重庆大学复变函数与积分变换A201301试卷答案

重庆大学复变函数与积分变换课程试卷

juan

2012 ~2013学年 第 1 学期

开课学院： 数统学院 课程号：10020930

考试日期： 201301

考试方式：

考试时间： 120 分钟

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1．若复数3

x iy +=⎝⎭

则 【 D 】

A.0,1x y ==

B. 0,1x y ==-

C. 1,0x y ==

D. 1,0x y =-=

2．连接1i +与1i -的直线段方程为 【 A 】 A.1(2),01z i i t t =++-≤≤ B. 1(2),z i i t t =++--∞<<+∞ C. 12,01z i t t =++≤≤ D. 12,z i t t =++-∞<<+∞

3．极限0Re lim

z z

z →的值为 【 D 】

A.11i +

B.11i

- C. 1 D. 不存在 4．设()2

()f z z =，则下列说法正确的是 【 B 】 A.()f z 仅在(0,0)处连续 B. ()f z 在(0,0)处可导 C. ()f z 在复平面上处处不可导 D. ()f z 至少有一个解析点

5．2cos(5)i π+的值为 【 B 】 A. 5

5

e e -+ B. 5

5

e e --- C. 5

5

e e -- D. 5

5e

e --

6．23()(2)f z x i y =+，则(3)f i '+的值为

【 C 】 A. 66i +

B. 66i -

C. 6

D. 6i

7．积分

2112

sin

41

z z

dz z π+=

-⎰

的值为 【 C 】 i i 8．幂级数

(2)n

n

n n z

+∞

=+∑的收敛半径为 【 B 】

A.0

B.1

2

C.2

D.+∞

9．拉氏变换[sin 2]t

L e t -等于 【 A 】 A.

22(1)4s ++ B. 22

(1)4s -+

C. 2(1)4s s ++

D. 2

(1)4

s

s -+

10．设傅氏变换[]()()F f t F ω=，则[()]F tf t 等于 【 D 】 A.()F ω'- B.()iF ω'- C. ()F ω' D. ()iF ω'

命题人：

组题人：

审

题人：

命题时间：

教

务处制

学院 专业、班 年级 学号 姓名

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

二、填空题（每小题3分，共30分）

1．22i +的指数表达式为

。4

i

π

2．方程3

80z +=的所有复数根为

1±

3． 函数()(3)f z Ln z =-在复平面上除去实轴上一区间(,3]-∞外是解析的。

4．22

1

22z

z z e dz z z ==++⎰ 。 0 5．1

21()3

z i f z e z -

=

-在0z =处展成泰勒级数的收敛半径R = 2 6．如果0z 为()f z 的本性奇点，则()f z 在0z 的去心邻域内的罗朗级数含0z z -的 无穷多 个负幂项

7．2z =-是323

8

(4)z z +-的 2 阶极点

8．留数2

1Re ,11z s z ⎡⎤

+⎛⎫=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦

4

9．

()sin 3t tdt πδ+∞

-∞

-=⎰

2

10．设()f t 的拉氏变换[]21()1L f t s =+，则()f t '的拉氏变换[]()L f t '= 21

s

s +

三、计算题（每小题7分，共21分）

1．设23

371

()f z d z ξξξξξ=

++=-⎰

，求(1).f i '+ 解：由柯西积分公式得，当z <时，

2

2()2(371)2(371)z

f z i i z z ξπξξπ=⎡⎤=++=++⎣⎦

()2(67)f z i z π'=+，而1i +在圆盘z <内，从而 (1)2(6(1)7)1226f i i i i πππ'+=++=-+

2．利用留数计算积分242

252x dx x x +∞

-∞

++⎰。 解：取22

422

2

()252(2)(21)

z z

R z z z z z

==++++，则()R z 在上半平面的有限奇点为 12,z z ==

，于是 2

2

4212Re [(),]252k k x dx i s R z z x x π+∞

=-∞

=++∑⎰ ()

1

2

122lim()()lim()()z

z z z i z z R

z z z R z

π→→=-+-

22

2z z i π⎛

⎫ ⎪

=+

⎝ 2()i π==