第5章 优化问题
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X= 1.0016 function f=myfun(x) f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2; X= 1.0016 0.8335
[0,0])
>> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0]) 0.8335
注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续 时，使用fminsearch效果较好。
例5-5 求的最小值。 结果为：
>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2'; >> x0=[1 1]; >> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0) x= 1.0e-008 * -0.7591 0.2665 fval = 1.3953e-016 exitflag = 1 output = iterations: 3 funcCount: 16 stepsize: 1.2353 firstorderopt: 1.6772e-007 algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search' grad = 1.0e-006 * -0.1677 0.0114
或用下面方法：
>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2') fun = Inline function: fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2 >> x0=[1 1]； >> x=fminunc(fun,x0) x= 1.0e-008 * -0.7591 0.2665
5.3 非线性规划问题
5.3.1 有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为 sub.to 在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。 函数 fminbnd un,x1,x2) %返回自变量x在区间上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式 字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options为指定优化参数选 项 [x,fval] = fminbnd(…) % fval为目标函数的最小值 [x,fval,exitflag] = fminbnd(…) %xitflag为终止迭代的条件
命令 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值 函数 fminunc 格式 x = fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0的最小函数值点 x = fminunc(fun,x0,options) % options为指定优化参数 [x,fval] = fminunc(…) %fval最优点x处的函数值 [x,fval,exitflag] = fminunc(…) % exitflag为终止迭代的条 件，与上同。 [x,fval,exitflag,output] = fminunc(…) %output为输出优化信 息 [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(…) % grad为函数在解 x处的梯度值 ssian] = fminunc(…) %目标函数在解x处的海赛（Hessian）值
表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约 束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是 有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的 运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。 例5-1 求下面的优化问题 min sub.to 解：
>>f = [-5; -4; -6]; >>A = [1 -1 1;3 2 4;3 2 0]; >>b = [20; 42; 30]; >>lb = zeros(3,1); >>[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) x = %最优解 0.0000 15.0000 3.0000 fval = %最优值 -78.0000 exitflag = %收敛 1 output = iterations: 6 %迭代次数 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol' %所使用规则 lambda = ineqlin: [3x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] >> lambda.ineqlin ans = 0.0000 1.5000 0.5000 >> lambda.lower ans = 1.0000 0.0000 0.0000
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…) % output为优化信息 说明 若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过 函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数 output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数， output=algorithm表示所使用的算法。 例5-2 计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。 解：>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)
x= 3 >> x=fminbnd(@myfun,0,5) function f = myfun(x) f = (x-3).^2 - 1;
5.3.2 无约束多元函数最小值
多元函数最小值的标准形式为 其中：x为向量，如 在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。 命令 利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值 函数 fminsearch %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的 函数柄。 x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset [x,fval] = fminsearch(…) %最优点的函数值 [x,fval,exitflag] = fminsearch(…) % exitflag与单变量情形一 致 [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…) %output与单变量情形 一致
注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
例5-4 求的最小值点
解：>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', 结果为 或在MATLAB编辑器中建立函数文件 保存为myfun.m，在命令窗口键入 结果为：
第5章 优化问题
5.1 线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题， MATLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为：
min sub.to：
其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。 在MATLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函 数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。当然，由于版本的向下兼容 性，一般说来，低版本中的函数在6.0版中仍可使用。 函数 linprog 格式 x = linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to 线性规划的最优解。 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束，若没有不等式约束，则A=[ ]，b=[ ]。 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x的范围，若没有等式约束 ，则Aeq=[ ]， beq=[ ] x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定 的优化参数 [x,fval] = linprog(…) % 返回目标函数最优值，即fval= f ' *x。 [x,lambda,exitflag] = linprog(…) % lambda为解x的Lagrange 乘子。 [x, lambda,fval,exitflag] = linprog(…) % exitflag为终止迭代 的错误条件。 [x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(…) % output为关于 优化的一些信息 说明 若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值 或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x；若lambda=lower
x= 0.5223 fval = 0.3974 exitflag = 1 output = iterations: 9 funcCount: 9 algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
例5-3 在[0，5]上求下面函数的最小值 解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为： 保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令： 则结果显示为：
结果为：
表明：不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的
来自百度文库
5.2 foptions函数
对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义 为：
options(1)-参数显示控制（默认值为0）。等于1时显示一些结 果。 options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。 options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。 options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。 options(5)-算法选择，不常用。 options(6)-优化程序方法选择，为0则为BFCG算法，为1则采用 DFP算法。 options(7)-线性插值算法选择，为0则为混合插值算法，为1则采用 立方插算法。 options(8)-函数值显示 (目标—达到问题中的Lambda ) options(9)-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。 options(10)-函数和约束估值的数目。 options(11)-函数梯度估值的个数。 options(12)-约束估值的数目。 options(13)-等约束条件的个数。 options(14)-函数估值的最大次数（默认值是100×变量个数） options(15)-用于目标 — 达到问题中的特殊目标。 options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。 options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。 options(18)-步长设置 (默认为1或更小)。 Foptions已经被optimset和optimget代替，详情请查函数optimset和 optimget。
hessian = 6.0000 2.0000 2.0000 2.0000
5.3.3 有约束的多元函数最小值
非线性有约束的多元函数的标准形式为： sub.to 其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是 返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函 数。 在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。 函数 fmincon 格式 x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,fval] = fmincon(…) [x,fval,exitflag] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…) 参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义； x0为初始值； A、b满足线性不等式约束，若没有不等式约束，则取 A=[ ]，b=[ ]； Aeq、beq满足等式约束，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]； lb、ub满足，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]； nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束和等 式约束分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使
[0,0])
>> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0]) 0.8335
注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续 时，使用fminsearch效果较好。
例5-5 求的最小值。 结果为：
>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2'; >> x0=[1 1]; >> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0) x= 1.0e-008 * -0.7591 0.2665 fval = 1.3953e-016 exitflag = 1 output = iterations: 3 funcCount: 16 stepsize: 1.2353 firstorderopt: 1.6772e-007 algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search' grad = 1.0e-006 * -0.1677 0.0114
或用下面方法：
>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2') fun = Inline function: fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2 >> x0=[1 1]； >> x=fminunc(fun,x0) x= 1.0e-008 * -0.7591 0.2665
5.3 非线性规划问题
5.3.1 有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为 sub.to 在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。 函数 fminbnd un,x1,x2) %返回自变量x在区间上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式 字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options为指定优化参数选 项 [x,fval] = fminbnd(…) % fval为目标函数的最小值 [x,fval,exitflag] = fminbnd(…) %xitflag为终止迭代的条件
命令 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值 函数 fminunc 格式 x = fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0的最小函数值点 x = fminunc(fun,x0,options) % options为指定优化参数 [x,fval] = fminunc(…) %fval最优点x处的函数值 [x,fval,exitflag] = fminunc(…) % exitflag为终止迭代的条 件，与上同。 [x,fval,exitflag,output] = fminunc(…) %output为输出优化信 息 [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(…) % grad为函数在解 x处的梯度值 ssian] = fminunc(…) %目标函数在解x处的海赛（Hessian）值
表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约 束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是 有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的 运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。 例5-1 求下面的优化问题 min sub.to 解：
>>f = [-5; -4; -6]; >>A = [1 -1 1;3 2 4;3 2 0]; >>b = [20; 42; 30]; >>lb = zeros(3,1); >>[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) x = %最优解 0.0000 15.0000 3.0000 fval = %最优值 -78.0000 exitflag = %收敛 1 output = iterations: 6 %迭代次数 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol' %所使用规则 lambda = ineqlin: [3x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] >> lambda.ineqlin ans = 0.0000 1.5000 0.5000 >> lambda.lower ans = 1.0000 0.0000 0.0000
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…) % output为优化信息 说明 若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过 函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数 output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数， output=algorithm表示所使用的算法。 例5-2 计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。 解：>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)
x= 3 >> x=fminbnd(@myfun,0,5) function f = myfun(x) f = (x-3).^2 - 1;
5.3.2 无约束多元函数最小值
多元函数最小值的标准形式为 其中：x为向量，如 在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。 命令 利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值 函数 fminsearch %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的 函数柄。 x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset [x,fval] = fminsearch(…) %最优点的函数值 [x,fval,exitflag] = fminsearch(…) % exitflag与单变量情形一 致 [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…) %output与单变量情形 一致
注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
例5-4 求的最小值点
解：>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', 结果为 或在MATLAB编辑器中建立函数文件 保存为myfun.m，在命令窗口键入 结果为：
第5章 优化问题
5.1 线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题， MATLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为：
min sub.to：
其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。 在MATLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函 数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。当然，由于版本的向下兼容 性，一般说来，低版本中的函数在6.0版中仍可使用。 函数 linprog 格式 x = linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to 线性规划的最优解。 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束，若没有不等式约束，则A=[ ]，b=[ ]。 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x的范围，若没有等式约束 ，则Aeq=[ ]， beq=[ ] x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定 的优化参数 [x,fval] = linprog(…) % 返回目标函数最优值，即fval= f ' *x。 [x,lambda,exitflag] = linprog(…) % lambda为解x的Lagrange 乘子。 [x, lambda,fval,exitflag] = linprog(…) % exitflag为终止迭代 的错误条件。 [x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(…) % output为关于 优化的一些信息 说明 若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值 或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x；若lambda=lower
x= 0.5223 fval = 0.3974 exitflag = 1 output = iterations: 9 funcCount: 9 algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
例5-3 在[0，5]上求下面函数的最小值 解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为： 保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令： 则结果显示为：
结果为：
表明：不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的
来自百度文库
5.2 foptions函数
对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义 为：
options(1)-参数显示控制（默认值为0）。等于1时显示一些结 果。 options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。 options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。 options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。 options(5)-算法选择，不常用。 options(6)-优化程序方法选择，为0则为BFCG算法，为1则采用 DFP算法。 options(7)-线性插值算法选择，为0则为混合插值算法，为1则采用 立方插算法。 options(8)-函数值显示 (目标—达到问题中的Lambda ) options(9)-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。 options(10)-函数和约束估值的数目。 options(11)-函数梯度估值的个数。 options(12)-约束估值的数目。 options(13)-等约束条件的个数。 options(14)-函数估值的最大次数（默认值是100×变量个数） options(15)-用于目标 — 达到问题中的特殊目标。 options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。 options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。 options(18)-步长设置 (默认为1或更小)。 Foptions已经被optimset和optimget代替，详情请查函数optimset和 optimget。
hessian = 6.0000 2.0000 2.0000 2.0000
5.3.3 有约束的多元函数最小值
非线性有约束的多元函数的标准形式为： sub.to 其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是 返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函 数。 在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。 函数 fmincon 格式 x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,fval] = fmincon(…) [x,fval,exitflag] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…) 参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义； x0为初始值； A、b满足线性不等式约束，若没有不等式约束，则取 A=[ ]，b=[ ]； Aeq、beq满足等式约束，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]； lb、ub满足，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]； nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束和等 式约束分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使