4.2.2 指数函数的图象和性质新人教版高中数学第一册

2．指数函数图象的变换
(1)平移规律：设b＞0， ①y＝ax的图象―上――移―b个―单――位→y＝ax＋b的图象； ②y＝ax的图象―下――移―b个―单――位→y＝ax－b的图象； ③y＝ax的图象―左――移―b个―单――位→y＝ax＋b的图象； ④y＝ax的图象―右――移―b个―单――位→y＝ax－b的图象．
则m＞n.
()
(3)指数函数f(x)的图象过点0，1.
()
(4)函数y＝2 x1 的定义域是R .
()
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．函数y＝2x＋1的图象是
()
解析：函数y＝2x的图象是经过定点(0,1)、在x轴上方且单 调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y＝2x＋1的 图象单调递增且过点(0,2)，故选A. 答案：A
(2)y＝4x－2x＋1. 解：函数的定义域为R .
y＝(2x)2－2x＋1＝2x－122＋34， ∵2x＞0，∴当2x＝12，即x＝－1时，y取最小值34， ∴函数的值域为34，＋∞.
题型二 指数函数的图象及应用 [学透用活]
1．指数函数图象的特征 同一坐标系中，画出不同底数的指数 函数的图象如图所示． 直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝ bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)， (1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可 得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称 “底大图高”．
3．函数y＝ 1－3x的定义域是
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
()
解析：∵1－3x≥0，即3x≤1，∴x≤0，即x∈(－∞，0]． 故选B.
答案：B
4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是
()
A．[0,1]
B．[－1,0]
C．0，12
D．－12，0
解析：由指数函数y＝2x在x∈[0,1]上是递增的知 1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1,0]．
象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
答案：D
2．[图象识别与判断]函数y＝a|x|(a＞1)的图象是 ( )
解析：该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图 象，然后沿y轴翻折过去，便得到x＜0时的函数图象． 答案：B
3．[图象过定点问题]已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0，且a≠1) 的图象恒过定点P，则定点P的坐标是________．
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x) 有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[提醒] (1)通过建立不等关系求定义域时，要注意
解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、
[对点练清] 1．[图象中数据判断问题]函数f(x)＝ax－b的图
象如图所示，其中a，b为常数，则下列结
论正确的是
()
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从
而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图
值域时要注意分类讨论．
[对点练清] 求下列函数的定义域、值域： (1)y＝1＋3x3x； 解：函数的定义域为R .
∵y＝1＋3x3x＝1＋1＋3x3－x 1＝1－1＋13x， 又∵3x＞0，∴1＋3x＞1， ∴0＜1＋1 3x＜1，∴－1＜－1＋1 3x＜0， ∴0＜1－1＋1 3x＜1，∴函数的值域为(0,1)．
(一)教材梳理填空 指数函数的图象和性质
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域 值域
性质Fra Baidu bibliotek
R
_(_0_，__＋__∞__)_
过定点(0,1)，即x＝ 0 时，y＝ 1
减函数
增函数
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)函数y＝13x－1的值域是(0，＋∞)．
()
(2)已知函数f(x)＝52x，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，
[答案] C
(2)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的
图象为
()
[解析] 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函 数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下 面的是函数y＝mx的图象，故选C.
[答案] C
[方法技巧] 指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、 上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对 称情况，单调性决定函数图象的走势．
解析：令x＝1，y＝4＋a0＝4＋1＝5，故f(x)图象过定点 (1,5)． 答案：(1,5)
4．[图象的应用]已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两 个公共点，求实数a的取值范围． 解：函数y＝|2x－2|的图象如图所示． 要使直线y＝2a与该图象有两个公共 点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1，故实 数a的取值范围为(0,1)．
(2)对称规律
与y＝a－x的图象关于y轴对称 y＝ax(a＞0，
与y＝－ax的图象关于x轴对称 且a≠1)的图象
与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称
[典例2] (1)函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是 ()
[解析] 当x＝1时，y＝a1－a＝0，故函数y＝ax－a的图 象过定点(1,0)，结合图象可知选C.
(3)y＝
1－12x.
[解] 由题意知1－12x≥0，∴12x≤1＝120， ∴x≥0，
∴定义域为{x|x≥0，x∈R }．
∵x≥0，∴12x≤1. 又∵12x＞0，∴0＜12x≤1.∴0≤1－12x＜1， ∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．
[方法技巧] 函数y＝af(x)定义域、值域的求法
答案：B
题型一 指数函数的定义域和值域
[学透用活]
[典例 1] 求下列函数的定义域和值域：
1
(1)y＝2 x－4 ；
[解] x 应满足 x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R }．
∵x－1 4≠0，∴2x－1 4≠1，
1
∴y＝2 x－4 的值域为{y|y＞0，且 y≠1}．
(2)y＝23－|x|； [解] 定义域为R . ∵|x|≥0，∴y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)．