最详细的立方和公式

立方和公式

a A3+

b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2 )

•立方差公式

aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 )

-3项立方和公式

aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)

推导过程：

aA3+bA3+cA3-3abc

=(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 )

=[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc)

=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)

文字表达

•立方和，差公式

两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差) -3项立方和公式

三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

公式证明

1.迭代

法:

我们知道:

0次方和的求和公式2N A0=N 即 1人0+2人

0+...+nP=n

1次方和的求和公式INA仁N(N+1) /2 即 1A1+2A1+...+nA仁n(n+1 ) /2

2次方和的求和公式

2N|A2=N(N+1)( 2N+1) /6 即 1人2+2人2+…+n人2=n(n+1 )( 2n

+1)

/6 ――平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式( x+1) A3-xA3=3xA2+3x+1，迭代即

得。

取公式：(X+1) A4-XA4=4 XXA3+6XXA2+4XX+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出:

(N+1)人4-24=423+622+4屮1

NA4-(N-1)A4=4(N-1)A3+6(N-1)A2+4(N-1)+1

(N-1)A4-(N-2)A4=4(N-2)A3+6(N-2)A2+4(N-2)+1

2人4-1人4=4 X1A3+6 X1A2+4 X1+1 ... (n)

于是⑴+⑵+⑶+ ..... +(n )有

左边=(N+1) A4-1

右边=4 (1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6 (1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4 (1+2+3+……+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式代入

4( 1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6( 1人2+2人2+3人2+ ……+“人2)

+4( 1+2+3+……+N)+N=(N+1)

A4-1

得 4 (1A 3+2A 3+3A 3+ ……+N A 3) +N(N+1)( 2N+1) +2N(N+1) +N=N A 4+4N A 3+6N A

2+4N

移项后得 1人3+2人3+3人3+ ……+23=1/4 (NA4+4NA3+6NA2+4N-N-2NA2-2N-2NA3-3NA2-N) 等号右侧合并同类项后得

1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4 (24+223+22 ) 即

1人3+2人3+3人3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人2

大功告成！

立方和公式推导完毕

1人3+2人3+3人3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人2

2.因式分解思想证明如下 ：aA3+bA3=aA3+aA2 ©+匕人3七人2 >b =aA2(a+b)-b(aA2-bA2 ) =aA2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[aA2-b(a-b)]=(a+b)(aA2-ab+bA2 )

公式延伸

正整数范围中1A3 + 2A3 + ……门人3 = [n(n+1 ) / 2]人2= (1+2+……+n )人2 几何验证

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总

xA3+yA3

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

(x+y)A

3 和为

#・F 甲 ■‘in 1

要得到x A3+y A3，可使用(x + y)A3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

xxy x (x+y)

x x (x+y) X

-(x+y) X X

把三个部分加在一起，便得：

=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)

=3xy(x+y)

之后，把(x + y)A3减去它，便得：=(x+y)A3-3xy(x+y )公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

=(x+y)[(x+y)A2-3xy]

(x + y)A2可透过和平方公式，得到：

=(x + y)( x A2+ 2 xy + y A2-3xy)

=(x + y)( x A2 - xy + 屮2)

这样便可证明：xA3+yA3=( x + y)( x A2 - xy + 屮2)

关于因数

一般而言，任取一自然数N,他的因数有1, n1,n2,n3 , ...... , nk,N，这些因数的因数个数分别为 1, m1,m2,m3, .... , mk,k+2，贝U

1A3+m1A3+m2A3+m3A3+••…+mkA3+(k+2)人3

=(1+m1+m2+m3+ …+mk+k+2)人2

我们发现，上述规律对素数 p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p,因数的个数只有1和2，所以成立。

合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。

比如120,有因数