遵义专版2017届中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第三节运

第三节运动型问题
,中考重难点突破)
近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．
动点类
【例1】(2016梅州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以 3 cm /s 的速度向
点B 匀速运动，设运动时间为t s (0≤t≤5)，连接MN.
(1)若BM ＝BN ，求t 的值；
(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；
(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．
【学生解答】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴AB ＝10，BC ＝5 3.由题意知BM ＝2t ，CN ＝
3t ，BN ＝5
3－
3t ，由BM ＝BN 得2t ＝5
3－
3t ，解得：t ＝53
2＋3
＝10
3－15；
(2)①当△MBN∽△ABC 时，∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52；②当△NBM∽△ABC 时，∴NB AB ＝BM
BC ，即
5
3－3t 10
＝
2t
5
3
，解得t ＝157.∴当t ＝52或t ＝15
7时，△MBN 与△ABC 相似；(3)过M 作MD⊥BC 于点D ，可
得：MD ＝t ，设四边形ACNM 的面积为y ，∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝1
2AC ·BC －1
2BN ·MD ＝1
2
×5×5
3－1
2
(5
3－
3t )·t＝
32
t 2－
5
3
2t ＋2532＝
32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋75
8 3.∴根据二次函数的性质可知，当t ＝5
2
时，y 的值最小．此
时，y 最小＝
75
8
3.
(一)
1．(2016遵义升学三模)如图，P ，Q 分别是等边△ABC 的AB 和AC 边延长线上的两动点，点P 由B 向A 匀速移动，同时点Q 以相同的速度由C 向AC 延长线方向移动，连接PQ 交BC 边于点D ，M 为AC 中点 ，连接PM ，已知AB ＝6.
(1)若点P ，Q 的速度均为每秒1个单位，设点P 运动时间为x ，△APM 的面积为y ，试求出y 关于x 的函数关系式；
(2)当时间x 为何值时，△APM 为直角三角形？
(3)当时间x 为何值时，△PQM 面积最大？并求此时y 的值．
解：(1)∵y＝12(6－x)332，∴y ＝－334x ＋93
2；(2)在Rt △APM 中，当PM⊥AC 时，则x ＝0，当
PM⊥AB 时，∠AMP ＝30°，A P ＝12AM ＝32，∴x ＝6－32＝92；(3)S △PQM ＝12·(3＋x )·32(6－x)，即：S △PQM ＝－
3
4
(x ＋3)(x －6)，当x ＝－3＋62＝32时，△PQM 的面积最大，此时y ＝
81
16 3.
2．(2016汇川升学一模)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两
点，与y 轴相交于点C(0，－4)．
(1)求该二次函数的解析；
(2)若点P ，Q 同时从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
①当点P 运动到B 点时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由．
②当P 、Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请直接写出t 的值及D 点的坐标．
解：(1)y ＝43x 2－8
3
x ＋4；
(2)①存在．E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0或(－1，0)或(7，0)；②t＝145
64，D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－58
，－2916.
动线类
【例2】(2014青岛中考)已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12 cm，BD ＝16 cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)(0＜t＜8)．解答下列问题：
(1)当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？
(2)设四边形APFE 的面积为y(cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式． 【解析】本题考查相似三角形性质；二次函数的有关性质．
【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝1
2AC ＝6，OB ＝OD ＝1
2BD
＝8.在Rt △AOB 中，AB ＝
62＋82＝10.∵EF⊥BD，∴∠FQD ＝∠COD＝90°.又∵∠FDQ ＝∠CDO ，∴△DFQ ∽△
DCO.∴DF DC ＝QD OD .即DF 10＝t 8，∴DF ＝54t.∵四边形APFD 是平行四边形，∴AP ＝DF.即10－t ＝5
4t ，解这个方程，得t
＝
409，∴当t ＝40
9
s 时，四边形APFD 是平行四边形；(2)如图，过点C 作CG⊥AB 于点G ，∵S 菱形AB CD ＝AB·CG ＝12AC ·BD ，即10·CG＝12×12×16，∴CG ＝485.∴S 梯形
APFD ＝12(AP ＋DF)·CG＝12(10－t ＋54t )·
485＝6
5
t ＋48.∵△DFQ ∽△DCO ，∴QD OD ＝QF OC .即t 8＝QF 6，∴Q F ＝34t.同理，EQ ＝34t.∴EF ＝QF ＋EQ ＝32t.∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×32t ×t ＝3
4t 2.∴
y ＝S 梯形APFD －S △EFD ＝(65t ＋48)－34t 2＝－34t 2＋6
5
t ＋48.
【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，以静制动，抓住其中的特殊位置或特殊图形，通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题．
(二)
1．(2014红花岗中考)如图，已知⊙O 的直径AB ＝4，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA ，PB ，且∠APC＝∠BAP，设PC 的长为x(2＜x ＜4)．
(1)若直线l 过点A ，判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)当x ＝2.5时，在线段AP 上是否存在一个点M ，使得△AOM 与△ABP 相似．若存在，求出AM 的长；若不存在，说明理由；
(3)当x 为何值时，PD ·CD 的值最大？最大值是多少？
解：(1)直线l 与⊙O 相切，理由略；
(2)当AM ＝102或AM ＝410
5时，△AOM 与△ABP 相似；
(3)当x ＝3时，PD ·CD 的值最大，最大值是2.
2．(2016湖州中考)如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c(b ，c 为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M ，过点A 作AB∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连接BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M 的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部(不包括△ABC 的边界)，求m 的取值范围；
(3)点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标．(直接写出结果，不必写解答过程)
解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋4，点M 坐标为(1，5)；
(2)2＜m ＜4；
(3)P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113，P 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，133，P 3(3，1)，P 4(－3，7)．
3．(2016淮安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－1
4x 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C
三点，其中点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－4，0)．
(1)求该二次函数的解析式及点C 的坐标；
(2)点D 的坐标为(0，4)，点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD ，CF ，以CD ，CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S.
①求S 的最大值；
②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．
解：(1)y ＝－1
4x 2＋x ＋8，C 点坐标为(8，0)；
(2)①S 最大值为50；②S 为18.。