高中数学平面
平面
立体几何课程是初等几何教育的内容之一,是在初中平面几何学习的基础上开设的,以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象,以演绎法为研究方法.通过立体几何的教学,使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形,完成由二维空间向三维空间的转化,发展学生的空间想象能力,逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.
平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面,是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象,在立体几何中是只描述而不定义的原始概念,但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介,在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用.
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.“平面”是空间图形的基本元素,很多空间图形的面都是平面图形,平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容,因此,要建立起“空间问题平面化”的观点.
2.虽然日常生活中的平面物体有一定的局限,但作为立体几何中的“平面”无大小之分,是无限延展的.
3.平面可用图形表示,也可用符号表示,应理清与其它图形表示法的联系与区别.
(二)能力训练点
1.通过“平面”概念的教学,初步培养空间想象能力,如平面的无限延展性.
2.由叙述语言、图形语言和符号语言的互译,培养语言转换能力.
(三)德育渗透点
通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习,了解具体与抽象,特殊与一般的辩证关系,由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点.
二、教学重点、难点及解决办法
1.教学重点
(1)从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念.
(2)掌握点、直线、平面间的相互关系,并会用文字、图形、符号语言正确表示.
(3)理解平面的无限延展性.
2.教学难点
(1)理解平面的无限延展性.
(2)集合概念的符号语言的正确使用.
3.解决办法
(1)借助实物操作,抽象出“平面”概念.
(2)运用正迁移规律,将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性.
三、课时安排
1课时.
四、学生活动设计
准备好纸板三块,纸盒一个,小竹签四根.纸板作为平面的模型,纸盒用于观察平面的位置,以便同画出的图形比较,小竹签用于表示直线.
五、教学步骤
(一)明确目标
1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”.
2.理解平面的无限延展性.
3.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系.
(二)整体感知
“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科,其内容对学生来说基本上是完全陌生的,应以“讲授法’的主,引导学生观察和想象,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,初步培养空间想象力.
本课是“立体几何”的起始课,应先把这一学科的内容作一大概介绍,包括课本的知识结构,“立体几何”的研究对象,研究方法,学习立体几何的方法和作用等.而后引入“平面”概念,以类比的方式,联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性,突破教学难点.在进行“平面的画法”教学时,不仅要会画水平放置的平面,还应会画直立的平面和相
交平面(包括有部分被遮住的相交平面).在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时,应指明是借用了集合语句,并用列表法将这些关系归类,以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
A.引言
师:以往我们所学的几何是平面几何,研究的是平面图形的性质、画法、计算、应用.今天我们开始学习一门新的学科——立体几何.立体几何的研究对象是空间图形的性质、画法、计算及应用.它使得我们的学习内容从二维平面上升到三维空间,因此,需要我们在学习过程中通过严密的逻辑推理把三维空间图形问题转化为二维平面图形问题,这也是学好立体几何的一个重要方法.
《立体几何》一书共分两章:第一章“直线和平面”是立体几何的基础知识和理论基础;第二章“多面体和旋转体”是理论知识的运用,并被广泛地应用于日常生产生活之中.
B.平面
1.平面的特点
师:现在我们来看手中的纸盒,它是由几个面构成的?
生:6个面.
师:对,这六个面给我们以平面的形象,还有哪些面留给我们平面的形象呢?
生:桌面、黑板、地面、海平面等.
师:对,这些物体是生活中所说的平面,但还不能算是数学意义上的平面,因为它们是有限的面.再如海平面上有波涛,当我们想象它是一平如镜时,它有什么特点呢?
生:很大、很平.
师:对,平面是一个不加定义的概念,具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.一个平面可以把空间分成两部分,这正如直线是无限延伸的,一条直线可以把平面分成两部分,我们所画的只是一条直线的一部分.因此,刚才所说的物体如果是平的,也只是它所在平面的一部分.
2.平面的画法
师:同学们从小就会画平面,是否记得用什么图形来表示?
生:平行四边形.
师:对,通常画平行四边形来表示平面,但有时不,如四面体(图1-1),又如三个平面相交且交于一点(图1—2).
注意,在画平行四边形表示平面时,所表示的平面如果是水平平面,通常把锐角画成45°,横边画成邻边的两倍(图1-3);如果是非水平平面,只要画成平行四边形,如直立平面(图1-4);如果几个平面画在一起,当一个平面有一部分被另一个平面遮住时,应把被遮部分的线段画成虚线或不画(图1-5).请看课本中有关内容.
3.平面的表示法
师:平面的表示法有如下几种:(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图1-3、图1-5);(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD (图1-4);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC (图1-4).
4.点、直线、平面之间的基本关系
师:空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示(以下各种情形要用小竹签和纸板示范).参图1—6.
师:可见,集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关
与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言.
【练习】
[练习一]1.能不能说一个平面长4米,宽5米?为什么?能不能说矩形长3米,宽2米?“这个矩形是平面的一部分”的说法是否正确?
2.观察图1-7、图1-8的甲、乙两个图形,用模型来说明它们的位置有什么不同,并用字母表示各平面.
附注:(1)讲评图1-7时,用书作示意,对直线的可见部分与不可见部分加以区别.
(2)讲评图1-8时,出示模型,对可见棱与不可见棱加以区别.
[练习二]试用集合符号表示:
(1)点A在直线l上,点B不在直线上;
(2)点A在平面α内,而点B不在平面α内.
(四)总结、扩展
通过这一节课的学习,我们知道了立体几何是在学习了平面几何的基础上对几何的继续研究,研究的对象是空间图形,主要研究空间图形的画法、性质、计算以及应用.今天首先学习了平面的画法和表示法,以及点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言之间关系的转换,为下一节课学习平面的基本性质作准备.
六、布置作业
1.阅读立体几何课本有关“平面”的内容.
2.试用集合符号表示下列各语句,并画出图形:(1)点A在平面α内,但不在平面β内;(2)直线a经过不属于平面α的点A,且a不在平面α内;(3)平面α与平面β相交于直线l,且l经过点P;(4)直线l经过平面α外一点P,且与平面α相交于点M.
4.预习“平面的基本性质”.
七、板书设计
高中数学专题讲义-直线与平面所成的角
【例1】 (全国2文7) 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( ) A .3 B .3 C .22 D .3 【例2】 (全国2理7) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于( ) A .6 B .10 C .2 D .3 【例3】 (福建卷6) 如图,在长方体ABCD 1111A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( ) A . 63 B . 26 5 C . 155 D . 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 (浙江) 在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角
E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 (四川卷理13)在三棱锥O ABC -中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且 OA =OB =OC ,M 是AB 边的中点,则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 ( 用反三角函数表示) 【例6】 (全国Ⅰ)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) A .13 B C D . 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底面成45o 角,求此三棱柱的体积. 【例8】 (四川卷15) 且对角线与底面所成角的余弦值 ,则该正四棱柱的体积等于________________. 【例9】 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角; ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值. A B C D B 1 C 1 D 1 A 1
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等,两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 常见模型: 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应角相等 (2)相似三角形对应边的比值相等,都等于相似比 (3)相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 (4)相似三角形的周长比等于相似比 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理: 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示,若AM平分∠BAC,则 该命题有逆定理: 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例,那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理: 三角形任一外角平分线外分对边成两线段,这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示,AD平分△ABC的外角∠CAE,则 其逆定理也成立:若D是△ABC的BC边延长线上的一点, 且满足,则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合: 如图所示,AD平分∠BAC,AE平分∠BAC的外角 ∠CAE,则 3、射影定理 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射 影定理如下: BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形: 在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时,则会产生另 一对相似三角形,寻找方法:连接对应点,找对应点连线和 一组对应边所成的三角形,可以得到一组角相等和一组对应 边成比例,如图中若△ABC∽△AED,则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点,则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论: (1)圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 (2)同弧所对的圆周角相等 (3)直径所对的圆周角是直角,直角所对的弦是直径
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则