理论力学第三版 (洪嘉振) 答案第6章

CB
yr
转动惯量间的关系。
xr
题 6-1C
解：
（1）对于题图给出的连体基，考虑到 AB = 3 b
zr′
zr
2
E
与质心 C 在几何形心，三质点的坐标分别为（见图
6-1C）
rA = ⎜⎜⎝⎛ 0
− 3b 3
0 ⎟⎟⎠⎞ T
A
C B yr yr′
xr′
xr
D
rD
=
⎜⎜⎝⎛
1 2
b
3b 6
0 ⎟⎟⎠⎞T
题解 6-1C
i
mi zi2 + yi2
= m⋅(
3 b)2 + 2 ⋅ m ⋅ ( 3
3 b)2 = 1 mb2
6
2
（2）不失一般性，过顶点 A 建立如图见图 6-1C 的连体基
er′
。三点的坐标分别为
rA′ = (0
0
0)T
，
rD
=
⎜⎜⎝⎛
1 2
b
3b 2
0
⎟⎞T ⎟⎠
， rE
=
⎜⎜⎝⎛ −
1b 2
3b 2
0
J Az′
= JCz
+ 3⋅ m ⋅(
3 b)2 3
= JCz
+ mb2
对照（1）与（2）的结果此上述关系成立。轴 Ay′ , Az′ 与 Cy 轴重合有 J A y′ = JC y 。
2
J z′
=
1 12
Mb2 ,
J x′
=
1 12
Ma2
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-3C 如图所示，质量为 m、半径为 R 的均质半圆 球， AB 为通过质心 C 并平行于其底面的任意直线。计 算半圆球对轴 AB 的转动惯量。
由图 6-9C 可见
题解 6-9C
Δ x1
=
Δx2
−
Δx1′
cos
π 6
=
200 − 400 ⋅ 3cos π 6
=
−146.41,
Δx3 = Δx2 = 200
代入式（1）
m1Δx1 + m2Δx2 + m3Δx3 = mAΔx1 + mC Δx2 + mBΔx3 = −4 ⋅146.41 + 2 ⋅ 200 + mB ⋅ 200 = 0 可解得
p
=
p1
+Fra Baidu bibliotek
p2
=
1 2
(m1
+
2m2 )(r1
+
r2 )ω
题 6-6Ca
(b) 如题图可知，均质胶带及两带轮的质心速度总为零，
它们的动量均为零矢量。由于系统的动量为它们的矢量和，故也为零矢量，即 p = 0
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-7C 图示椭圆机构中，规尺AB质量为 2m1，曲柄OC 质量为m1，滑块A和B质量均为m2。曲柄以匀角速度ω绕 轴O转动。设各物体为均质， OC = AC = BC = l 。
A
最大高度。
v0
题 6-11C
解： 研究对象为重物和已加入运动部分的软链，该对象作平移运动，所以可以看成变质量的 质点。其质量为
m= G + qz gg
令其速度为 vC z 。
软链加入系统部分在并入研究对象前处于静止，故对于已运动的软链相对速度为
v zr
=
−vCz 。系统的质量变化为
dm dt
。
定义惯性基向上的单位矢量为 zr ，重物和软链只受重力作用，变质量动力学方程式在 zr
标守恒。如果初始系统质心 x 方向速度为 零，则在任意时刻该速度均为零，即质心
在该轴上的坐标保持不变： xC = xC0 ，有
∑ ∑ mi xi = mi xi0
M
M
或
题 6-9C
A
30o C
x10 x20
Δx1′
Δx2 A x30
Δx1 Δx2
30o C
∑ ∑ mi (xi −xi0 ) = miΔxi = 0 （1）
30o
B
解：
如图 6-9C 所示建立惯性坐标基。
yr
令圆轮A记为B1，质心A的x坐标记为
x1；斜面记为B2，质心D的x坐标记为x2；
重物B记为B3，质心B的x坐标记为x3。系统
质心C的x坐标记为xC。系统总质量记为M，
有如下关系
∑ xC =
mi xi M
作用于质点系上外力的主矢在 x 轴上 O
的投影始终为零，系统动量在该轴上的坐
mB
=
4 ⋅146.41 − 200
2 ⋅ 200
=
0.93 kg
B
xr Δx3
B
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-10C 喷气式飞机的发动机从前端每秒吸入 空气的质量为 70 kg，燃料的消耗率为每秒 1.35kg， 尾部喷出的燃气相对于飞机的速度是 1800m/s，求 当飞机速度是 660km/h 时推力的大小。
行星轮都为均质，质量分别为m1和m2，尺寸如图所示；
(b) 均质胶带及带轮的质量分别为m、m1和m2，尺寸如图所示。轮O1以匀角速度 ω 绕轴
转动。
r1 B
ω
A
r2
ω O1 r1
r2 O2
(a)
(b)
题 6-6C
解：
(a) 如图 6-6Ca所示，点B为行星轮的质心，点C1为连杆 的质心，它们的速度分别为
F BP
=
dm dt
v
r B
=
(70 +1.35) ×1800
= 128400N
= 128.4kN
向前的总推力为：
F P = FBP − FAP = 115.4kN
题 6-10C
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-11C 如图所示，重 G 的物体 A 带动单位长度的重量为 q 的软
链以速度 v0 向上抛出。假定软链有足够的长度，求重物所能达到的 zr
+
m1 )b
得
b = 5m1 + 4m2 l 2(3m1 + 2m2 )
如图所示，机构质心 D 运动方程为
pr vrD
C
D
ω
O
ωt
A xr
xD = mb cosωt
b
yD = mb sin ωt
题解 6-7Ca
（2）如图所示，质心 D 的速度为 vD = ωb ，故系统的动量为过质心 D 方向垂直 OC 的 矢量，其大小为
⎟⎞T ⎟⎠
同（1）理可知，轴 Ax′ , Ay′ , Az′ 是过顶点 A 的三个惯量主轴。由定义可以分别得到三个中 心主转动惯量
1
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
2
∑ ( ) J Az′ = mi xi′2 + yi′2 = 2mb2 i
∑ ( ) J Ay′ =
i
mi xi2 + zi2
= 2 ⋅ m( b )2 = 1 mb2 ， 22
∑ ( ) J Ax′ =
i
mi zi2 + yi2
= 2 ⋅ m( 3 b)2 = 3 mb2
2
2
（3）轴 Ax′ 与 Cx 轴平行，轴 Az′ 与 Cz 轴平行 分别有关系
J A x′
=
JC x
+ 3⋅ m ⋅(
3 b)2 3
=
JC x
+ mb2
vr B
P&y = FR y,
有 可得
0 = FOx
d(mA
−
1 2
mB
)vA
dt
= mA g + mB g − FOy
FOx = 0
FOy
= mAg
+ mB g
−
2mA − mB 2
d vA dt
=
mAg
+ mB g
−
2mA − mB 2
a
题 6-8C
r
FOy
xr
O
r FOx
D
A vrA
B
m A gr
解： 对于喷气机，吸入的空气相对于飞机的速度为
vr = 660 = 185 m/s 3.6
质量的变化而引起的作用于质点的附加推力为
r F
P
=
vrPr
dm dt
则向后的推力为：
F AP
=
dm dt
v
r A
=
70 ×185
≈ 13000N
= 13kN
因为排出的质量是吸入空气和消耗燃料之和，故有向前的推力：
解： 根据转动惯量的平行轴定理，
J Z1
=
1 12
m1
⋅
l
2
+
m1
⋅
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞2 ⎠
+
1 12
m2
⋅
l
2
+
m2
⋅
⎜⎛ ⎝
3l 2
⎟⎞2 ⎠
=
1 3
m1l 2
+
7 3
m2l 2
JZ2
=
1 12
m1 ⋅ l 2
+
m1
⋅
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ⎠
2
+
1 12
m2
⋅l2
+
m2
⋅ ⎜⎛ l ⎟⎞2 ⎝2⎠
vB
=
(r1
+ r2 )ω
， vC1
=
1 2
(r1
+
r2 )ω
各自动量的大小分别为，
p2
=
m2vB
=
m2 (r1
+
r2 )ω
，
p1
=
m1vC1
=
1 2
(r1
+
r2 )ω
pr
pr2 vrB
pr1 vrC1
B
C C1
方向如图所示垂直 AB，相互平行。故系统的动量方向与它们
A
一致，过系统质心 C。其大小为
=
(5 4
−
8 3π2
)mr 2
1
O
C xr
A
题 6-4C
O
xr 1
xr 2
C
xr A
题解 6-4C
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-5C 一细杆由钢和木二种材料拚装组成，二段
为均质杆，质量分别为 m1 和 m2 。试写出细杆对图
zr1
zr 2
zr 3
示各轴的转动惯量。
m1
m2
l
l
题 6-5C
rE
=
⎜⎜⎝⎛ −
1 2
b
3b 6
0
⎟⎞T ⎟⎠
由于轴 y 是对称轴，所以 Cy 为中心惯量主轴。
∑ ∑ JC xz = mi xi zi = 0, JC yz = mi yi zi = 0
i
i
∑ ∑ JC xz = mi xi zi = 0, i
JC yx =
i
mi yi xi
=
1b 2
3 b− 1b 62
0
⎜⎜⎝⎛
G g
+
qz g
⎟⎟⎠⎞2
d
z
=
−
g2 q
z
∫
0
⎜⎜⎝⎛
G g
+
qz g
⎟⎟⎠⎞2
d⎜⎜⎝⎛
G g
+
qz g
⎟⎟⎠⎞
得
1 2
⎜⎜⎝⎛
G g
+
qz g
⎟⎟⎠⎞2 vCz 2
−
1 2
⎜⎜⎝⎛
G g
v0
⎟⎟⎠⎞ 2
=
−
g2 3q
⎜⎜⎝⎛
G g
+
qz g
⎟⎟⎠⎞3
+
g2 3q
=
1 3
m1l
2
+
1 3
m2l
2
JZ3
=
1 12
m1 ⋅ l 2
+
m1
⋅
⎜⎛ ⎝
3l 2
⎟⎞2 ⎠
+1 12
m2
⋅l2
+ m2
⋅ ⎜⎛ l ⎟⎞2 ⎝2⎠
=
7 3
m1l 2
+
1 3
m2l
2
1
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-6C 试计算下列各系统在图示瞬时的动量：
(a) 连杆AB以匀角速度 ω 绕轴A转动，带动行星轮B在固定中心轮上作纯滚动。连杆和
J1x
=
1 4
mr 2
轴x1与轴x平行，轴x2过半圆薄板质心C与x轴平行，
转动惯量为JCx，考虑到
OC
=
4r 3π
，由平行轴定理
JC x
=
J1x
− m( 4r )2 3π
=
(1 4
−
16 9π2
)mr 2
由于 AC = r − 4r ，，由平行轴定理可得 3π
Jx
=
JC x
+
m(r
−
4r )2 3π
上的坐标式为
m d vCz dt
= −mg + vZr
dm dt
即
m
d vC z dt
+ vC z
dm dt
=
−mg
或
d dt
(mvCz
)
=
−mg
等式两边乘以 m d z ，再积分
再积分
d dt
(mvC
z
)
⋅
m
d
z
=
−m2
g
d
z
vCZ
∫ mvCz
v0
d(mvC z )
=
z
−g∫ m2
0
d
z
=
−
g
z
∫
解：
半圆球对通过底面球心 O 的任意直径转动惯量为
JOx
=
2 5
mR2
由平行轴定理
JC x
=
JOx
−
m ⋅ (3 8
R)2
=
83 320
mR2
B RC
A
O
题 6-3C
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
6-4C 计算质量为 m 半径为 R 的半圆薄板对于图 示 x 轴的转动惯量。
解： 令过点O绕x1轴的转动惯量为J1x，
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-1C 三个质量均为 m 的质点用质量不计
的刚杆连结成正三角形，边长为 b。在质心 C 建 立如图所示的连体基，矢量 zr 为正三角形的法
zr
向，点 B 为该边的中点。求
（1）三个中心主转动惯量；
A
（2）任一个顶点的三个主转动惯量；
（3）讨论中心主转动惯量与任一顶点的主
（1）写出机构质心运动方程； （2）求系统的动量。
y AB
ω
O
C A xr
题 6-7C
解：
（1）由题意可知，点C为规尺AB (质量 2m1)与滑块A
yr
和B质量(质量m1)的质心，故系统质心在杆OC的D处，如图
6-7Ca所示，令 OD = b ，有
AB
(2m1
+
2m2 )l
+
m1
l 2
=
(2m1
+
2m2
3b=0 6
所以 Cx、Cz 也是中心惯量主轴。由定义可以分别得到三个中心主转动惯量
∑ ( ) JC z =
i
mi xi2 + yi2
=
3m ⋅
2
AC
=
3m ⋅ (
3 b)2 = mb2
3
∑ ( ) JC y =
i
mi
xi2
+
z
2 i
= 2 ⋅ m ⋅ ( b )2 = 1 mb2 22
∑ ( ) JC x =
解：
如图 6-8C 建立惯性基，系统受力情况如图所示。重物 A 和 B 的速度分别为 vrA 与 vrB ，且有如下关系
vB
=
1 2
vA
系统的动量为 pr = mAvrA + mBvrB ，有
px = 0
py
=
mAvA
− mBvB
=
⎜⎛ ⎝
m
A
−
1 2
mB
⎟⎞v ⎠
A
根据质点系的动量定理 P&x = FR x
mB gr yr 题解 6-8C
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
6-9C 图示系统中圆轮 A 的质量为 4kg。
定滑轮质量不计。斜面的质量为 2kg，斜面
A
的倾斜角为 30 度。当圆轮在斜面上无初速地
向下纯滚过 400mm 时，斜面在光滑的水平轨
道上移动了 200mm。求重物 B 的质量。
p
=
mvD
=
(3m1
+
2m2 )vD
=
1 2
(5m1
+
4m2 )lω
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
6-8C 图示滑轮 O 和 D 的质量不计，重物 A 和 B 的质量分别为 mA 和 mB 。若此瞬时重物 A 以加速度 a 下降，绳与滑轮间无相对滑 动，试求支座 O 的约束力。
1
O
D A
B