最详细的立方和公式
3项立方和公式
3项立方和公式3项立方和公式是指将一个整数的立方拆分成三个连续整数的立方的和的公式。
这个公式可以表示为：n^3 = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3这个公式可以用来解决一些数学问题，也可以用来验证一些数学推论。
下面将通过几个例子来说明这个公式的用途和意义。
例子1：证明一个整数的立方与其前一个整数的立方、自身的立方和其后一个整数的立方的和相等。
假设整数n，根据3项立方和公式，我们可以得到：n^3 = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3我们可以展开右边的等式：n^3 = (n-1)(n-1)(n-1) + n^3 + (n+1)(n+1)(n+1)进一步展开：n^3 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)将相同项合并：n^3 = n^3 + n^3 + n^3 - 3n^2 + 3n^2 + 3n^2 + 3n - 3n + 3n + 1 - 1化简后得到：n^3 = n^3 + n^3 + n^3这说明了3项立方和公式的正确性。
所以，一个整数的立方与其前一个整数的立方、自身的立方和其后一个整数的立方的和相等。
假设我们需要求解一个整数的立方。
根据3项立方和公式，我们可以选择一个整数n作为中间项，然后计算出其前一个整数和后一个整数的立方。
最后将这三个立方相加即可得到所求的整数的立方。
例如，我们要求解整数的立方，我们选择n=4作为中间项，那么根据3项立方和公式，我们可以得到：4^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3计算得到：4^3 = 27 + 64 + 125 = 216所以，4的立方等于216。
这个方法可以用来求解任意整数的立方，只需要选择合适的中间项即可。
例子3：验证数学推论有一个数学推论是说，任意连续的三个整数的立方和是一个整数的立方。
我们可以通过3项立方和公式来验证这个推论。
假设我们选择一个整数n作为中间项，那么根据3项立方和公式，我们可以得到：n^3 = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3展开右边的等式：n^3 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)将相同项合并：n^3 = n^3 + n^3 + n^3 - 3n^2 + 3n^2 + 3n^2 + 3n - 3n + 3n + 1 - 1化简后得到：n^3 = n^3 + n^3 + n^3这说明了任意连续的三个整数的立方和是一个整数的立方。
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
关于数学公式，你们能顺利的说出哪几个呢?我们的数学公式，真的是越学越复杂了，现在店铺就带你们去看看什么是立方和公式，感兴趣的朋友们快过来看看哦。
什么是立方和公式
立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。
该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和;表达式为：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。
立方和公式与立方差公式的推导过程
这个题目其实可以从反方向去理解，就是计算下面两个乘法公式：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
之后反过来记忆结果就可以。
如果非要从正面推导的话，可以选用添加项的方法，
如
a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)。
常用平方立方和公式整理
常用平方立方和公式整理平方和公式：1. 平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²该公式用于计算两个数的和的平方。
2. 平方差公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²该公式用于计算两个数之差的平方。
3. 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²该公式是平方公式的逆运算，用于将一个平方解开。
4.平方根公式：√(a²+b²)=√a²+√b²该公式用于计算两个数平方和的平方根。
立方和公式：1. 立方公式：(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³该公式用于计算两个数的和的立方。
2. 立方差公式：(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³该公式用于计算两个数之差的立方。
3. 完全立方公式：a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³该公式是立方公式的逆运算，用于将一个立方解开。
4.立方根公式：∛(a³+b³)=∛a³+∛b³该公式用于计算两个数立方和的立方根。
总结：平方和公式和立方和公式是数学中常用的公式，能够简化计算和推导过程。
它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。
在平方和公式中，平方公式可以用于计算两个数的和的平方，而平方差公式可以用于计算两个数之差的平方。
完全平方公式是平方公式的逆运算，可以将一个平方解开。
平方根公式可以用于计算两个数平方和的平方根。
在立方和公式中，立方公式可以用于计算两个数的和的立方，而立方差公式可以用于计算两个数之差的立方。
完全立方公式是立方公式的逆运算，可以将一个立方解开。
立方和的公式
立方和的公式
立方和的公式是指将一系列数的立方相加的公式，通常用于数学和物理学中的计算。
这个公式的形式为：
1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)²
其中，n代表数列的最后一个数。
这个公式的意义在于，将一个数列中每个数的立方相加，得到的结果等于这个数列的和的平方。
这个公式的应用非常广泛，特别是在物理学中。
例如，当计算一个物体的惯性力时，需要用到这个公式。
惯性力是指物体在运动或静止时所具有的惯性，它的大小与物体的质量和加速度有关。
如果我们知道物体的质量和加速度，就可以用立方和的公式来计算它的惯性力。
另一个应用是在计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数组中的元素进行排序时，可以使用快速排序算法。
这个算法的核心就是将数组分成两个部分，然后对每个部分进行递归排序。
在递归排序的过程中，需要用到立方和的公式来计算数组的中位数。
除了物理学和计算机科学，立方和的公式还可以用于解决其他问题。
例如，在数学中，可以用这个公式来证明一些数学定理。
在经济学中，可以用它来计算某个市场的总收益。
在生物学中，可以用它来计算某个生态系统的总生物量。
立方和的公式是一个非常有用的工具，可以用于解决各种各样的问题。
无论是在数学、物理学、计算机科学还是其他领域，都可以用它来进行计算和分析。
因此，学习和掌握这个公式是非常重要的。
立方和公式和立方差公式记忆口诀
立方和公式和立方差公式记忆口诀大家好！今天咱们来聊聊数学里的两个“老朋友”——立方和公式和立方差公式。
说到这两个公式，可能有人会觉得它们就像一堆难懂的砖块，让人看了头疼。
别急，咱们慢慢来，弄个轻松点的记忆方式，保准你一学就会，一用就熟！1. 立方和公式：把难题变简单1.1 立方和公式的原理首先，咱们来聊聊立方和公式。
简单来说，立方和公式就是用来计算两个数的立方和的。
公式长得有点复杂，不过没关系，记住一句口诀就能搞定。
公式是这样的：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，看起来是不是有点眼花缭乱？别怕，咱们用句简单的口诀就能记住它。
1.2 记忆口诀来袭记住这个公式，最简单的方法就是把它变成一句顺口溜：*“立方三项多，二次再乘三，立方别忘了。
”* 听上去有点像古诗，但这就是公式的精髓。
简单的说，就是把两个数分别立方，再加上三个数的乘积，再加上另一个数的立方。
试试把这句口诀在脑子里念上几遍，保证能记住！2. 立方差公式：解题利器2.1 立方差公式的原理接下来，咱们看看立方差公式。
这个公式和立方和公式有点像，但它是用来计算两个数的立方差的。
公式写成这样： (ab)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 。
乍一看，也是让人眼晕，不过咱们照样用口诀来记！2.2 记忆口诀技巧立方差的口诀就像这样：“*立方差，减去三项，二次再乘三，别忘了最后。
*” 这个口诀的意思就是，先立方再减去三个数的乘积，最后再减去另一个数的立方。
记住这个口诀，公式再复杂也不会让你愁眉苦脸！3. 立方公式的小妙用3.1 在实际问题中的应用说到这两个公式的妙用，那真是无处不在。
不管是在解方程，还是在计算几何问题时，它们都能派上大用场。
比如说，你做一道题目，碰到需要计算立方和或者立方差的地方，只要把公式套用上，立马就能找到答案。
是不是特别方便？学会这些公式，就等于把数学的难题变成了简单的加减法。
三个数立方的和公式
三个数立方的和公式摘要：一、引言二、立方和公式介绍1.三个数立方的和公式定义2.立方和公式推导过程三、立方和公式的应用1.实际问题中的应用2.数学理论中的应用四、结论正文：一、引言在数学领域，立方和公式是一种非常有趣的公式，它可以用来计算三个数的立方和。
立方和公式在数学理论以及实际问题中都有广泛的应用，例如在物理学、工程学等领域。
本文将介绍立方和公式，并通过实际问题来说明它的应用。
二、立方和公式介绍1.三个数立方的和公式定义三个数立方的和公式是指：a + b + c = (a + b + c)(a + b + c - ab - ac - bc) / 6。
其中，a、b、c 为任意实数。
2.立方和公式推导过程立方和公式的推导过程较为复杂，通常采用代数方法。
这里我们简要介绍一下推导过程。
首先，我们将a + b + c因式分解，得到：a +b +c = (a + b + c)(a - ab + b) + (a + b + c - ab - ac - bc)接下来，我们将第二项进行因式分解，得到：a +b +c = (a + b + c)(a - ab + b) + 2(a + b + c - ab - ac - bc)继续化简，得到：a +b +c = (a + b + c)(a - ab + b + 2)最后，我们求解a - ab + b + 2 的值，得到：a - ab + b + 2 = (a + b) + (b - a) + 4= (a + b + b - a) + 4= (2b) + 4= 4b + 4将其代入公式，得到立方和公式：a +b +c = (a + b + c)(4b + 4) / 6= (a + b + c)(2b + 2) / 3= (a + b + c)(b + 1) / 31.立方和公式推导完成。
三、立方和公式的应用1.实际问题中的应用立方和公式在实际问题中有很多应用，例如在物理学中，它可以用来计算物体的体积和表面积；在工程学中，它可以用来计算建筑物的体积和重量等。
立方的和公式
立方的和公式立方的和公式，这可是数学世界里一个相当有趣的家伙！咱先来说说立方的和公式到底是啥。
它就是：(a + b)(a² - ab + b²) =a³ + b³。
这公式看起来可能有点复杂，有点让人摸不着头脑，但其实只要咱耐心点儿，多琢磨琢磨，它也就没那么难搞懂。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋来的呀，感觉像个神秘的密码。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来解开这个神秘的密码。
”咱先从简单的乘法开始。
把(a + b)(a² - ab + b²) 展开，a 乘以 a²得到a³，a 乘以 -ab 得到 -a²b，a 乘以 b²得到 ab²。
然后 b 乘以 a²得到 a²b，b 乘以 -ab 得到 -ab²，b 乘以 b²得到 b³。
把这些加起来，相同项一合并，嘿，神奇的事情发生了，就得到了 a³ + b³。
为了让同学们更好地理解和记住这个公式，我给他们出了好些练习题。
比如：已知 a = 2，b = 3，让他们用立方的和公式去计算 (a + b)(a²- ab + b²) 的值。
同学们一开始还有点手忙脚乱的，但多练了几道题之后，慢慢就找到感觉了。
在实际生活中，这立方的和公式也有不少用处呢。
就说盖房子吧，假如要计算一个长方体形状的水泥墩子的体积，它的长、宽、高可以分别表示为 a、b、c，如果这个水泥墩子是由两个部分拼接而成，一部分的边长是 a，另一部分的边长是 b，这时候就可以用立方的和公式来计算总体积啦。
学习立方的和公式，不仅是为了应对考试中的题目，更是为了培养咱们的逻辑思维和数学能力。
就像搭积木一样，每一块积木都有它的位置和作用，只有把它们按照正确的方式组合起来，才能搭出漂亮坚固的城堡。
数学公式立方公式大全
数学公式立方公式大全1.立方和公式：-对于正整数n，第n个立方和等于前n个正整数的立方的和。
可以表示为：1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^22.立方差公式：-对于正整数n，前n个正整数的立方的差等于前n个正整数的和的平方。
可以表示为：1^3-2^3+3^3-...+(-1)^(n-1)*n^3=[n(n+1)/2]^23.立方和的差公式：-对于正整数n，前n个正整数的立方的和与前n-1个正整数的立方的和的差等于第n个正整数的立方。
可以表示为：n^3=[n(n+1)/2]^2-[(n-1)n/2]^24.立方差的和公式：-对于正整数n，前n个正整数的立方的差的和等于n^4、可以表示为：1^3-2^3+3^3-...+(-1)^(n-1)*n^3=n^45.立方和的平方公式：-对于正整数n，前n个正整数的立方的和的平方等于前n个正整数的平方的立方。
可以表示为：(1^3+2^3+3^3+...+n^3)^2=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)^36.立方差的平方公式：-对于正整数n，前n个正整数的立方的差的平方等于前n个正整数的平方的差的立方。
可以表示为：(1^3-2^3+3^3-...+(-1)^(n-1)*n^3)^2=(1^2-2^2+3^2-...+(-1)^(n-1)*n^2)^37.立方和的差的平方公式：-对于正整数n，前n个正整数的立方的和与前n-1个正整数的立方的和的差的平方等于第n个正整数的立方。
可以表示为：n^3=[(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-(1^3+2^3+3^3+...+(n-1)^3)]^28.立方差的和的平方公式：-对于正整数n，前n个正整数的立方的差的和的平方等于n^4、可以表示为：n^4=[(1^3-2^3+3^3-...+(-1)^(n-1)*n^3)+(1^3-2^3+3^3-...+(-1)^n*(n+1)^3)]^29.立方和与平方和之间的关系：-对于正整数n，前n个正整数的立方的和等于前n个正整数的平方的和的平方。
立方的和的求和公式
立方的和的求和公式
首先，我们来看一下求解前n个自然数的立方和的公式。
假设我们要求解前n个自然数的立方和，即1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3。
这个和可以用以下公式表示：
(1 + 2 + 3 + ... + n)^2。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明，但这里我们不深入展开。
简单来说，这个公式是前n个自然数的和的平方，也就是(n(n+1)/2)^2。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求解前5个自然数的立方和，即1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3。
我们可以使用上面提到的公式，将前5个自然数的和(1 + 2 + 3 + 4 + 5)先求出来，然后再将这个和的平方。
所以，(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 15，然后15的平方等于225。
所以前5个自然数的立方和为225。
除了这个公式，还有其他方法可以用来求解立方和，比如数学归纳法、等差数列求和公式等。
但是对于大规模的立方和求解，使用上述提到的公式会更加高效和便捷。
总之，立方的和的求和公式是一个非常有用的数学工具，可以帮助我们快速求解一定范围内的整数立方和。
希望这个回答能够满足你的需求。
立方计算公式和方法
立方计算公式和方法在数学中，立方是指一个立方体的体积，也可以用来表示一个数字的立方。
立方计算是数学中的基本运算之一，掌握好立方计算的公式和方法对于学习数学和解决实际问题都非常重要。
本文将介绍立方计算的公式和方法，帮助读者更好地理解和掌握立方计算。
首先，我们来看立方的定义和公式。
一个数字的立方就是这个数字自己乘以自己两次，即立方数 = 数字× 数字× 数字。
例如，2的立方是2 × 2 × 2 = 8。
在代数中，立方通常用符号³表示，如2³=8。
对于一个立方体的体积，其公式为体积 = 边长× 边长× 边长，或者用公式V = a³表示，其中a为立方体的边长。
在实际应用中，我们经常需要计算立方数或立方体的体积。
下面将介绍一些常用的立方计算方法。
1. 计算立方数。
计算一个数字的立方，最简单的方法就是将这个数字自己乘以自己两次。
例如，计算3的立方，即3³=3 × 3 × 3=27。
在实际计算中，可以使用计算器或者手算来得到立方数的结果。
2. 计算立方体的体积。
计算立方体的体积，需要知道立方体的边长，然后使用体积的公式V = a³来计算。
例如，一个边长为4的立方体的体积为V =4³=4 × 4 × 4=64。
在实际问题中，可以根据给定的立方体的边长来计算其体积，从而解决实际应用中的问题。
3. 应用题解析。
在解决实际问题时，经常会遇到需要计算立方体的体积的情况。
例如，一个边长为10厘米的立方体的体积是多少？根据体积的计算公式V = a³，可以得到V = 10³=10 × 10 × 10=1000，所以这个立方体的体积为1000立方厘米。
4. 立方计算的性质。
立方计算具有一些特殊的性质，例如任何一个整数的立方都是一个整数，任何一个负数的立方都是一个负数。
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式首先，我们来推导立方和的公式。
设a和b为任意两个数，我们可以将(a+b)³展开为：(a+b)³=(a+b)(a+b)²通过分配律，得到：= (a+b)(a²+2ab+b²)然后，我们可以使用分配律展开这个式子，得到：= a(a²+2ab+b²) + b(a²+2ab+b²)继续展开得到：= a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³结合同类项，可简化得到：= a³+3a²b+3ab²+b³因此，我们得到了立方和的公式：(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³。
接下来，我们来推导立方差的公式。
对于立方差，我们可以将(a-b)³展开为：(a-b)³=(a-b)(a-b)²同样，使用分配律展开得到：= (a-b)(a²-2ab+b²)继续展开得到：= a(a²-2ab+b²) - b(a²-2ab+b²)再次展开得到：= a³-2a²b+ab²-a²b+2ab²-b³结合同类项，可简化得到：= a³-3a²b+3ab²-b³因此，我们得到了立方差的公式：(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³。
这些公式非常重要，可以用于解决各种数学问题。
例如，我们可以使用立方和公式来计算两个数立方和的值。
同样，我们可以使用立方差公式来计算两个数立方差的值。
此外，这些公式还可以应用于代数表达式的展开。
例如，如果我们有一个代数表达式(a+b)³，我们可以使用立方和公式来展开它。
三项完全立方和公式
三项完全立方和公式完全立方和公式是数学中一个重要的公式，在从小学到高中的数学学习中都有着重要的地位。
先来说说这三项完全立方和公式到底是啥。
它就是：(a + b + c)³ = a³+ b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 6abc 。
这看起来挺复杂的吧？别急，咱们慢慢捋捋。
就拿我之前给学生讲这个公式的时候发生的一件事来说。
那是一个阳光明媚的上午，教室里的气氛却有些凝重。
我在黑板上写下这个公式，然后问同学们：“大家看看这个公式，觉得难不难？”下面一片沉默，只有几个胆大的同学小声嘟囔着：“难！”我笑了笑，说：“那咱们一起来攻克这个难关。
”我先从简单的开始，比如让大家分别计算 a = 1，b = 2，c = 3 时公式的结果。
同学们纷纷拿起笔开始计算，教室里只听见沙沙的写字声。
过了一会儿，陆续有同学算出了结果。
我请一位同学到黑板上写下他的计算过程，他一开始还有些紧张，但在我的鼓励下，顺利地完成了。
然后，我又给大家出了一道稍微复杂点的题目，让大家用公式展开(x + 2y + 3z)³。
这一下可把不少同学难住了。
有的抓耳挠腮，有的眉头紧锁。
我在教室里走来走去，观察着大家的情况。
走到一个小姑娘旁边，我看到她的草稿纸上写得密密麻麻，但就是没有找到头绪。
我轻轻地拍了拍她的肩膀，说：“别着急，咱们先看看公式里各项的关系。
”我引导她从最基本的立方项开始，逐步加上交叉项。
慢慢地，她的眼睛亮了起来，脸上露出了笑容，嘴里还念叨着：“原来是这样啊！”在大家的努力下，大部分同学都掌握了这个公式的基本应用。
回到这个三项完全立方和公式，它在解决一些复杂的代数问题时非常有用。
比如说在几何图形的体积计算中，如果一个立方体的边长是由三个变量组成的表达式，那么就可以用这个公式来计算体积。
最详细的立方和公式
最详细的立方和公式最详细的立方和公式a^3+b^3=(a+b) (a^2ab+b^2 ）折叠立方差公式a^3b^3=(ab) (a^2+ab+b^2 ）折叠3 项立方和公式a^3+b^3+c^33abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcac)推导过程：a^3+b^3+c^33abc=(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3+c^3 ）（ 3abc+3a^2 b+3ab^2 ）=[(a+b)^3+c^3]3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+2abacbc+c^2 ） 3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab3abacbc)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcac)文字表达折叠立方和，差公式两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）折叠3 项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍公式证明⒈ 迭代法：我们知道：0 次方和的求和公式ΣN^0=N即 1^0+2^0+...+n^0=n1 次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1 ） /2即 1^1+2^1+...+n^1=n(n+1 ） /22 次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1 ）（ 2N+1 ） /6即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1 ）（ 2n+1 ）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（ x+1 ） ^3x^3=3x^2+3x+1 ，迭代即得。
取公式：（ X+1 ）^4X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1系数可由杨辉三角形来确定那么就得出：（ N+1 ）^4N^4=4N^3+6N^2+4N+1………… ⑴N^4(N1 ） ^4=4(N1 ） ^3+6(N1 ） ^2+4(N1 ）+1………… ⑵（ N1 ） ^4(N2 ） ^4=4(N2 ） ^3+6(N2 ） ^2+4(N2 ）+1………… ⑶2^41^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1………… （ n).于是⑴ + ⑵ + ⑶ +……+(n ）有左边 =(N+1 ） ^41右边 =4 （1^3+2^3+3^3+……+N^3 ） +6 （1^2+2^2+3^2+……+N^2 ） +4 （1+2+3+……+N)+N 所以呢把以上这已经证得的三个公式代入4 （1^3+2^3+3^3+……+N^3 ） +6 （1^2+2^2+3^2+……+N^2 ） +4（1+2+3+……+N)+N=(N+1 ） ^41得 4 （1^3+2^3+3^3+……+N^3 ） +N(N+1 ）（ 2N+1 ） +2N(N+1 ） +N=N^4+4N^3+6N^2+4N 移项后得1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4NN2N^22N2N^33N^2N)等号右侧合并同类项后得1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2 ）即1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1 ） ]^21^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1 ） ]^22.因式分解思想证明如下：a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3a^2×b=a^2(a+b)b(a^2b^2 ） =a^2(a+b)b(a+b)(ab)=(a+b)[a^2b(ab)]=(a+b)(a^2ab+b^2 ）公式延伸正整数范围中1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1 ）/ 2]^2= （1+2+……+n)^2几何验证透过绘立体的图像，也可验证立方和。
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立方和公式a A3+b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2)••立方差公式a A3-b A3=(a-b) (a A2+ab+b A2).3项立方和公式a A3+b A3+c A3-3abc=(a+b+c)(a A2+b A2+c A2-ab-bc-ac)推导过程：a A3+b A3+c A3-3abc=(a A3+3a A2 b+3ab A2+b A3+c A3)・(3abc+3a A2 b+3ab A2)=[(a+b)A3+c A3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a A2+b A2+2ab-ac-bc+c A2) -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a A2+b A2+c A2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a A2+b A2+c A2-ab-bc-ac)文字表达.立方和，差公式两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差).3项立方和公式三数Z和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数Z积的三倍公式证明1 •迭代法：我们知道：0次方和的求和公式ZN A O=N即1A0+2A0+..+n A0=n4 次方和的求和公式》NM二N(N+1) 12即1A1+2A1+...+n A1=n(n+1) 122 次方和的求和公式ZN A2=N(N+1) (2N+D/6 即1A2+2A2+...+n A2=n(n+1) (2n+1)/6——平方和公式，此公式町由同种方法得出，取公式(x+1) A3-x A3=3x A2+3x+1,迭代即得。
取公式：(X+1) A4-X A4=4X X A3+6X X A2+4X X+1系数可由杨辉三介形来确定那么就得出：(N+1) M-N A4=4N A3+6N A2+4N+1 (1)N A4-(N-1) A4=4(N-1) A3+6(N-1) A2+4(N-1) +1 (2)(N-1) A4-(N-2) A4=4(N-2) A3+6(N-2) A2+4(N-2) +1 (3)2^4-1 A4=4x 1 A3+6x 1 A2+4X 1+1 ........ (n)■于是(1)+⑵+(3)+……+(n)有左边二(N+1) A4-1右边二4 (1A3+2A3+3A3+……+N A3) +6 (1A2+2A2+3A2+……+N A2) +4(1+2+3+……+N)+N所以呢把以上这已经证得的三个公式代入4 (1A3+2A3+3A3+ ......... +N A3) +6 (1A2+2A2+3A2+ ........ +N A2) +4(1+2+3+……+N)+N=(N+1) A4-1得4(1A3+2A3+3A3+……+N A3)+N(N+1 )(2N+1 )+2N(N+1 )+N=N A4+4N A3+6N A2+4N移项后得1A3+2A3+3A3+……+N A3=1/4(N A4+4N A3+6N A2+4N-N-2N A2-2N-2N A3-3N A2-N)等号右侧合并同类项后得1A3+2A3+3A3+......+N A3=1/4 (N A4+2N A3+N A2)即1A3+2A3+3A3+……+N A3= 1/4 [N(N+1) ]A2人功告成！立方和公式推导完毕1A3+2A3+3A3+……+N A3= 1/4 [N(N+1) ]A22.因式分解思想证明如下：a A3+b A3=a A3+a A2xb+b A3-a A2xb=a A2(a+b)-b(a A2-b A2) =a A2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[a A2-b(a-b)]=(a+b)(a A2-ab+b A2)公式延伸正整数范围中1A3 + 2A3 + ……n A3 = [n (n+1) /2]A2= (1+2+……+n)A2儿何验证透过绘立体的图像, 也可验证立方和。
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立方和公式
a A3+
b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2 )
•立方差公式
aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 )
-3项立方和公式
aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)
推导过程：
aA3+bA3+cA3-3abc
=(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 )
=[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)
文字表达
•立方和，差公式
两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差) -3项立方和公式
三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍
公式证明
1.迭代
法:
我们知道:
0次方和的求和公式2N A0=N 即 1人0+2人
0+...+nP=n
1次方和的求和公式INA仁N(N+1) /2 即 1A1+2A1+...+nA仁n(n+1 ) /2
2次方和的求和公式
2N|A2=N(N+1)( 2N+1) /6 即 1人2+2人2+…+n人2=n(n+1 )( 2n
+1)
/6 ――平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式( x+1) A3-xA3=3xA2+3x+1，迭代即
得。
取公式：(X+1) A4-XA4=4 XXA3+6XXA2+4XX+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出:
(N+1)人4-24=423+622+4屮1
NA4-(N-1)A4=4(N-1)A3+6(N-1)A2+4(N-1)+1
(N-1)A4-(N-2)A4=4(N-2)A3+6(N-2)A2+4(N-2)+1
2人4-1人4=4 X1A3+6 X1A2+4 X1+1 ... (n)
于是⑴+⑵+⑶+ ..... +(n )有
左边=(N+1) A4-1
右边=4 (1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6 (1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4 (1+2+3+……+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式代入
4( 1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6( 1人2+2人2+3人2+ ……+“人2)
+4( 1+2+3+……+N)+N=(N+1)
A4-1
得 4 (1A 3+2A 3+3A 3+ ……+N A 3) +N(N+1)( 2N+1) +2N(N+1) +N=N A 4+4N A 3+6N A
2+4N
移项后得 1人3+2人3+3人3+ ……+23=1/4 (NA4+4NA3+6NA2+4N-N-2NA2-2N-2NA3-3NA2-N) 等号右侧合并同类项后得
1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4 (24+223+22 ) 即
1人3+2人3+3人3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人2
大功告成！
立方和公式推导完毕
1人3+2人3+3人3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人2
2.因式分解思想证明如下 ：aA3+bA3=aA3+aA2 ©+匕人3七人2 >b =aA2(a+b)-b(aA2-bA2 ) =aA2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[aA2-b(a-b)]=(a+b)(aA2-ab+bA2 )
公式延伸
正整数范围中1A3 + 2A3 + ……门人3 = [n(n+1 ) / 2]人2= (1+2+……+n )人2 几何验证
透过绘立体的图像，也可验证立方和。
根据右图，设两个立方，总
xA3+yA3
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
(x+y)A
3 和为
#・F 甲 ■‘in 1
要得到x A3+y A3，可使用(x + y)A3的空白位置。
该空白位置可分割为3个部分：
xxy x (x+y)
x x (x+y) X
-(x+y) X X
把三个部分加在一起，便得：
=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)
=3xy(x+y)
之后，把(x + y)A3减去它，便得：=(x+y)A3-3xy(x+y )公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
=(x+y)[(x+y)A2-3xy]
(x + y)A2可透过和平方公式，得到：
=(x + y)( x A2+ 2 xy + y A2-3xy)
=(x + y)( x A2 - xy + 屮2)
这样便可证明：xA3+yA3=( x + y)( x A2 - xy + 屮2)
关于因数
一般而言，任取一自然数N,他的因数有1, n1,n2,n3 , ...... , nk,N，这些因数的因数个数分别为 1, m1,m2,m3, .... , mk,k+2，贝U
1A3+m1A3+m2A3+m3A3+••…+mkA3+(k+2)人3
=(1+m1+m2+m3+ …+mk+k+2)人2
我们发现，上述规律对素数 p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p,因数的个数只有1和2，所以成立。
合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。
比如120,有因数
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120;它们的因数个数为1, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 4, 6, 4, 6, 8, 8, 8, 12, 16,
1A3+2A3+2A3+3A3+2A3+4A3+4A3+4A3+6A3+4A3+6A3+8A3+8A3+8A3+12A3+16A3=8100
(1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16)人2=8100
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