固体物理31一维晶格振动

m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
a xn ( q )
a
4a
a
4a 5
x
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
且 xn( q ) xn( q )
..
xn
( i
)2
Aei t naq
2 Aeit naq
m A 2eit naq
2 Aeiwt naq Aeit n1aq Aeit n1aq
m 2 ( 2 eiaq eiaq )
m 2 [2 (cos aq i sinaq) (cos aq i sinaq)]
x nk
u(r )
u(r0 )
1 2
d2u dr 2
r0
xn2k
1 6
d3u dr 3
r0
xn3k
第 n个与第 k个原子间的相互作用力:
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
2
aq
sin
m
2
2.色散关系
当
q
a
,
max
2
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
的传播速度： v p 介质密度
q 2π a
vp a m
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视 为弹性波。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原
子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的
高次项，只保留到(r)2项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)
得:
f nk
d2u dr 2
r0
xnk
nk xnk
fn nk xn xk
nk
d2u dr 2
r0
弹性恢复力系数
k
原子的振动方程:
m
..
xn
nk xn
(q) (q)
m
故取 π q π
a
a
π a
o
πa
简约布里渊区
3. 玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值
(1)玻恩---卡门周期性边界条件
设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接， 各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中 原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原
2 sin aq
m2
1 2
m
sin
2π 5
, 21
2
sin
m
π 5
, 3
0,4
2
,5
1
Байду номын сангаас
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
xk
k
n k a r0
只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：
..
m xn xn xn1 xn xn1
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解： xn Aeitnaq
x Aei[t( n1 )aq] n1
原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差
xn Aeitnaq
将试探解代入振动方程得色散关系:
2 sin aq
m2
由玻恩---卡门周期性边界条件:
x1 x1 N
eiNaq 1
S为整数
Naq 2π s
q 2π s 5a
π q π
a
a
5<s 5
2
2
5<s 5
2
2
s 2, 1, 0, 1, 2
q 4π , 2π ,0, 2π , 4π 5a 5a 5a 5a
子链，由玻恩---卡门周期性边界条件: xn xn N
(2)波矢q的取值 对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):
xn xnN
Aei t naq Aei[t ( n N )aq]
eiNaq 1
π q π
a
a
Naq 2π s
N s N
2
2
整数
q 2π s Na
s ( N 1),( N 2),( N 3), ,1, 0,1, 2, , N (共N个值)
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
第一节 一维晶格的振动
本节主要内容: 3.1.1 一维单原子链的振动 3.1.2 一维双原子链(复式格子)的振动
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为m。
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r)为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u(r0 ) ，
t时刻为 u(r) u(r0 r)
u(r) u(r0 r)
u(r0
)
du dr
r0
r
1 2
d2u dr 2
r0
(
r
)2
1 6
d3u dr 3
r0
(
r
)3
为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2 sin aq
m2
色散关系 (晶格振动谱) 推导略
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解: xn Aei t naq
.
xn
iAei t naq
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的
位移，用xnk= xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。