常数列a n＋1＝a n
(3)
如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的
位置序号．
[试一试]
1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________． 答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)
2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧
2·
3n －
1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.
解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：54
1．辨明数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
2．明确a n 与S n 的关系 a n ＝⎩⎨⎧
S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2).
[练一练]
1．若数列{a n }的前n 项和S ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________. 答案：2n －11
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝3
2，则a 8＝________.
解析：由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
2p ＋q 2＝3
2，
4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝14，q ＝2.
则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝9
4.
答案：9
4
考点一
由数列的前几项求数列的通项公式
n A ．a n ＝1 B ．a n ＝(－1)n ＋1
2
C ．a n ＝2－||
sin n π
2
D ．a n ＝(－1)n －
1＋3
2
解析：选C 由a n ＝2－||
sin n π
2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…. 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；
(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；
(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….
解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×
1
n (n ＋1)
.
(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎨
⎧
a ，n 为奇数，
b ，n 为偶数.
(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.
[类题通法]
用观察法求数列的通项公式的技巧
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋
1来调整．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
考点二
由a n 与S n 的关系求通项a n
[典例n n n (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b .
[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；
当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨
⎧
3＋b ，n ＝1，2·
3n －1，n ≥2.
[类题通法]
已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
