湖北省八校2019届高三第二次联合考试数学(理科)试题
湖北省2019届高三第二次八校联考理数试题
第I卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题
目要求的）
1.已知复数 z = -l1+.L_i ，则z的共辄复数在复平面内对应的点在〈
A.第一象限
B.第二象限
c. 第三象限
n 2.已知集合 P= {xi y= J- x2 - x+ 2} ,Q= {x I lnx<l｝，贝，1 P Q= c
湖北省八校 2019 届高三第二次联考 鼓掌（理科）试题 第l页（共 4 页〉
3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的特题区域内。 写在jj；卷、 .l;r. 摘
纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。 答案写在特跑卡
上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题厌域均无效。
5. 考试结束后，请将答题卡上交。
食祝考试顺利食
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 、 准考证号填写在以卷和科陋卡上，并将准考证 .I,.｝.. 条形阴 tili 贴在：科题 k
上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选ti＼特案后. J J:J 2日铅笔把伴随·卡上对！但跑. 1:1的特来标号涂黑。 写在试
卷 、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均元效。
A. ( o, 2 J
B. [ - 2 , e)
C. < O , 1〕
D.第四象限
)
D. ( 1, e)
3.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数， AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系
如下表：
AQI 指数值 0 ～ 50 51 ～100 101～150 151 ～ 200 201～300 >300
2019届湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校高三第二次联考数学(理)试题
湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 孝感高中荆州中学 襄阳四中 襄阳五中八校2019届高三第二次联考数学(理科)试题命题学校：孝感高中 命题人：王亚 武娟 蒋志方 彭西骏 审题学校：荆州中学 审题人：冯钢 陈静 监 制：全品大联考·武汉全品教育科技有限公司 考试时间：2019年3月27日星期三下午3:00~5:00第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数i1i 2z +=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知集合2{2+--==x x y x P ,}1ln {＜x x Q =,则=Q PA.(0,2]B.[-2,e)C.(0,1]D.(1,e)3.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表：下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.若等差数列{a n }的公差为-2,a 5是a 2与a 6的等比中项,则该数列的前n 项和Sn 取得最大值时,n 的值等于 A.4 B.5 C.6 D.75.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种6.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且ED AE =,若AC u AB EB +=λ,则=uλA.-3B.31- C.3 D.317.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是A.23-1 B.23 C.43-4 D.438.函数])0,2[)(cos (sin cos 2)(π-∈+=x x x x x f 的最大值为A.2-1 B.1 C.2 D.21+9.已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于B A ,两点(点A 在第一象限),若直线l 的倾斜角为32π,则=BFAFA.31 B.52 C.21 D.3210.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A.22B.10C.32D.1311.已知双曲线)0,(12222＞b a by ax =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,2点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.512.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--≥+=0),1ln(20,121)(2＜x x x x x f ,若函数kx x f x g -=)()(有且只有2个零点,则实数k 的取值范围为A.(0,2)B.(0,12)C.(2,+∞)D.(12,2)第II 卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)13. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≤322y x x y x ,则y x 2+的最小值为_____.14. 已知函数13)1()(23+--+=ax x a x x f ,若)(x f 在1=x 处取得极值,则曲线)(x f y =在点(0,f (0))处的切线方程为____.15. 已知数列{a n }满足a n =2a n-1+2n-1(n ∈N*,n ≥2),若a 4=65,则a 1=____.16. 设),0(4)4(ln )(),(2222R b a bba b a b a ∈+-+-=＞ϕ,当b a ,变化时),(b a ϕ的最小值为_____.三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)17．(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且向量m =(2a-c ,b )与向量n =(cos C ,cos B )共线。
湖北省八校2019届高三第二次联考理科数学试题及参考答案
湖北省八校2019届高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案D C C C B A A C A C A D二、填空题：13.4；14.310x y +-=；15.3；三、解答题：17.解：（1） （ − ， ）与(cos ,cos )n C B = 共线，(2)cos cos a c B b C ∴-=.即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+=………4分即sin (2cos 1)0A B -=..21cos ,0sin =∴≠B A 3π),π,0(=∴∈B B .……………6分（2）3π,373===B a b ，在ABC ∆中，由余弦定理得：222229631cos ,35402232a cbc B c c ac c +-+-===∴--=⨯⨯.则9c =或6c =-（舍去）.………………8分222cos2a b c C ab +-∴===，123AD DC DC b =∴== 分在BDC ∆中，由余弦定理得：2222cos 972319BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯⨯=,BD ∴=………………12分18.解：（1）AD BC BC AD 21,//= ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，.//BQ CD ∴90,90=∠∴=∠AQB ADC 即.AD QB ⊥………………2分又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．…………4分∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．………………5分（2）∵PD PA =，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABCD =AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．如图，以Q 为原点，分别以QP QC QA ,,所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．………………6分平面BQC 的法向量可取为)1,0,0(=n ；………………7分(0,0,0)Q，P，B，(C -．设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =--- ,3PM MC=343(1)3),,44443()4x x x y y y M z z z ⎧=-⎪=--⎧⎪⎛⎫⎪⎪∴=⇒=- ⎪⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩………………………9分在平面MBQ中，30),,444QB QM ⎛==- ⎝⎭，设平面MBQ 法向量的法向量为(,,)m x y z =，(,,)0003(,,),,00444x y z y m QB x y z z m QM ⎧⋅=⎧=⎧⎪⋅=⎪⎪∴⇒⎛⎫⎨⎨⎨⋅-==⎪⋅= ⎪⎪⎩⎪⎩ ⎪⎝⎭⎩ 令1x =则m = .……………………11分设二面角M BQ C --的平面角为θ，则33cos cos ,122m n m n m n θ⋅====⨯⋅ .6π=∴θ所以二面角M BQ C --的大小为6π.……………………12分19.（1）解：由题意可得2,a c bc ==……………………2分又222a b c =+ 得2224,3,1a b c ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=.……………………4分（2）证明：由（1）可得：直线:1l x =-，3(1,)2A -，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消y 可得222(34)84120k x kmx m +++-=，设1,122(),(,)M x y N x y 则2248(43)k m ∆=-+，222122143124,438k m x x k km x x +-=+-=+………………7分MAB NAB ∠=∠ 0AM AN K K ∴+=，………………8分12123322011y y x x --∴+=++，即122133()(1)()(1)022kx m x kx m x +-+++-+=.212122232(412)382()()23(230234234k m km kx x m k x x m m k m k k-∴++-++-=-+-⋅+-=++化简可得(21)(223)0k m k +--=，………………10分21-=∴k 或0322=--k m .当2230m k --=时，直线MN 的方程为3(1)2y k x =++，直线MN 经过点3(1,2A -，不满足题意，则21-=k .故直线MN 的斜率为定值12-.………………12分20．解：（1）根据散点图可以判断，dx c y e =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型．………………………1分对dx c y e =两边取自然对数得ln ln d y c x =+，令ln z y =，ln a c =，b d =，得z a bx =+．因为71721()()40.1820.272147.714()i i i i i xx z z b xx ==--===-∑∑ ，………………………3分 3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯=- ，所以z 关于x 的线性回归方程为0.272 3.849z x =- ．………………………4分所以y 关于x 的回归方程为849.3272.0e -∧=x y ．………………………5分（2）（i）由2335)1(C )(p p p f -=，得)53)(1(C )(235'p p p p f --=，因为01p <<，令()0f p '>得053>-p ，解得305p <<，所以()f p 在3(0)5，上单调递增，在3()5,1上单调递减，所以()f p 有唯一极大值3()5f ，也为最大值.所以当3=5p 时，max 216()625f p =……………9分（ii）由（i），当()f p 取最大值时3=5p ，所以)53,5(~B X ，…………………10分3()5=3,5E X ∴=⨯326()5=555D X =⨯⨯.…………………12分21.解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2221221()1a x ax f x x x x--+'=-+=-.………1分（i ）若1a ≤,则()0f x '≤，当且仅当1a =，1x =时()0f x '=，………………2分（ii ）若1a >，令()0f x '=得12x a x a =-=+………………3分当),1()1,0(22+∞-+--∈a a a a x 时，()0f x '<；当()1,122-+--∈a a a a x 时，()0f x '>.所以:当1a ≤时,()f x 单调递减区间为(0,)+∞,无单调递增区间;当1a >时,()f x单调递减区间为(()0,,a a ++∞；单调递增区间为(a a +.………………………5分(2)由(1)知:1a >且12122, 1.x x a x x +==………………6分又()12121212()2,()2x x g x b cx g b c x x x x x +''=--∴=--++,由12()()0g x g x ==得:22112122ln ()()x b x x c x x x =-+-.………………7分221212121121212121222()2()()()()()ln 2x x x x x x x y x x g b x x c x x x x x x x +--'∴=-=----=-++1211222(1)ln 1x x x x x x -=-+.………………9分令()120,1x t x =∈2(1)ln ,1t y t t -∴=-+22(1)0(1)t y t t --'∴=<+,所以y 在()0,1上单调递减，由y 的取值范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，得t 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈++=++=∴,29212412212t t x x x x a ，又1>a ，故实数a的取值范围是,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.………………12分22．解：（1）把6πcos(4-=θρ，展开得θθρcos 32sin 2+=，……………1分两边同乘ρ，得θρθρρcos 32sin 22+=①．………………3分将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入①，………………4分即得曲线C 的直角坐标方程为023222=--+y x y x ．………………5分（2）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23121代入②式，得0132=-+t t ，………………6分设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则1,32121-=-=+t t t t .………………7分点M 的直角坐标为)1,0(.………………8分则由参数t 的几何意义即得12,MA t MB t ==,且021<t t ，1212||||MA MB t t t t ∴+=+=-===.………10分23．解：（1）当1a =时，()11f x x x =++-即⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-=.1,2,11,2,1,2)(x x x x x x f ………………3分故不等式4)(≤x f 的解集为{}22≤≤-x x ．………………5分（2）若(0,1)x ∈时，不等式()2f x x <+恒成立，即112x ax x ++-<+恒成立，等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<恒成立．………………7分若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥，不满足条件；………………8分若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤．………………9分综上，a 的取值范围为(0,2]．………………10分。
湖北省八校联盟2019届高三第二次猜题考试数学(理)试题
湖北省八校联盟2019届高三第二次猜题考试数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2,}xA y y x R ==∈，{|}B x y x R ==∈，则A B =A ．{}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=A ．2 C ．33. 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩()N ξξ∈服从正态分布()2100,10N ，已知()901000.4P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为A.20B.10C.7D.54．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要A ．7天B ．8天C ．9天D ．10天5．在矩形ABCD 中，6,4AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于3的概率为 A ．14 B ．13 C ．916 D ．496. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 A ．2B ．43C ．54D ．17. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A.甲 B.乙 C.丙D.丁8．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为A.1723π B.433π C. 48πD. 56π9. 设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则||||OH ON 的值为 A ．p B ．12 C ．2D ．3210. 设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为 A ．10B ．8C ．16D ．2011. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B ，且在72,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12195,,126x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=A.B.1-C. 1D.2-12. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 中点，点P 是正方形11DCC D 内的动点(含边界)，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -A.649B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则3a b +=_______ ．14.已知,x y 满足,2,2 2.y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则2z x y =+最大值为_________．15.在ABC ∆中，,6B ACD π∠==是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．16.已知实数a ，b ，c 满足2211a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么()()22a cb d -+-的最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21nn a S -=.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21(1)n n n b a n n +=⋅+，求数列{}n b 的前100项和100T .18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD 平面ABP ，2BC CP BP ===，2,4CD AB ==（1）证明：平面ABP ⊥平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求sin α的值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，1）作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分12分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考数学(理)试题
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再求出f（1）即可判断【详解】f（﹣x）f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1）0，故排除B，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得m，且m，∴m，故m的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考数学(理)试题
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考数学试题(理科)本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ).A.2i -B.2iC.2D.2- 2.集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B = ( ).A.}{1x x < B.}{11x x -≤< C.{}2x x ≤ D.{}21x x -≤<3.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.74.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，25760a a a +-=，则11S 的值为( ).A.11B.12C.20D.225.已知偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，则对实数a b ，，“a b >”是“()()f a f b >”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.平面α外有两条直线a ，b ，它们在平面α内的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是( ).A.若a b ⊥，则m n ⊥B.若m n ⊥，则a b ⊥C.若//m n ，则//a bD.若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面8.若6ax⎛ ⎝展开式的常数项为60，则a 的值为( ).A.4B.4±C.2D.2±9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A.10B.43C.83D.16310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A.45B.1925C.2350D.4110011.设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C的离心率为( ).12.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12x x ，，若不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是( ).A.[)3-+∞，B.()3+∞，C.[)e -+∞，D.()e +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设x y ，满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩，则2z x y =-的取值范围为 .14.若非零向量 a b ，满足()2a a b ⊥+，则a b b+= .15.在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是 .16.在平面直角坐标系xOy 中，点n A (()12 2nnn n+-⋅，)(*n N ∈)，记21221n n n A A A -+∆的面积为n S ，则1ni i S ==∑ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)若0 2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()13f α=，求cos2α.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC === 2AD AB PD PB ====.(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；(Ⅱ)当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值.19.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于样本平均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.65.8.若随机变量Z 服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.DPC EA20.(本小题满分12分)设椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 1x f x e x =-+(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭4，，点B 是曲线2C 上的点，求AO B ∆面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.(Ⅰ)若()22f x x +>，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12，求a 的值.数学试题(理科)答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.115.⎭ 16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 三、解答题：17.(本小题满分12分) (Ⅰ)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=. …………………………5分(Ⅱ)由()13f α=可得，1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin 2632x π⎛⎫<+=< ⎪⎝⎭，∴2 62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分 18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥. ∵2AD AB ==，BD = ∴30ADB ABD ∠=∠=， ∴90ADC ∠=，∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，BDPCE MA∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD . ∵EMBM M =，∴平面BEM ∥平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.则D (0，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1). 易知平面PBD 的一个法向量为()11 0 0n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，， 则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()3DC =，()0DP =，∴300x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩.令y =，得13x z =-=-，，∴()213n =--，∴121212cos 13n n n n n n⋅===⋅，. 设二面角C PD B --的大小为θ，则cos θ=………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；…………………………5分(Ⅱ)由题意得，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)；…………………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)设椭圆的半焦距为cb c a=，，∴椭圆C的方程可设为22221 2x yb b+=.易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b+=，解得2263ab⎧=⎨=⎩，∴椭圆C的方程为22163x y+=. …………………………5分(Ⅱ)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x(Ⅰ)知，M N，，()()22220OM ON OM ON==-⋅=，，，，，∴O M O N⊥.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y，，，，=()2221m k=+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m++=，∴()222124260k x kmx m+++-=，得()()()222122212244122604212621km k mkmx xkmx xk⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122OM x y ON x y==，，，，∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m⋅=+=+++，()()()22222121222264112121m kmk x x km x x m k km mk k--=++++=+⋅+⋅+++()()()()222222222222212642132266366212121k m k m m k k km kk k k+--+++----====+++，∴O M O N⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有O M O N ⊥. 在Rt OM N ∆中，由OM P ∆与NO P ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分) (Ⅰ)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+. 令()11x h x e x =-+，则()()2101x h x e x '=+>+， ∴函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==. 可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.…………………………5分 (Ⅱ)∵()()()ln 1xg x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(Ⅰ)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减； 当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增，∴函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+. 令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211xx x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴()()max 01x ϕϕ==.∴函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ.∴AO B ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当2312πθ=时，max 2S = ………………………10分23.(本小题满分10分)(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10 1>22x x x +>⎧⎨+-⎩或10 122x x x +<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>，∴实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. ………………………5分 (Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，， ，，，， 易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴1112a -=，解得2a =. ………………………10分11。
2019届湖北八校第二次联考理科数学答案
2 ⨯ 3⨯3 7 cos C = = = 湖北省八校2019 届高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：13. 4 ； 14. 3x + y -1 = 0 ； 15. 3 ； 16. 2 -1.三、解答题： 17.解：（1）¯N ¯˙ = （2a −c ，b ）与 n = (cos C , cos B ) 共线，∴(2a - c ) cos B = b cos C .即(2sin A -sin C ) cos B = sin B cos C 即sin A (2 cos B -1) = 0 .sin A ≠ 0,∴cos B = 1 .2B ∈(0, π),∴ B = π ...................6 分3，∴2sin A cos B = sin(B + C ) = sin A ………4 分 （2） b = 37, a = 3, B = π，在∆ABC 3中，由余弦定理得： a 2 + c 2 - b 2 9 + c 2 - 63 1 2cos B = = = ,∴ c - 3c - 54 = 0 .2ac 2 ⨯ 3⨯ c 2则c = 9 或c = -6 （舍去） ..................................................8 分∴ a 2 + b 2 - c 2 9 + 63 - 81 2ab 在∆BDC 中，由余弦定理得：-1 ，AD = 2DC ∴ DC = 1 b = 3 .……10 分 BD 2 = CB 2 + DC 2 - 2CB ⋅ DC cos C = 9 + 7 - 2 ⨯ 3 ⨯ 7 ⨯ -12 7= 19 ,∴ BD = 19………………12 分 18. 解：（1） AD // BC , BC = 1AD ，Q 为 AD 的中点， 2∴四边形 BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ .∠ADC = 90 ,∴∠AQB = 90即QB ⊥ AD . ………………2 分又∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ，∴ BQ ⊥平面 PAD ．......... 4 分 ∵ BQ ⊂平面 PQB ，∴平面 PQB ⊥平面 PAD ． (5)分 （2）∵ PA = PD ， Q 为 AD 的中点，∴ PQ ⊥ AD ．∵面 PAD ⊥面 ABCD ，且面 PAD ∩面 ABCD = AD ，∴ PQ ⊥面 ABCD ．2 773 3 3 3 3 y ⎪如图，以Q 为原点，分别以QA , QC , QP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴 建立空间直角坐标系． ....................................................... 6 分平面 BQC 的法向量可取为 n = (0,0,1) ；......................................... 7 分 Q (0, 0, 0) ， P (0, 0, 3) ， B (0, 3, 0) ， C (-1, 3, 0) ．设 M ( x , y , z ) ，则 PM = (x , y , z - 3) ， MC = (-1 - x , - y , - z ) , PM ⎧x = - 3= 3MC⎧ x = 3(-1- x ) ⎪⎪3 3 ⎛ 3 ⎫ ∴⎨ y = 3( - y ) ⇒ ⎪ y =∴ M - , , ⎪………………………9 分⎨ 4 4 4 4 ⎪ ⎪z - = 3(-z ) ⎪ ⎝ ⎭ ⎩ ⎪ 3⎪ z =⎩4 ⎛ 3 3 3 3 ⎫ 在平面 MBQ 中， QB = (0, 3, 0), QM = - 4 , 4 , 4⎪ ， ⎝ ⎭设平面 MBQ 法向量的法向量为 m = (x , y , z ) ，⎧ ⎧ (x , y , z ) ⋅ (0, 3, 0) = 0 ⎧ y = 0⎪ m ⋅ Q B = 0 ∴⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎨(x , y , z ) ⎛ 3 3 3 3 ⎫ ⎨⎪⎩m ⋅ Q M = 0 ⎪ ⋅ - 4 , 4 , 4 ⎪ = 0 ⎪⎩z = 3x ⎩ ⎝ ⎭令 x = 1 则 m = (1, 0, 3) (11)分 设二面角 M - BQ - C 的平面角为θ ，则cos θ= cos m ,n === 1⨯ 2 2∴θ= π. 6 所以二面角 M - BQ - C 的大小为 π12 分619. （1）解：由题意可得 a = 2c , bc = 2 分 又 a 2 = b 2 + c 2 得 a 2 = 4,b 2 = 3, c 2 = 1所以椭圆C 的方程为 x 2+ = 1 ..................................................................................... 4 分43（2）证明：由（1）可得：直线l : x = -1，A (- 3，设直线 MN 的方程为 y = kx + m ，1, ) 2代入椭圆方程，消 y 可得(3 + 4k 2 )x 2 + 8kmx + 4m 2 -12 = 0 ，设 M (x 1, y 1 ), N (x 2 , y 2 )则∆ = 48(4k 2 - m 2 + 3)， x + x = - 8km, x x = 1 23 + 4k 2 1 2 4m 2 - 12 3 + 4k 2………………7 分∠MAB = ∠NAB ∴ K AM + K AN = 0， .......................................... 8 分y -3y -33 3∴ 12 + 22 = 0 ，即(kx + m - )(x +1) + (kx + m - )(x +1) = 0 . x +1 x +11 2 2 2 2 1 12∴ 3 2k (4m 2 -12) 3 8km2kx 1x 2 + (m + k - 2)(x 1 + x 2 ) + 2m - 3 = 3 + 4k 2 - (m + k - ⋅ + 2m - 3 = 0 2 3 + 4k 23 3 3 34 2∑ 40.182 i y = e5 5 ，f ( ) 化简可得(2k + 1)(2m - 2k - 3) = 0 ∴ k = - 1或2m - 2k - 3 = 0 .2， ........................................ 10 分当2m - 2k - 3 = 0 时，直线 MN 的方程为 y = k (x +1) + 3，直线 MN 经过点 A (-1, 3) ，不满足题意，22则 k = - 1 .故直线 MN 的斜率为定值- 1 ........................ 12 分22 20. 解：（1）根据散点图可以判断， y = c edx更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度x 的回归方程类型． ............................................................... 1 分对 y = c e dx 两边取自然对数得ln y = ln c + d x ，令 z = ln y ， a = ln c ， b = d ，得 z = a + bx ．7(x i - z i - z 因为b = i =1 = = 0.272 ， .......................................................................... 3 分∑ i =1(x - x )2147.714a= z - b x = 3.612 - 0.272 ⨯ 27.429 = -3.849 ， 所以 z 关于 x 的线性回归方程为 z = 0.272x - 3.849 ． ..............................4 分 所以 y 关于 x 的回归方程为 ∧0.272 x -3.849 ． .................................... 5 分 （2）（i ）由 f ( p ) = C 3 p 3 (1 - p )2 ，得 f ' ( p ) = C 3 p 2(1 - p )(3 - 5 p ) ，因为0 < p < 1 ，令 f '( p ) > 0 得3 - 5 p > 0 ，解得0 < p < 3，所以 f ( p ) 在(0 3) 上单调递增，在(3 ,1) 上单调递减，所以 5 5 5 f ( p ) 有唯一极大值 3 5，也为最大值.所以当 p = 3 时， f ( p ) 5 max = 216 625 ……………9 分（ii ）由（i ），当 f ( p ) 取最大值时 p = 3 ，所以 53X ~ B (5, ) ， .................. 10 分5 ∴ E ( X ) = 5 ⨯ 3 =3, D ( X ) = 5⨯ 3 ⨯ 2 =6 ..............................................................................12 分5f (x )5 5 5 (0, +∞)-1 2a x 2 - 2ax + 121.解:（1） 的定义域为 ， f '(x ) = - 1 + = - 1 分 x 2 x x 2（i ）若 a ≤ 1,则 f '(x ) ≤ 0 ，当且仅当 a = 1 ， x = 1 时 f '(x ) = 0 ， .................2 分 （ii ）若 a > 1 ，令 f '(x ) = 0 得 x = a -x = a +………………3 分当 x ∈ (0, a -a 2 - 1) (a +1 2a 2 - 1,+∞) 时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈ (a -a 2 -1, a + a 2 -1)时， f '(x ) > 0 .所以:当a ≤ 1时, f (x ) 单调递减区间为(0, +∞),无单调递增区间;当 a > 1 时, f (x ) 单调递减区间为(0, a -, (a ++∞)；单调递增区间为(a - a + ................................ 5 分77 = < ⎨ ⎩(2)由(1)知: a > 1 且 x 1 + x 2 = 2a , x 1 x 2 = 1. ………………6 分又g '(x ) = 1 - b - 2cx ,∴ g '( x 1 + x 2 ) = 2- b - c ( x + x ) ,由 g (x ) = g (x ) = 0 x 2 x + x1 2 1 2 得 : lnx 11 2= b (x - x ) + c (x 2 - x 2 ) ................................................................ 7 分x 2 ∴ y = (x 1212- x )g '( x 1 + x 2 ) = 2( x 1 - x 2 )- b (x- x ) - c (x 2- x 2 ) = 2( x 1 - x 2 ) - ln x 1 1 2x + x 1 2 1 2 x + x x 2( x1 -1) = x 2x 1 + 1 x 21 2 1 2 2- ln x 1 ..................................................................................................................................................................9 分 x 2 令 x 1 = t ∈(0,1) x 2∴ y = 2(t - 1) - ln t , ∴ y ' t + 1 -(t - 1)2t (t + 1)2 0 ,所以 y 在(0,1) 上单调递减，由 y 的取值范围是⎡ln 2 - 2 , +∞ ⎫ ，得t 的取值范围是⎛ 0, 1 ⎤， ⎢ 3 ⎪ 2 ⎥∴ 4a 2 =⎣ ⎭ ⎝ ⎦ x 1+x 2+ 2 = t + 1 + 2 ∈ ⎡ 9 ,+∞⎫> 1x 2 x 1t ⎢⎣2⎪ ，又 a ，⎭故实数a 的取值范围是⎡ 3 2, +∞⎫ 12 分 ⎢ 4 ⎪ ⎣ ⎭22．解：（1）把ρ= 4 cos(θ- π ，展开得ρ= 2 s in θ+ 2 63 cos θ，............ 1 分 两边同乘ρ，得ρ2 = 2ρsin θ+ 23ρcos θ①．....................................3 分 将ρ2 = x 2 + y 2 ,ρcos θ= x ,ρsin θ= y 代入①， .................................... 4 分即得曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 ⎧x = - 1 t3x - 2 y = 0 ． ...................... 5 分⎪（2）将⎨2 代入②式，得t 2 + 3t - 1 = 0 ， .......................... 6 分 ⎪ y = 1 +3 t ⎩ 2设方程的两个实根分别为 t 1，t 2，则t 1 + t 2 = - 3, t 1t 2 = -1 ................................................. 7 分 点 M 的直角坐标为(0,1).............................................................................................................. 8 分 则由参数 t 的几何意义即得 MA = t 1 , MB = t 2 ,且t 1t 2 < 0 ，∴| MA | + | MB |= t + t = t - t === 10分 1212⎧- 2x , x ≤ -1,23．解：（1）当 a = 1时， f (x ) = x +1 + x -1 即 f (x ) = ⎪2,-1 < x < 1, ⎪2x , x ≥ 1. ………………3 分故不等式f (x) ≤ 4 的解集为{x - 2 ≤x ≤ 2}．................................ 5 分（2）若x ∈(0,1) 时，不等式 f (x) <x + 2 恒成立，即 x +1 +ax -1<x + 2恒成立，等价于当x ∈(0,1) 时| ax -1|<1 恒成立．....................................... 7分若a ≤ 0 ，则当x ∈(0,1) 时| ax -1|≥1 ，不满足条件；............................ 8 分若a > 0 ，| ax -1|<1 的解集为0 <x <2，所以2≥1 ，故0 <a ≤ 2 ．............. 9 分a a综上，a 的取值范围为(0, 2] ．............................................... 10 分。
湖北省八校2019届高三数学下学期第二次联考试题 理
湖北省八校2019届高三数学下学期第二次联考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数(1)(2)i i z i-++=-，则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B =∩ A ．{7} B ．{3,5} C ．{1,3,6,7} D ．{1,3,7}3.下列选项中说法正确的是A ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真” 的必要条件.B ．若向量,a b r r 满足0a b ⋅>r r ，则a r与b r 的夹角为锐角.C ．若22bm am ≤，则b a ≤.D ．“0,0200≤-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≥-∈∀x x R x ”.4.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于A. 7B. 6C.5D.45.过双曲线2221(0)4x y b b -=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且||6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是A ．(0,2]B ．(0,2)C ．D ．(6.已知若1e ，2e 是夹角为90的两个单位向量，则213e e a -=，212e e b +=的夹角为A ．120B ．60C ．45D ．307.()20cos a x dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为A ．212-B ．638-C ．638D ．63168.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为A.S =S +n xB.S =S +nx n C.S =S + n D.S =S +10nx 9.设F 为抛物线24x y =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++的值为A ．3B ．6C ．9D ．1210.函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数()()()g x f x a f x =+-都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即3V kd =。
2019届湖北省黄冈中学、华师一附中等八校高三第二次联考数学(理)试题(word版)
湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 孝感高中荆州中学 襄阳四中 襄阳五中八校2019届高三毕业班第二次联考数学(理科)试题第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数i1i2z +=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合2{2+--==x x y x P ,}1ln {＜x x Q =,则=Q P I A.(0,2] B.[-2,e) C.(0,1] D.(1,e)3.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表：AQI 指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 ＞300 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.若等差数列{a n }的公差为-2,a 5是a 2与a 6的等比中项,则该数列的前n 项和Sn 取得最大值时,n 的值等于 A.4 B.5 C.6 D.75.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种6.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且=,若AC u AB EB +=λ,则=uλA.-3B.31-C.3D.31 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 A.23-1 B.23 C.43-4 D.43 8.函数])0,2[)(cos (sin cos 2)(π-∈+=x x x x x f 的最大值为A.2-1B.1C.2D.21+9.已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于B A ,两点(点A 在第一象限),若直线l 的倾斜角为32π,则=BFAF A.31 B.52 C.21 D.3210.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A.22 B.10 C.32 D.1311.已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,2点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.512.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--≥+=0),1ln(20,121)(2＜x x x x x f ,若函数kx x f x g -=)()(有且只有2个零点,则实数k 的取值范围为A.(0,2)B.(0,12)C.(2,+∞)D.(12,2)第II 卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)13. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≤322y x x y x ,则y x 2+的最小值为_____.14. 已知函数13)1()(23+--+=ax x a x x f ,若)(x f 在1=x 处取得极值,则曲线)(x f y =在点(0,f (0))处的切线方程为____.15. 已知数列{a n }满足a n =2a n-1+2n-1(n ∈N*,n ≥2),若a 4=65,则a 1=____.16. 设),0(4)4(ln )(),(2222R b a b b a b a b a ∈+-+-=＞ϕ,当b a ,变化时),(b a ϕ的最小值为_____.三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)17．(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且向量m =(2a-c ,b )与向量n =(cos C ,cos B )共线。
湖北省八校联考2019届高三第二次联考数学(理)试卷
湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 孝感高中荆州中学 襄阳四中 襄阳五中八校2019届高三第二次联考数学(理科)试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数i1i2z +=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合2{2+--==x x y x P ,}1ln {＜x x Q =,则=Q PA.(0,2]B.[-2,e)C.(0,1]D.(1,e)3.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表：下图是某市10月1日~20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.若等差数列{a n }的公差为-2,a 5是a 2与a 6的等比中项,则该数列的前n 项和Sn 取得最大值时,n 的值等于A.4B.5C.6D.75.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种6.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且ED AE =,若u +=λ,则=uλA.-3B.31-C.3D.31 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长 为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 A.23-1 B.23 C.43-4 D.43 8.函数])0,2[)(cos (sin cos 2)(π-∈+=x x x x x f 的最大值为A.2-1B.1C.2D.21+9.已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于B A ,两点(点A 在第一象限),若直线l 的倾斜角为32π,则=BFAF A.31 B.52 C.21 D.3210.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A.22 B.10 C.32 D.1311.已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,2点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.512.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--≥+=0),1ln(20,121)(2＜x x x x x f ,若函数kx x f x g -=)()(有且只有2个零点,则实数k 的取值范围为A.(0,2)B.(0,12)C.(2,+∞)D.(12,2)第II 卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)13. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≤322y x x y x ,则y x 2+的最小值为_____.14. 已知函数13)1()(23+--+=ax x a x x f ,若)(x f 在1=x 处取得极值,则曲线)(x f y =在点(0,f (0))处的切线方程为____.15. 已知数列{a n }满足a n =2a n-1+2n -1(n ∈N*,n ≥2),若a 4=65,则a 1=____.16. 设),0(4)4(ln )(),(2222R b a b b a b a b a ∈+-+-=＞ϕ,当b a ,变化时),(b a ϕ的最小值为_____.三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)17．(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且向量m =(2a-c ,b )与向量n =(cos C ,cos B )共线。
湖北八校2019届高三第二次联合考试数学(理科)试题及精品解析
湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中）2019届高三第二次联合考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】：化简集合，根据交集的定义计算．【详解】：因为集合，化简，所以，故选D．【点睛】：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．2.若复数z满足为虚数单位，为z的共轭复数，则A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由，得，则，，则，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.4.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数，∴f（-x）=f（x），则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b，即-（b-a）=b-a，得b-a=0，得b=a，则f（x）=ax2-a=a（x2-1），若f（x）在（0，+∞）单调递减，则a＜0，由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，得x＞4或x＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞），故选B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．5.已知双曲线的离心率为，则a的值为A. 1B.C. 1或D.【答案】C【解析】分析：可用排除法，验证与是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当时，化为，离心率为，符合题意；当时，化为，离心率为，符合题意,的值为，故选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率.6.等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框内应填的条件可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，，，返回；第二次执行，，，，返回；第三次执行，，，，要输出x，故满足判断框，此时，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.8.将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9.在的展开式中，含项的系数是A. 119B. 120C. 121D. 720【答案】B【解析】分析：展开式中含项的系数是，利用组合数的运行性质计算即可.详解：的展开式中，含项的系数是，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及组合式的性质，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A. B. 160 C. D. 64【答案】A【解析】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得，进而可得结果.详解：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，则：，两次相除得：，又由第二定义可得，为的中点，反之，直线过线段中点，直线斜率为零，则与重合，所以“轴”是“直线过线段中点”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.12.下列命题为真命题的个数是；；；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小。
湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中湖北省八校荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2019届高三第二次联考 数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足21iz i=+，那么z 的共轭复数在复平面上对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】试题分析：因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===++-+,所以1z i =-，所以z 的共轭复数在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2.已知集合{|P x y ==，{|ln 1}Q x x =<，则P Q =I A. (0,2] B. [2,e)- C. (0,1] D. (1,e)【答案】C 【解析】由题意知，集合P 表示函数y =的定义域，由220x x --+≥，即220x x +-≤，(1)(2)0x x -+≤，解得21x -≤≤，所以[2,1]P =-.由ln 1x <，得0e x <<，所以(0,e)Q =，所以(0,1]P Q ⋂=，故选C.3.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1 4C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对A，因为第10天与第11天AQI指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确；对C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D，由图知，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.4.若等差数列{}n a的公差为-2，且5a是2a与6a的等比中项，则该数列的前n项和n S取最大值时，n的值等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】计算得到132n a n =-，610a =>，710a =-<，得到答案.【详解】5a 是2a 与6a 的等比中项，故2526a a a =⋅，即()()()21118210a a a -=--，解得111a =.故132n a n =-，610a =>，710a =-<，故6S 最大. 故选：C .【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的综合应用，确定数列的正负分界点是解题的关键.5.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A. 36种 B. 42种C. 48种D. 60种【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可分为两种情况讨论：①甲在最左端，将剩余的4人全排列；②乙在最左端，分析可得此时的排法数目，由分类计数原理，即可求解．【详解】根据题意，最左端只能拍甲或乙，可分为两种情况讨论：①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有4424A =种不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有33318A =种不同的排法，由分类计数原理，可得共有241842+=种不同的排法，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中注意优先元素受到的限制条件，合理分类求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，且AE ED =u u u r u u u r，若EB AB AC λμ=+u u u ru u u ru u u r，则λμ=（ ） A. -3 B. 13-C. 3D.13【答案】A 【解析】 【分析】化简得到3144 EB AB AC =-uu u r u u u r u u u r，计算得到答案.【详解】()11312444EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC AB ACλμ=+=-+=-++=-=+ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故34λ=，14μ=-，故3λμ=-.故选：A.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A.34B.32C.434D.312-【答案】D【解析】设大正方形边长为1,则小正方形面积为11331412222-⨯⨯⨯=- ,因此所求概率为23132112=-选D.8.函数()2cos(sin cos),02f x x x x xπ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为（）A. 12B. 1C. 2D. 12+【答案】C【解析】【分析】化简得到()2214f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭，432,44xπππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，计算得到答案.【详解】()2cos (sin cos )sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则432,44x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()()max 02f x f ==.故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.9.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为23π，则||||AF BF 等于（ ）A.13 B.25C.12D.23【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，作辅助线，计算23AF p =，2BF p =，得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作准线的垂线与过F 点x 轴的垂线交于点M ，过点B 作准线的垂线与过F 点x轴的垂线交于点N . 直线l 的倾斜角为23π，则6AFM π∠=，则AMF ∆中，12AM AF =， 故12CM AC AM AF AF p =+=+=，故23AF p =，同理可得：2BF p =. 故||1||3AF BF =. 故选：A .【点睛】本题考查了抛物线中线段的比例关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.10. 如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A. 22B. 10C. 3D. 13【答案】C【解析】DE=+=C．【详解】试题分析：由题意得，该多面体为如下几何体，最长的棱长为8423考点：空间几何体三视图．11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .过点F 且垂直于x 轴的直线l交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上一点，当APB ∠最大时，点P 恰好在M （或N ）处.则双曲线的离心率为（ ） 23 C. 2 5【答案】A 【解析】当过,A B 的圆与直线l 相切于P 点时，直线上其它点都在圆外，此时APB ∠最大，由切割线定理得2222||||||()()FP FB FA c a c a c a b ==-+=-=，点P 恰好在M 处，所以||FM b =，由双曲线通径公式可得可知2||b FM a =， 所以2,,1b bb a b a a=∴==，所以双曲线的离心率为212b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数0()2ln(1),0x f x x x =⎪--<⎩…，若函数()()g x f x kx =-有且只有两个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. （0,2） B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (2,)+∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求导得到函数的单调性，画出函数图像，计算斜率范围，根据图像得到答案. 【详解】当0x ≥时，()f x =2241y x -=的一部分， 渐近线为12y x =，斜率为12；当0x <时，()2ln(1)f x x =--，()2'01f x x=>-，函数单调递增. 画出图像， 如图所示：当0x <时， ()2'1f x x =-，故()'02f =，根据图像知：122k <<. 故选：D .【点睛】本题考查了函数零点个数问题，画出函数图像是解题的关键.二、填空题（把正确答案填在答题卡上）13.若x ，y 满足223x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则2x y +的最小值为________.【答案】5 【解析】 【分析】先作出可行域，再做直线1:2l y x =-，平移l ，找到使直线在y 轴上截距最小的点，代入即得。
湖北省八校(荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考试数学(理科)试题(解析版)
湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中）2019届高三第二次联合考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】：化简集合，根据交集的定义计算．【详解】：因为集合，化简，所以，故选D．【点睛】：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．2.若复数z满足为虚数单位，为z的共轭复数，则A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由，得，则，，则，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.4.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数，∴f（-x）=f（x），则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b，即-（b-a）=b-a，得b-a=0，得b=a，则f（x）=ax2-a=a（x2-1），若f（x）在（0，+∞）单调递减，则a＜0，由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，得x＞4或x＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞），故选B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．5.已知双曲线的离心率为，则a的值为A. 1B.C. 1或D.【答案】C【解析】分析：可用排除法，验证与是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当时，化为，离心率为，符合题意；当时，化为，离心率为，符合题意,的值为，故选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率.6.等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框内应填的条件可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，，，返回；第二次执行，，，，返回；第三次执行，，，，要输出x，故满足判断框，此时，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.8.将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9.在的展开式中，含项的系数是A. 119B. 120C. 121D. 720【答案】B【解析】分析：展开式中含项的系数是，利用组合数的运行性质计算即可.详解：的展开式中，含项的系数是，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及组合式的性质，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A. B. 160 C. D. 64【答案】A【解析】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得，进而可得结果.详解：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，则：，两次相除得：，又由第二定义可得，为的中点，反之，直线过线段中点，直线斜率为零，则与重合，所以“轴”是“直线过线段中点”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.12.下列命题为真命题的个数是；；；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小。
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你永远是最棒的湖北省八校2019届高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案D C C C B A A C A C A D二、填空题：13.4；14.3x y10；15.3；16.21.三、解答题：17.解：（1）（−，）与n(cosC,cos B)共线，(2a c)cosB bcosC.即(2sin A sinC)cos B sin BcosC，2sin Acos B sin(B C)sin A………4分即sin A(2cosB1)0.1sin A0,cos B.2πB(0,π),B.……………6分3π（2）b37,a3,B，在ABC中，由余弦定理得：3a c b9c6312222cos B,c3c5402.2ac23c2则c9或c6（舍去）.………………8分a2b2c29638111cosC AD2DC DC b7.……10分，2ab2337273在BDC中，由余弦定理得：2221BD CB DC2CB DC cos C9723719,27BD19………………12分118.解：（1）AD//BC,BC AD，Q为AD的中点，2∴四边形BCDQ为平行四边形，CD//BQ.ADC90,AQB90即QB AD.………………2分又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．…………4分∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．………………5分（2）∵PA PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．1自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的如图，以 Q 为原点，分别以QA,QC,QP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴 建立空间直角坐标系． ………………6 分 平面 BQC 的法向量可取为 n (0,0,1)；………………7 分Q(0, 0, 0) ， P(0, 0, 3) ， B(0, 3, 0) ，C(1, 3,0)．设 M (x, y, z) ，则 PM(x, y, z 3)， MC (1x, 3 y,z) , PM 3MC3 x4x 3(1 x)3 33 3 3 34 4 4 4 y 3( 3 y) y M , ,z 3 3(z)3z4………………………9 分3 3 3 3 在平面 MBQ 中，QB (0, 3,0),QM, ,4 44设平面 MBQ 法向量的法向量为 m(x, y, z)，，(x, y, z) (0, 3, 0) 0m QB 0 y 03 3 3 3m QM(x, y, z) , , 0 z 3x4 4 4令 x 1则 m (1, 0, 3).……………………11 分设二面角 MBQ C 的平面角为，则mn 3 3coscos m,n12 2mnπ . 所以二面角 M BQ C 的大小为6π 6 . ……………………12 分19. （1）解：由题意可得 a 2c,bc3……………………2 分又a 2 b 2c 2 得a 24,b 23,c 21所以椭圆 C 的方程为xy 221. (4)分43（2）证明：由（1）可得：直线l : x1，3A(1, ) ，设直线 MN 的方程为 ykxm ，2代入椭圆方程，消 y 可得(3 4k 2 )x28kmx 4m 212 0，设 M (x y ), N(x , y )1, 122则48(4k 2m 23)，8km4m122xx, x x………………7 分121 23 4223 4kkMABNABKK，………………8 分AM AN3 3 yy 1222 0x1 x 112，即 33(kxm )(x 1)(kx m )(x1) 0 .12212232k(4m12)3 8km22kx x(m k )(xx ) 2m3 (m k)2m31 21222234k2 34k2自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的化简可得(2k 1)(2m 2k 3)0，………………10分1k 或2m 2k 30.2当2m 2k 30时，直线MN的方程为3y k(x 1)，直线MN经过点23A(1,)，不满足题意，2则1k .故直线MN的斜率为定值21.………………12分220．解：（1）根据散点图可以判断，y ce dx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型．………………………1分对y ce dx两边取自然对数得ln y ln c dx，令z ln y，a lnc，b d，得z a bx．因为7(x x)(z z)i i40.182， (3)分b i10.2727147.7142(x x)ii1a zb x 3.6120.27227.4293.849，所以z关于x的线性回归方程为z 0.272x 3.849．………………………4分所以y关于x的回归方程为e0.272 3.849yx．………………………5分（2）（i）由f 33，得()C32(1)(35)(p)C p p2f'p p p p，因为0p1，5令f (p)0得35p 0，解得0333p ，所以f(p)在(0，)上单调递增，在(,1)上单调递减，所以555f(p)有唯一极大值3f()，也为最大值.所以当53p=时，5216f(p) (9)分max625（ii）由（i），当f(p)取最大值时33p=，所以X~B(5,)， (10)分553E(X)5=3,5326D(X)5= (12)分55512a x 2ax 1221.解:（1）f(x)的定义域为(0,)，.………1分f(x)1x x x22（i）若a1,则f(x)0，当且仅当a1，x1时f(x)0，………………2分（ii）若a1，令f(x)0得2 2x a a x a a.………………3分11,21当x(0,a a21)(a a21,)时，f(x)0；当1,1x时，f(x)0.a a2a a2所以:当a1时,f(x)单调递减区间为(0,),无单调递增区间;当a1时,f(x)单调递减区间为220,a a1,a a1,；单调递增区间为a a21,a a21.………………………5分3自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的(2)由(1)知: a 1且 x 1 x 2 2a,x 1x 2 1. ………………6 分1 x x2 又1 2g (x)b 2cx, g ( ) bc x x12x2xx12,由 g(x )g(x )12得: xlnb(xx ) c(xx ). ………………7 分122 1212x2x x 2(x x ) 2(x x ) xy (xx )g ( )b(xx ) c(xx )ln1 2 1 2121221 212122xxxxx12122x 2( 1) 1xx2ln 1xx121x2. ………………9 分x(t1)2(t 1) ln ,2令1t 0,1yytxt(t1)t 1220 ,所以 y 在0,1上单调递减，由y的取值范围是 ln22,31 0, ，得t 的取值范围是2，x x 1 94a2 t2,，又a 1，212xx t221故实数 a 的取值范围是3 2,. ………………12 分4π22．解：（1）把4 cos() ，展开得2sin 2 3 cos ， ……………1 分6两边同乘，得2sin 2 3 cos2①．………………3 分将2x 2y 2 , cos x,sin y 代入①，……………… 4 分即得曲线 C 的直角坐标方程为 x 2y 2 2 3x 2y0 ．………………5 分x y （2）将1t 2 13 t2代入②式，得t 23t 10 ，………………6 分设方程的两个实根分别为 t 1，t 2，则 1t3,t t1t.………………7 分 21 2点 M 的直角坐标为 ( 0,1) . ………………8 分则由参数 t 的几何意义即得 MAt 1 , MBt 2 ,且 1tt，22| MA| | MB | tttttt4t t34 7 .………10 分1212121 223．解：（1）当 a 1时， f (x) x 1x 1 即2x, x1,f (x)2,1 x1, ………………3 分2x, x 1.4自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的故不等式f(x)4的解集为x 2x 2．………………5分（2）若x(0,1)时，不等式f(x)x 2恒成立，即x 1ax 1x 2恒成立，等价于当x(0,1)时|ax 1|1恒成立．………………7分若a 0，则当x(0,1)时|ax 1|1，不满足条件；………………8分若a 0，|ax 1|1的解集为20x ，所以a2a1，故0a2．………………9分综上，a的取值范围为(0,2]．………………10分5自信是迈向成功的第一步。
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湖北省
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二
中 孝感高中荆州中学 襄阳四中 襄阳五中八校
2019届高三第二次联考
数学(理科)试题
第I 卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数i
1i
2z +=
,则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合2{2+--==x x y x P ,}1ln {＜x x Q =,则=Q P
A.(0,2]
B.[-2,e)
C.(0,1]
D.(1,e)
3.空气质量指数
101~150 下图是某市10月
A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
4.若等差数列{a n }的公差为-2,a 5是a 2与a 6的等比中项,则该数列的前n 项和Sn 取得最大值时,n 的值等于 A.4 B.5 C.6 D.7
5.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种
6.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且=,若u +=λ,则
=u
λ
A.-3
B.31-
C.3
D.3
1 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾
股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长 为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
α=
，现在向该正方形区
域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 A.23-
1 B.23 C.43-4 D.4
3 8.函数])0,2
[)(cos (sin cos 2)(π
-
∈+=x x x x x f 的最大值为
A.2-1
B.1
C.2
D.21+
9.已知抛物线)0(22
＞p px y =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于B A ,两点(点A 在第一象限),若直线l 的倾斜角为
32π,则=BF
AF A.
31 B.52 C.21 D.3
2 10.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A.22 B.10 C.32 D.13
11.已知双曲线)0,(122
22＞b a b
y a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于
x 轴的直线l 交双曲线于N M ,2点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或
N )处,则双曲线的离心率为
A.2
B.3
C.2
D.5
12.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧--≥+=0
),1ln(20,121)(2
＜x x x x x f ,若函数kx x f x g -=)()(有且只有2个零点,则实数k 的取值范围为
A.(0,2)
B.(0,12)
C.(2,+∞)
D.(1
2
,2)
第II 卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)
13. 若y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥≤322y x x y x ,则y x 2+的最小值为_____.
14. 已知函数13)1()(2
3
+--+=ax x a x x f ,若)(x f 在1=x 处取得极值,则曲线)(x f y =在点(0,f (0))处的切线方程为____.
15. 已知数列{a n }满足a n =2a n-1+2n -1(n ∈N*,n ≥2),若a 4=65,则a 1=____.
16. 设),0(4
)4(ln )(),(2
222
R b a b b a b a b a ∈+-+-=＞ϕ,当b a ,变化时),(b a ϕ的最小值为_____.
三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)
17．(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且向量m =(2a-c ,b )与向量n =(cos C ,cos B )共线。
（1）求B ； （2）若73=b ,3=a ,且2=,求BD 的长度.
18．(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD//B C,∠ADC =90°,平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A=PD =2，BC =1，AD =2，CD = 3. （Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ；
（Ⅱ）若M 是棱PC 上的一点,且满足PM 3=,求二面角M-BQ-C 的大小.
19. （12分）已知椭圆)0(12222＞＞：b a b y a x C =+的离心率为2
1
,左、右焦点分别为21,F F ,椭圆C 上短轴的一个端点
与两个焦点构成三角形的面积为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于B A ,两点(点A 在第二象限),N M ,是椭圆上位于直线l 两侧的动点,若NAB MAB ∠=∠,求证：直线MN 的斜率为定值.
20. (12分)红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中∑==7
7
1,ln i i z z y z
（1）根据散点图判断,bx a y +=与dx
ce y =(其中e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y 关于x 的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
（2）根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为)10(＜＜p p .
（i ）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值，并求出相应的概率0p . （ii ）当)(p f 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：对于一
组数据),(贩?
),,(),,(772211z x z x z x ，其回归直线bx a z +=想斜率和截距的最小二乘法估计分别为：x b z a x x z z
x x b i i
i i
i
-=---=
∑∑==ˆ,ˆ
)
()
)((7
1
2
7
1
.
21. （12分）已知函数x a x x
x f ln 21
)(+-=. （1）讨论)(x f 的单调性；
（2）设2
ln )(cx bx x x g --=，若函数)(x f 的两个极值点21,x x (21x x ＜)恰为函数)(x g 的两个零点,且
)2(
)(2121x x g x x y +'-=的范围是),3
2
2[ln +∞-,求实数a 的取值范围。
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. 【选修4——4：坐标系与参数方程】(10分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=-=t y t x l 23121:(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C 的极坐标方程为)6
-(cos 4π
θρ=.(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设点M 的极坐标为)2
,1(π
，直线l 与曲线C 的交点B A ,，求MB MA +的值。
23. 【选修4——5：不等式选讲】(10分)已知11)(+++=ax x x f 。
(1)当1=a 时，求不等式4)(≤x f 的解集；
(2)若)1,0(∈x 时，不等式2)(+x x f ＜恒成立，求实数a 的取值范围。