最新4-1：和圆有关的比例线段-教案

高二数学选修4-1

五和圆有关的比例线段

教学目标：

1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．

教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系

教学活动：

一．复习导入：

1. 证明：已知：弦AB和CD交于O O内一点P. 求证：PA・PB= PC PD .

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．从一般到特殊，发现结论．对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直思

考：

(1)若AB是直径，并且AB丄CD于P.根据相交弦定理，能得到什么结论？

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

(2)若再连结AC , BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

2 2 2

PC2= PA-PB ; AC2= AP-AB ; CB2= BP-AB

二.范例讲解一

例1：已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为

32 厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.

根据题意列出方程并求出相应的解.

例2 :已知：线段a, b. 求作：线段c,使c2= ab.

分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a十b为直

径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段．

作法：口述作法．

三.课堂练习一

练习1 : 如图，AP = 2厘米，PB= 2. 5厘米，CP= 1厘米，求CD.

（变式练习：若AP = 2厘米，PB = 2. 5厘米，CP, DP的长度皆为整数•那么CD的长度是多少?）

练习2: 如图，CD是O O的直径，AB丄CD，垂足为P, AP = 4厘米，PD = 2厘米•求

PO的长.

练习3 : 如图：在O O中，P是弦AB上一点，0P丄PC, PC交O O于C. 求证：PC2

=PA-PB

分析：由AP-PB，联想到相交弦定理，想到延长CP交O O于D，于是有PC-PD= PA-PB.又根据条件OP丄PC.易证得PC = PD问题得证.

探究：1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P,那么该点到割

线与圆交点的四条线段PA, PB , PC, PD的长之间有什么关系？

2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时，猜想：由圆外这点到割线与

圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA, PB, PT之间又有什么关系？

3、用语言表达上述结论.

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比

例中项.

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. （也叫做割线定理）

四.范例讲解二…

例1 :已知：O O的割线PAB交O O于点A和B , PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求O O的半径.

（分析：由于PO既不是O O的切线也不是割线，故须将PO延长交O O于D，构成了圆的一条割线，而OD 又恰好是O O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解. ）

例2 :如图7-90，两个以O 为圆心的同心圆，AB 切大圆于B , AC 切小圆于C ,交大圆于D 、

E . AB=12 , AO=15 , AD=8 .求：两圆的半径.

A

五. 课堂练习二

1、P 为O O 外一点，OP 与O O 交于点A ,割线PBC 与O O 交于点B 、C ,且PB=BC . OA=7 ,

PA=2，求PC 的长.

AB 的延长线于 N .求证：PN 2=NM • NQ .

六. 课堂反思：

观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆, 割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线 NBA .具备了在两圆中运用切割线定

理及其推论的条件. 例：如图7- 93，四边形

ABCD 内接于O O , AB 长 7cm ,

CD=10cm , AD : BC=1 :2,延长BA 、CD 相交于E ,从E

引圆

I -1 的切线EF .求EF 的长.

c \

B

图 7-93

分析：此题中 EF 是O O 的切线，由切割线定理： EF 2=ED • EC=EA • EB ，故要求EF 的长,

须知ED 或EA 的长，而四边形 ABCD 内接于O O ,可

AD pr AD 1

推得△EATs/XECB,则= —,而=

15ED 加 则EB

BC -bB

BC 2

2、已知：如图 7-92 , O O 和O O '都经过A 和B , PQ 切O O 于P ,交O O '于Q 、M ，交

NP 是O O 的切线，NMQ 是O O '的

图 7- 90

EB长为2x，应用割线定理，可求得x，于是EF可求.

证明：四边形ABCD 内接于O O

答：EF 长为12cm .

六

和圆有关的比例线段• 习题课

班级

姓名

学号

教学目标：

1 •理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证

明；

2 •掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归 纳出几何性质的

能力

3•能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.

教学重点：正确理解相交弦定理及其推论.切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到 的重要定理. 教学难点：囹 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系

教学活动： 一•切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度， “切线长”是切线

上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 二

切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切

线平行，则圆上两个切点的连线为直径；

（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点

可得到一个等腰三角形；（4 ）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半 径的夹角互补；（5 ）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 三.利用切线长定理解题

例1.如图1,正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆 0,过A 作半圆切 线，切点为F ,交

CD 于E ,求DE: AE 的值。

解

‘

-

例2 :如图7,在直角三角形 ABC 中，/ A = 90°,以AB 边为直径作O 0,交斜边BC 于点D , 过D 点作O 0的切线交AC 于E 。

ZEAC = ZC

ZEDA = ZB

AD BC =AD --- = —1 △ EAD s\ ECB

-

ED 1

奁更二］ 1 2 \ 2 设 ED’J

—:;EB=2x

EDC 、EAB 都是©0的割线=>ED • EC = EA* EB AB = 7

CD = 10 —x(x+10)=(2x -7) • 2x 一L x=8

EF 切 OcrfF EDC 是e 。割线

EF?二 ED *

EC CD = 1.0

—L EF 2=8 X (8+10) —L EF=12