概率论与数理统计第一章14条件概率(精)

概率论
A={取到一等品}，B={取到正品} P(A )=3/10， P(A|B)=3/7
本例中，计算P(A)时，依据的 前提条件是10件产品中一等品的比 例.
计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加 上“事件B已发生”这个新的条件.
这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题.
概率论
第四节 条件概率
全概率公式 贝叶斯公式 小结 布置作业
概率论
三、全概率公式
看一个例子:
有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率.
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
PA1 PA2 | A1 PAi | A1 Ai1
29 30
28 29
30
1
i
1
1 30
,
i
1,2,,30 .
所以 ,各人抽得此票的概率都是 1 ,即机会均等 . 30
概率论
三、 小结
这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了 计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式， 它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
概率论
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A表i 示“第i个人未抽到入场券” 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说， 第1个人抽到入场券的概率是1/5.
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下 2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
概率论
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记
A={取到一等品}，B={取到正品}
则 P(A )=3/10， P(A|B) 3 3 10 P( AB) 7 7 10 P(B)
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
概率论
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为 P(B|A) .
依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
概率论
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
概率论
入场 券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
概率论
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
概率论
由于 A2 A1A2
由乘法公式
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1)
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到，计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
概率论
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
1 有放回抽样;2不放回抽样 两种方式摸球三次
每次摸得一球 ,求第三次才摸得白球的概率 .
解 设 A 第一次未摸得白球, B 第二次未摸得白球, C 第三次摸得白球.
则事件"第三次才摸得白球"可表示为ABC .
1 有放回抽样
PA 8 , PB | A 8 , PC | AB 2 ,
10
10
10
1 2
P
A1
P
A2
|
A1
P
A1
P
A2
|
A1
P
A3
|
A1
A2
1 2
1
1 2
7 10
1
1 2
1
7 10
9 10
197 200
.
所以 PB 1 PB 1 197 3 .
200 200
概率论
例7抓阄问题 1995 年全国足球甲 A 联赛的最后
一轮 ,四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市
概率论
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P( A | B) P( AB) (1) P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B ABA
S
若事件B已发生, 则为使
A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
用乘法公式容易求出
概率论
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc
r
rc
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
概率论
例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它 们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
概率论
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况.
设 A、B、C 为三个事件 ,且 PAB 0 ,则 PABC PC | ABPB | APA.
一般地 ,设有 n 个事件 A1, A2, , An ,n 2 , 并且
第1章 随机事件及其概概率率论
湖北大学材料科学与工程学院
尚勋忠
概率论
第四节 条件概率
条件概率 乘法公式 小结 布置作业
概率论
一、条件概率
1. 条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
概率论
3. 条件概率的性质(自行验证)
条件概率 P• | A具备概率定义的三个条件 :
1 非负性 : 对于任意的事件 B , PB | A 0 ;
2 规范性 : PS | A 1 ;
3 可列可加性 :设 B1, B2,是两两互斥事件 ,则有
P
i 1
Bi
A
P
i 1
Bi
A
所以在第二节中证明的性质对条件概率都成立.
解 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用 定义
解法1 解法2
P(A
|
B)
P( AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
P(A | B) 3 1 62
在B发生后的缩减样本 空间中计算
概率论
二、 乘法公式 由条件概率的定义： P( A | B) P( AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
概率论
PABC PC | ABPB | APA
2 8 8 16 . 10 10 10 125
2 无放回抽样
PA 8 , PB | A 7 , PC | AB 2 ,
10
9
8
PABC PC | ABPB | APA
27 8 7 . 8 9 10 45
概率论
例6 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
概率论
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
这就是有关抽签顺序问题的正确解答.
也就是说，
抽签不必争先恐后.
概率论
例4 设袋中有 5 个红球 ,3 个黑球 ,2 个白球 , 试按
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
概率论
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(B | A) P( AB) P(B) 0.4 0.5 P( A) P( A) 0.8
概率论
条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小.
而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.
所求为P(AB).
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产}
A={是标准件} 所求为P(AB) .
300个
乙厂生产
概率论
189个是
标准件
若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”
求的是 P(A|B) .
甲、乙共生产
1000 个
PA1A2 An1 0 ,则由条件概率的定义 ,可得
PA1 A2 An PAn | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
PA3 | A1A2 PA2 | A1 PA1
概率论
乘法公式应用举例
（波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率.
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若它(们2)可和P计((3A)算)式>两0都,则个称P事为(B件乘A同)法=时P公(发A式)生P,(B的利|A概用) 率 而 P(AB)=P(BA)
故 P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
概率论
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2 点}，B={掷出偶数点}
P(A|B）= 1 3
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
在缩减样本空 间中A所含样 本点个数
概率论
掷骰子
概率论
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
进行 ,这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命
运之战 ,肯定会异常精彩 ,可西南交大某班 30 位同学
仅购得一张票,大家都想去看,只好采取抓阄的办
法抽签决定 ,每个人都争先恐后地抽取 .试问,每人抽
得此票的机会是否均等?
解 设 Ai 第 i 个人抽得球票 ,i 1,2,,30 , 则
第一个人抽得球票的概率为
PA1
1 30
第二个人抽得球票的概率为
概率论
PA2 PA1A2 A1A2 PA1A2 PA1A2
0
P A1 A2
PA1 PA2
|
A1
29 30
1 29
1 30
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同理 ,第 i 个人要抽得比赛球票 ,必须在他抽取之前
的 i 1 个人都没有抽到此标的事件一起出现 ,即
PAi P A1A2 Ai1Ai