晶格振动模式密度
格波模式数及模式密度密度
b1 ( b2 b3 )
*
* ,
N1 N 2 N3
N1N 2 N3 N
*为倒格矢原胞体积（第一布里渊区体积），
* (2 )3
q的可取数目：
* / * N（晶体的原胞数） N
而每个波矢量q 在倒空间所占体积可写为
* (2 )3 (2 )3
N N Vc
N3 2
可知
q
l1 N1
b1
l2 N2
b3
l3 N3
b3
l1,l2 ,l3 0,1,2,...
量在波每矢一空组间(表l1,示l2出l3来)对,它应们于是一均个匀q矢分量布,的将点这,些每矢个
点的体积等于边长为
b1 , b2 , b3 N1 N 2 N 3 3
• 每个平行六面体的体积为
• 晶体单位体积中格波的频谱密度g(ω)dω定 义为频率ω到ω＋dω之间的简正模式数目 除以晶体的体积
g()d
1
8
3
dq sd
s
选取dq的表达式之后，简 模式密度可以表达为：
g ( )d
1
8 3
lds
1
8
3
dsd grad
由于d是任意的
g()
1
8 3
Vc 为晶体体积。
所以波矢q的点在布里渊区中的密度为
N *
N
(2 )3
Vc
(2 )3
一维：
波矢q点在布里渊区中的密度为
N *
N
2
Na
2
固体物理 第13讲晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度
在极低温范围内，爱因斯坦理论值下降比较陡，与实验不符合。 爱因斯坦理论值反映了随温度下降的趋势。
11
晶体热容 温度较高时
k B E 0
2 x ex 1 x 2!
CV 3Nk B
—— 与杜隆 — 珀替定律相符
12
晶体热容
温度非常低时
k B E 0
0 2 CV 3Nk B ( ) e k BT
实验测得结果
0 k BT
—— 按温度的指数形式降低
—— 爱因斯坦模型认为各原子的振动是相互独立的，因而3N 个频率是相同的。 —— 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。
13
2. 德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇 菲晶格看作是各向同性的连续介质。
—— 对于一定的波矢量q，有1个纵波和2个独立的横波
频率在 之间振动模式的数目
实际晶体由N个原子组成，自由度为3N个 格波总的数目 德拜认为： 当频率大于某一频率 m时，短波振动不存在， 在m之上的振动可当作弹性波来处理。
18
3V 2 g ( ) 2 3 2 C
N 1/ 3 m C [6 ( )] V
2
晶体总的热容 CV
lognitudinalwave不同的振动模能量不同色散关系1515三维晶格态密度受边界条件限制波矢q分立取值允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子体积元态的数目q是近连续变化的dq振动数目1616频率在之间振动模式的数目各向同性的介质振动频率分布函数或者振动模的态密度函数一个振动模的热容晶体总的热容的计算1717频率在之间纵波数目频率在之间格波数目频率在之间横波数目波矢的数值在之间的振动方式的数目1818频率分布函数频率在间格波数目频率在之间振动模式的数目实际晶体由n个原子组成自由度为3n个格波总的数目德拜认为
2012-固体物理(3-5)-1 模密度
11
例2：三维晶体，ω = cq 求模式密度。 q 其中c为常量， 解1: 在波矢空间，等频率面为球面，球 半径为q。
qy
∇ω q = c
V
3
qx
g (ω ) =
(2π )
V
∫
ds V 1 = ∇ qω (2π )3 c
∫
ds
=
(2π )
3
2 2 1 V 4π ⎛ ω ⎞ 2 V ω 4πq = ⎜ ⎟ = 2 3 3 c 2π c (2π ) c ⎝ c ⎠
12
解2:
ω ~ ω + dω
间隔内的振动模式数为 间隔内的振动模式数为： qy
v Δn = g(ω )dω = g( q ) d q
v dq ∴ g(ω ) = g( q ) dω
dω dω c = v = 2 dq 4πq dq 4πq 2
v dq = 4πq 2dq d
qx
∴ g (ω ) =
1/ 2
a 2 1/ 2 = (ωm − ω 2 ) 2
L dq Δn = 2 × dω 2π dω
2L 2 = ωm − ω 2 πa
= 2×
L 1 2π a ω 2 − ω 2 m 2
(
)
1/ 2
dω
(
)
−1 / 2
dω
Δn = g(ω )Δω
2N 2 2 −1 / 2 g (ω ) = (ωm − ω ) π
(2π )3Vຫໍສະໝຸດ 2 4πq 2 V 4π ⎛ ω ⎞ ⋅ = ⎜ ⎟ 3 c (2π ) c ⎝ c ⎠
V ω2 = 2π 2 c3
二维呢？ 13
例3：若
ω = cq
2
3.9 晶格振动模式密度
10/10
g ( )
V 2 c
2 3
2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
07/10
色散关系 cq2 —— 三维情形 q空间的等频率面是一个球面，球面面积
振动模式密度
V g ( ) 2 3/ 2 (2 ) c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
01/10
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
根据 两个等频率面 和 做出一个等频率面
之间的振动模式数目
频率是q的连续函数
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
02/10
之间振动模式数目
振动模式密度函数
V ds g () (2 )3 q( q)
2N
1
2 m 2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
05/10
也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度
g ( )
2N
1
2 m 2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
06/10
德拜近似下的振动模式密度
振动频率与波矢成正比
08/10
——二维情况 等频率是一个圆 振动模式密度
g ( ) ห้องสมุดไป่ตู้
——一维情况
S 4 c
L g ( ) 2 c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
09/10
如果色散关系
晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度定义晶格振动模式密度（Phonon Density of States，简称PDOS）是描述晶体中原子振动模式的一种物理量。
晶体中的原子在平衡位置附近以小振幅做简谐振动，这些简谐振动构成了晶体的振动模式。
PDOS给出了不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况，反映了晶体各种振动模式的丰度和分布情况。
PDOS对于研究晶体的热力学性质、热传导、声学性质等都具有重要意义。
它是计算晶体热容、热导率、声子散射等性质的基础。
此外，PDOS还可以用于研究晶体的相变、物理化学性质以及材料的设计和优化。
PDOS的具体定义如下：设晶体中的原子总数为N，晶格振动模式的总数为M，则PDOS可以定义为每单位频率范围内单位原子数的平均数，即：PDOS(ω) = (1/ N) * ∑(m=1 to M) δ(ω - ω_m)其中，δ(ω-ω_m)为狄拉克函数，当ω等于ω_m时取值为1，否则取值为0。
PDOS可以分为各向同性的PDOS和各向异性的PDOS。
各向同性PDOS是指晶体中各个晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况，它是晶体的各向同性介质的特征。
各向异性PDOS是指晶体中不同晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况，它反映了晶体的各向异性效应，比如晶体的声子色散关系。
在实际计算中，PDOS通常通过量子力学计算或者分子动力学模拟得到。
对于固体材料，计算PDOS是一个复杂的过程，需要考虑晶胞、原子的排列方式、晶格常数等诸多因素。
目前，常用的计算方法包括密度泛函理论（DFT）、哈密顿动力学模拟（HMD）等。
根据计算得到的PDOS，可以进一步研究晶体的声子态密度（Phonon Density of States，简称PhDOS），PhDOS是PDOS的积分，表示在一些频率以下的所有振动模式的能量状态密度。
总结起来，晶格振动模式密度（PDOS）是指描述晶体中不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况。
它是了解晶体物理、热学以及声学性质的重要指标，可以通过理论计算或者模拟得到。
晶格振动模式密度
热力学
热容量
晶格振动模式密度可以影响固体 的热容量，通过分析晶格振动模 式密度，可以更准确地描述固体
热容量的变化规律。
热传导
晶格振动模式密度对热传导过程也 有重要影响，它决定了固体内部热 能传递的速率和方式。
相变
晶格振动模式密度在相变过程中扮 演着重要角色，可以影响相变温度 和相变过程中的能量变化。
根据晶体的结构和对称性，建立晶格模型 。
根据原子间的相互作用势，确定原子间的 相互作用。
3. 求解振动方程
4. 计算振动模式密度
根据晶格模型和原子间的相互作用，求解 晶体的振动方程。
根据求解得到的振动方程，计算晶体的振 动模式密度。
结果分析
振动模式密度的分布
振动模式的能量分布
分析计算得到的振动模式密度在晶格 中的分布情况，了解晶体的振动特性。
CHAPTER
材料科学
材料性质预测
晶格振动模式密度可用于预测材 料的物理性质，如热导率、弹性 常数等，有助于材料设计和优化 。
相变研究
通过研究晶格振动模式密度随温 度的变化，有助于理解材料的相 变行为，如金属向绝缘体的转变 等。
环境科学
污染物扩散
晶格振动模式密度可以影响气体在材料中的扩散系数，对于 理解污染物在环境中的传播和扩散具有重要意义。
光学
光的吸收和散射
晶格振动模式密度对光与物质相互作用过程中的吸收和散射有重 要影响，可以改变光的传播方向和强度。
光的折射和反射
晶格振动模式密度可以影响光的折射和反射，从而改变光在物质表 面的行为。
非线性光学效应
通过研究晶格振动模式密度，可以深入了解非线性光学效应的机制， 为新型光学材料和器件的开发提供理论支持。
03-09晶格振动模式密度
Solid State Physics
固体物理 Solid State Physics
第三章 晶格振动
§ 3.9 晶格振动模式密度
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
晶格振动对热容的贡献 —— 量子理论
一个频率为j的振动模对热容的贡献
频率为j的振动模由一系列量子能级组成
2 德拜模型
—— 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 晶体总的热容
—— 振动频率分布函数
西 南 科 技 大 学
和m的计算
晶体总的热容
固 体 物 理
Solid State Physics
爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点
西 南 科 技 大 学
—— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
一个振动模的平均能量
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一个振动模对热容贡献
固 体 物 理
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晶体中有3N个振动模，总的能量
晶体总的热容
1 爱因斯坦模型 —— N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率
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0振动
固 体 物 理
Solid State Physics
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§3.9 晶格振动模式密度
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动
晶格振动模式密度
l
Clq
d
q
C l dq
l
Cl
gl ( )
dnl
d
V
(2 )3
ds
V 4q2dq V 2
ql (q) (2 )3 Cldq 2 2Cl3
gt ( )
dnt
d
V
(2 )3
ds
V 4q2dq V 2
qt (q) (2 )3 Ctdq 2 2Ct3
gD ( )
gl ( )
2
gt
(
• 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除 非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析表 达式。
精品PPT
模式密度的定义及计算方法
1、定义：单位频率间隔内的模式数目，用g(ω)来 表示。
2、计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围 内的晶格振动模式数，则定义：
g( ) lim n 0
] 1
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
精品PPT
ωw(qq))
德拜 近似
ω～q 关系
0.5
0
0.5
q
w2 2 [1 cos aq]
m 精品PPT
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。
(1) Δn=(q空间中格波分布密度)×(频率为q到q+ Δq的等 频面间的体积)；
(2) q空间中格波分布密度分别为：
一维： L
2
二维： A
(2 )2
精品PPT
三维：
(
V
03_06_晶格热容的量子理论
实际晶体 态密度：
金属铝
• 总态密度是两 支横波(T1,T2) 和一支纵波 （L) 的叠加。 • 低频部分都近 似为抛物线。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
V ds g (w ) (2 )3 qw ( q)
假设1：N个原子构成的晶体，原子以相同频率 w0 振动；
假设2：谐振子能量是量子化的
温度T下，平衡后谐振子平均能量：
总能量
热容
w0 CV 3NkB f B ( ) —— 爱因斯坦热容函数 k BT
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 爱因斯坦热容函数
爱因斯坦温度
定容比热
在较高温下，该理论与实验符合很好； 但在低温下，与实验结果差别很大，低温下测量有 Cv~ T 3
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
实验表明 —— 在低温时热容量随温度迅速趋于零 。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 爱因斯坦模型
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
上面推导使用积分公式
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
0
x 4e x dx x 2 (e 1)
徳拜公式的比热容曲线
金属镱实验结果与 徳拜模型比较。
2
为简化，做变量代换，令
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T
晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度，也称为声子态密度，是固体物理学中一种描述晶格振动模式种类
和数量的物理量。
它指的是在特定材料中，固体内能够传播热量和声波的振动模式种类及
其频率密度分布的表征。
这个概念源于声子，它是一种量子力学的概念，解释了晶体内的振动。
当物质中的离
子或原子振动时，它们的能量以干扰的形式向其他周围原子传递，从而形成晶体中的声子。
声子态密度包括所有可能的振动模式类型的密度，每种振动模式代表一个特定的波数
和频率。
声子态密度与晶体中存在的原子的数量和种类有关，并在不同材料和不同温度下
变化。
它还与材料的结构和性质密切相关，因此是研究材料的热、电、磁性质等方面的重
要参量。
晶格振动模式密度可以用实验方法或理论计算方法得到，例如声子谱测量、密度泛函
理论等。
通过比较实验和理论结果，可以对材料的特性进行更深入的研究。
在材料科学研究中，声子态密度常常用于研究材料的热传导、声学性质、相变以及缺
陷和晶格畸变等方面，对于设计新型功能材料、优化材料性能具有重要意义。
固体物理公式总结大全
固体物理公式总结大全目录固体物理公式总结大全 (1)第二章 (2)第三章 (2)第四章晶体缺陷 (4)第五章 (5)第六章 (7)第七章 (8)第二章晶体中粒子的相互作用： 双粒子模型：()nm rbr a r u +-= 晶体的相互作用能：设有2N 个粒令r r a r j j ,=为最近邻离子间的距离，表示第j 个离子到参考原子的距离。
()()∑∑≠≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=00221j n j n j m j m j j n j n j m j m j r a b r a a N r a b r a a N r U 任意两离子间的相互作用能：()n rbr q r u +-=024πεδq 为一个离子的电量，δ同号离子取负值，异号离子取正值。
晶体中有N 个正离子，N 个负离子()()∑≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0024221j n j j j r b r q N r U πεδ 令r r a r j j ,=为最近邻离子间的距离，表示第j 个离子到参考原子的距离。
()n r Br q N r U +-=024πεα，其中，∑≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=01j j a α，∑≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0j n j a b N B 第三章晶格振动的模式密度：三维 ωππωd dq qV g 23483)(⨯=二维ωππωd dq q S g 242)(2⨯= 一维ωπωd dq L g 221)(⨯= Nd d g m=⎰ωωω0)( d 晶体维数，N 晶体原胞数晶格振动的总能量：)(0T E E E += 晶体的零点能：ωωωωd g E m⎰=0)(21与温度有关的振动能：ωωωωωd g Tk T E mB )(1)ex p()(0⎰-=声子是一种玻色子，一定温度下符合玻色爱因斯坦统计：ωωωωd g Tk n mB )(1)ex p(1⎰-=德拜温度:BmD k ω =Θ 晶格热容：()()[]ωωωωωωd g T k T k T k k C BB B BV m)(1exp exp 22⋅-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰Tk x T k x B m D B ωω=⇒=高温下，D T Θ>> 低温下，D T Θ<<三维 ()()dx ee x T Nk dx e ex T k c Vk C DDx xxD B x xxB B V ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=02432433219123 π高温时B V Nk C 3=，低温时，34512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=D BV T Nk C π 二维 ()()dx ee x T Nk dx e ex T k c Sk C DDx xxD B x xxB B V ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=-⎪⎭⎫⎝⎛=02322322141 π高温时B V Nk C 2=，低温时，34512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=D BV T Nk C π 一维 ()()dx e e x T Nk dx e ex T k cLk C D D x x x D B x x xB BV ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202211 π 高温时B V Nk C =，低温时，cTk L C B V 32π=第四章 晶体缺陷晶体中原子总数：N 形成一个空位所需能量：1u 形成的空位数：1n ( N>>1n )形成空位后晶体自由能改变：S T U F ∆-∆=∆ 11u n U =∆ W k S B ln =，W 为系统的微观状态数。
一维简单晶格的格波模式密度 -回复
一维简单晶格的格波模式密度-回复
一维简单晶格包含一列等间距的原子。
其格波模式密度可以通过计算在每个波矢k处的能量密度来得到，即
D(k)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2E(k)}{\hbar\omega(k)}}
其中E(k)为能量，\omega(k)为频率，\hbar为普朗克常数。
对于一维简单晶格，格点振动只有一种类型，因此其能量和频率可以直接用单变量k表示：
E(k)=\frac{1}{2}M\omega^2a^2\sin^2\frac{ka}{2}
\omega(k)=\sqrt{\frac{4K}{M}}\sin\frac{ka}{2}
其中M为原子质量，K为弹性系数，a为晶格常数。
将上式代入可以得到格波模式密度的表达式：
D(k)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2M\omega^2a^2\sin^2\frac{ka}{2}}{\hbar\s qrt{\frac{4K}{M}}\sin\frac{ka}{2}}}
化简后可得：
D(k)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{Ma}{2\pi\hbar K}}
因此，一维简单晶格的格波模式密度与晶格常数和弹性系数有关，与波矢k无关。
晶格振动模式
2 (m M )
(q)
mM
2
m
2
q
M
2a
2a
0
2a
q
2a
称为一维复式晶格的 第一布里渊区
一维复式晶格的色散关系曲线
即一维复式晶格的倒格子原胞
如m<M，色散关系中存在频隙
周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，
每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的
布拉菲晶格： xn Aei(qnat)
复式晶格：
x2n Aei(q2nat )
x Be 2n1
i[q(2n1)at ]
一组确定的q, 决定一种格波，或振动模式。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率 ，初相位
的振动，也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N 种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSin(lt l ) k 1,2,,3N l 1
模式，即代表一种格波。
例如：
q,
1 2
a
,
2
m
长波极限， ,q 0 整个晶格象刚体一样作整体运
动,因而恢复力为0,故 0 2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
3.9-晶格振动模式密度、状态方程和热膨胀
为了准确地求出晶格热容以及它与温度的 变化关系, 必须用较精确的办法计算出晶 格振动的模式密度（也称频率分布函数）
原则上, 只要知道了晶格振动谱 ωj(q), 就知道了 各个振动模的频率, 也就知道了模式密度函数 g(ω)
一般来说, ω与 q 之间的关系是复杂的, 除非在一些特殊情况下, 得不到 g(ω) 的
aq
1/
2
aq n , n 取 N / 2 与 N / 2 间的整数值
N
其中只有前面的β依赖于链的长度 2Na
上式两边求对数, 并对 ln(2Na) 求微商, 得到
－ d
d ln
ln(2Na)
1 2
d
d ln
ln(2Na)
1 2
d ln
d ln a
从原子相互作用势能的展开式, 可以看到, β 实际是相邻原子势能的二次微商系数
§3-9 晶格振动模式密度 小结
模式密度的一般公式 几种特例：
g
()＝
V
(2
)3
|
dS
(q)
|
q
一维单原子链
Debye模型 平方型色散关系
g()＝2N
m2 2
1 2
g()
V
2 2c3
2
g(
)＝
V
(2
)2
1 c3/ 2
1/ 2
§3-10 晶格的状态方程和热膨胀
1. 晶格状态方程
如果已知晶体的自由能函数 F(T,V), V 为晶体的
解析表达式, 因而往往要用数值计算
铜 晶 体 的 模 式 密 度
实际的晶体的模式密度与 Debye 近似下的模式 密度，除在低频极限以外，存在一定差别 这说明为什么 Debye 热容理论只是在及低温下才 是严格正确的, 因为此时只有低频振动模有贡献
单位体积的振动模式数晶体热膨胀系数
能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成是 独立的在一个等效势场中的运动
单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子 (哈特里－福克 自洽场方法)
能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原子， 而是在整个固体内运动，称为共有化电子
研究共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置，把原子实偏离平衡位置的
这时平均自由程与温度成反比。
1
T
1
T
2) 低温时，T<<D
1 3
cvv0
cv T 3
n
1
e
kBT
eAT
e kBT 1
A
D
e T e T
T 3eAT
T 0
低温下，自由程增大 是由于翻转过程所必 须的短波声子的数目
减少的结果。
实际上热导系数并不会趋向无穷大。因为受实际晶体的尺寸限制，
声子的平均自由程不会非常大。
对于完整的晶体： D (D为晶体线度)。
低温时： T 3
热导率的决定因素：
高温区，声子数随温度升高而增大，导致平均自由程的增 大，热导率在升温过程中下降。
低温区，热容随温度降低急剧下降，导致热导率在降温过 程中明显下降。
平均自由程的增大受限于晶体的尺寸。
晶格热运动系统可看成是“声子”气体，平均声子数为：
1 n e q kBT 1
—— 固体中存在温度梯度时，“声子气体”的密度分布是 不均匀的
—— 温度较高的区域将有产生较多的振动模式，具有较大 的振动幅度，即有较多的声子被激发，声子密度高； 低温处声子密度低
晶格振动的模式密度
§3-6 晶格振动的模式密度3. 6. 1 晶格模式密度定义为了准确求出晶格热容以及它与温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也叫频率分布函数）。
原则上讲，只要知道了晶格振动谱ωj (q )，也就知道了各个振动模的频率，模式密度函数g (ω)也就确定了。
但是，一般来说，ω与q 之间的关系是复杂的，除非在一些特殊的情况下，得不到g (ω)的解析表达式，因而往往要用数值计算。
图3-6-1给出了一个实际的晶体（钾）的模式密度，同时给出了德拜近似下的模式密度进行比较，可以看出除在低频极限以外，两个模式密度之间存在有一定的差别。
这可以说明为什么德拜热容理论只是在极低温下才是严格正确的。
因为在极低温下，只有那些低频振动模才对热容有贡献。
了解晶格振动模密度的意义不仅局限于晶格热容的量子理论。
实际上，计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和，这就需要知道模式密度函数。
以后还会看到，在讨论晶体的某些电学性质、光学性质时，也要用到晶格振动模式密度函数。
根据式（3-5-12），我们可以定义：()0limng ωωω∆→∆=∆…………………………………………………………（3-6-1）Δn 表示在ω—ω+Δω间隔内晶格振动模式的数目，如果在q 空间中，根据ω (q )=常数作出等频面，那么在等频面ω和ω+Δω之间的振动模式的数目就是Δn 。
由于晶格振动模（格波）在q 空间分布是均匀的，密度为V/3(2)π（V 为晶体体积），因此有：3((2)Vn ωωωπ∆=⨯∆频率为和+的等频率面间的体积)…………（3-6-2） 图3-6-1 钾的模式密度与德拜近似模式密度的比较如图3-6-2所示，等频面间的体积可表示成对体积元dsdq 在面上的积分：3(2)Vn dsdq π∆=⎰…………………………………………………（3-6-3） 其中dq 表示两等频率面间的垂直距离，ds 为面积元，显然()q dq q ωω∇=∆因为()q q ω∇表示沿法线方向频率的改变率。
03_09_晶格振动模式密度
03_09_晶格振动模式密度
晶体中的原子不是静态的，而是处于无限个振动模式之中。
这些振动模式以不同的频
率振动，并与晶格点的相互作用相互影响。
因此，晶体的振动模式密度是描述晶体振动行
为的一种重要工具。
晶格振动模式密度是指每单位频率内的振动模式数。
在固体物理学中，晶格振动模式
密度是描述晶体振动特性和热力学性质的重要物理量。
它反映了晶体中所有可能的振动模式，包括纵波和横波、彼此耦合的振动等。
晶格振动的频率区间通常被分为三个范围：远红外波段、中红外波段和近红外波段。
在每个频段中，振动模式密度随频率增加而增加，但在不同频率范围内的增长速度是不同的。
在远红外波段，晶格振动主要由晶体内部的振动和声波组成。
这些振动模式通常被称
为声子。
在中红外波段，晶格振动包括晶体的特定振动模式和局部原子的振动模式。
在近
红外波段，晶体中的振动模式包括晶体基元的整体振动和各原子之间的化学键振动。
晶格振动模式密度可以通过测量晶体的各种热力学性质来确定。
例如，温度和压力对
晶格振动模式密度的影响可以通过热容和热膨胀系数来测量。
这些测量结果可以揭示晶体
内在的能量状态和振动行为，从而为研究特定晶体中的物理和化学现象提供有价值的信息。
此外，晶格振动模式密度还可以用于开发新的材料和设计化学反应的方法。
总之，晶格振动模式密度是描述晶体内部振动行为以及热力学性质的重要物理量。
它
反映了晶体内部的能量状态和振动行为，可以在材料科学和化学领域中发挥重要作用，并
促进新颖材料和反应的开发。
晶格振动模式密度研究
不同体系的晶格热容公式．
１ 晶格振动模式
晶体中原子的排列是具有周期性的，而其排列 的具体形式即称为晶格，格子的位置代表了原子的
平衡位置．晶体的一些宏观性质如导电性、导热性等 就是因为晶体中电子和原子的运动造成的，而晶格 振动即晶体中原子在其平衡位置附近的振动，温度 越高振动越激烈，温度达到熔点附近则原子将脱离 格点的束缚而发生相变．在简谐近似即温度不太高 的小振动过程中，研究发现晶格振动中所有原子都 以相同的振动频率参与振动，且振动的模式具有波 的形式，一般把体系中所有原子一起参与的共同振 动叫做一个振动模式．振动模式具有波的形式又叫 做格波，格波的能量量子叫声子，声子是一种假想的 能量量子．原则上只要找到了体系的振动模式或格 波的运动方程，就能方便的求解薛定谔方程，解决相 应的问题．
个 体
数 积
正 中
好 的
为 量
子ｈ１化·点ｈ２
· 的
个ｈ３
个．格 数，所
波 以
分 不
布 同
密 体
度 系
就 的
是 格
单 波
位 分
布密度计算公式如下．
１）三维体系 ｑ 空间的体积为
( ) ·[( ) ( ) ] ｈ１ ２π Ｎ１ α１
ｈ２ ２π × ｈ３ ２π ＝
Ｎ２ α２
Ｎ３ α３
（ ） ２π ３
（ ） ２π ３
２第０１３８７年卷８第月８ 期
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３７ Ｎｏ．８ Ａｕｇ ２０１８
晶格振动模式密度研究
王晴晴，宫 昊，程荣龙，葛立新
（蚌埠学院 理学院，安徽 蚌埠 ） ２３３０３０
摘要：晶格振动模式密度（声子态密度）即单位频率间隔内的模式数，是反映声子在波矢空间分布疏密程度的物理量．为 了准确地求出晶格热容量随温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度，进而掌握材料的热力学性质． 一般教材中对该部分的讲解晦涩难懂，本文从晶格振动的物理意义开始，分析说明并推导一维、二维、三维不同体系的晶格振 动模式密度公式，进而求出德拜模型下不同体系晶格热容公式．
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奇点为：
g()
, , maxmin max
g ()
g()
实用文档
max
minห้องสมุดไป่ตู้
max
q q 0 q
q(q)
d
dq
2Cq2C
C
dq2
可见，在三维、二维和一维情况下模式密度函数分别与ω
的1/2，0，-1/2次方成比例。 实用文档
4、范霍夫奇点
例：一维单原子情况分析
一维单原子情况： g()2N 1 m22
当ωm= ω时，将会如何呢？
实用文档
范霍夫奇点定义
定义：在ω(q)对q的梯度为零的点， ω(q)显 示出某种奇异性，即q(q)0，称这样的
C
g () d d n (2 A )2 q d (q L ) (2 V )22 2 C q q 4 A C
qy q qx
q(q)
d
dq
2Cq2C
C
dL2q
实用文档
例三
解：（3）一维情况
q空间有两个等频点；
g ( ) d d n (2 L ) q d (q ) q (2 L )2 C 1 2 q 2 L C
1
m
1sin2 1 aq 实用文档2
m2 2
例二、Debye模型的计算
对于Debye模型有：gD (ω)= gl (ω)+2 gt (ω)。
Debye模型的色散关系是：
ωl=Cl q; ωt=Ct q
l
Clq
dq
Cldq
l
Cl
g l() d dl n (2 V )3 qd l(q ) s (2 V )34 C q ld 2 d q q 2 V 2 C 2 l3
实用文档
德拜 近似
ωw (( qq ))
ω～q 关系
00 .5 0 q
w2 2[1c oasq]
m 实用文档
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。
• 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的， 除非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析
实用g 文( 档 ) g j ( )
j
3、举例求解g(ω)
例一、一维单原子链的g(ω)。
已知：L=Na，q分布密度为L/2π； 4m sin1 2aqmsin1 2aq
dn 2 L dq
2
g() dn dn dq L
1
d
dq d
m
cos 1 aq 2
1a 2
g() 2N
1
2N
表达式。
实用文档
模式密度的定义及计算方法
1、定义：单位频率间隔内的模式数目，用g(ω)来
表示。
2、计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围内的晶格振动模式数，则定义：
g() limn 0
(1) Δn=(q空间中格波分布密度)×(频率为q到q+ Δq的
等频面间的体积)；
(2) q空间中格波分布密度分别为：
一维： L
2
二维： A
(2 )2
实用文档
三维： V
(2
)3
晶格振动模式密度g(ω)的一般表达式
考虑三维情况，写出一般表达式。
qy
n j
V (2
)3
dsdq
dq
q
j(q )
dq ds
qx
nj
V
( 2
)3
ds
d
q j ( q )
qz
g j( )
V (2 )3
ds q j(q )
解：（1）三维情况 q空间的等频面为球面，球半径为 q
C
g ()d d n (2 V )3 q d(q ) s (2 V )34 2 C q 2 q (2 V )2
C 3
qy q qx
q(q)
d
dq
2Cq2C
C
qz
ds 4q2
实用文档
例三
解：（2）二维情况 q空间的等频面为圆形，圆半径为 q
回顾晶格比热的模型
实验规律：室温或更高温度段—Cv=3NkB；
低温段—符合T3规律；
零点—T趋近于零时，Cv趋近于零。
理论模型：
杜隆-柏替定律
爱因斯坦模型
德拜模型
实用文档
CV
(
E T
)V
3N
E
j
Ej(T)3N j (12j
ej kBTj
) 1
E dgD()[12ekBT 1]
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
点为范霍夫奇点(又称临界点)
例如：一维单原子情况的范霍夫奇点。
一维单原子情况： g()2N 1 m22
显然：当ω→ ωm时，g(ω) →∞。即ω m为
一维单原子情况的范霍夫奇点。
实用文档
一维单原子情况的范霍夫奇点
15
g ( )
1 m
1 01 00
实用文档
q
一维双原子情况分析
g
g g ( ) g ( )
g t() d dt n (2 V )3
dsV4q 2 d qV2 qt(q ) (2)3C tdq22 C t3
g D () g l() 2 g t()实 用V 文2 档 2 2(C 1 l3 C 2 t3) 2 V 2 C 23
例三、给定ω=Cq2，求一维、二维及三维 情况的g(ω)