第4章固体的能带结构
能带理论
满带
导体
空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，
这样的能带称为空带。
空带：每一个能级上都没有 电子的能带
★与各原子的激发态能级相对应 的能带，在未被激发的正常情况 下就是空带；
空带 带隙
★空带中若有被激发的电子进入， 则空带就变成了导带。
非导体
禁带：两个相邻能带间的间隔
★禁带中不存在电子的定态； ★禁带的宽度对晶体的导电性起着 重要的作用。
满带（价带）
半导体
例如：硅、硒、锗、硼等元素，硒、碲、硫的化合物， 各种金属氧化物等物质都是半导体。
不同固体的能带填充情况 (a) 导体；(b) 绝缘体；(c) 半导体；(d) 半金属
四、带性质
（1）对于第 n 个能带，其能量与波函数 k 在空间均 具有对称性，可表示为E：n k En k En k En k n*,k r n,k r
以硅为例:每立方厘米的体积内有5×1022个原子， 原子之间的最短距离为0.235nm —— 致使离原子核 较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于 某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上 去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去， 这种现象称为电子的共有化。
二、 能带的形成
晶体中电子共有化的结果，使得晶体内电子的能量 状态不同于孤立原子中的电子： 晶体内电子的能量可以处于一些允许的范围之内，
空带
导带
例如: 当 Na 原子结合成晶体时，3s 能带只填满了一半电子， 而 3p 能带与 3s 能带相交错。这样在被电子填满的能 级上面有很多空着的能级，所以电场很容易将价电子 激发到较高的能级上，因此 Na 是良导体
Na:1s22s22p63s1
Na :1s22s22p6
固体能带结构
(3) 高亮度 大功率激光亮度 太阳表面亮度约
1010 ~ 1017 W·cm-2·sr-1
103
W·cm-2·sr-1
(4) 高相干性 用于测量长度、干涉以及全息术 ······
高亮度可用于精密加工，医学，核聚变等.
6KW CO2 激光加工机在进行 金属表面涂敷合金粉末的作业
核聚变实验的六路真空靶室
pn 结单向导电性
I / mA
30
30
20
击穿电压
反向
20
正向
10
0. 4
0. 8
10
U/V
20
pn 结伏安特性曲线
§16.11 激
光
主要内容：
1. 自发辐射受、激辐射和受激吸收 2. 粒子数反转和光放大 3. 激光器的基本构成及激光的形成 4. 激光的纵模和横模 5. 激光的特性及应用
16.11.1 自发辐射受、激辐射和受激吸收
激励
激励
E2 激发态
E1 基态
三能级结构
E1 基态
四能级结构
增益介质（处于粒子数反转态的介质）. 激励系统
例 He-Ne激光器中Ne气粒子数反转态的实现
碰撞 电子
亚稳态
碰撞
增益介质(Ne气体)
(2) 阈值条件
I I0eGz
I0
增益介质
r1r2I0 e2GL I0
I0 eGL
r2 r1I0 e2GL
k1 k
c 2nL
纵模个数：
N
Δ Δ k
单模线宽
vk
vc
vk vk+1
辐射线宽
N 个纵模
2. 激光的横模 光束横截面上光强的稳定分布称为激光的横模.
《固体物理基础教程》课件第4章
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性
能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面
等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
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E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
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固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波
2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相
能带的结构及形成
能带的结构及形成
能带是固体物理学中一个重要的概念，它描述了固体中电子的能量分布情况。
在固体中，电子受到晶格的约束，其能量仅能取离散的数值。
能带的形成是由于晶格中的周期性势场作用于电子，使得能量分布变得连续起来。
固体中的电子可以分为价电子和导电子两种类型。
价电子处于化学键中，不能自由移动，而导电子则可以在固体中自由移动。
导电子的运动状态受到能带结构的限制。
固体中的能带可以分为价带和导带两种。
价带是指最高占据态能量的带，而导带则是指最低未占据态能量的带。
两者之间的区域称为能隙，能隙宽度决定了固体的导电性质。
能带结构的形成是由于晶格的周期性势场对电子的影响。
晶格中的离子产生的电场会对电子的运动产生影响，使得它们的能量分布变成了连续的带状结构。
能带的宽度与晶格的周期性有关，晶格越完整，能带宽度越窄。
此外，能带的形态和原子的轨道结构也有关系。
总之，能带结构是固体中电子能量分布的基本描述，可以决定固体的导电性质和光电性质等物理特性。
- 1 -。
济南大学固体物理(黄昆)课件能带理论.ppt
i 2 l 1
N1 = 1
cos 2 l1
l1 是任意整数
ix i 2l1
又e cosx cos2l1
2 il 1
又 e cos x i sin xe
ix
e cos 2 l 1 N 1
e 1
1 e
l1 2i N1
2 e
l2 2i N2
3 e
l3 2i N3
其中 l1 , l2 , l3 为整数 如果引入矢量:
l l l 3 2 k 1 b b b 1 2 3 N N N 1 2 3
T r a f r a a T T f r
T T T T
2 m 2 2 2 m 22 2 2 2 2 h rr h r 证明：T r ff f r Hf r TT T VV r TT Hf r r r Hf r V r r 2 2 2 2 m 2 2 m 2 m h h r a r a 2 2 h V r a f 2 2 2 2 V r a 2 h 2 r a h r r a f a rr aa a V r 2 m r r VV a f r a a 2 m a f r 2 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 h h r r r h h rr f r T rr f VV r TT r V r f r V r T f r 2m m 2 V r T f 2 m 2 m 2 m HT HT f f r r HT r f f r HT TT H H HT HT T Hf
固体的能带结构（二）能带能带（三）能带中电子的排布
一、固体的能带电子受到周期性势场的作用a以得出两点重要结论：固体的能带结构H.M.Qiu1、电子的能量量子化2、电子运动有隧道效应原子的外层电子势垒穿透概率较大，可以在整个固体中运动，称为共有化电子原子的内层电子与原子核结合较紧,一般不是共有化电子(二) 能带量子力学计算表明，固体中若有N 个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级，变成了N 条靠得很近的能级，称为能带H.M.Qiu能带的宽度记作ΔE ，数量级为，则能带中两能级的间距约2P 2S E一般规律1、越是外层电子，能带越宽，ΔE 越大能带H.M.Qiu离子间距a 1S0能带重叠示意图(三) 能带中电子的排布固体中的一个电子只能处在某个能带中的某一能级上排布原则：1、服从泡利不相容原理2、服从能量最小原理设孤立原子的一个能级E nl ，它最多能容纳2(2（但可较自由地在能带中改变所处能级）H.M.Qiu电子排布时，应从最低的能级排起有关能带被占据情况的几个名词1、满带（排满电子）2、价带（能带中一部分能级排满电子）无导电作用⎯亦称导带有导电作用H.M.Qiu4、禁带（不能排电子的能量空间）二、导体和绝缘体它们导电性能的差异缘于其能带结构的不同固体按导电性能的高低可以分为：导体半导体绝缘体禁带ΔE g 导带(未满)导带重叠导带(未满)空带重叠H.M.Qiu满带满带体导体在外电场的作用下，大量共有化电子很易获得能量，集体定向流动形成电流从能级图上来看，是因为其共有化导体：H.M.Qiu级(空带)上去满带半导体H.M.Qiu半导体。
《凝聚态物理》第四章_能带理论-II
第四章 能带论－2
一、模型的描述：波包
按量子力学，电子用波来描述。经典粒子性要求确定的 轨道、动量。如何把电子的粒子性与波动性联系和统一 起来呢？
量子——经典类比，用到“波包”的概念
▪ 波包：是分布在空间有限区域的波列，频率也有
一定的分布范围。 粒子空间分布在 r 附近 △r 范围内，动量取值
NC
C
gC
e d C KBT
PV
g V
V
e d V KBT
C
V
T的缓 变函数
E
CB
VB
f (E)
第四章 能带论－2
4、半导体的统计理论
本征半导体：
nC pv
c
v
2
1 2
kBT
ln
Pv Pc
E
CB
C
V
VB
f (E)
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
九、恒定磁场 作用下电子的 准经典运动
例：自由电子，B=(0,0,B)
kz
B
运动轨道为圆－回旋运动
回旋周期：
T d k d k d t
2 k 2 m
kx
evB eB
回旋频率：
c
eB m
k
ky
等能面
等于实空间的 回旋频率
第四章 能带论－2
二、自由电子回旋运动（实空间）
m dv dt ev B
vvxy
eB mvy eB mvx
能带电子？由于晶格的散射，电子不可能被无 限制加速
第四章 能带论－2
二、k－空间运动
▪ 电子的运动保持在同一个能带内，能量周期性 变化，在 K－空间周期性运动。
第四章 能带理论2
h1, h2, h3＝整数
由此可知，在简约区中，波矢 k 共有 N 个准连续的取 值，即可得 N 个电子的本征态 ψk(r) 对应于N个准连续的 k 值。这样，E(k)将形成一个准连续的能带。 以上论述说明，形成固体时，一个原子能级将展宽为 一个相应的能带，其 Bloch 函数是各格点上原子波函数
ϕi(r-Rm) 的线性组合。
En = ( k ) En ( k + G )
n=3 n=2 n=1
三维情形
可将一维的情况推广到三维，三维情形与一维的重要 区别是可能发生能带的交叠。 属于同一个布里渊区的 k 所对应的能级构成一个能带， 不同布里渊区的 k 构成不同能带。 沿各方向的能量 E(k) 在布里渊区边界上都产生能隙， 但不同方向断开时的能量取值不同，使能隙位置和宽度不 同，从而可能发生能带交叠。
E
nd
np ns
能量较低的带对应内层电子，电子轨道较小， 不同原子之间波函数很少相互重叠，因此能带 较窄。 能量较高的能带对应外层电子，波函数在不 同原子间将有较多的重叠，从而形成较宽的带。
II. 在晶体形成过程，不同原子态之间有可能相互作用和混合。 此时原子能级与能带之间并不存在简单的一一对应关系。
Rs = 近邻格矢
a a
Rs＝(±a, 0, 0), (0, ±a, 0), (0, 0, ±a)
∴ E ( k ) = ε s − J 0 − J1 e
(
ik x a
+e
− ik x a
+e
ik y a
+e
− ik y a
+ eikz a + e − ikz a
)
= ε s − J 0 − 2 J 1 ( cos k x a + cos k y a + cos k z a )
黄昆固体物理习题-第四章 能带理论
4.1 根据状态简并微扰结果,求出与及相应的波函数及,并说明它们的特性,说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布说明能隙的来源(假设).2ψ*=nnV V 解：令,简并微扰波函数取带入上式,其中()n V k E E +=+0第四章习题参考解答, 从上式得到,于是取得到由教材可知, 及均为驻波。
电子波矢时,电子波的波长恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同能量。
4.1题解答完毕4.2写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1,2,3）中简约波矢的零级波函数解：一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数( 为简约波矢)代入得到对于第一个能带第n个能带零级波函数：简约波矢：则有对于第二个能带：对于第三个能带4.2题解答完毕4.3电子在周期场中的势能函数且a=4b， 是常数。
（1)画出此势能曲线，并计算势能的平均值；（2) 用近自由电子模型计算晶体的第一个和第二个带隙宽度。
解：由已知条件画出势能曲线（1）势能曲线势能的平均值为：令（2）带隙宽度第一个带隙宽度第二个带隙宽度4.3题解答完毕4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数先求面心立方晶格s态原子能级相对应的能带E s（k ）函数，利用公式：解：s原子态波函数具有球对称性，则：取任选取一个格点为原点，最近邻格点有12个代入能量公式类似的表示共有12项，归并化简后，得到面心立方s态原子能级相对应的能带为：对于体心立方格子，任选取一个格点为原点有8个最邻近格点，最近邻格点的位置为：类似的表示共有8项,归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带代入能量公式()01s ik k ss E k J J eε-⋅=--∑ ()()1,nik k at n sn nk r er k Nφϕ⋅=-∑ M 点的布洛赫波为:()()1,mik k at msm mk r er k Nφϕ⋅=-∑ 4.5 题略p582在只考虑S 态电子的情下，由一维简单晶格的布洛赫波为：解：S 态原子对应的能带函数其中矩阵元:所以此时久期方程变为:其中由于原子波函数满足薛氏方程：晶体的哈密顿量写成H ，所以矩阵元即库仑积分交叠积分由于晶体不同原子的电子波函数很少相互交迭，所以上式中只有当是相邻原子是相同原子时才不为零(2)解：(1)= 4.6 题略解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带函数表示为：4.7有一一维单原子链，原子间距a ，总长度为L ＝Na1)用紧束缚近似方法求出与原子s 态能级相对应的能带函数2)求出其能带密度函数的表达式3)如每个原子s 态中只有一个电子，计算T=0K 时的费密能级和处的能态密度对于一维情形,任意选取一个格点为原点，有两个最近邻的格点，坐标为：a和－a能带密度函数的计算对于一维格子，波矢为具有相同的能量此外考虑到电子自旋有2种取向，在dk区间的状态数为：能带密度T=0K的费密能级计算：总的电子数其中T=0K的费密能级T=0K费密能级处的能态密度4.7题解答完毕4.8 （1）证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍。
固体物理(2011) - 第4章 能带论 5 能带电子的态密度
X射线光电子能谱（X-ray photoelectron spectroscopy，XPS）
X射线光电子能谱（X-ray photoelectron spectroscopy，XPS）
是一种用于测定材料中元素构成、实验式，以及其中所 含元素化学态和电子态的定量能谱技术。这种技术用X 射线照射所要分析的材料，同时测量从材料表面以下1 纳米到10纳米范围内逸出电子的动能和数量，从而得到 X射线光电子能谱。X射线光电子能谱技术需要在超高 真空环境下进行。
1914年开始，西格班从对电磁学的研究转向X射线光谱学。为此， 他在隆德大学创建了著名的光谱学实验室。1921年，他设计了研 究光谱用的真空分光镜。他先把要分析鉴定的材料涂在X射线管 的阳极板上做为靶标，再用阴极发出的电子去冲击阳极板，使其 受激发，发出标识X射线。然后，用他所发明的分光镜来观察X 射线光谱，并用摄谱仪摄下光谱照片。利用这种方法，他测量、 分析并确定了92种元素的原 子所发射的标识X射线。这些元素的 X射线标识谱间的相对简易性和紧密相似性使他确信这些辐射起 源于原子内部而与外围电子结构所支配的复杂光谱线及化学性质 无关。他证明了巴克拉发现的K辐射与L辐射的确存在。另外，他 还发现了另一谱线系，即M系。西格班光谱仪的高度分辨率显示 了莫塞莱所发现的K谱线为双线。他在L系中发现了28条谱线， 在M系中发现了24条谱线。他的工作支持波尔等科学家关于原子 内电子按照壳层排列的观点。
V Z dSdk 3 ( 2 )
两个等能面间垂直距离 dk
V dS 能态密度 N ( E ) (2 )3 k E
V dS 考虑到电子的自旋，能态密度 N ( E ) 2 (2 )3 k E
公式的来源：
• 求解热力学量时需要
固体物理考题 第四章 能带理论
第四章 能带理论1设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)= V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a 处的能隙2怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明）3简单推导布洛赫（Bloch ）定理4对于一个二维正方格子，晶格常数为ａ，λ 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区；λ 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线；λ 画出其态密度随能量变化的示意图。
5 在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为ａ，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。
6推导bloch 定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。
7在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。
设晶体中第m 个原子的位矢为：112233m m m m =++R a a a …………………………………………………………（5-4-1） 若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态()i m ϕ-r R ，该波函数满足方程：22()()()2m i m i i m V m ϕεϕ⎡⎤-∇+--=-⎢⎥⎣⎦r R r R r R …………………………（5-4-2） 其中()m V -r R 为上述第m 个原子的原子势场，i ε是与束缚态i ϕ相对应的原子能级。
如果晶体为N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N 个相同能量i ε的束缚态波函数i ϕ。
因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N 个简并的系统：能量为i ε的N 度简并态()i m ϕ-r R ，m=1，2，…，N 。
实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。
由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N 个能级构成的能带。
根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N 个简并态的线性组合(,)()()m i m ma ψϕ=-∑k r k r R …………………………………………………（5-4-3）作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为：22()()()2U E m ψψ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦r r r ……………………………………………………（5-4-4） 其中晶体势场U (r )是由原子势场构成的，即()()()n l nU V U =-=+∑r r R r R ……………………………………………………（5-4-5）微扰计算（5-4-4）式可以转化为如下形式：()()22()()()2m m V U V E m ψψ⎡⎤-∇+-+--=⎢⎥⎣⎦r R r r R r r 代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得：[()()()]()0mi m i m m a E U V εϕ-+---=∑r r R r R ……………………………………（5-4-5）在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较i ϕ态的轨道大得多，不同原子的i ϕ重叠很小，从而有：()()*i n i m nm d ϕϕδ--=⎰r R r R r ……………………………………………………（5-4-6） 现以()*i n ϕ-r R 左乘方程（5-4-5），并对整个晶体积分，可以得： *()()[()()]()n i m i m m i m ma E a U V d 0εϕϕ-+---⋅-∑⎰r R r r R r R r =……………（5-4-7）首先讨论（5-4-7）式中的积分。
固体物理 第四章(1)Bloch定理
i
ˆ H i i r i Ei i r i
（4-9）
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一 个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。
周期势场假设
而并不考虑其它电子的具体运动情况
单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个 电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所 有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有 电子都适用，是所有电子的解。 如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出 现反常现象。
4.2 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电 子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 / e2 ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m
NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N
（4-12）
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
k
且
ik r r e uk r
（4-13）
在周期势场中运动的单电子的波函数不再 是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再
uk r R n uk r
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一. 能带 固体中的电子能级有什么特点？ 量子力学计算表明，固体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于 原来孤立原子的每一个能级,变成了N条靠 得很近的能级,称为 能带。
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能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。
若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。 3. 两个能带有可能重叠。
I （毫安）
３０
正向
２０
１０
0
0.2
（伏） V 1.0
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２. 反向偏压 在ＰＮ结的ｐ型区接电源负极, 叫反向偏压。
E
I p型 n型
E阻
阻挡层势垒增 大、变宽，不 利于空穴向Ｎ 区运动，也不 利于电子向P 区运动,没有正 向电流。
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但是，由于少数 载流子的存在， 会形成很弱的反 向电流， 称为漏电流 （Ａ级）。
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三. 杂质补偿作用 实际的半导体中既有施主杂质（浓nd）， 又有受主杂质（浓度na），两种杂质有补 偿作用： 若ndna——为n型（施主）
若ndna——为p型（受主）
利用杂质的补偿作用， 可以制成PＮ结。
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四、PＮ结的形成 在一块 n 型半导体基片的一侧掺入 较高浓度的受主杂质，由于杂质的 补偿作用，该区就成为ｐ型半导体。 由于Ｎ区的电子向Ｐ区扩散，Ｐ区的 空穴向Ｎ区扩散，在ｐ型半导体和Ｎ 型半导体的交界面附近产生了一个电 场,称为内建场。
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E 2P 2S
1S a
0
离子间距
能带重叠示意图
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二 . 能带中电子的排布 固体中的一个电子只能处在某个能带中 的某一能级上。
排布原则： １. 服从泡利不相容原理 ２. 服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。 这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳２Ｎ(2 l +1)个电子。
空带
h
Eg=2.42eV
满带
这相当于产生了一个带正电的粒子(称为 “空穴”) , 把电子抵消了。 电子和空穴总是成对出现的。
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在外电场作用下,
空穴下面能级上 的电子可以跃迁 到空穴上来, 这相当于空穴 向下跃迁。
满带上带正电的 空穴向下跃迁也 是形成电流, 这称为空穴导电。
空带
Eg
满带
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电子能级
也阻止 N区 带负电的电子进 一步向P区扩散。
eU0
电子电势能曲线
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五、ＰＮ结的单向导电性 １. 正向偏压 I 在ＰＮ结 的p型区接 电源正极， 叫正向偏压。
E
p型
E阻
n型
阻挡层势垒被削弱、变窄，有利于空穴 向N区运动，电子向P区运动， 形成正向电流（mＡ级）。
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外加正向电压越大， 正向电流也越大， 而且是呈非线性的 伏安特性(图为锗管)。
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内建场阻止电子 和空穴进一步扩 散，记作 E阻 。 内建场大到一定 程度,不再有净电 荷的流动，达到 了新的平衡。
在ｐ型 n型交界面 附近形成的这种特 殊结构称为PN结。p型n型Fra bibliotekE阻PN结
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PN结处存在电势差Uo。 它阻止 P区 带正电的空穴进 一步向N区扩散；
P-N结
电势曲线
U0
击穿电压
-30 -20
I（微安）
V(伏)
-１０ -２０
反向
-３０
当外电场很强,反向电压超过某一数值后， 反向电流会急剧增大----反向击穿。 利用PN结可以作成具有整流、开关等作 用的晶体二极管。
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六、光生伏特效应
利用pn结还可以制成光电池，其原理如下：采 用扩散方法，在p型表面上掺入n型的薄层，从 而构成pn结。当光照射到pn结附近时，光子会 产生电子-空穴对，于是在pn结处偶电层内强电 场的作用下，电子将移到n型中，而空穴则移 到p型中，从而使pn结两边分别带上正负电荷。 这样，在光的照射下，pn结就相当于一个电池， 这种由于光的照射，使pn结产生电动势的现象， 叫做光生伏特效应。
绝缘体
导体 半导体
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三、半导体的分类 一. 本征半导体
本征半导体是指纯净的半导体。
本征半导体的导电性能在导体与绝缘体之间。 介绍两个概念： 1. 电子导电……半导体的载流子是电子 2. 空穴导电……半导体的载流子是空穴 满带上的一个电子跃迁到空带后, 满带中出现一个空位。
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例. 半导体 Cd S（硫化镉）
二. 杂质半导体 １. n型半导体 四价的本征半导体 Si（硅）、Ｇｅ（锗）等， 掺入少量五价的杂质元素，如P（磷）、As （砷）等 形成电子型半导体, 称 n 型半导体。 量子力学表明，这种掺杂后多余的电子的 能级在禁带中紧靠空带处, ED～10-2eV， 极易形成电子导电。
该能级称为施主能级。
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n 型半导体
Si Si Si Si P 施主能级 满带 在n型半导体中 电子……多数载流子 空穴……少数载流子 Si 空带 ED
Si
Si
Eg
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２.ｐ型半导体 四价的本征半导体Si（硅）、Ｇe（锗）等， 掺入少量三价的杂质元素，如Ｂ（硼）、 Ga（镓）、Ｉn（铟）等形成空穴型半导体， 称 p 型半导体。 量子力学表明，这种掺杂后多余的空穴的 能级在禁带中紧靠满带处，ED～10-2eV， 极易产生空穴导电。 该能级称受主能级。
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P型半导体
Si Si Si Si Si + B Si
空带
受主能级
Si
满带
Eg ED
在p型半导体中 空穴……多数载流子 电子……少数载流子
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3. n型化合物半导体 例如，化合物GaAs（砷化镓）中掺Ｔｅ（碲） ，六价的Te替代五价的As可形成施主能级， 成为n型GaAs杂质半导体。 4.ｐ型化合物半导体 例如，化合物 GaAs中掺Zn（锌），二价的Zn 替代三价的Ga（镓）可形成受主能级， 成为p型GaAs杂质半导体。
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三、 导体和绝缘体
固体按导电性能的高低可以分为
导体 半导体 绝缘体
它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。
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导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。 E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
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绝缘体 在外电场的作用下，共有化电子很难接 受外电场的能量，所以不能形成电流。
从能级图上来看，是因为满带与空带之间 有一个较宽的禁带（Eg 约3～6 eV）， 共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到 高能级（空带）上去。
半导体 的能带结构,满带与空带之间也是禁带， 但是禁带很窄（E g 约0.1～2 eV )。
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绝缘体与半导体的击穿
当外电场非常强时，它们的共有化电子还是 能越过禁带跃迁到上面的空带中的。
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２Ｎ(2 l +1)
例如，1ｓ、２ｓ能带，最多容纳 2Ｎ个电子。 2ｐ、３ｐ能带，最多容纳 6Ｎ个电子。 电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词： 1．满带（排满电子） 2．价带（能带中一部分能级排满电子） 亦称导带 3．空带（未排电子） 亦称导带
4．禁带（不能排电子）