晶格振动模式密度

奇点为：
g()
, , maxmin max
g ()
g()
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max
min
max
点为范霍夫奇点(又称临界点)
例如：一维单原子情况的范霍夫奇点。
一维单原子情况： g()2N 1 m22
显然：当ω→ ωm时，g(ω) →∞。即ω m为
一维单原子情况的范霍夫奇点。
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一维单原子情况的范霍夫奇点
15
g ( )
1 m
1 01 00
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q
一维双原子情况分析
g
g g ( ) g ( )
实用g 文( 档 ) g j ( )
j
3、举例求解g(ω)
例一、一维单原子链的g(ω)。
已知：L=Na，q分布密度为L/2π； 4m sin1 2aqmsin1 2aq
dn 2 L dq
2
g() dn dn dq L
1
d
dq d
m
cos 1 aq 2
1a 2
g() 2N
1
2N
1
m
1sin2 1 aq 实用文档2
m2 2
例二、Debye模型的计算
对于Debye模型有：gD (ω)= gl (ω)+2 gt (ω)。
Debye模型的色散关系是：
ωl=Cl q; ωt=Ct q
l
Clq
dq
Cldq
l
Cl
g l() d dl n (2 V )3 qd l(q ) s (2 V )34 C q ld 2 d q q 2 V 2 C 2 l3
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德拜 近似
ωw (( qq ))
ω～q 关系
00 .5 0 q
w2 2[1c oasq]
m 实用文档
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。
• 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的， 除非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析
解：（1）三维情况 q空间的等频面为球面，球半径为 q
C
g ()d d n (2 V )3 q d(q ) s (2 V )34 2 C q 2 q (2 V )2
C 3
qy q qx
q(q)
d
dq
2Cq2C
C
qz
ds 4q2
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例三
解：（2）二维情况 q空间的等频面为圆形，圆半径为 q
C
g () d d n (2 A )2 q d (q L ) (2 V )22 2 C q q 4 A C
qy q qx
q(q)
d
dq
2CHale Waihona Puke Baidu2C
C
dL2q
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例三
解：（3）一维情况
q空间有两个等频点；
g ( ) d d n (2 L ) q d (q ) q (2 L )2 C 1 2 q 2 L C
一维： L
2
二维： A
(2 )2
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三维： V
(2
)3
晶格振动模式密度g(ω)的一般表达式
考虑三维情况，写出一般表达式。
qy
n j
V (2
)3
dsdq
dq
q
j(q )
dq ds
qx
nj
V
( 2
)3
ds
d
q j ( q )
qz
g j( )
V (2 )3
ds q j(q )
表达式。
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模式密度的定义及计算方法
1、定义：单位频率间隔内的模式数目，用g(ω)来
表示。
2、计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围内的晶格振动模式数，则定义：
g() limn 0
(1) Δn=(q空间中格波分布密度)×(频率为q到q+ Δq的
等频面间的体积)；
(2) q空间中格波分布密度分别为：
g t() d dt n (2 V )3
dsV4q 2 d qV2 qt(q ) (2)3C tdq22 C t3
g D () g l() 2 g t()实 用V 文2 档 2 2(C 1 l3 C 2 t3) 2 V 2 C 23
例三、给定ω=Cq2，求一维、二维及三维 情况的g(ω)
回顾晶格比热的模型
实验规律：室温或更高温度段—Cv=3NkB；
低温段—符合T3规律；
零点—T趋近于零时，Cv趋近于零。
理论模型：
杜隆-柏替定律
爱因斯坦模型
德拜模型
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CV
(
E T
)V
3N
E
j
Ej(T)3N j (12j
ej kBTj
) 1
E dgD()[12ekBT 1]
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
q q 0 q
q(q)
d
dq
2Cq2C
C
dq2
可见，在三维、二维和一维情况下模式密度函数分别与ω
的1/2，0，-1/2次方成比例。 实用文档
4、范霍夫奇点
例：一维单原子情况分析
一维单原子情况： g()2N 1 m22
当ωm= ω时，将会如何呢？
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范霍夫奇点定义
定义：在ω(q)对q的梯度为零的点， ω(q)显 示出某种奇异性，即q(q)0，称这样的