二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【新教材】人教A版高中数学必修

综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－ 2}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在 R 上的恒成立
问题．
当未说明不等式为一元二次不等式时，有
(1)不等式
ax2＋bx＋c>0
对任意实数
x
恒成立⇔a＝b＝0，或a>0，
c>0
Δ<0.
(2)不等式
总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．预测2003年后，每户家庭平 均消费支出总额每年增加3 000元，如果到2005年该镇居民生活状况能 达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%<n≤50%)，则这个镇每户食品消费 额平均每年的增长率至多是多少(精确到0.1%)?
[解析] 设食品消费额的年平均增长率为 x(x>0)，则 2005 年，食品 消费额为 0.6(1＋x)2 万元，消费支出总额为 1＋2×0.3＝1.6(万元)．依题 意得 40%<0.611.＋6 x2≤50%，即135x2x＋2＋63x－0x－ 1≤10>，0，
故有x1－1＋x2－1>0， x1－1x2－1>0，
m－12－32m－7≥0， 即m－8 1－2>0，
m－8 7－m－8 1＋1>0，
m≥25或m≤9，
解得m>17， m∈R，
所以 m≥25.
故实数 m 的取值范围是{m|m≥25}．
[归纳提升] 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中 x1，x2 为该方程两根：
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a 的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0， 即aa<－0，22－4a－2≤0， 整理得aa<＋0，22≤0， 解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
题型二 一元二次方程根的分布 • 大于1，例求2 实已数知m方的程取8值x2范－围(m．－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都
[解析] 设方程两根分别为 x1，x2，则 x1＋x2＝m－8 1，x1x2＝m－8 7. 因为两根均大于 1，所以 x1－1>0，x2－1>0，
Δ＝m－12－32m－7≥0，
(1)x1，x2 一正一负⇔x1x2<0. Δ≥0，
(2)x1>0，x2>0⇔x1＋x2>0， x1x2>0. Δ≥0，
(3)x1<0，x2<0⇔x1＋x2<0， x1x2>0.
• 【对点练习】❷ (2019·陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2＋(a2－1)x ＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 ____________________.
ax2＋bx＋c<0
对任意实数
x
恒成立⇔a＝b＝0，或a<0，
c<0
Δ<0.
• 2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值 问题．
• 通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y>a(或<a，或≥a，或≤a)恒成 立问题：
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8<x≤430. 故桶的容积最大为430升．
误区警示
• 不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征
又 x>0，解得x>41515－1， 0<x≤2 3 3－1.
因此4 1515－1<x≤2 3 3－1. 因为4 1515－1≈0.033＝3.3%，2 3 3－1≈0.155＝15.5%，所以该镇居 民的生活如果在 2005 年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长 率就应在 3.3%到 15.5%的范围内取值，不包括 3.3%但包括 15.5%，也就 是说，平均每年的食品消费额至多是 15.5%.
•
要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范
围． 例 4
[错解] 二次函数 y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负，则必须图象开 口向下，且与 x 轴无公共点．
{a|－2<a<1}
[解析] 设两根为 x1>1，x2<1，则 x1－1>0，x2－1<0， ∴Δx>1－0，1x2－1<0， 即 xΔ1＝x2－a2－x1＋12x－2＋41a－<02，>0， 即aa－2－2＋12－a2－4a1－＋21><00，， 解得－2<a<1.
题型三 一元二次不等式的应用 • 的比重例．3根据恩某格镇尔家系庭数抽(记样为调n)查是的指统居计民，的2食00物3年支每出户占家家庭庭平消均费消总费支支出出
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元 二次方程、不等式
第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 不等式的恒成立问题 • 恒成立例，Hale Waihona Puke Baidu求m已的知取不值等范式围m．x2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式 • [分析] 本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合
• [归纳提升] 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
• (1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
• (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式 (组)问题．
• (3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
• 【对点练习】❸ 有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4 升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%， 问桶的容积最大为多少升？
题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．
[解析] 对于所有实数 x 都有不等式 mx2－2x＋m－2<0 恒成立，即函 数 y＝mx2－2x＋m－2 的图象全部在 x 轴下方．当 m＝0 时，－2x－2<0， 显然对任意 x 不能恒成立；
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0， 解得 m<1－ 2.