二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【新教材】人教A版高中数学必修
数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共21张ppt)
大于取两端
x1=x2
{x|x>x2或x<x1}{x|x b }
2a
大于取两端
ax2+bx+c<0 (a>0) {x|x x<x }
1<
2
的解集
小于取中间
⊿<0
：
φ
没有实数根 小于取中间
R
(2)不等式解集确定方
程根为x1,x2
⊿≤0，
φ
不等式解集为
图像法
新知讲解
例1 求不等式 2 − 5 + 6 > 0的解集.
() − ≥
对于二次项系数是负数(即 < )的不等式，
可以先把二次项系数化成正数，再求解.
总结
求解一元二次不等式的一般步骤：
形的边长为多少米？
实际问题注意x取值范围
设：这个矩形的一条边长为，则另一条边为(12 − ).由题意，得：
(12 − ) > 20，其中 ∈ {|0 < < 12}.
整理得： − + < ， ∈ {| < < }.①
所以{| < < }又因为{| < < }，
< （函数图象位
于x轴下方）即 − + <
问题3依据求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，如何求
解一般的一元二次不等式 2 + + > 0（ > 0）和 2 + + < 0( >
0)的解集？.
（1）先求出一元二次方程的根，
（2）再根据二次函数图象与轴的相关位置
教学
二次函数与一元二次方程、不等式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
{x | x1 x x2}
0
y 0
x
无实根
R
二次函数与一元二次方程、不等式【 新教材 】人教A 版高中 数学必 修第一 册课件
二次函数与一元二次方程、不等式【 新教材 】人教A 版高中 数学必 修第一 册课件
求解一元二次不等式的过程
二次函数与一元二次方程、不等式【 新教材 】人教A 版高中 数学必 修第一 册课件
2.3二次函数与一元二 次方程 、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【 新教材 】人教A 版高中 数学必 修第一 册课件
问题导学 预习教材P50－P54，并思考以下问题： 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式 的解有什么对应关系？
3．求解一元二次不ax等2式 bx c 0(a的过0程)
小试牛刀 二次函数与一元二次方程、不等式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
例1 解下列不等式：
1 x2 3x 2 0
3 x2 3x 1
Байду номын сангаас
2 2x2 3x 5 0 4 3x2 x 1 0
5 x2 4x 12 0
你能总结出二次项系数为负的一元二次不等式的解法吗？
二次项系数化正
观察思考
先来观察几个具体的二次函数的图象及 其相应的一元二次方程、一元二次不等式：
①函数 y x2 2x 3， x2 2x 3 0, x2 2x 3 0
②函数 y x2 2x 1， x2 2x 1 0，x2 2x 1 0
③函数y x2 2x 3， x2 2x 3 0，x2 2x 3 0
∵1a<1，∴x<1a或x>1. 当 a>0 时，原不等式可化为x－1a(x－1)<0.
二次函数与一元二次方程、不等式的应用教案新人教A版必修第一册
二次函数与一元二次方程、不等式的应用教案新人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用【目标】1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立-元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题.【重点】利用--元二次不等式解诀恒成立问题及实际问题.【难点】从实际问题中建立一元二次不等式的模型.要点整合夯基础...知识点一简单的分式不等式的解法【填一填】若与是关于的多项式，则不等式（或，或，或）称为分式不等式.解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.（1）；（2）；（3）；（4）；【答一答】1.不等式的解集为.答案：解析：原不等式可以化为，即，故原不等式的解集为.2.不等式的解集是.答案：或解析：原不等式于，解得或，故不等式的解集是或.【答一答】3.不等式在上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？提示：.知识点三一元二次不等式的实际应用【填一填】对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言换成数学语言从而把实际问题转换成数学问题.同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑.【答一答】4.解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；（2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；（3）解不等式（或求函数最值）；（4）回扣实际问题.典例讲练破题型...类型一简单的分式不等式的解法【例1】解下列不等式.（1）；（2）.【分析】等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.【解】（1）∵，或，或，∴原不等式的解集为，或.（2）方法一：原不等式可化为，或，或.∴原不等式的解集为.方法二：原不等式可化为.∴原不等式的解集为.通法提炼（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.【变式训练1】（1）下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（）A.B.C.D.答案：A（2）不等式：的解集为.答案：解析：（1）由可得，即，解得，所以.（2）因为，所以原不等式可化为，即，解得，所以原不等式的解集为.类型二不等式恒成立问题命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题【例2】关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【分析】【解】（1）若，即时，若，不等式变化为，解集为；若，不等式变为，解集为.∴时满足条件.（2）若，即时，原不等式解集为的条件是.解得，综上所述，当时，圆不等式解集为.通法提炼不等式对任意恒成立，或；不等式对任意恒成立，或.【变式训练2】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是.答案：解析：当，即时，不等式为，恒成立，解集为，∴满足条件；当时，则原不等式解集为时，满足，解得.综上所述，的取值范围是.命题视角2：一元二次不等式在某特定范围.上恒成立问题【例3】己知，若，恒成立，求的取值范围.【分析】对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化.【解】若，恒成立可转化为：，或或，解得的取值范围为.通法提炼或型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由在上恒成立，则（，存在最大值）；在.上恒成立，则（，存在最小值）.【变式训练3】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：，不等式恒成立.①当时，不等式为恒成立，此时；②当时，.∵，∴，∴（当且仅当，即时取等号），∴.综上，实数的取值范围为.类型三一元二次不等式的实际应用【例4】某农贸公司按每担元的价格收购某农产品，并每元纳税元（又称征税率为个百分点），计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出降税后税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的，试确定的取值范围.【解】（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元.依题意得.（2）原计划税收为（万元）.依题意得，化简得，解得.又因为，所以.故的取值范围是.通法提炼解不等式应用题的步骤【变式训练4】某商品每件的成本价为元，售价为元，每天售出件.若售价降低成（成），则售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价.（1）设该商品一天的销售额为元，试求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；（2）若要求该商品一天的销售额至少为元，求的取值范围.解：（1）若售价降低成，则降低后的商品售价为元，售出商品的数量为件，由题意，得与之间的函数关系式为.因为售价不能低于成本低，所以，解得，所以，的取值范围为.（2）由题意，的，化简得，解得，因为，所以的取值范围是.课堂达标练经典1.若集合，则（）A.B.C.D.答案：B解析：∵，∴.2.已知不等式的解集为空集，则的取值范围是（）A.B.C.或D.或答案：A解析：依题意应有，解得，故选A.3.不等式的解集为.答案：或解析：且或.4.已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.答案：解析：根据题意得，解得.5.已知当时，不等式恒成立，求的取值范围.答案：见解析解析：∵当时，恒成立，∴当时，恒成立.令，∵，且对称轴方程为，∴，∴，∴的取值范围为.课堂小结——本课须掌握的四大问题1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法，这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：（1）恒成立；（2）恒成立台.3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为，用来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.4.一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑.WORD模版源自网络，仅供参考！如有侵权，可予删除！文档中文字均可以自行修改。
人教A版必修第一册高中数学2.3-二次函数与一元二次方程、不等式精品课件
知识梳理
[方法总结]
解一元二次不等式的步骤
知识梳理
四．一元二次不等式恒成立问题
1.不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋
c>0，
a>0，
它的解集为 R 的条件为
Δ＝b2－4ac<0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0，它的解集为 R
|
x－1
x－1－（x＋2）
－3
(2)原不等式可化为
－1＞0，∴
＞0，∴
＞0，则 x＜－2.
x＋2
x＋2
x＋2
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.
例题解析
例 11.某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(又称征
税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
①当 > 4或 < −4时，方程2 2 + + 2 = 0的两根为
1
1
2
1 = − − − 16 , 2 = − + 2 − 16
4
4
1
1
− − 2 − 16 或 > − + 2 − 16
4
4
0，方程2 2 + + 2 = 0有两个相等实根1 = 2 = −1
x－1
x－1
例题解析
例 10 解下列不等式：
1－x
(1)
≥0；
3x＋5
解
x－1
(2)
＞1.
人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式第2课时不等式的解法及应用(共33张PPT)
-
≥0;
+
解:(1)原不等式可化为 (-)( + ) ≥ ,
+ ≠ ,
解得
≤ - 或 ≥ ,
≠- .
所以 x<- 或 x≥ ,
所以原不等式的解集为{x|x<- 或 x≥ }.
数学
(2)
-
>1.
+
解:(2)原不等式可化为
数学
第2课时
不等式的解法及应用
数学
知识探究·素养启发
课堂探究·素养培养
数学
知识探究·素养启发
知识探究
一元二次不等式的解集是 R 或 的含义
[问题1-1] 一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)时,相
对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么特征?一元二次不等式ax2+bx+c<0
-3<k≤0.故选 D.
)
数学
2
[变式训练 3-1] 若命题 p:存在 x∈R,使 2kx +kx+ <0 是假命题,则实数 k 的取
值范围为
.
2
解析:由命题 p 为假命题可知﹁p“∀x∈R,2kx +kx+ ≥0 恒成立”为真命题.
当 k=0 时满足题意;当 k≠0 时,则
> ,
所以 m<
-+
因为函数 y=
.
新人教版高中数学必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如，，等；
2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想
方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
摩托车多少辆？
【解】设一星期内生产摩托车辆，由题意有：
−20 2 + 2200 > 60000，整理得 2 − 110 + 3000 < 0，
方程 2 − 110 + 3000 = 0有两个实数根1 = 50, 2 = 60.
结合图像可知 2 − 110 + 3000 < 0的解集为
综上可知，解得的取值范围是{| < 1 − 2}
解一元二次不等式的过程
将原不等式化成 + + > > 的形式
计算 = − 的值
>
=
方程 + + =
பைடு நூலகம்
方程 + + =
有两个不等实根 ，
有两个相等实根 ，
植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大
于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为米和 12 − 米，则：
12 − > 20，其中 ∈ ȁ0 < < 12 ，
整理得 2 − 12 + 20 < 0， ∈ ȁ0 < < 12 ，
为{| < 2或 > 3}
2.3二次函数与一元二次方程-、不等式-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
含参数的一元二次不等式的解法
例3 解关于x 的不等式ax²—(a+1)x+1<0.
[ 解 ] 当a=0 时，原不等式可化为x>1. 当a≠0 时，原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.
例1 解下列不等式：
(1)x²-3x+2>0
(2)2x²-3x-5≤0
(3)x²-3x>1
(4)3x²-x+1>0
(5)-x²-4x+12<0
你能总结出二次项系数为负的一元二次不等式的解法吗?
二次项系数化正
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1.化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0, 使二次项系数为正.
即
, 化 简 得x²+5x+6<0,
解得—3<x<—2, 所以所求不等式的解集为{x|-3<x<-2}.
若将本例中 变，如何求解?
解：由题意知
2改 为
其他条件不
代入不等式 cx²—bx+a>0,
化简得x²+5x+6>0, 解 得x>—2 或 x<—3. 所以所求不等式的解集为{xlx>—2 或x<—3}.
问题导学 预习教材P50—P54, 并思考以下问题： 1.一元二次不等式的概念是什么?
2.二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式 的解有什么对应关系?
3.求解一元二次不筹式-bx +c>0(a 是什么?
的过程
1.一元二次不等式的概念
高一【数学(人教A版)】2.3二次函数与一元二次方程、不等式-课件
高中数学
12 − > 20
0 < < 12
高中数学
尝试一：观察这个不等式的形式，左侧是两个因式与 12 − 相乘的形
式，我们能否利用这个特征来解呢？
20 可以分解为 = × = × = × ，显然，
解一元二次方程 2 − 5 + 6 = 0，
得到二次函数的零点：1 = 2，2 = 10，
看函数的图象，得到不等式的解集为 > 3 或 < 2 .
高中数学
（2）2 − 2 + 3 < 0.
（2）解：整理为一般式− 2 + 2 + 3 < 0，
法一：设二次函数 = − 2 + 2 + 3，其图象开口向下，
解一元二次方程− 2 + 2 + 3 = 0，
得到二次函数的零点：1 = −1，2 = 3，
看函数的图象，得到不等式的解集为
> 3 或 < −1 .
高中数学
（2）2 − 2 + 3 < 0.
（2）解：整理为一般式− 2 + 2 + 3 < 0，
法二：整理为一般式 2 − 2 − 3 < 0，
同种类型的函数、方程、不等式之间存在着紧密的联系，数学是一个整体，有
完整而又严谨的体系！
高中数学
课堂小结
最后，我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下问题：
（1）二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间有何关系？
（2）如何求解一元二次不等式 2 + + > 0 或 2 + + < 0 > 0 ？
高中数学必修第一册人教A版《2.3二次函数与一元二次方程、不等式的关系》能力探究课件
若两实根均大于1,
= ( − ) − ( − ) ⩾ ,
⩾ 或 ⩽ ,
() > ,
需
即ቐ
解得 ⩾ .
∈ ,
−
> ,
> ,
典型例题
数学运算
典例3-2已知方程 − ( − ) + − = 有两实根.
(1)如果两实根都大于1,求实数的取值范围;
+ + > 对任意实数恒成立⇔ ቊ
或ቊ
< .
>
简单问题解决能力
一元二次不等式在R上恒成立问题的方法
= ,
< ,
②不等式 + + < 对任意实数恒成立⇔ ቐ = , 或 ቊ
< .
< .
(2)分离自变量和参变量,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.
三个“二次”之间的关系的应用
在解决具体的数学问题时,要注意一元二次不等式及相应的函数与方程三者之
间的相互联系,并在一定条件下相互转化.
(1)若一元二次不等式的解集为区间的情势,则区间的端点值恰是相应一元二
次方程的根,要注意解集与二次项数的联系.
(2)若已知一元二次方程的根,可以写出相应不等式的解集,反之,已知不等式的
典例3-2已知方程 − ( − ) + − = 有两实根.
(1)如果两实根都大于1,求实数的取值范围;
(2)如果两实根都在区间(, )内,求实数的取值范围;
(3)如果一个根大于2,另一个根小于2,求实数的取值范围.
点拨
本题结合一元二次方程根的散布情况画出图象.利用数形结合思想解答问题.
二次函数与一元二次方程不等式的应用课件-高一上学期数学人教A版
【解】
(1) 由题意得y=(100-x)(100+2x)=-2x2+100x+10 000.因为售价不能低于 成本价,所以100-x≥80,解得0≤x≤20(x∈N),所以y=-2x2+100x+10 000(0≤x≤20,且x∈N).
(2) 由题意得-2x2+100x+10 000≥10 282,化简得x2-50x+141≤0,解得 3≤x≤47.又0≤x≤20(x∈N),所以x的取值范围是{x∈N|3≤x≤20}.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程题转化为数学模型的过程中,理解数学建模的步骤, 初步掌握数学建模的方法.
2. 掌握解分式不等式的方法,体会转化思想在解题中的应用. 3. 理解并掌握不等式恒成立、不等式有解问题的求解方法,体会数 学语言的转换在解决数学问题中的重要作用,提升发现和提出问题、分 析问题和解决问题的能力.
ABC
2(0<x<240,x∈N*).若每台产品的售价为25万元,则为了确保生产者不亏本(销售收
入不小于总成本),产量x的取值集合为
.
{x∈N*|150≤x<240}
【解析】 由题设,当产量为x台时,总售价为25x万元.欲使生产者不亏本时,必须满 足总售价大于等于总成本,即25x≥3 000+20x-0.1x2,即0.1x2+5x-3 000≥0,x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200,又0<x<240,x∈N*,所以 150≤x<240,且x∈N*,故产量x的取值集合为{x∈N*|150≤x<240}.
典例精析
思路点拨：第(1)问依据题意建立不等式，解不等式．第(2)问建立函数关系 解决最值问题．
新教材人教A版2.3.2二次函数与一元二次方程不等式的应用课件(32张)
A.(-3，0] B.[-3，0)
C.[-3，0] D.(-3，0)
()
【变式探究】若把本例条件改为“不等式2kx2+kx+ 3 >0对一切实数x都成立”，
8
试求k的取值范围.
【解析】当k=0时，不等式为 3 >0，显然成立；
8
2k 0,
当k≠0时，则有
k2
4
2k
3 8
0,
解得0<k<3.
x 1
A.m<0 B.m>0
【解析】选B.因为0∈M，所以 0 m <0.
01
所以m>0.
2+mx+
>0恒成立m 的条件是_______.
2
【解析】x2+mx+ m >0恒成立，等价于Δ<0，
2
即m2-4× m <0⇔0<m<2.
2
答案：0<m<2
5.(教材二次开发：练习改编)某公司每个月的利润(单位：万元)关于月份的关 系式为y=n2-9n+114，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有 ( )
a≠0时，由
a
0, a2
4a
0,
得0<a≤4，
所以0≤a≤4.
()
课堂检测·素养达标
1.不等式 x 1 <0的解集为 ( )
x2
A.(1，+∞) B.(-∞，-2) C.(-2，1) D.(-∞，-2)∪(1，+∞) 【解析】选C.不等式 x 1 <0，解不等式得其解集为(-2，1).
x2
四步
内容
理解 题意
二次函数与一元二次方程、不等式的应用【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品系列PPT
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
题型三 一元二次不等式的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• [归纳提升] 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤 • (1)理解题意，搞清量与量之间的关系． • (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式
(组)问题．
• (3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
• 【对点练习】❸ 有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4 升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
m－12－32m－7≥0， 即m－8 1－2>0，
[归纳提升] 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中 x1，x2 为该方程两根：
(1)x1，x2 一正一负⇔x1x2<0. Δ≥0，
(2)x1>0，x2>0⇔x1＋x2>0， x1x2>0. Δ≥0，
(3)x1<0，x2<0⇔x1＋x2<0， x1x2>0.
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
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[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在 R 上的恒成立
问题．
当未说明不等式为一元二次不等式时，有
(1)不等式
ax2＋bx＋c>0
对任意实数
x
恒成立⇔a＝b＝0，或a>0，
c>0
Δ<0.
(2)不等式
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8&l区警示
• 不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征
又 x>0，解得x>41515－1， 0<x≤2 3 3－1.
因此4 1515－1<x≤2 3 3－1. 因为4 1515－1≈0.033＝3.3%，2 3 3－1≈0.155＝15.5%，所以该镇居 民的生活如果在 2005 年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长 率就应在 3.3%到 15.5%的范围内取值，不包括 3.3%但包括 15.5%，也就 是说，平均每年的食品消费额至多是 15.5%.
•
要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范
围． 例 4
[错解] 二次函数 y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负，则必须图象开 口向下，且与 x 轴无公共点．
故有x1－1＋x2－1>0， x1－1x2－1>0，
m－12－32m－7≥0， 即m－8 1－2>0，
m－8 7－m－8 1＋1>0，
m≥25或m≤9，
解得m>17， m∈R，
所以 m≥25.
故实数 m 的取值范围是{m|m≥25}．
[归纳提升] 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中 x1，x2 为该方程两根：
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a 的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0， 即aa<－0，22－4a－2≤0， 整理得aa<＋0，22≤0， 解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．
[解析] 对于所有实数 x 都有不等式 mx2－2x＋m－2<0 恒成立，即函 数 y＝mx2－2x＋m－2 的图象全部在 x 轴下方．当 m＝0 时，－2x－2<0， 显然对任意 x 不能恒成立；
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0， 解得 m<1－ 2.
题型二 一元二次方程根的分布 • 大于1，例求2 实已数知m方的程取8值x2范－围(m．－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都
[解析] 设方程两根分别为 x1，x2，则 x1＋x2＝m－8 1，x1x2＝m－8 7. 因为两根均大于 1，所以 x1－1>0，x2－1>0，
Δ＝m－12－32m－7≥0，
ax2＋bx＋c<0
对任意实数
x
恒成立⇔a＝b＝0，或a<0，
c<0
Δ<0.
• 2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值 问题．
• 通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y>a(或<a，或≥a，或≤a)恒成 立问题：
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
(1)x1，x2 一正一负⇔x1x2<0. Δ≥0，
(2)x1>0，x2>0⇔x1＋x2>0， x1x2>0. Δ≥0，
(3)x1<0，x2<0⇔x1＋x2<0， x1x2>0.
• 【对点练习】❷ (2019·陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2＋(a2－1)x ＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 ____________________.
{a|－2<a<1}
[解析] 设两根为 x1>1，x2<1，则 x1－1>0，x2－1<0， ∴Δx>1－0，1x2－1<0， 即 xΔ1＝x2－a2－x1＋12x－2＋41a－<02，>0， 即aa－2－2＋12－a2－4a1－＋21><00，， 解得－2<a<1.
题型三 一元二次不等式的应用 • 的比重例．3根据恩某格镇尔家系庭数抽(记样为调n)查是的指统居计民，的2食00物3年支每出户占家家庭庭平消均费消总费支支出出
总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．预测2003年后，每户家庭平 均消费支出总额每年增加3 000元，如果到2005年该镇居民生活状况能 达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%<n≤50%)，则这个镇每户食品消费 额平均每年的增长率至多是多少(精确到0.1%)?
[解析] 设食品消费额的年平均增长率为 x(x>0)，则 2005 年，食品 消费额为 0.6(1＋x)2 万元，消费支出总额为 1＋2×0.3＝1.6(万元)．依题 意得 40%<0.611.＋6 x2≤50%，即135x2x＋2＋63x－0x－ 1≤10>，0，
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元 二次方程、不等式
第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 不等式的恒成立问题 • 恒成立例，1求m已的知取不值等范式围m．x2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式 • [分析] 本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合
• [归纳提升] 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
• (1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
• (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式 (组)问题．
• (3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
• 【对点练习】❸ 有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4 升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%， 问桶的容积最大为多少升？