概率论与数理统计第一章14条件概率(精)
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与数理统计课件-条件概率
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
概率论与数理统计条件概率1(精)
Bi B j , i j , i, j 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示，且 10 C100i P( A Bi ) 10 , i 0,1,2,3,4 C100 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
P( Bi A), i 0,1,2,3,4
i P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1 A 为一批产品通过检验 则 A Bi ,
已知： A B1 B2 , B1 B2
P( B1 ) 0.6, P( B2 ) 0.4
P( A B1 ) 0.2, P( A B2 ) 0.1 P( A) P( B1 ) P( A B1 ) P( B2 ) P( A B2 )
0.16 P( B1 ) P( A B1 ) 3 P( B1 A) , P( A) 4
本例中，i 较小时，P( Bi A) P( Bi )
i 较大时，P( Bi A) P( Bi )
例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的概率 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现的概 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的概 哪个大？ 解 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 收到信号“不清” 为事件 A
概率论与数理统计第一章
具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。 由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以 也称之为古典概型．
设试验E是古典概型，由于基本事件两两互不相容 n n 因此 1 = P( ) = P( {wi }) = P{wi } = nP{w i }
1 从而 P{w i } = n
i =1
i =1
则事件 A表示“某公司今年年底结算将亏损”.
AAຫໍສະໝຸດ 按差事件和对立事件的定义，显然有A B = AB
A
B
A
B
运算规律
1.交换律 A B = B A A B = B A 2.结合律 A ( B C ) = ( A B) C
A ( B C ) = ( A B) C
A B = 事件A和事件B不能同时发生
A
B
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件，记做 A
即A = A
事件 A发生 事件A不发生
A A= A A=
故在每次试验中事件A ， A 中必有一个且仅有一个发生
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
抛硬币实验
试验者
出现正面的 频率
n
2048 4040 12000 24000 80640
出现正面的 试验次 次数 数 n
nH
1061 2048 6019 12012 39699
f n (H ) =
A
n
德摩根 蒲丰 K．皮尔逊 K．皮尔逊 罗曼诺夫斯基
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4923
( i = 1, 2, , n )
14条件概率的计算公式
在较复杂 情P(况AB下1)直接P(计A算B2P)(A)P不( A易B,3但) A总是伴随着某个Ai出现，
例如A是由原 P因(AAi所B1引)P起(B，1)则AP发(A生B的2)概P率(B是2) P(A B3)P(B3)
3
每一原因都可i能1 导PP(致(AAABB发ii))=生PP(，(BBi故i))PA(发A 生|Bi的) 概率是各原因引起A发生
（1）它是次品的概率 （2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率
解： 设 Ai =“抽到的是i车间的产品”，i 1,2,3
B=“抽到的产品是次品”，
（1）PB PA1PB A1 PA2 PB A2 PA3 PB A3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345
解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”
PB 3 , PA 1
4
2
我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即
A B 所以AB=A，PAB PA
PA B
P AB PB
PA PB
1 2
3
2 3
1 2
和.
B3
...
例 1.4.8 某车间有100 台相同型号的冰箱待检验，其中 60 台是甲流水线生产的， 25 台是乙流水线生产的，15 台是 丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们 的不合格率依次为 0.1, 0.4, 0.2 ．一位检验员从这批冰箱中随 机地取了1台,问：检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这 台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水 线生产的概率各为多少？
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计第一章习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。
故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。
（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。
（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。
（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。
2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
（3）A，B，C中至少有一个发生。
（4）A，B，C都发生。
（5）A，B，C都不发生。
（6）A，B，C中不多于一个发生。
（7）A，B，C中不多于两个发生。
（8）A，B，C中至少有两个发生。
解：（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。
（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
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9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
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10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
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111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
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27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
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47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
概率论与数理统计第一章
第五节
独立重复试验
n重独立重复试验 重伯努利试验 ： 重独立重复试验(n重伯努利试验 重独立重复试验 重伯努利试验) 试验模型的特点： 试验模型的特点： (1)每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行 (2)各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立; 各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立 各次试验是相互独立的 (3)每次试验有且仅有两种结果：A发生或 A 发生； 每次试验有且仅有两种结果： 发生或 发生； 每次试验有且仅有两种结果 (4)每次试验的结果发生的概率相同，即P(A)=p， 每次试验的结果发生的概率相同， 每次试验的结果发生的概率相同 ， P( A )=1p=q 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验， 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验，若 试验共进行n次，即称为n重独立重复试验。 试验共进行 次 即称为 重独立重复试验。 重独立重复试验 n重伯努利试验中事件 恰好出现 次的概率简记为 重伯努利试验中事件A恰好出现 次的概率简记为b(k;n,p), 重伯努利试验中事件 恰好出现k次的概率简记为 则P(Bk)= P(A1A2 Ak Ak+1 An ++ A1A2 Ank Ank+1 An )
3.独立性在可靠性理论中的计算
设有n个元件，每个元件的可靠性均为 设有 个元件，每个元件的可靠性均为r(0＜r＜1)，且每个元 个元件 且每个元 件能否正常工作是相互独立的， 为第i个元件正常工作 个元件正常工作， 件能否正常工作是相互独立的，记Ai为第 个元件正常工作， A为系统正常工作。 为系统正常工作。 为系统正常工作 1 n 2 ①串联系统 系统能正常工作的充分必要条件是每个元件都正常工作 P(A)=P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=rn … ②并联系统 1 系统正常工作等价于n个元件中 系统正常工作等价于 个元件中 2 至少有一个正常工作， 至少有一个正常工作，即 P(A)=P(A1+A2+…+An) … n
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
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3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计(条件概率与全概率公式)
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公式 和条件概率的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
条件概率
P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A) P(A|B)= P(AB)/P(B)
A、B互斥
P(A)>0
600 1000
1%
250 1000
4%
150 1000
2%
0.019
(2)
P(B1 A)
P(AB1 ) P(A)
P(B1 )P(A B1 )
3
P(Bi )P(ABi )
i=1
0.6 0.01 0.3158 0.019
所以甲厂应承担约31.58%的经济责任.
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例7 甲箱中有5个正品3个次品，乙箱中有4个正品3个
接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题
贝叶斯公式 P19
设S是试验E的样本空间， B1, B2 ,是SB的n 一个划 分， 且 P(Bi）>0(，i=则1,2对, 任n一) 事件A，有
P(B k
A )=
P(ABk ) P(A)
=
P(Bk )P(A Bk )
n
P(B）i P(A Bi )
k 1, 2,
P( A1)P( A3
|
A1 )
2 5% 3
1 30
（2）
P( A2 A3)
P( A2 )P( A3 |
A2 )
1 3% 1
3
100
返回
例5(P18) 一口袋中装有a 只白球，b 只红球，每次随 机取出一只，然后把原球放回，并加进与抽出的球同 色的球 c只。连续摸球三次，试求第一、第二次取到 白球，第三次取到红球的概率。 解 设 A表i 示事件“第 i 次取到白球’’ （i=1,2,3)
概率论与数理统计条件概率
C72 2 C10 1 2 C3 2 1 2 C10
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例3.设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？ 解: 设A={活到20岁}，B={活到25岁} 则所求概率为 P ( B | A) 由于 A
(2)如果 A、B 相互独立,则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也相互独立。
AB，所以有 证明: 因为A B=B－AB，且 B
P( AB) P(B AB) P(B) P( AB)
P( B) P( A) P( B)
P(B)[1 P( A)] P( A)P(B) ,
解: P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.7。
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例5.100个零件中有10次品，每次任取一件，取后不放回。 (1)连取两次，求两次都取得正品的概率； (2)连取三次，求第三次才取得正品的概率。
解：设Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3。
结束
二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P( AB) P( A) P( B) P( AC) P( A) P(C ) PBC P( B) P(C ) P( ABC) P( A) P( B) P(C )
解：设A＝{取出1个玻璃球}，B＝{取出1个红球}． (1)P(A)=10/20=1/2
(2)P(B|A)=6/10
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P ( B | A)
概率论与数理统计课后习题答案
随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为X 0123P 351203612021120112 0习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求：(1)X的概率分布； (2)P{X<2∣X≠1}.解答：(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.Y -101P 21513815习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数.解答： fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y 在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大，p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求：(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2,P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X -101pi 1/21-2qq2试求：(1)q的值； (2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴ {1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx =(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即 K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴ F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\123Y1 1/61/91/182 1/3a1/9求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得 a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值： (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732. (4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为。
概率论与数理统计：条件概率
n
, i 1,2,, n.
明 例8 对以往数据分析结果表 , 当机器调整得 良好时, 产品的合格率为98% , 而当机器发生某 种故障时, 其合格率为55% . 每天早上机器开动 时 , 机器调整良好的概率为95%.试求已知某日 早上第一件产品是合格 品时 , 机器调整得良好的 概率是多少?
第四节
一、引例
条件概率
二、条件概率的定义 三、条件概率的性质 四、乘法公式 五、全概率公式 六、贝叶斯公式 七、小结
一、引例
引例: 在标有0到9号码的10个球中任取一球，在 取到球的号码小于5的条件下，求取到球号码为2 的 概率有多大？ 古典概型 设 A 表示任取一球，取得号码小于5； B 表示任取一球，取得的号码为2.
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
j 1
第五节
事件的独立性与相关性
一、两个事件的独立性与相关性 二、有限个事件的独立性 三、相互独立事件的性质
四、Bernoulli概型
五、小结
一、两个事件的独立性与相关性
1.引例
盒中有5个球( 3绿 2红 ), 每次取出一个, 有放回 地取两次.记 A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球,
则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .
因此所求概率为
P ( A1 A2 A3 A4 )
P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率论与数理统计第1章
概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程.《概率论与数理统计概率论与数理统计》》前言《应用概率统计应用概率统计》》 主要教学参考书陈魁 主编 清华大学出版社《概率论与数理统计概率论与数理统计》》刘军凤 等编著 科技文献出版社（复习指导书)每周第一次课收前一周作业，课代表收齐按名单序号排好后课前交教师。
答疑：每周3，晚7：00~9：00，3教5楼教师休息室国内有关经典著作1.1.《《概率论基础及其应用概率论基础及其应用》》 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.《数理统计引论数理统计引论》》陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作1.《概率论的分析理论概率论的分析理论》》P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 《统计学数学方法统计学数学方法》》H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作 概率统计专业首位中科院院士本学科的 A B C概率(或然率或几率) ) ——————随机事件出现的可能性的量度————其起源用骰子赌博. 1616世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；171717世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. B. B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. C. C. 惠更斯惠更斯惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂方法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” 。
概率论是研究客观世界随机现象数量规律的 数学分支学科.19331933年苏联柯尔莫哥洛夫完成了概率的公理化体系。
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策的科学艺术使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是瑞士数学家是瑞士数学家J.J.J.伯努利；而概率论的飞速发展伯努利；而概率论的飞速发展则在则在171717世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.. 概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如1.1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 概率论 紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和数据处理；临床中应用，均需要用到 假设检验；4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计;5. 探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用;6. 研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述;7. 在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论.目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用概率统计方法. 正如法国数学家拉普拉斯所说: “生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”第一章概率论的基本概念§1 随机试验§2 样本空间、随机事件§3 频率与概率§4 等可能概型§5 条件概率§6 独立性序 言1.自然界和人类社会中的两类不同现象：例：同性电荷相斥.北京地区7、 8、 9三个月的降雨量.一个标准大气压下,100o 水沸腾.朝某方向一直走，终究返回原地.例：癌症患者手术后生存时间.我校西面马路上一个月内发生车祸的次数.一定条件下必发生称为必然现象新生婴儿的体重.随机现象随机现象是不是没有规律可言?2.随机现象统计规律的实例：肿瘤医院医生对其病人手术后生存时间估计很准确。
概率论与数理统计第一章课件
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
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概率论
3. 条件概率的性质(自行验证)
条件概率 P• | A具备概率定义的三个条件 :
1 非负性 : 对于任意的事件 B , PB | A 0 ;
2 规范性 : PS | A 1 ;
3 可列可加性 :设 B1, B2,是两两互斥事件 ,则有
P
i 1
Bi
A
P
i 1
Bi
A
所以在第二节中证明的性质对条件概率都成立.
概率论
A={取到一等品}，B={取到正品} P(A )=3/10， P(A|B)=3/7
本例中，计算P(A)时，依据的 前提条件是10件产品中一等品的比 例.
计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加 上“事件B已发生”这个新的条件.
这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题.
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
概率论
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
P(A|B)= 1/3. 容易看到
PA1
1 30
第二个人抽得球票的概率为
概率论
PA2 PA1A2 A1A2 PA1A2 PA1A2
0
P A1 A2
PA1 PA2
|
A1
29 30
1 29
1 30
同理 ,第 i 个人要抽得比赛球票 ,必须在他抽取之前
的 i 1 个人都没有抽到此标的事件一起出现 ,即
PAi P A1A2 Ai1Ai
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
概率论
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记
A={取到一等品}，B={取到正品}
则 P(A )=3/10， P(A|B) 3 3 10 P( AB) 7 7 10 P(B)
概率论
第四节 条件概率
全概率公式 贝叶斯公式 小结 布置作业
概率论
三、全概率公式
看一个例子:
有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率.
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
1 有放回抽样;2不放回抽样 两种方式摸球三次
每次摸得一球 ,求第三次才摸得白球的概率 .
解 设 A 第一次未摸得白球, B 第二次未摸得白球, C 第三次摸得白球.
则事件"第三次才摸得白球"可表示为ABC .
1 有放回抽样
PA 8 , PB | A 8 , PC | AB 2 ,
10
10
10
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
概率论
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为 P(B|A) .
依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
PA1A2 An1 0 ,则由条件概率的定义 ,可得
PA1 A2 An PAn | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
PA3 | A1A2 PA2 | A1 PA1
概率论
乘法公式应用举例
（波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率.
概率论
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它 们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
概率论
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况.
设 A、B、C 为三个事件 ,且 PAB 0 ,则 PABC PC | ABPB | APA.
一般地 ,设有 n 个事件 A1, A2, , An ,n 2 , 并且
概率论
PABC PC | ABPB | APA
2 8 8 16 . 10 10 10 125
2 无放回抽样
PA 8 , PB | A 7 , PC | AB 2 ,
10
9
8
PABC PC | ABPB | APA
27 8 7 . 8 9 10 45
概率论
例6 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
1 2
P
A1
P
A2
|
A1
P
A1
P
A2
|
A1
P
A3
|
A1
A2
1 2
1
1 2
7 10
1
1 2
1
7 10
9 10
197 200
.
所以 PB 1 PB 1 197 3 .
200 200
概率论
例7抓阄问题 1995 年全国足球甲 A 联赛的最后
一轮 ,四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若它(们2)可和P计((3A)算)式>两0都,则个称P事为(B件乘A同)法=时P公(发A式)生P,(B的利|A概用) 率 而 P(AB)=P(BA)
故 P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
概率论
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下 2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
概率论
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
第1章 随机事件及其概概率率论
湖北大学材料科学与工程学院
尚勋忠
概率论
第四节 条件概率
条件概率 乘法公式 小结 布置作业
概率论
一、条件概率
1. 条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
PA1 PA2 | A1 PAi | A1 Ai1
29 30
28 29
30
1
i
1
1 30
,
i
1,2,,30 .
所以 ,各人抽得此票的概率都是 1 ,即机会均等 . 30
概率论
三、 小结
这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了 计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式， 它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
概率论
例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
进行 ,这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命
运之战 ,肯定会异常精彩 ,可西南交大某班 30 位同学
仅购得一张票,大家都想去看,只好采取抓阄的办
法抽签决定 ,每个人都争先恐后地抽取 .试问,每人抽
得此票的机会是否均等?
解 设 Ai 第 i 个人抽得球票 ,i 1,2,,30 , 则
第一个人抽得球票的概率为
P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
这就是有关抽签顺序问题的正确解答.
也就是说，
抽签不必争先恐后.
概率论
例4 设袋中有 5 个红球 ,3 个黑球 ,2 个白球 , 试按
用乘法公式容易求出
概率论
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc
r
rc
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
解 设A={掷出点数之和不小于10}