语来表述，由于当时的数学著作都是用阿拉伯文撰写的，一般就统称为阿拉伯数学．上述各民族的学者有时也统称为阿拉伯人．公元6世纪以前，阿拉伯人过着游牧部落生活．当时阿拉伯半岛盛行多神崇拜，各部落间战争连绵不断．由于东西商路改道，社会经济日趋衰落，要求改变这种社会状况和实现政治统一，成为各部落的共同愿望．伊斯兰教的创始人默罕穆德(Mvhammad，约570—632)，出生于阿拉伯半岛麦加城的一个没落贵族家庭，早年曾随商队到过叙利亚等地，后来回到麦加城经商．公元610年，在麦加开始创传以信仰一神为中心的伊斯兰教．后因遭到多神教徒的反对和迫害，于公元622年秘密出走麦地那．他在那里组织了一个接受伊斯兰教的阿拉伯部落联盟，号召所有伊斯兰教徒——穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血缘的狭隘界限以共同的信仰为纽带团结起来．伊斯兰教就这样在阿拉伯半岛创立并迅速传播开去，成为团结阿拉伯人的一种力量．
阿拉伯部落统一后，形成了一个威势很大的军事力量．在“与异教斗争”的神圣口号下，迅速向东方和西方的富饶国家入侵，并在被征服的国家里普及了伊斯兰教．不到一个世纪，阿拉伯人就占领并统治了几乎整个比利牛斯半岛、所有地中海沿岸的非洲国家、近东地区、高加索和中亚细亚，形成了一个横跨欧、亚、非三洲的强大的阿拉伯帝国．我国历史上称之为大食国①．由于哈利发政权的对立斗争，在8世纪中叶，大食国分裂为东大食和西大食．东大食的首都是巴格达，西大食的首都是科尔多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之间，基督教十字军东侵，把穆斯林逐出圣地．13世纪初，成吉思汗率蒙古部队西征．13世纪中叶，成吉思汗之孙旭烈兀再次率兵西征，占领了原来阿拉伯哈利发在亚洲的所有领土，创立了伊儿汗国．蒙古人征服了这些伊斯兰国家后不久，他们自己也都皈依了伊斯兰教．到了14、15世纪，在中亚又出现了另一个蒙古帝国——帖木耳国．12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去了他们在欧洲的立足点．在阿拉伯帝国的统治下，被征服的民族很快转向伊斯兰教．同时，阿拉伯语很快成为各国通行的语言，在知识界成为学术交流的工具．这和中世纪西方各国把拉丁语作为通用语言一样．阿拉伯人和其它民族的人民共同创造了新的、别具一格的文化．当时欧洲正处在漫长的黑暗时期，阿拉伯世界的科学文化却后来居上，成为当时的人类科学文化中心之一．
8世纪中叶至9世纪初，出现了几位热心提倡科学的哈利发：曼苏尔(al －Mansur，712—775)，阿伦·赖世德(Hārūnar－Rashid，765—809)，马蒙(al－Mamun，786—833)等．在他们的大力支持和鼓励下，设立学校、图书馆和观象台．在东阿拉伯形成了以巴格达为首的学术中心．哈利发马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al－Hikmah)．这是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关，除用作翻译馆外，还起到科学院和公共图书馆的作用，它还附设一座天文台．在这里，大量的波斯、希腊和印度的古典著作被系统地译为阿拉伯文．哈利发还组织力量对这些著作进行广泛而深入的研究．就这样，东西方的文华精华被融合在一起，出现了一个学术繁荣时期．阿拉伯的数学研究就从这里开始．
从8世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期．由于阿拉伯人能够控制或取得拜占庭帝国、埃及、叙利亚、波斯及印度诸国的人才和文化，所以他们得以接触几乎所有的古代重要著作．欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)、阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262—前190)、海伦(Heron ofAlexandria，约62年)、托勒密(Ptolemy，约100—约170)、丢番图(Diophantus，250)、以及婆罗摩笈多(Brahmagupta，598—665)等著名学者的数学和天文学著作都被译成阿拉伯文．在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证、勘误、增补和注释．这样一来，大量的古代科学遗产获得了新生．已经荒废了几个世纪的古代学者的著作又重新成为人们手头的教材．当古希腊的原著失传之后，这些阿拉伯文译本就成为后来欧洲人了解古希腊数学的主要来源，而许多古希腊时期的著作也正是通过它们的阿拉伯文译本才得以流传下来．
在上述漫长而有效的翻译时期之后，阿拉伯数学出现了一个创造性的活跃时期．阿拉伯人不仅继承了古典科学遗产，而且使之适合自己的特殊需要和思想方法．他们吸取和保存了希腊和印度数学的精华，加上他们自己的创造性劳动，建立起独具风格的阿拉伯数学．他们的贡献为世界数学宝库增添了光彩．
阿拉伯人引进了印度数字及其记数法，利用古代数学方法广泛地解决了一系列计算，特别是天文计算问题．他们的近似计算达到了很高的精确度．在代数学方面，他们建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的几何解法，并把代数学明确地定义为“解方程的科学”．他们的工作为代数学的发展提供了方向．在三角学方面，他们引进了几种新的三角函数，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函数表．更重要的是，三角学通过他们的工作开始脱离天文学而独立．阿拉伯人为证明欧几里得第五公设作过多次尝试，推进了平行线理论的研究．
阿拉伯的数学著作具有自己的风格．许多著作十分注意证明的论据，材料的系统安排和叙述的清晰性．大量书籍中都会见到具有东方民族特点的丰富有趣的例题和习题，这些问题往往具有十分新颖的实际内容．
第二节算术
阿拉伯人原来只有数词，没有数字．在征服埃及、叙利亚等国后不久，
阿拉伯人就使用了希腊字母记数法．9世纪初，开始出现阿拉伯字母记数法．公元773年(另一说771年)，一位印度学者把印度天文学名著《悉檀多》(Siddhānta)带到阿拔斯王朝哈利发曼苏尔的宫廷中．不久，这部著作被译成阿拉伯文．印度数字、位值记数法和算术运算就这样传到阿拉伯国家．大约在825年，花拉子米(Mohammed ibn M s al－Khow rizm，约783—约850)写了第一部阿拉伯语的算术书．关于花拉子米的传记材料，很少流传下来．现在只知道他是一个拜火教徒的后裔，早年在家乡花拉子米接受初等教育后到中亚细亚古城默夫继续深造．当时阿拔斯王朝哈利发哈伦·赖世德的儿子马蒙任东部地区的总督，住在默夫，他在那里召见过已经远近闻名的花拉子米．813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，花拉子米作为杰出的科学家被聘请去首都巴格达工作，并成为智慧馆学术工作的主要领导人之一．在此期间，花拉子米创作了许多重要的、举世闻名的科学著作，包括数学、天文学、地理和历史等许多领域．
花拉子米的算术著作只有译本流传下来．现在唯一能够见到的，是14
世纪中叶翻译的拉丁文手稿，现保存在剑桥大学图书馆．译文没有标题，以“Dixit Algoritmi…”开头，中断在一个乘法例题之中．后来，这部译本就定名为“Algoritmi denumero indorum”，其中Algoritmi本来是花拉子米的拉丁文译名，可是被人们理解为印度的读数法，后来它竟演变成表示任何系统或计算程序的“算法”的专业术语algorithm．
花拉子米在他的著作中讲述了印度人利用九个数字和零号的记数法，阐明了十进位值制的原理，引进了零的记号——形似字母“O”的小圆圈．13世纪的欧洲普遍用“小圆圈”或称“暗码”(ciffra)表示零号．“暗码”这一术语一直使用到18世纪末．在15至16世纪，单词ciffra开始有表示数字0，1，2，…，9的符号的涵义，它来源于阿拉伯文as－sifr，后者是梵文中零的名称S nya即“空的”的译文．在欧洲中世纪，拉丁语单词nulle—“一无所有
的”、“空的”——在一些欧洲语言中以不同形式表示零．
关于整数的四则运算，花拉子米着重讲述了加法如何进位和减法如何借位．他定义乘法为重复相加，除法为重复相减，并通过例子2326×214和4648÷324加以详细说明．所有运算都从最高位开始进行，乘除法必需记熟乘法表(即九九歌)，运算结果要用“弃9法”，有时也用“弃11法”进行验算．运算过程中要特别注意零的性质和零号的使用方法．
据原始资料记载，当时的算术运算，是在木板上撒上一些沙子或灰土，然后用削尖的木棍在沙土上画出数字来．这是由于当时的羊皮纸过于昂贵．对于较小的数字，工商业者用手指进行计算．是否利用了石子或任何形式的象征性的算盘，还无据可查．
花拉子米的算术著作问世后，许多阿拉伯算术书的作者都以它为依据．印度数字和十进位值制记数法也开始被人们接受．在不同地区出现了东阿拉伯数字(埃及、叙利亚、伊朗等国)和西阿拉伯数字(比利牛斯半岛)．(p187 图6．1)
但是，十进位值制记数法在阿拉伯国家的普及经历了相当长的时期．在整个中世纪这种记数法也没有完全代替其它形式的记数法．许多人仍然使用
“词句记数法”．例如，艾布瓦发的《算
m al－hisāb)和凯拉吉(al-Karaji，10世纪末)的《算术全书》(Kitāb al－k fi fil Hisāb)都是十分重要的算术文献，这两本书中都没有使用新记数法．还有一些著作中同时使用两种记数法．一些历史学家推测，在当时可能存在两种相互排斥的学派：印度的和希腊的．新记数法虽然是从阿拉伯国家传入欧洲的，但在那里却很快地得到应用和巩固．而欧洲人还把这种从阿拉伯国家传入的印度数字称为“阿拉伯数字”．
花拉子米的算术著作中专门讲述了分数理论．拉丁语“分数”一词fractiones是阿拉伯语“拆开”的译文．由此在欧洲语言中产生了不同的表示法：法语——nombre rompu，表示“拉断的数”；中世纪俄语——ломаное、число，意为“破碎的数”；英文为fraction，德语为Bruch、等等．
花拉子米把分数分为“能读的”和“不能读的”，这明显地表现出
拉伯语中有单词与之对应，它们的词根来源于相应的整数．其它分数称为“不能读的”，用两个以上的复合词来表示．分数的表示方法是分子在上，分母在下，如果是带分数，则整数部分又在分数部分之上，列成
古代中国用算筹表示分数的方法完全一致．一些科学史家推测，这种分数的表示法是由中国经印度传入阿拉伯国家的．
分数进行运算时，首先要化为单分子分数，然后再通分进行各种运
这个例子表明，阿拉伯数学家无疑掌握了把一般分数化为单分子分数的方法．
花拉子米的算术书传到欧洲后，对西欧数学的发展产生了显著的影响．出现了一批直接受其影响的算术著作，这些著作又从拉丁文译成多种文字，通行了几个世纪．在欧洲中世纪，花拉子米的名字已成为新算术的代名词．
艾布瓦法(Ab’l－wef)是10世纪著名的数学家和天文学家，公元940
年生于霍拉桑(Khorasan)的布山(Buzshan)，998年卒于巴格达．他曾翻译并注释了丢番图的著作，并著有三角学、算术、几何学和实用天文学等方面的著作．他的《算术应用书》的全称为《抄写员、生意人及应用算术的其他人员必读之书》，写于961—976年间．书中记叙了各种各样的实用算术问题：商业交易、征税、度量衡、不同品种口粮的交换、钱币对换、部队口粮和薪金的分配、房屋和堤坝修建中的计算等．
《算术应用书》的第二章，详细地讲解了分数运算．艾布瓦法把分数看
作两个数的比．指出，两个数相比较的度量称为比，它具有三种形式：小比大、大比小、相等的数之比．他特别把小比大的形式称为分数．他的这种观念实际上是沿用了欧几里得关于分数的提法．《几何原本》第七卷定义三指出,一个较小的数与一个较大的数相比，等于“一份”
西定义分数为“视某整数为一整体的量”，也是同出一辙．
艾布瓦法讲述了分数的一般运算法则及其化简之后，以相当大的篇幅来讨论用分数单位表示一般分数的方法．还给出近似表示法和最佳表示法．例如
可以作为一个因子出现：
艾布瓦法所给出的这种表示法在阿拉伯的广大领土上被应用于各种实际问题．
在阿拉伯数学中还出现了用假位法(rule of false posi-tion，правилоложногоположения)非代数地求解某些代数问题的记载．假位法有单设法和双设法之分．所谓单设法，即假设一数为所求数，根据问题的条件求得一个结果，称为假结果．因为假结果与真结果之比等于假设数与所求数之比，故可依比例式求出所要求的数．这种单设法在艾布卡米尔(AbūKāmil)的《代数书》中出现过．
所谓双设法，即中国古代的一种比较著名的算法——盈不足术．在花拉子米的算术著作中就出现过这类用算术方法解一次方程的问题．他首先给出未知数的一个假定值，然后再给定另一个假定值，并为每一个值算出误差，再根据所得的答案和算出的误差，得出求知数的真值．我
15世纪上半叶，乌兹别克政治家和学者兀鲁伯(UlughBeg，1394—1449)在撒马尔罕建立了著名的天文台．在这个天文台工作的卡西(al－Kāshī，？—1429)，是由兀鲁伯请来的一位伊朗数学家．他写出了大量的数学和天文学著作，其中最重要的是《算术之钥》(Miftāh al－hisāb)和《圆周论》(Risālaal-muhītīyya)．
卡西的重要贡献之一是引进了十进制分数．在他的写于1426年的《圆周论》中，第一次①出现十进制分数．在这部著作里，他把圆周长和直径的比不仅用六十进制分数表示，而且用十进制分数表示，同时说明了十进制分数如何进行乘法和除法运算．
卡西在《算术之钥》里，详细地叙述了十进制分数的理论，并指出把六十进制分数化为十进制分数的方法．他的著作比较通俗，很易于理解．他自己写道，用十进制分数表示圆的周长与直径之比，目的是为了使“不懂得天文学家用六十进制分数计算的人能够掌握十进制分数．”卡西在引进十进制
分数之后，十分注意用四舍五入的方法简化计算，略去计算中没有意义的数位．
在《算术之钥》里有任意自然数幂的二次展开式．卡西为了把数开任意次方而运用这种分解．在这部著作中，还出现了计算任意次根的近似公式．他的前辈只有计算平方根的近似公式，用现代的符号表示是
而卡西的近似公式可以写成
在《算术之钥》里，卡西还给出了许多不同类型的有趣题目．例如：1．我们想求出这样的数，把它加倍，再加上1，把和乘以3再加上2，然后乘4，再加3，得到95．
卡西对这个题目作了三种解法：代数解法，即用花拉子米“还原与对消”的方法解方程；其次是逆推法．最后用双设法求解．
2．人们走进花园，第一个人摘下一个石榴，第二个人摘二个，第三个人摘三个，以此类推，即给每一个人增加一个．当所有的石榴刚好摘完后平均分配，每人得到六个石榴．请问人数是多少？
3．有两棵棕榈树垂直于地面，其中一棵高20肘①，另一棵高25肘，这两棵树之间的距离是60肘．它们之间有一条河或水池．在每一棵棕榈树上停留一只鸟，它们看见水中有一条鱼，于是都向着鱼的方向用相同的速度沿直线飞去，同时获得了鱼．它们飞行相遇在两树根之间的直线上．我们想要求出：每一只鸟飞行了多少时间，以及它们原来的地点与相遇地点之间的距离，也就是鱼的所在地与每棵树根之间的距离．
第三节代数学
公元820年，花拉子米写了一本《代数学》．它的阿拉伯文书名是《ilm al-jabr wa’lmuqabalah》．比较流行的一种说法认为现在西文中代数学一词algebra由此书名中的al－jabr脱胎而来．al－jabr原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡．muqabalah 意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．书名直译应为《还原与对消的科学》．al－jabr译成拉丁文是algebra，而muqabalah 被省略了，algebra则逐渐成为代数学这门科学的名称．这一名称的起源完全符合代数学本身的特点．代数的基础就是脱离具体数字以一般的形式来考虑算术运算，它的课题首先是提出解方程的变形规则．花拉子米正是以某种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓．《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理．它的条理清楚、通俗易懂．正象花拉子米在序言中所说：“在这本小小的著作里，我所选取的材料是数学中最容易和最有用途的．是人们在处理下列事物中经常需要的：在继承遗产、分配财产、审理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘沟渠等各种场合中，……”《代数学》由三部分组成：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分论及各种实用算术问题，最后一部分(也是最大的一部分)列举了大量的关于继承遗产的各种问题．
在第一部分里，花拉子米系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法．这些方程由下列三种量构成：根、平方、数．根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数项．《代数学》完全用文字叙述，没有出现任何字母和缩写符号．为了表达方便起见，我们同时用现代的符号来表示这六种方程：1．平方等于根ax2=bx
2．平方等于数ax2＝c
3．根等于数ax=c
4．平方和根等于数ax2＋bx=c
5．平方和数等于根ax2＋c＝bx
6．根和数等于平方bx＋c＝ax2
《代数学》的前六章，依次讨论了上述六种类型方程的解法．例如，第四章有这样一个问题：“一个平方数及其根的十倍等于三十九”．此问题即方程
x2＋10x＝39．
花拉子米把求解过程叙述为：“取根数目之半，在这里就是五，然后将它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，开平方得八，再减去根数的一半，即五，余三．这就是根．”用现代的符号表示这一过程，即
对于一般方程x2＋px＝q，上述结果相当于给出求根公式
在第五章，花拉子米求出了方程x2+21＝10x的两个正根，相当于
的结果小于自由项时，开平方是不可能的，此时方程无根．这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负．
以上六种类型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形．作者的讲解是如此地详尽和系统，使读者很容易掌握其解法．在这种意义上，花拉子米后来被冠以“代数学之父”的称号．
从第七章开始，花拉子米转向方程的根的几何证明．
例如，对于方程x2＋10x＝39，花拉子米给出了两种不同的几何证明．第一种证法是在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和
形，然后把图形补充为边长为(x＋5)的大正方形(图6．3)．在两种方法中，花拉子米都利用已知方程x2＋10x＝39求出大正方形的面积为64，然后开方，再求出x来．
花拉子米的几何证明明显地受希腊几何学的影响，许多证明都可以在欧几里得《几何原本》的第Ⅱ篇中找到原型．
花拉子米之后，埃及学者艾布卡米尔(AbūKāmil，约850—约930)首先继承了他的代数学并使之发扬光大．关于艾布卡米尔的生平，现在知道得很
阿拉伯数字书写规范
阿拉伯数字书写规范-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
银行柜员业务知识--阿拉伯数字书写规范 （一）阿拉伯数字书写规范 （1）阿拉伯数字应当一个一个的写，不得连笔写，排列要整齐，在书写时应有一定的斜度，一般可掌握在60度左右。 （2）书写有高度标准，一般要求数字的高度占凭证帐页横格高度的1/2为宜，书写时要注意紧靠横格底线，使上方能留出更正空间。 （3）保持均衡的间距，每个数码字要大小一致，数字间的空隙应均匀,约半个数字大小，不宜过大以防被添加数字。在印有数位线的凭证、账簿、报表上，每一格只能写一个数字，不得几个字挤在一个格里，也不得在数字中间留有空格。 （4）为防止被模仿或涂改，会计人员要保持个人的书写规律和特色： ①“1”应居中写并不可写得过短，以防被改为“4”、“6”、“7”、“9”； ②“2”的底部上绕，以免被改为“3”； ③“4”的顶部不封口，写第1笔画时应上抵中线，下至下半格的四分之一处，并注意“4”的中竖要明显比“1”短。 ④“6”的竖划应偏左，“4”、“7”、“9”的竖划应偏右，此外“6”的竖划应上提为一般数字的1/4；“7”“9”的竖划可下拉出格至一般数字的1/4。 书写“6”时下圆要明显，以防止改写为“8”； ⑤“ 8”有两种笔顺，都起笔于右上角，结束于右上角，写“8”时，上边要稍小，下边稍大，可以斜“S”起笔也可直笔起笔，终笔与起笔交接处应成菱角，以防止将“3”改为“8”。 ⑥“6”、“8”、“9”、“0”的圆圈必须封口。 （二）中文大写数字数位书写规范 中文大写数字主要用于支票、传票、数据、发票等重要票据，中文大写数字庄重、笔画繁多、可防篡改，有利于避免混淆和经济损失。中文大写是由数字和数位两部分组成，两者缺一不可。数字包括零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖；数位包括拾、佰、仟、万、亿、兆、圆（元）、角、分、等。数字和数位一定要规范用字，切不可自造字，以防篡改。一律用正楷或行书体书写，不得用简化字代替。 （三）大小写金额书写规范 通常，将用阿拉伯数字表示的金额数字简称为“小写金额”，用汉字大写数
阿拉伯数字的标准写法
会计数字书写规范 阿拉伯数字的标准写法 图1 对于如何正确、规范和流利书写阿拉伯数字的问题，是我国会计人员应掌握的基本功。重视会计工作中数码字的训练，有助于会计人员素质的提高，结合现实会计人员数码字书写的实际情况看，不仅存在大量不规范书写，而且存在“0”、“6”不分，“7”、“9”难辨的情况，况且还有把“1”改为“4”或改为“7”等错误现象，还有些人把汉字的书写艺术引入小写数字领域，主张在会计记录中将数字“1234567890”写成美术字。所有这些，都不是财会工作中合乎规范的书写方法，也不合乎手工书写的正常习惯。 应该说财务会计中，尤其是会计记账过程中书写的阿拉伯数字，同数学中或汉文字学中的书写方法并不一致，也不尽相同。 从字体上讲，既不能把这些数字写成刻版划一的印刷体，也不能把它们写成难以辨认的草字体，更不能为追求书写形式把它们写成美术体。从数字本身所占的位臵看既不能把数字写满格，占满行，又不能把字写得太小，密密麻麻，让人不易辨清楚，更不能超越账页上既定的数格。 从字型上看，既不能让数字垂直上下，也不能歪斜过度，更不能左倾右斜，毫无整洁感觉。况且，书写后要让人看着合乎规定要求，既流利又美观，还方便纠错更改。 总之，财会工作中，尤其是会计记账过程中，阿拉伯数码字的书写同普通的书写汉字有所不同，且已经约定俗成，形成会计数字的书写格式。其具体要求是： 1、每个数字要大小匀称，笔划流畅；每个数码独立有形，使人一目了然，不能连笔书写。 2、书写是字迹工整，排列整齐有序且有一定的倾斜度，各数字倾斜度要一致，一般要求求上端一律向右顺斜数字与底线通常成45 度到60 度地写。 3．每一组数字的正确书写是，应从左至右，笔划顺序是自上而下，大小一致，数字上下左右对齐，不可逆方向书写。在印有数位线的凭证、账簿、报表上，每一格只能写一个数字，不得几个字挤在一个格里，更不能在数字中间留有空格。在没有印刷数字格的会计书写中，同一行相邻数字之间应空出半个阿拉伯数字的位臵，而且距离相等，以不能增加数字为好。
公文中数字是使用阿拉伯数字还是汉字
公文中数字是使用阿拉伯数字还是 汉字？ 一、总的原则 凡是可以使用阿拉伯数字而且又很得体的地方，特别是当所表示的数目比较精确时，均应使用阿拉伯数字。遇特殊情形，可以灵活变通，但应力求保持相对统一。 二、要求使用阿拉伯数字的情况 (一)公历世纪、年代、年、月、日和时刻均使用阿拉伯数字。年份要写全数，不能简化、省略。 例如：公元前18世纪;20世纪80年代;2006年12月31日;13时40分50秒;2007年。 (二)计数与计量和统计表中的数值。如正负整数、分数、小数、百分比、比例等必须使用阿拉伯数字。 例如：20;-25;1/15;1.26;12%;2：4。 (三)代号、代码和序号。部队番号、文件编号、证件号码和其他序号均应用阿拉伯数字。 例如：中国电信〔2010〕7号文件;37/38次特别快车;期刊号CNll一1000/D;邮发代号37—1;95号汽油;HP-5100型打印机。 (四)引文标注中版次、卷次、页码、除古籍应与所据版本一致外，一般均应使用阿拉伯数字。 例如：江泽民的《科学的本质就是创新》一文，见《江泽民文选》第3卷，人民出版社2006年8月第1版，第101页。 (五)公文中成文日期须使用阿拉伯数字。 成文日期用阿拉伯数字，将年、月、日标全，年份应标全称，月、日不编虚位。 成文日期确定的原则和标注位置有2种：一是会议通过的决议、决定等以会议正式通过的日期为准，成文日期编排在公文标题之下，写全年、月、日，用()括起来。二是经机关负责人签发的公文，以签发日期为准(联合行文以最后签发的机关负责人签发的日期为准)。 成文日期在发文机关下一行位置。如果发文机关名称长于成文日期，发文机关右空两字，成文日期在发文机关名称向右缩进两字的位置;如果发文机关名称短于发文日期，则发文日期右空两字，发文机关名称向左移，使成文日期仍保持在发文机关名称向右缩进两字的位置。
(实用版)公文中数字的规范使用
公文中数字的规范使用 一、数字概述 数字主要包括汉语数字和阿拉伯数字两种。其中，汉字数字通常是指“一、二、三、四、五、六，七、八、九、十”及其大写“壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾”等数字，阿拉伯数字主要指“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”十个数字。不论是汉字数字，还是阿拉伯数字，在公文中的使用都具有严格的规定和统一的用法。 二、公文中数字使用的常见瑕疵 在公文创制中，由于写作主体对数字使用的有关规定不熟悉，规范意识、标准意识不强，审核程序不严格、不规范，汉字数字和阿拉伯数字的错用、滥用、误用、混用及表达不够精练等数字使用不规范情况层出不穷，屡见不鲜，普遍存在，如“2008年”写作“08年”，“七八天”写作“七、八天”，“腊月十五”写作“腊月15”，“一年4季”，“1,300,000,000人”等等，这些数字的不规范使用现象，都在一定程度上影响了文章的质量和发文机关的形象，汉字使用规范化、标准化亟待重视和加强。 三、汉语数字的规范使用 （一）长期已来约定俗成的定型的词语、词组、成语、短语、惯用语、缩略语或具有修辞色彩的词语中作为语素的数字，必须使用汉字。如：一概、九州、三翻四次、八仙过海、零点方案、二一添作五、见其一未见其二、不管三七二十一、九牛二虎之力、行百里者半九十，等等。 （二）星期、季度的表述及规范化简称、统称用语需使用汉字型数字，如：星期一，星期六、第二季度、第四季度，二万五千里长征、十六届四中全会、七届三中全会等。 （三）中国历史纪年、干支纪年、夏历月日、各民族非公历纪年的表述，应使用汉字型数字。如:万历十五年、丙寅年九月二十三日、戊子年四月十七日、腊月初八，正月十五，藏历阳木龙年八月二十六日等。同时，为了表达得更加明白清楚，可在它们的后边用阿拉伯数字进行括注。如康熙二十一年（1682年）。 （四）相邻的两个数字并列连用表示概数的，须使用汉字数字，且之间不能用符号隔开，如:“三四天”不能写成“三、四天”，“八九万套”不能写成“八、九万套”。 （五）含有月、日简称以表示事件、节日或其他特定意义的词组，应使用汉字数字。如果涉及到一月、十一月、十二月等因数字的重复性或连续性可能引发歧义的，要将表示月和日的数字用间隔号“?”隔开，并加引号。如：“一?二八”事变（１月２８日）、“一二?九”运动(12月9月)，若写作“一二八”事变、“一二九”事变，则可能理解为“12 月8日”、“1月29日”，进而也就违背了历史事实。涉及其他月份的，不必使用间隔号，但是否使用引号，则视事件的知名度和社会的习惯性使用而定。如“五四运动”、“五一国际劳动节”、“九一三”事件、“七七事变”等。
公文中数字序号使用顺序
文章中数字序号使用顺序 我们在写文章经常会用一些数字序号，用得好，能使我们的文章有条有理，眉目清楚；用得不好，让人看着别扭，甚至会影响文章的质量。可见序号也是文章的一个重要组成部分，它的规范与否同样很重要。在评选论文时，常常会为一些文章感到惋惜，内容、文字很精彩，可数字序号的运用不规范或者混乱，让人看着不舒服。为此，我根据自己的使用习惯，并参考了一些别的资料，在此谈谈数字序号的用法。 一、阿拉伯数字后面用黑圆点； 二、汉字数字后面用顿号； 三、“第一”“第二”“第三”后面用逗号； 四、带括号的序号和带圆圈的序号，后面不再加顿号、逗号之类； 五、“第一编”“第一章”“第一节”或“壹”的后面不用标点，与后面的文字之间空一个汉字位置即可。 六、数字序号前后一般不再用其他项目符号； 七、数字序号的级别顺序为：“一”“二”“三”——“㈠”“㈡”“㈢”——“1”“2”“3”——“⑴”“⑵”“⑶”——“①”“②”“③”等。 常见不规范之序号有：
正确的用法如下： 在论文中正确地运用序号，能使文章层次清楚，逻辑分明，便于读者阅读和引述，但目前教师撰写论文在序号的写法上存在
着不少的误区，如：层次大小不分、中文数字与阿拉伯数字混用、前后序号形式不统一，等等。下面就论文中几种常见的序号写法作一说明： 一、正文层次标题序号 正文层次标题序号要注意大小分级。如一级标题序号可用汉字一、二、三……，二级标题序号可用汉字加括号（一）（二）（三）……，三级标题序号可用阿拉伯数字1、2、3……，四级标题序号可用阿拉伯数字加括号（1）（2）（3）……，五级标题序号可用阿拉伯数字加右括号1）2）3）……，若还有六、七级序码还可采用大小写英文字母。注意加了括号的序号后就不要再加点号了。 理科类论文的各层次标题还可用阿拉伯数字连续编码，不同层次的2个数字之间用下圆点(.)分隔开，末位数字后面不加点号。如“1”，“1.2”，“3.5.1”等；各层次的标题序号均左顶格排写，最后一个序号之后空一个字距接排标题。如“5.3.2 测量的方法”，表示第五章第三节第二条的标题是“测量的方法”。 注意：同一层次各段内容是否列标题应一致，各层次的下一级序号标法应一致，若层次较少可不用若干加括号的序号。 二、正文中图、表、公式、算式等的序号 文中的图、表、公式、算式等序号一律用阿拉伯数字分别依序连续编排序号，其标注形式应便于互相区别，如“图1、表2、式（5）”等；对长篇研究报告也可以分章（条）依序编码，如“图2.1、表4.2、式（3.3）”等，其前一个数字表示章（条）序号，
公文中数字的规范使用方法
公文中数字的规范使用方法 公文是党政机关行使管理职能、进行公务活动、办理具体事务的重要工具，权威郑重，严肃规范，而数字以其清新的视觉感、震撼的冲击性、强烈的说服力和简洁鲜明成为公文中经常使用和出现的一种文字，数字在公文中应当规范有效地使用。 一、数字概述 数字主要包括汉语数字和阿拉伯数字两种。其中，汉语数字通常是指“一、二、三、四、五、六，七、八、九、十”及其大写“壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾”等数字，阿拉伯数字主要指“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”等。不论是汉字数字，还是阿拉伯数字，在公文中的使用都具有严格的规定和统一的用法。 二、公文中数字使用的常见瑕疵 在公文创制中，由于写作主体对数字使用的有关规定不熟悉，规范意识、标准意识不强，审核程序不严格、不规范，汉字数字和阿拉伯数字的错用、滥用、误用、混用及表达不够精练等数字使用不规范情况层出不穷，如“2008年”写作“08年”，“七八天”写作“七、八天”，“腊月十五”写作“腊月15”，“一年4季”，“1,300,000,000人”等等，这些数字的不规范使用现象，都在一定程度上影响了文章的质量和发文机关的形象。 三、汉语数字规范使用方法 （一）长期已来约定俗成的定型的词语、词组、成语、短语、惯用语、缩略语或具有修辞色彩的词语中作为语素的
数字，必须使用汉字。如：一概、九州、三翻四次、八仙过海、零点方案、二一添作五、见其一未见其二、不管三七二十一、九牛二虎之力、行百里者半九十，等等。 （二）星期、季度的表述及规范化简称、统称用语需使用汉字型数字，如：星期一、第二季度、二万五千里长征、十七届三中全会等。 （三）中国历史纪年、干支纪年、夏历月日、各民族非公历纪年的表述，应使用汉字型数字。如:万历十五年、丙寅年九月二十三日、腊月初八、正月十五、藏历阳木龙年八月二十六日等。同时，为了表达得更加明白清楚，可在它们的后边用阿拉伯数字进行括注。如：康熙二十一年（1682年）。 （四）相邻的两个数字并列连用表示概数的，须使用汉字数字，且之间不能用符号隔开，如:“三四天”不能写成“三、四天”，“八九万套”不能写成“八、九万套”。 （五）含有月、日简称以表示事件、节日或其他特定意义的词组，应使用汉字数字。如果涉及到一月、十一月、十二月等因数字的重复性或连续性可能引发歧义的，要将表示月和日的数字用间隔号“·”隔开，并加引号。如：“一·二八”事变（１月２８日）、“一二·九”运动(12月9月)，若写作“一二八”事变、“一二九”事变，则可能理解为“12月8日”、“1月29日”，进而也就违背了历史事实。涉及其他月份的，不必使用间隔号，但是否使用引号，则视事件的知名度和社会的习惯性使用而定。如“五四运动”、“五一国际劳动节”、“九一三”事件、“七七事变”等。 （六）用“多”“几”“余”“左右”“上下”“大约”等表示不精确数时，使用汉语数字。如：一百多次、九万左右、
第四讲 印度与阿拉伯数学及近代数学的兴起
第四讲印度与阿拉伯的数学及近代数学的兴起 第一部分印度与阿拉伯的数学 一、印度数学 1921年--1922年间，印度河流域莫亨佐?达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”。这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右。大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。 印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324-前185)、笈多王朝(320-540)，但总体而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下。公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，却在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1世纪-3世纪)。公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景。 如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响。雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前世纪)兴起的佛教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围。 印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(公元前3000-前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪—前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪—12世纪)。 1、古代《纯法经》 关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测纯的法规》，即《纯法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等。 2、“巴克沙利手稿”与零号 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。 用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明。在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算。“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法。 印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号。到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其可施行运算的一个独立的数。婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦逻的著作中都有关于零的运算法则的记述。 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。零号的传播则要晚些。 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿拉伯数字“1——10”的正确书写方法
阿拉伯数字“1——10”的正确书写方法 要求：用田字格本书写，数字1—9书写时占左边格。 1：从日字格的右上角附近起笔，画斜线到左下角附近。 2：起笔碰左线，然后向上向右碰线，略成半圆，斜线到左下角，碰下线一横。 3：起笔不碰线，向上碰线，向右不碰线，略成半圆，再向中间，在虚线以上停止，转向右下方碰线，向下碰线，弯弯地到左碰线为止。上下都是大半个圆弧，但下面比上面大。 4：从上线当中起，向左斜线到下格，碰左线后再横过去，向右碰线。第二笔从右上一半不到的地方向下，斜下去到下面的当中碰线。 5：从上线一半不到的地方，向左到中格角，再向上超过中线画一个大半圆碰右线、下线到左线为止，上面一横平，在右上线下面一点，向右碰线。 6：从上线偏右一点起，向左下方画一个弧形，碰左线、底线，绕圈向上，画成一个小圆，小圆上面超虚线。7：靠近上线，从左上角到右上角，再斜折到下面，在中间偏左的地方碰线。 8：从右向上到左一个半圆，拐向右下，碰右线、下线、左线，回上去，在虚线以上和原线相交，直线到右上角附近与起笔的地方稍离开一些为止。8是不封口的。 9：上面的一个圆是长圆，稍斜些，四角碰线，在右上角附近向左下
再一竖到下线中间。 0：从上端正中偏右起，向左画弧，虚线以下碰左线，再碰下线、右线，画成一个斜斜的椭圆，向上回到起笔的地方为止。 10：其中1写在田字格的左边，0写在田字格的右边，组成10字。 阿拉伯数字的标准写法 （1）、每个数字要大小匀称，笔划流畅；每个数码独立有形，使人一目了然，不能连笔书写。 （2）、书写排列有序且字体要自右上方向左下方倾斜地写，(数字与底线通常成60度的倾斜)。 （3）、书写的每个数字要贴紧底线，但上不可顶格。一般每个格内数字占1/2或2／3的位置，要为更正数字留有余地。 （4）、会计数码书写时，应从左至右，笔划顺序是自上而下，先左后右，防止写倒笔字。 （5）、同行的相邻数字之间要空出半个阿拉伯数字的位置，但也不可预留间隔(以不能增加数字为好)。 （6）、除“4”、“5”以外数字，必须一笔写成，不能人为地增加数字的笔划。 （7）、“6”字要比一般数字向右上方长出1/4，“7”和“9”字要向左下方（过底线）长出1/4。 （8）、对于易混淆且笔顺相近的数字，在书写时，尽可能地按标准字体书写，区分笔顺，避免混同，以防涂改。例如：“1”不可写得
阿拉伯数字的正确写法
阿拉伯数字的正确写法 对于如何正确、规范和流利书写阿拉伯数字的问题，是我国会计人员应掌握的基本功。重视会计工作中数码字的训练，有助于会计人员素质的提高，结合现实会计人员数码字书写的实际情况看，不仅存在大量不规范书写，而且存在“0”、“6”不分，“7”、“9”难辨的情况，况且还有把“1”改为“4”或改为“7”等错误现象，还有些人把汉字的书写艺术引入小写数字领域，主张在会计记录中将数字“1234567890”写成美术字。所有这些，都不是财会工作中合乎规范的书写方法，也不合乎手工书写的正常习惯。 应该说，财务会计中，尤其是会计记账过程中书写的阿拉伯数字，同数学中或汉文字学中的书写方法并不一致，也不尽相同。 从字体上讲，既不能把这些数字写成刻版划一的印刷体，也不能把它们写成难以辨认的草字体，更不能为追求书写形式把它们写成美术体。从数字本身所占的位置看既不能把数字写满格，占满行，又不能把字写得太小，密密麻麻，让人不易辨清楚，更不能超越账页上既定的数格。 从字型上看，既不能让数字垂直上下，也不能歪斜过度，更不能左倾右斜，毫无整洁感觉。况且，书写后要让人看着合乎规定要求，既流利又美观，还方便纠错更改。 总之，财会工作中，尤其是会计记账过程中，阿拉伯数码字的书写同普通的书写汉字有所不同，且已经约定俗成，形成会计数字的书写格式。其具体要求是： 1、各数字自成体型，大小匀称，笔顺清晰，合乎手写体习惯，流畅、自然、不刻版。 2、书写是字迹工整，排列整齐有序且有一定的倾斜度（数字与底线成60度的倾斜）并以向左下方倾斜为好。 3、书写数字时，应使每位数字（7、9除外）紧靠底线且不要顶满格（行）。 一般来讲，每位数字约占预留格子（或空行）的1/2空格位置，每位数字之间一般不要连结，但不可预留间隔（以不增加数字为好）；每位数字上方预留1/2空格位置，可以订正错误记录时使用。 4、对一组数字的正确书写是，应按照自左向右的顺序进行，不可逆方向书写；在没有印刷数字格的会计书写中，同一行相邻数字之间应空出半个数字的位置。 5、除4、5以外的各单数字，均应一笔写成，不能人为地增加数字的数划。但注意整个数字要书写规范、流利、工整、清晰、易认不易改。 6、如在会计运算或会计工作底稿中，运用上下几行数额累计加减时，应尽可能地保证纵行累计数字的位数对应，以免产生计算错误。 7、对于不易写好、容易混淆且笔顺相近的数字书写，尽可能地按标准字体书写，区分笔顺，避免混同，以防涂改。
公文中数字序号使用顺序
文章中数字序号使用顺序 一、阿拉伯数字后面用黑圆点； 二、汉字数字后面用顿号； 三、“第一”“第二”“第三”后面用逗号； 四、带括号的序号和带圆圈的序号，后面不再加顿号、逗号之类； 五、“第一编”“第一章”“第一节”或“壹”的后面不用标点，与后面的文字之间空一个汉字位置即可。 六、数字序号前后一般不再用其他项目符号； 七、数字序号的级别顺序为：“一”“二”“三”——“㈠”“㈡”“㈢”——“1”“2”“ 3”——“⑴”“⑵”“⑶”——“①”“②”“③”等。 常见不规范之序号有：
正确的用法如下： 在论文中正确地运用序号，能使文章层次清楚，逻辑分明，便于读者阅读和引述，但目前教师撰写论文在序号的写法上存在着不少的误区，如：层次大小不分、中文数字与阿拉伯数字混用、前后序号形式不统一，等等。下面就论文中几种常见的序号写法作一说明： 一、正文层次标题序号 正文层次标题序号要注意大小分级。如一级标题序号可用汉字一、二、三……，二级标题序号可用汉字加括号（一）（二）
（三）……，三级标题序号可用阿拉伯数字1、2、3……，四级标题序号可用阿拉伯数字加括号（1）（2）（3）……，五级标题序号可用阿拉伯数字加右括号1）2）3）……，若还有六、七级序码还可采用大小写英文字母。注意加了括号的序号后就不要再加点号了。 理科类论文的各层次标题还可用阿拉伯数字连续编码，不同层次的2个数字之间用下圆点(.)分隔开，末位数字后面不加点号。如“1”，“1.2”，“3.5.1”等；各层次的标题序号均左顶格排写，最后一个序号之后空一个字距接排标题。如“5.3.2 测量的方法”，表示第五章第三节第二条的标题是“测量的方法”。 注意：同一层次各段内容是否列标题应一致，各层次的下一级序号标法应一致，若层次较少可不用若干加括号的序号。 二、正文中图、表、公式、算式等的序号 文中的图、表、公式、算式等序号一律用阿拉伯数字分别依序连续编排序号，其标注形式应便于互相区别，如“图1、表2、式（5）”等；对长篇研究报告也可以分章（条）依序编码，如“图2.1、表4.2、式（3.3）”等，其前一个数字表示章（条）序号，后一个数字表示本章中图表、公式的序号。 三、注释和参考文献的序号 文中注释极少量的可用“*”、“**”表示，一般用圆圈的阿拉伯数字依序标注，如“①、②、③……”，标在所注对象的右上角。页脚或文末注释中对于相同内容的注释条目可合并写，如“⑥⑨马斯洛，《存在心理学探索》，昆明：云南人民出版社，
阿拉伯数学
阿拉伯的数学 从九世纪开始，数学发展的中心转向拉伯和中亚细亚。 自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。 从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世纪还充满活力。 花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的数学家，他编写了第一本用阿拉伯语在伊斯兰世界介绍印度数字和记数法的著作。公元十二世纪后，印度数字、十进制值制记数法开始传入欧洲，又经过几百年的改革，这种数字成为我们今天使用的印度─阿拉伯数码。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》(《代数学》)系统地讨论了一元二次方程的解法，该种方程的求根公式便是在此书中第一次出现。现代“algebra”(代数学)一词亦源于书名中出现的“al jabr”。 三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发展了三角学。他们引进了几种新
的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有：阿尔巴塔尼(Al-Battani)、阿卜尔维法(Abu'l-Wefa)、阿尔比鲁尼(Al-Beruni)等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁(Nasir ed-din)完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。 在近似计算方面，十五世纪的阿尔卡西(Al-kashi)在他的《圆周论》中，叙述了圆周率π的计算方法，并得到精确到小数点后16位的圆周率，从而打破祖冲之保持了一千年的记录。此外，阿尔卡西在小数方面做过重要工作，亦是我们所知道的以「帕斯卡三角形」形式处理二项式定理的第一位阿拉伯学者。 阿拉伯几何学的成就低于代数和三角。希腊几何学严密的逻辑论证没有被阿拉伯人接受。 总的来看，阿拉伯数学较缺少创造性，但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期，其成绩相对显得较大，值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去后，这些精神财富才传回欧洲。欧洲人主要就是通过他们的译着才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。
阿拉伯数字
阿拉伯数字，真的是阿拉伯人发明的吗? 阿拉伯数字，是现今国际通用数字。每天的生活中，我们都会跟数字打交道，比如说1、2、3、4等等。我们管这些数字叫做阿拉伯数字，但是这些数字真的是阿拉伯人发明的吗？ 阿拉伯数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个计数符号组成。采取位值法，高位在左，低位在右，从左往右书写。虽然叫阿拉伯数字，但是这些数字并不是阿拉伯人发明的，而是由古印度人发明的。 公元500年前后，随着经济、种姓制度的兴起和发展，印度次大陆西北部的旁遮普地区的数学一直处于领先地位。天文学家阿叶彼海特在简化数字方面有了新的突破：他把数字记在一个个格子里，如果第一格里有一个符号，比如是一个代表1的圆点，那么第二格里的同样圆点就表示十，而第三格里的圆点就代表一百。 后来，印度两河流域的古代居民在这个基础上加以改进，发明了表达数字的1，2，3，4，5，6，7，8，9，0十个符号，这就成为今天记数的基础。 公元632年，团结在伊斯兰教下的阿拉伯人征服了周围的民族，建立了东起印度，西从非洲到西班牙的阿拉伯帝国。公元700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地区，他们吃惊地发现：被征服地区的数学比他们先进，于是设法吸收这些数字。 771年，印度北部的数学家被抓到了阿拉伯的巴格达，被迫给当地人传授新的数学符号和体系，以及印度式的计算方法。由于印度数字和印度计数法既简单又方
便，其优点远远超过了其他的计算法，阿拉伯的学者们很愿意学习这些先进知识，商人们也乐于采用这种方法去做生意。 后来，阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元10世纪，又由教皇热尔贝·奥里亚克传到欧洲其他国家。公元1200年左右，欧洲的学者正式采用了这些符号和体系。至13世纪，在意大利比萨的数学家费婆拿契的倡导下，普通欧洲人也开始采用阿拉伯数字，15世纪时这种现象已相当普遍。 阿拉伯数字虽然起源于印度，但却是经由阿拉伯人传向四方的。正因阿拉伯人的传播，成为该种数字最终被国际通用的关键节点，所以人们称其为"阿拉伯数字"。如今，阿拉伯数字，已经是现今国际通用数字。
越玩越聪明的印度数学
第一章；高速印度数学------时间的魔术 第一式：任意数和11相乘 步骤1：把和11相乘的数的首位和末尾数字拆开，中间留出若干空位；（若两位数与11相乘，则空出一位，若三位数和11相乘，则空出两位，依次类推） 步骤2：把这个数各个数位上的数字依次相加； 步骤3：把步骤2求出的和依次填写在上一步留出的空位上。 例题1：26×11=？ 把26拆开，2和6之间空出一个数位 2【】6 2+6=8，把8填在2和6之间的空位上，2【8】6 最终答案：286 :例题2：94×11=？ 把94拆开，9和4之间空出一个数位 9【】4 9+4=13，把13填在9和1之间的空位上。因为13>10，向百位进1, 9【13】 4 1034 最终答案：1034 例题3：25391×11=？ 把25391第一位上的数字2和最后一位数字1分开写下来，中间留四个空位。
2【】【】【】【】1 把25391各个数位上的数字依次相加 2+5=7 5+3=8 3+9=12 9+1=10 在第一步留出的四个空位上依次填入第二步的结果，哪个数位满10就向前一位进1 2【7】【8】【12】【10】1 2【7】【9】【3】【0】1 最终答案：279301 第二式：瞬间解答个位是5的两位数乘方运算 步骤1：十位上的数字乘以比它大1的数； 步骤2：在上一位得数的后面紧接着写上25 例题1：95×95=？ 十位上的数字9乘以比它大1的数10，9×10=90 在90后面写上25 最终答案：9025 例题2：75×75=？ 十位上的数字7乘以比它大一的数8，7× 8=56 在56后面写上25 最终答案：5625
阿拉伯数字的含义
数字的含义 “1”万物的起始：《说文》有语“一，惟初太始道立于一，造分天地，化成万物。”《淮南子》有语“一也者，万物之本也。” “2”——在中国人眼里，“2”是偶数，有“双”的寓意。中国人总是希望好事成双，所以“2”是个很受欢迎的吉祥数字。结婚要贴“喜喜”，取双喜临门的彩头，祝词“比翼双飞”，希望夫妻白首偕老。平时称赞人，也是“才貌双全”、“文武双全”、“智勇双全”。讨吉利时，带“两”带“双”的词就更多了：“两全其美”、“福慧双修”、“双喜临门”等等。 “3”——在中国文化里，“三”表示多，凡事不过三，很多时候，三具有典型性，“三”表示多而且典型时，有词“入木三分”、“绕梁三日”等等，《战国策》有语“鲁仲连辞让者三。”《史记》有语“一篇之中三致志焉。”小说中，更喜欢用“三天三夜”这个经典时间段。 “三”与道家的渊源，体现在“三皇”、“道”的解释：三，天地人之道也。《老子》有语“一生二，二生三，三生万物。” “4”——在中国，“4”也是一个典型数字，用途非常广泛，很有价值。 “四柱”：指人出生的年、月、日、时。 “四知”：天知、神知、我知、子知。 “四制”：丧服有恩、理、节、权四制。 “四大”：佛家以地、水、火、风为四大。道家以道、天、地、人为四大。 “四行”：四种德行：仁、义、礼、智或孝、忠、信、悌，内容随文而异。 “文房四宝”：笔、墨、纸、砚四种文具的统称。 “5”——在中国文化和生活里，“5”是一个应用的很广的数字，很有文化价值和使用价值。 “五行”：金、木、水、火、土。段玉裁注：“水火木金土，相克相生，阴阳交午也。” “五伦”：封建礼教指君臣、父子、兄弟、夫妇、朋友五种伦理关系。 “五谷”：稻、黍、稷、麦、豆。 “五音”：中国五声音阶上的五个级，相当于现行简谱上的1、2、3、5、6。唐代以来叫合、四、乙、尺、工。更古的时候叫宫、商、角、徵、羽。 “五官”：指耳、眼、鼻、口、身，通常指脸部器官。 “6”——“六”，“六六大顺”，由此可见，“六”在中国人眼里，是多么的受欢迎受重视。中国文化里，“六”的使用也非常广泛，是一个非常有价值的数字。 “六合”：上下和四方，泛指天地或宇宙。成玄英疏：“六合，天地四方。” “六书”：古代分析汉字而归纳出的六种条例，即指事、象形、形声、会意、转注、假借。或指“六经”，即《诗》、《书》、《礼》、《乐》、《易》、《春秋》 “六礼”：中国古代婚姻需备的六种礼节——纳采、问名、纳吉、纳征、请期、亲迎。 “六亲”：古指父、母、兄、弟、妻、子。 “六律”：1.黄钟（C）、2.大吕（＃C）、3.太簇（D）、4.夹钟（＃D）、5.姑洗（E）、6.中吕（F）、7.蕤宾（＃F）、8.林钟（D）、9.夷则（＃G）、10.南吕（A）、11.无射（＃A）、12.应钟（B）、合称十二律。区分开来，奇数（阳）称六律，偶数（阴）称六吕，合称律吕。 “六味”：指苦、酸、甘、辛、咸、淡等六种滋味。 “六料”：原指稻、黍、稷、粱、麦、菽六谷，后为各种谷物的泛称。 “六曹”：指功曹、仓曹、户曹、兵曹、法曹、士曹。 “7”——“七”，在中国历史文化和生活中，用的非常广泛，是个很有文化价值和使用价值的数字。
阿拉伯数字 的含义
【摘录】阿拉伯数字的含义 “1”——“一”，有第一、金牌、万物起始之意，是成就、地位和尊荣的象征，是世界万物的起点。 第一：No.1是很多成功人士一生追求的目标，站在事业和人生的颠峰，永远成为天之骄子。“第一”对于他们是地位和尊荣的象征。 金牌：奥运会等大型比赛，金牌就意味着第一，是所有人花费无数心血争夺的目标，它不仅代表了参赛者的最高能力和成就，也给国家和人民带来无上的荣耀。 一，万物的起始：《说文》有语“一，惟初太始道立于一，造分天地，化成万物。”《淮南子》有语“一也者，万物之本也。” “1”——在西方，它表示完美、独尊、起始，代表概念世界的一，一产生多，因而是世界的象征。一产生多，一不是数，没有性的特征，属于太阳的领域。 西方命理认为，生日带“1”的人，是一个有野心，喜欢站在颠峰的人，不喜欢受人指使，喜欢依照自己的意愿行事。具有领导能力，容易获得成功，兼且能得到别人的信任。 塔罗牌里的1：魔术师 就象数字“1”代表“万物之始”的意义，这张牌象征着宇宙创造万物的力量，隐藏在起点的能量。牌面上画的“魔术师”代表：掌管精神面和物质面的三大力量——“出发、创造、发现”。诉说着从“无”到“有”的过程中，蕴藏着无限大的万能力量。
“2”——在中国人眼里，“2”是偶数，有“双”的寓意。中国人总是希望好事成双，所以“2”是个很受欢迎的吉祥数字。 结婚要贴“喜喜”，取双喜临门的彩头，祝词“比翼双飞”，希望夫妻白首偕老。平时称赞人，也是“才貌双全”、“文武双全”、“智勇双全”。讨吉利时，带“两”带“双”的词就更多了：“两全其美”、“福慧双修”、“双喜临门”等等。 “2”——在西方，“2”是第一个偶数，属于阴性。这是和立体空间有关的第一个数。2是可分的，代表对立物。它不能象征灵魂或精神，只能象征肉体或物质。属于自然的秩序，也属于世俗存在和价值的秩序，属于月亮的领域。 在西方命理中，生日带“2”的人具有洗练、优雅、高贵的气质，他们拥有灵巧的手段，可以完成“不可能的任务”。而且，人际关系很好，擅长社交。 塔罗牌里的2：女祭师 塔罗牌大阿卡那的第2张是“女祭师”，她坐在宝座上，看来自在平静，有些高深莫测。她拥有灵性，可以让隐藏的力量和秘密显现，进而给予人们这些知识。所以当牌面正立时显示的是宁静、直觉、含蓄以及谨慎；当牌面倒立时则表示诡秘、猜疑、冷漠和迟缓。 “3”——在中国文化里，“三”表示多，凡事不过三，很多时候，三具有典型性，“三”表示多而且典型时，有词“入木三分”、“绕梁三日”等等，《战国策》有语“鲁仲连辞让者三。”《史记》有语“一篇之中三致志焉。”小说中，更喜欢用“三天三夜” 这个经典时间段。
阿拉伯数学
第六章：阿拉伯数学 第一节综述 阿拉伯数学是指7世纪伊斯兰教兴起后，崛起于阿拉伯半岛，建立在横跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国统治下各民族所开创的数学．通常所谓伊斯兰国家的数学或中亚细亚数学也是指阿拉伯数学．在伊斯兰国家里，科学文化的发展是许多民族的学者共同劳动的结果，数学也不例外．他们是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、犹太人和阿拉伯人，等等．他们大都是伊斯兰教徒．讲到这一时期这一地区的数学，没有很恰当的词语来表述，由于当时的数学著作都是用阿拉伯文撰写的，一般就统称为阿拉伯数学．上述各民族的学者有时也统称为阿拉伯人．公元6世纪以前，阿拉伯人过着游牧部落生活．当时阿拉伯半岛盛行多神崇拜，各部落间战争连绵不断．由于东西商路改道，社会经济日趋衰落，要求改变这种社会状况和实现政治统一，成为各部落的共同愿望．伊斯兰教的创始人默罕穆德(Mvhammad，约570—632)，出生于阿拉伯半岛麦加城的一个没落贵族家庭，早年曾随商队到过叙利亚等地，后来回到麦加城经商．公元610年，在麦加开始创传以信仰一神为中心的伊斯兰教．后因遭到多神教徒的反对和迫害，于公元622年秘密出走麦地那．他在那里组织了一个接受伊斯兰教的阿拉伯部落联盟，号召所有伊斯兰教徒——穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血缘的狭隘界限以共同的信仰为纽带团结起来．伊斯兰教就这样在阿拉伯半岛创立并迅速传播开去，成为团结阿拉伯人的一种力量． 阿拉伯部落统一后，形成了一个威势很大的军事力量．在“与异教斗争”的神圣口号下，迅速向东方和西方的富饶国家入侵，并在被征服的国家里普及了伊斯兰教．不到一个世纪，阿拉伯人就占领并统治了几乎整个比利牛斯半岛、所有地中海沿岸的非洲国家、近东地区、高加索和中亚细亚，形成了一个横跨欧、亚、非三洲的强大的阿拉伯帝国．我国历史上称之为大食国①．由于哈利发政权的对立斗争，在8世纪中叶，大食国分裂为东大食和西大食．东大食的首都是巴格达，西大食的首都是科尔多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之间，基督教十字军东侵，把穆斯林逐出圣地．13世纪初，成吉思汗率蒙古部队西征．13世纪中叶，成吉思汗之孙旭烈兀再次率兵西征，占领了原来阿拉伯哈利发在亚洲的所有领土，创立了伊儿汗国．蒙古人征服了这些伊斯兰国家后不久，他们自己也都皈依了伊斯兰教．到了14、15世纪，在中亚又出现了另一个蒙古帝国——帖木耳国．12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去了他们在欧洲的立足点．在阿拉伯帝国的统治下，被征服的民族很快转向伊斯兰教．同时，阿拉伯语很快成为各国通行的语言，在知识界成为学术交流的工具．这和中世纪西方各国把拉丁语作为通用语言一样．阿拉伯人和其它民族的人民共同创造了新的、别具一格的文化．当时欧洲正处在漫长的黑暗时期，阿拉伯世界的科学文化却后来居上，成为当时的人类科学文化中心之一．
印度数学
印度数学 一、印度数学第一式： 任意数和11相乘 解法步骤： 1、把和11相乘的数的首位和末位数字拆开，中间留出若干空位； 2、把这个数各个数位上的数字依次相加； 3、把步骤2求出的和依次填写在步骤1留出的空位上。 例1：12×11=？ 1、把和11相乘的数的首位和末位数字拆开，中间留出若干空位， 即1（）2 2、把这个数各个数位上的数字依次相加，即1+2=3 3、把步骤2求出的和依次填写在步骤1留出的空位上，即132。 例2：210×11=？ 1、把和11相乘的数的首位和末位数字拆开，中间留出若干空位 即2（）（）0 2、把这个数各个数位上的数字依次相加， 即2+1=3；1+0=1 3、把步骤2求出的和依次填写在步骤1留出的空位上，即2310。 例3：92586×11=？ 1、把和11相乘的数的首位和末位数字拆开，中间留出若干空位， 即9（）（）（）（）6 2、把这个数各个数位上的数字依次相加， 即9+2=11；2+5=7；5+8=13；8+6=14 3、把步骤2求出的和依次填写在步骤1留出的空位上， 即9（11）（7）（13）（14）6 最后结果为：1018446 练习： 34×11= 57×11= 98×11= 123×11= 589×11= 967×11= 25688×11= 8786854×11= 278678678×11= 二、印度数学第二式： 个位是5的两位数乘方运算： 解法步骤： 1、十位上的数字乘以比它大一的数； 2、在上一步得数后面紧接着写上25。 例：15×15=？ 1、十位上的数字乘以比它大一的数，即1×2=2；
2、在上一步得数后面紧接着写上，即225。 练习： 25×25= 35×35= 45×45= 55×55= 65×65= 75×75= 85×85= 95×95= 三、印度数学第三式： 十位数相同，个位数相加得10的两位数乘法： 解法步骤： 1、十位上的数字乘以比它大1的数； 2、个位数相乘； 3、将步骤2的得数直接写在步骤1的得数后面。 例1：63×67=？ 1、十位上的数字乘以比它大1的数，即6×7=42； 2、个位数相乘，即3×7=21； 3、将步骤2的得数直接写在步骤1的得数后面，即4221。 例2：98×92=？ 1、十位上的数字乘以比它大1的数，即9×10=90； 2、个位数相乘，即8×2=16； 3、将步骤2的得数直接写在步骤1的得数后面，即9016。 练习： 14×16= 21×29= 37×33= 42×48= 59×51= 86×84= 四、印度数学第四式： 十位数相同，个位数任意的两位数乘法： 解法步骤： 1、被乘数加上乘数个位上的数字之和乘以十位的整十数（1~19段的就乘以10，21~29段的 就乘以20。。。。。）； 2、个位数相乘； 3、将前两步得数相加。 例：15×17=？ 1、被乘数加上乘数个位上的数字之和乘以十位的整十数（1~19段的就乘以10，21~29段的 就乘以20。。。。。）；即（15+7）×10=220 2、个位数相乘；即5×7=35 3、将前两步得数相加。即220+35=255 练习： 23×21= 35×39= 47×42= 51×56= 69×64= 86×82=