第4章静态电磁场边值问题的解法

一.无限大导体平面的镜像法
0
P
（导板及无穷远处）
q 4r

q 4r
0

（导板及无穷远处） 空间任一点Q点电位为：
Q
q 4r1

q 4r2
若导电平面上方有N 个电荷， 则只需在其镜像位置放N 个镜像 电荷即可。

二. 无限大介质分界平面的镜像法 q E1t E2t 1 1 2 D D
( x, y, z ) X ( x)Y ( y) Z ( z )
即为待求拉普拉斯方程之解，利用边界条件确定分离常 数和其它待定常数，再把求得的所有特解线性叠加，即 为所求方程之通解。
例1 设有无限长矩形管，其一边宽为a，另一边宽为b， 图中矩形管除上臂电位为 U 0 外，其余各臂的电位为0， 求矩形管内的电位分布。 y 解 2 2 2
R x0
y P( x, y) l r2 r1
d d
l

x
2 2 2 x0 R d D2 R2 d D 2 D x0 D d 2 2 l l r2 (x d ) y P ( x, y) ln ln 2 2 2 r1 4 ( x d ) y
0 2 A J
第三类边值问题：给定部分场域边界上位函数之值， 及其余边界上位函数沿边界外法向的偏导数的值。
第二节 镜像法 唯一性定理 在静态电磁场问题的求解中，往往
使用不同的方法，只要所得的解能满足位函数方程（泊 松方程或拉普拉斯方程）又能满足给定的边界条件，那 么这个解就是唯一正确的解。
x
y
( x, y ) X ( x)Y ( y )
( A1 cos kx A2 sin kx) ( B1chky B2shky )
边界条件：
y
x 0, 0 y b, 0 x a, y 0, x a, 0 y b, 0 x a, y b,
2bK 2 K 1 2 2 2 R b ( 2 ) b ( 2 b) x0 K 1 K 1
2 2 2
将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导 线系统的方法，称为电轴法。 两个电轴点对任意等位线圆互为镜像，故电轴法也 是镜像法之一。 1. 线电荷与圆柱导体 将圆柱导体表面的分布 电荷集中到电轴上，成为一 条线电荷，导体圆柱面成为 等位面。
2
E1t E2t J1n J 2 n
3. 恒流磁场
标量磁位
1 2 1 2 1 2 n n
m 0
2
H1t H 2t B1n B2 n
m1 m 2 m1 m 2 1 2 n n
0 1. 静电场 / 1 2 E1t E2t 2 s s 1 D D 1 2 1 n 2 n n n 0 0
2
2. 恒流电场
0
以 k x为例：
d X 2 ( 2 k x X 0) dx
2
1）若 k x 取实数，则 X(x)的解为：（令 或
X ( x) A1 sin kx A2 cos kx ' ikx ' ikx X ( x) A1e A2e X ( x) B1chkx B2shkx ' kx ' kx X ( x) B1e B2e X ( x) C1 x C2
2 2
E1t
q
cos
q'
cos
q q' '
2 2
E1t E2t D1n D2 n q q' q q' ' 1 1 2 q' q 1 2 2 1 q q' ' q' 1 2 q q' 2 上半空间电势为 P 41r1 41r2 2 q q' ' 下半空间电势为 P 4 2 r1 4 2 r1
Z ( z) C
此为二维平行平面场，拉普拉斯方程为：
( x, y) X ( x)Y ( y)
场域边界x=0、x=a处管壁上
U0 即沿x方向，场重复出现零值， 0 作周期变化，因此分离常数 0 a b kx 为实数。 x 0 场域边界y=0、y=b处管壁上 z ( x, 0) ( x, b)
镜像法
1） 保持求解区域中电荷分布不变，介质分布不变，把 原分区域均匀介质空间看成全部均匀的介质空间； 2） 用求解区域外虚设的简单电荷来代替实际边界上复 杂的分布电荷； 只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产 生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理， 这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置， 故称镜像法。
2. 两个相同半径的平行导体圆柱 将两圆柱表面看成等位面， 该问题变为双线电荷问题。
D x0 圆心位置为： 2
电轴位置为：
R x0 d l
y P( x, y) r2 r1
d x0 l
D
2 2
Baidu Nhomakorabea

x
1 2 2 d x R D 4R 2
2 0 2
l l r2 (x d ) y P ( x, y) ln ln 2 2 2 r1 4 ( x d ) y
y p b o b 2 x
2 K或 1
K
2
h x 0
h x 0
等位线方程为： ( x
K 1 K 1
2
2
b) y (
2
2
2bK K 1
2
)
2
K 2 1 2bK 圆心坐标 ( x0 , y0 ) ( 2 b,0) 圆半径 R 2 K 1 K 1 当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的 半径 R ，圆心位置 x0 和电轴位置b 之间满足
镜像法（电轴法）小结
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理；
镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电 轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介 质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴） 的个数（根数），大小及位置。
应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷 （电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要 注意场的适用区域。
即沿x方向，边界条件是非周期的，因此分离常数 2 2 虚数。且： k k 0 设：k x
(0, y) (a, y) 0
y
k y为
X ( x) A1 cos kx A2 sin kx Y ( y) B1chky B2shky
k ，则 k y ik ，因 此：
kx k ）
2）若 k x 取虚数，则 X(x)的解为：（令k 或
x
ik ）
3）若 k x 为0，则 X(x)的解为：
分离常数的取值到底为实数、虚数、或0，由边界 条件决定。即：
若在某个坐标方向上，边界条件是周期性的，则该 坐标的分离常数必为实数。 若在某个坐标方向上，边界条件是非周期性的，则 该坐标的分离常数必为虚数。 若位函数与某一坐标变量无关则其分离常数为0。 解得X(x)、Y(y)、Z(z)后，其乘积：
矢量磁位
A1 A2 B1n B2 n 0 1 Jl 1 ( A ) ( A ) H H 1 t 2 t 1 t 2 t J 0 l 1 2
二. 三类边值问题
第一类边值问题：给定所有边界位函数之值。 第二类边值问题：给定所有边界上位函数沿外法 线方向的偏导数值。
第二节
分离变量法
分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于 求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况 下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或 波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合 或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 解题的一般步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系， 写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分 方程； 解常微分方程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位 函数的解。
1n 2n
q
1
q'
上 半 空 间 下 半 空 间
41r 41r q q' D1n sin sin 2 2 4r 4r q q' ' E2t cos cos 2 2 4 2 r 4 2 r q q' ' D2 n sin sin 2 2 4r 4r
1 1
q'
q q' '
1 2 q' ' q' q 2 1
2 2
三. 电轴法 Q 1 d ln 1 C1 2 2 0 0 2 ln 2 C2 2 0 2 P 1 2 ln C 2 0 1
2 2 0 2 x y z
( x, y, z ) X ( x)Y ( y) Z ( z )
2 0 2 x y
2 2
矩形管无限长，管臂上电 位沿z方向无变化，故管内的 电位函数与z无关，即：
U0 0 0 a b x 0 z
2
d X 2 kx X 0 2 dx 2 d Y 2 kyY 0 2 dy d Z 2 kz Z 0 2 dz k x , k y , k z 为分离常数
2
2
分离常数 的取值
1）两个实数和一个虚数；
2）两个虚数和一个实数；
3）若其中一个为零，则另两个可以为一 实一虚，也可以都为0。
一. 直角坐标系中的分离变量法
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
2 2 2 0 x y z 设其解为： ( x, y, z ) X ( x)Y ( y ) Z ( z )
2 2 2 2
将其代入拉普拉斯方程：
即：
d X d Y d Z YZ X Z XY 0 2 2 2 dx dy dz 2 2 2 1 d X 1d Y 1 d Z 0 2 2 2 X dx Y dy Z dz
2
2
2
X、Y、Z分别只是x、y、z的函数，为使其对所有的 x、y、z点均能得到满足，它们的分式必须分别为常数。
1 d X 2 X dx 2 k x 2 1 d Y 2 即： k y 2 Y dy 1 d 2Z 2 k z 2 Z dz 2 2 2 并且： k x k y k z 0
1
以 y 轴为参考点, C = 0, 则
y p o b b 2
2 P ln 2 0 1
x
( x b) y ln 2 0 ( x b) 2 y 2
2
2
令： P 常数
( x b) 2 y 2 ( x b) y
2 2
q q' q q' ' 1 1 2 2 1
q
q'
q q' '
q
1中的电场是由 q 与 q ' 共同产 生，其有效区在上半空间， q '是等效 替代极化电荷的影响。 2 中的电场是由 q 与 q' ' 决定， 其有效区在下半空间，q' '是等效替 代极化电荷的作用。 即
第四章 静态电磁场边值问题的解法 三类边值问题
无限大导体平面的镜像法
镜像法
无限大介质分界面的镜像法
电轴法 直角坐标系中的分离变量法
分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法
球坐标系中的分离变量法
第一节 一. 静态电磁场
三类边值问题
静电场、恒流电场、恒流磁场统称静态电磁场。 静态电磁场问题中最重要的是静态电磁场的位函 数方程以及求解位函数必需的边界条件。