2017西城一模数学理科附答案

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【统一】北京市西城区2017届高三数学4月统一测试一模试题文

【关键字】统一北京市西城区2017届高三数学4月统一测试（一模）试题文第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+（D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A ）（B ）6（C ）（D ）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性质P ．下列函数中，具有性质P 的是（A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x =（D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数的定义域为____．10．执行如图所示的程序框图. 当输入时，输出的值为____． 11．圆的圆心坐标是____；直线与圆相交于两点，则____． 12．函数的最小正周期是____．13．实数满足则的最大值是____；最小值是____．14．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动．平面区域由所有满足的点组成，则的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和． 16．（本小题满分13分）在△中，角的对边分别为，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值． 17．（本小题满分13分）在尝试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加尝试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次尝试，共5道客观题．尝试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度P0.9 0.8 0.7 0.6 0.4i尝试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号1 2 3 4 5题号1 ×√√√√2 √√√√×3 √√√√×4 √√√××5 √√√√√6 √××√×7 ×√√√×8 √××××9 √√×××10 √√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次尝试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次尝试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．过点的平面与棱分别交于点（三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面，求的值；（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点．，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，为椭圆上一点，的中点为．直线与直线交于点，过作，交直线于点．求证：．20．（本小题满分13分）已知函数．设为曲线在点处的切线，其中．（Ⅰ）求直线的方程（用表示）；（Ⅱ）求直线在轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线分别与曲线和射线交于两点，求的最小值及此时的值．西城区高三统一尝试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．，且 10． 11．；12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A =+ [ 9分] π)6A =+． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以当π3A =时，sin sin AB + [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分] （Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用iP '作为这120名学生第i 题的实测难度． 0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=．[ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分] 所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分]所以 AP D F ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分] 由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-．所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==，所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分] 设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞，所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>，所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷-理数-含答案

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是（A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是（A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ，解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-，即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤，所以 ()()i j a i i a j j -+<-+，所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有 i j a i a j ++≤．所以 (1,2,3,,)n n B ∈，所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤，所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以 11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥．因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=．所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

2017年北京一模分类+函数

1.1（2017年西城一模）10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数.“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少. 右下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是 (A) 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多(B) 以低于80km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少(C)以高于80km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油(D) 以80km/h 的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升1.3（2017年西城一模）26．阅读下列材料：某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源以后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环.小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度，x （单位：min ）表示接通电源后的时间. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1m 的值为；（2）①当0≤x ≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式；当4＜x ≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y 随时间x 变化的函数图象；第10题图2第10题图1HG FE D CBA（3）如果水温y 随时间x 的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源min.2.1（2017年通州一模）26．已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围是x >0，下表是y 与x 的几组对应值.小风根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象和性质进行了探究.下面是小风的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x =7对应的函数值y 约为______________.②该函数的一条性质：______________________________________________________.3、（2017年房山一模）10.如图1，已知点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，AB=6，BD=8．动点M 从点E 出发，沿E →F →G →H →E 匀速运动，设点M 运动的路程为x ，点M 到矩形的某一个顶点的距离为y ，如果表示y 关于x 函数关系的图象如图2所示，那么矩形的这个顶点是 A . 点A B . 点B C . 点C D . 点D3.3（2017年房山一模）26.小东根据学习函数的经验，对函数()2411y x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数()2411y x =-+的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值.表中m 的值为________________；（3）如图，在平面直角坐标系中，数()2411y x =-+的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数()2411y x =-+的一条性质：______________________________. （5）解决问题：如果函数()2411y x =-+与直线y=a 的交点有2个，那么a 的取值范围是______________ .4.1（2017年平谷一模）9．1-7月份，某种蔬菜每斤的进价与每斤的售价的信息如图所示，则出售该种蔬菜每斤利润最大的月份是A ．3月份B ．4月份C ．5月份D ．6月份4.2（2017年平谷一模）26．有这样一个问题：探究函数y x =+的图象与性质．小军根据学习函数的经验，对函数y x =+的图象与性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：（1）函数y x =+的自变量x 的取值范围是；在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察图象，函数的最小值是；（4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条．．性质（函数最小值除外）：．5.1（2017年丰台一模）26．【问题情境】已知矩形的面积为a （a 为常数，0>a ），当该矩形的长为多少时，它的周长最小?最小值是多少? 【数学模型】设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数表达式为⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x y 2()0>x ．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数xx y 1+=的图象性质．（1）结合问题情境，函数xx y 1+=的自变量x的取值范围是0>x ，下表是y 与x 的几组对应值．②画出该函数图象，结合图象，得出当x =______时，y 有最小值，y 最小=________；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．6.1（2017年海淀一模）9．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是A ．惊蛰B ．小满C ．秋分D ．大寒6.2（2017年海淀一模）26．有这样一个问题：探究函数222x y x =-的图象与性质．下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数222x y x =-的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值．如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点1A 和1B ，2A 和2B ，3A 和3B ，4A 和4B 均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数222x y x =-的表达式发现：当1x <时,该函数的最大值为0，则该函数图象在直线1x =左侧的最高点的坐标为；x =110-2DCBA（3）小文补充了该函数图象上两个点（1124-，），（3924，），①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：________________．7、（2017年门头沟一模）10．如图10-1，已知Rt△ABC，CA CB=，点P为AB边上的一个动点，点E、F 分别是CA，CB边的中点,过点P作PD⊥CA于D,设AP x=，图中某条线段的长为y，如果表示y与x 的函数关系的大致图象如图10-2所示，那么这条线段可能是A．PD B.PEC.PCD.PF8.1（2017年东城一模）8. 如图，点A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为A．2 B．3 C．4 D．58.2（2017年东城一模）10.图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE和正方形ABCD组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是图 1 图2OA. A O DB. E A CC. AE DD. E A B9、（2017年顺义一模）26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数()2264-+-=x x y 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）该函数的自变量x 的取值范围是；（2）同学们先找到y 与x 的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy 中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：．10.1（2017年石景山一模）8．周末小石去博物馆参加综合实践活动，乘坐公共汽车0.5小时后想换乘另一辆公共汽车，他等候一段时间后改为利用手机扫码骑行摩拜单车前往．已知小石离家的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象大致如图．则小石骑行摩拜单车的平均速度为 A ．30千米/小时 B ．18千米/小时 C ．15千米/小时 D ．9千米/小时10.2（2017年石景山一模）10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数（单位：km /L ），如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述正确的是A ．当行驶速度为40km /h 时，每消耗1升汽油，甲车能行驶20kmB ．消耗1升汽油，丙车最多可行驶5kmC ．当行驶速度为80km /h 时，每消耗1升汽油，乙车和丙车行驶的最大公里数相同D ．当行驶速度为60km /h 时，若行驶相同的路程，丙车消耗的汽油最少11.1（2017年朝阳一模）5．一个试验室在0:00—4:00的温度T （单位：℃）与时间t (单位：h)的函数关系的图象如图所示，在0:00—2:00保持恒温，在2:00—4:00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为 A ．5℃B ．10℃ C ．20℃D ．40℃11.2（2017年朝阳一模）10.如图1，在△ABC 中，AB =BC ，AC =m ，D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点P 为AC 边上的一个动点，连接PD ，PB ，PE .设AP =x ，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是A ．PDB ．PBC ．PED ．PCkm/h ）图1图211.3（2017年朝阳一模）26.有这样一个问题：探究函数()262y x =-的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数()262y x =-的图象与性质进行了探究.下面是小华的探究过程,请补充完整: (1)函数()262y x =-的自变量x 的取值范围是；求m 的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：.12小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的表达式，图象和性质进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整:(1)根据上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，写出该函数的表达式:;(2)该函数自变量x 的取值范围是;(3)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置（近似即可），根据描出的点，画出该函数的图象;(4)根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质:.13.1（2017年燕山一模）8随着移动互联网的快速发展，OFO 、摩拜等互联网共享单车应运而生并快速发展．小冬骑的摩拜单车，爸爸骑的摩托车，沿相同路线由A 地到B 地，行驶过程中路程y 和时间x 的函数关系的图象如图，根据图象分析，何时俩人相遇，谁先到A. 4分钟时相遇，爸爸先到B. 20分钟时相遇，爸爸先到C. 4分时相遇，小冬先到D.20分钟时相遇，小冬先到.13.2（2017年燕山一模） 26．有这样一个问题：探究函数xx y 22+=的图象和性质. 小奥根据学习函数的经验，对函数xx y 22+=的图象和性质进行了探究. 下面是小奥的探究过程，请补充完整：（1）函数xx y 22+=的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值：求m的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xoy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）.结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：.。

北京市西城区2017届高三数学4月统一测试(一模)试题文

北京市西城区2017届高三数学4月统一测试（一模）试题文第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A）（B ）6 （C）（D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性质P ．下列函数中，具有性质P 的是（A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号题号12 3 4 5 1 × √√ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 12 3 4 5 实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n '''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值；（Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；2 12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分] π)6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以当π3A =时，sin sin AB + [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=．[ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [5分] （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分]由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-．所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =．()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==，所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分] 设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞，所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>，所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。

北京西城区高考一模试题解析数学理科(人教B版)

北京市西城区抽样测试高三数学试卷（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（西城·理·题1）1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是（） A ．P Q = B ．P Q R = C ．PQ D ．QP【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．（西城·理·题2）2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是（） A ．22π B ．2,2π- C ．2π- D ．2,π- 【解析】 A ；π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（西城·理·题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（） A ．10 B ．12 C ．15 D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（西城·理·题4）4．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（） A ．1212,x x s s >< B ．1212,x x s s =< C ．1212,x x s s == D ．1212,x x s s <>3275538712455698210乙甲【解析】 B ；1215x x ==，2222222222221211(761167)(872278)88s s =+++++<=+++++．（西城·理·题5）5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ； 1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（西城·理·题6）6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A ．12B ．16C ．24D ．32 【解析】 C ；将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24=种排法．（西城·理·题7）7．已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【解析】 C ；如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M ，由面积比知12P =．1O-11yx（西城·理·题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，输出yxy = zx = y z<20 z = x +y x =1, y =1否是结束开始且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行【解析】 B ；若,M N 两点重合，由,AM MB CM MD ==知AC BD ∥，从而AC ∥平面β，故有AC l ∥，故B 正确．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（西城·理·题9）9．若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ．【解析】 3；2i i a b +=+1,2a b ⇒==．（西城·理·题10）10．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ．【解析】 13；222(2)44cos6013a b a a b b -=-⋅︒+=．（西城·理·题11）11．将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为．【解析】2220x y x +-=； 2222cos 2x y x ρρθ=⇒+=．（西城·理·题12）12．如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ．ADE OCBlNM DCBAβα【解析】 94,5； 22(26)164PC PA PB PC =⋅=⨯+=⇒=；连结OC ，知OC PC ⊥，于是5PO =，2239235CO OE OP PE =⋅⇒==+．BCOE PDA（西城·理·题13）13．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为．【解析】 2-；12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y ⋅=--⋅-=--+，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-．（西城·理·题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是．【解析】 [2,)+∞；[1,1]-；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图左所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可；由()f x 为奇函数及0x ≥时的解析式知()f x 的图象如下图右所示，∵222(3)()f a a f a ==-，由2222(4)()(3)f a f a a f a -+-==≥，故2243a a -+≥，从而21a ≤，又21a ≤时，恒有(4)()f x f x +≥，故21a ≤即可．-a 2a 2-a 2a 2O y x1O -1yx三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（西城·理·题15）15．（本小题满分12分）已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值；⑵求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos2cos2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos2sin cos2cos2ααααααα-===．因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以10sin 10α=，所以sin 2cos sin 10cos 210αααα-=．（西城·理·题16） 16．（本小题满分13）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响． ⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率；⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望．【解析】设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知12345431(),(),(),()6543P A P A P A P A ====，⑴设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则331212()()()()()P B P A A A P A P A P A ==543116546⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．⑵设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则123112()()P C P A A A A A A =++1231121515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=； ⑶X 的可能取值为1，2，3，4，11(1)()6P X P A ===， 21541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，3125431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，所以，X 的分布列为X1 2 3 4 P16 16 16 12()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（西城·理·题17） 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，ADC ∠=90°，1AB AD PD ===，2CD =． ⑴求证：BE ∥平面PAD ； ⑵求证：BC ⊥平面PBD ；⑶设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45°．PEDCB A【解析】 ⑴取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以EF CD ∥，且11,2EF CD ==在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AB =，所以EF AB ∥，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以BE AF ∥，BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD ．⑵平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ． (1,1,0),(1,1,0)DB BC ==-．所以0,BC DB BC DB ⋅=⊥．又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥，所以BC ⊥平面PBD ．⑶平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,,)n a b c =，由0n DB ⋅=，0n DQ ⋅=，得02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，所以22cos 45||||222()1n BCn BC λλ⋅︒===⋅+-，注意到(0,1)λ∈，得21λ=．（西城·理·题18） 18．（本小题满分14分）F zy xQA BCD EP椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5．⑴求椭圆C 的方程；⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率．【解析】 ⑴由已知2235c a b a =+=，又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；⑵根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >．设E 、F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++，因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=，所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k ⨯+-+=++，解得19k =±ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时，1OE k k ⋅=，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-……① 又221114x y +=…………② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），将123y =代入①，得125,3x =±所以1145y k x -==±，经检验，所求k 值均符合题意，综上，k 的值为19±和5±．（西城·理·题19） 19．（本小题满分14分）已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得221244a a a a a ax x --+-++= 因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：x1(,)x -∞1(,0)x()f x '+- ()f x所以在区间24,a a a ⎛--+-∞ ⎝⎭上()f x 是增函数，在区间240a a a ⎫--+⎪⎪⎝⎭上()f x 是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为221440a a a a a aa x a --+-++--=-=>，所以10x a <-<．由()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()02a f -<．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（西城·理·题20）20．（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +（i =1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．⑴设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n nS n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”；⑵试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；⑶对于有限项数列A ：1，2，3，…，n ，某人已经验证当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当”22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”．【解析】 ⑴当2n ≥时，1n n n a S S -=-2221(1)[(1)1]33n n n n n n -=----=-，又10a =，所以2*()n a n n n =-∈N ．所以2(1,2,3,)i a i i i +==是完全平方数，数列{}n a 具有“P 性质”；⑵数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”，数列{}n b 为3，2，1，5，4，数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”，11 / 11 因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”；⑶设2,121n m j j m =++≤≤，注意到22(2)()44m m j m j +-+=+-，令441h m j =+--，由于121,5j m m +≤≤≥，所以4412212h m j m =+--+≥≥，又22244142m h m m j m m -=--++--≥，2242(2)60m m m --=-->，所以2h m <，即2[12,]h m ∈，因为当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列{}n a 具有“变换P 性质”，所以1，2，…，441m j +--可以排列成123,,,,h a a a a ，使得(1,2,,)i a i i h +=都是平方数．另外，244,441,,m j m j m j +-+-++可以按相反顺序排列，即排列为2,,441,44m j m j m j +--++-，使得22(44)()(2)m j m j m +-++=+，22(441)(1)(2),,m j m j m +-+++-=+ 所以1，2，22441,44,,1,m j m j m j m j +--+--++可以排列成 2123,,,,,,44h a a a a m j m j ++-，满足2(1,2,,)i a i i m j +=+都是平方数．即当22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”．。

2017北京西城区初三数学一摸试题及答案(经典)

北京市西城区 2017 年九年级一致测试数学试卷2017.4一、选择题（此题共 30 分，每题 3 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个是切合题意的．．．．1．春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精选文化活动，共招待旅行总人数9 608 000 人次，将 9 608 000 用科学记数法表示为（ A ） 9608 103 （ B ） 960.8 104 （ C ） 96.08 105 （ D ） 9.608 1062．在数轴上，实数 a ， b 对应的点的地点以下图，且这两个点对于原点对称，以下结论中，正确的选项是a0 1 b（ A ） a b 0（ B ） a b 0（ C ） a ＜ b（ D ） ab ＞03．如图， AB ∥ CD ， DA ⊥ CE 于点 A ．若∠ EAB = 55 °，则∠ D 的度数为（A ）25°（ B ） 35°（ C ） 45°（ D ） 55°EABC D第3题图第 4题图4．右图是某几何体的三视图，该几何体是（ A ）三棱柱（ B ）长方体（ C ）圆锥（ D ）圆柱5．若正多边形的一个外角是 40°，则这个正多边形是（ A ）正七边形（ B ）正八边形（ C ）正九边形（ D ）正十边形6．用配方法解一元二次方程x26x5 0 ，此方程可化为24 （ B ） x 214 （ C ） x22（ A ）x 33 94 （ D ） x 9147．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择适合的地点，恰幸亏平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为 2m ，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m ．若小明的眼睛与地面距离为 1.5m ，则旗杆的高度为（单位：m ）（A ）16（B ）9（C ）12（D ）64338．某商铺举行促销活动，其促销的方式是“花费超出 100 元时，所购置的商品按原价打 8 折后，再减少 20元 ” ．若某商品的原价为 x 元（ x ＞ 100），则购置该商品实质付款的金额（单位：元）是（ A ） 80%x 20 （ B ） 80% x 20 （ C ） 20%x 20（ D ） 20% x 209．某校合唱团有30 名成员，下表是合唱团成员的年纪散布统计表：年纪（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名）515x10-x对于不一样的 x ，以下对于年纪的统计量不会发生改变的是（ A ）均匀数、中位数（ B ）均匀数、方差（ C ）众数、中位数（ D ）众数、方差10．汽车的“燃油效率”是指汽车每耗费1 升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每耗费 1 升汽油行驶的里程数越多； “燃油效率”越低表示汽车每耗费1 升汽油行驶的里程数越少．右以下图描绘了甲、乙、丙三辆汽车在不一样速度下的燃油效率状况，以下说法中，正确的选项是（ A ）以同样速度行驶同样行程，三辆车中，甲车耗费汽油最多（ B ）以低于 80km/h 的速度行驶时，行驶同样行程，三辆车中，乙车耗费汽油最少（ C ）以高于 80km/h 的速度行驶时，行驶同样行程，丙车比乙车省油（ D ）以 80km/h 的速度行驶时，行驶 100 公里，甲车耗费的汽油量约为 10 升二、填空题（此题共18 分，每题3 分）11．分解因式： ax 2 2ax+a=________ ．12．若函数的图像经过点A （ 1， 2），点B （2， 1），写出一个切合条件的函数表达式 _________．13．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数 n 100 150 300 500 800 1000 投中次数 m 58 96 174 302 484 601 投中频次m0．5800． 6400． 5800．6040． 6050． 601n这名球员投篮一次，投中的概率约是．4．如图，四边形 ABCD 是⊙ O 内接四边形，若∠ BAC=30 °，∠ CBD=80 °，则∠ BCD 的度数为 ____________ ．15．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为旋转中心，将△ AOB 顺时针旋转 90°获得△ A'OB' ，此中点 A' 与点 A 对应，点 B' 与点 B 对应．若点 A（3，0），B（1，2），则点 A' 的坐标为 _______________ ，点 B'的坐标为 ________________.第 14题图16．下边是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线已知：如图1，直线 l 和直线 l 外一点 P．求作：直线l 的平行直线，使它经过点P．第 15题”的尺规作图过程．作法：如图 2．（ 1）过点 P 作直线 m 与直线 l 交于点 O;（ 2）在直线 m 上取一点 A（ OA＜OP ），以点 O 为圆心， OA 长为半径画弧，与直线 l 交于点 B；（ 3）以点 P 为圆心， OA 长为半径画弧，交直线m 于点 C，以点 C 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧交于点 D ；（ 4）作直线 PD．因此直线 PD 就是所求作的平行线．请回答：该作图的依照是．三、解答题（此题共72 分，第 17-26 题，每题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.1117．计算： 2 3 2sin60O + 3 225x2<3 x+418．解不等式组：x 72x219．已知 x=2y，求代数式11x22xy y2的值 .y x x2 y20．如图，在△ ABC 中， BC 的垂直均分线交BC 于点 D，交 AB 延伸线于点E，连结 CE.求证：∠ BCE=∠ A+∠ ACB.CDA B E21．某科研小组计划对某一品种的西瓜采纳两各栽种技术栽种.在选择栽种技术时，该科研小组主要关怀的问题是：西瓜的产量和产量的稳固性，以及西瓜的优等品率. 为认识这两各栽种技术种出的西瓜的质量状况，科研小组在两块自然条件同样的试验田进行对照试验，并从这两块实验田中各随机抽取20 个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录以下：表 1甲各栽种技术种出的西瓜质量统计表编号12345678910西瓜质量 .（单位： kg） 3.5 4.8 5.4 4.9 4.2 5.0 4.9 4.8 5.8 4.8编号11121314151617181920西瓜质量 .（单位： kg） 5.0 4.8 5.2 4.9 5.1 5.0 4.8 6.0 5.7 5.0表 2乙各栽种技术种出的西瓜质量统计表编号12345678910西瓜质量 .（单位： kg） 4.4 4.9 4.8 4.1 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9编号11121314151617181920西瓜质量 .（单位： kg） 5.4 5.5 4.0 5.3 4.8 5.6 5.2 5.7 5.0 5.3回答以下问题：（ 1）若将质量为 4.5~5.5（单位： kg）的西瓜记为优等品，达成下表：优等品西瓜个数均匀数方差甲各栽种技术种出的西瓜质量 4.980.27乙各栽种技术种出的西瓜质量15 4.970.21（ 2）依据以上数据，你以为该科研小组应选择哪各栽种技术，并请说明原因.22．在平面直角坐标系xOy，直线 y=x-1 与 y 轴交于点A，与双曲线y= k交于点B（m，2）. x（1）求点 B 的坐标及 k 的值 ;（2）将直线 AB 平移，使它与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D ，若△ABC 的面积为 6，求直线 CD 的表达式 .23．如图，在□ABCD 中，对角线 BD 均分∠ ABC，过点 A 作 AE//BD ，交CD 的延伸线于点 E，过点 E 作 EF⊥ BC，交 BC 延伸线于点 F .（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若∠ ABC=45 °， BC=2，求 EF 的长 .EADB C F24. 汽车保有量是指一个地域拥有车辆的数目，一般是指在当地登记的车辆．进入21 世纪以来，我国汽车保有量逐年增加．以下图是依据中国家产信息网上的相关数据整理的统计图．2007— 2015 年全国汽车保有量及增速统计图依据以上信息，回答以下问题：（ 1）2016 年汽车保有量净增 2200 万辆，为历史最高水平， 2016 年汽车的保有量为万辆，与 2015年对比， 2016 年的增加率约为%；（ 2）从 2008 年到 2015 年，年全国汽车保有量增速最快；（ 3）预估 2020 年我国汽车保有量将达到万辆，预估原因是 _________________25．如图， AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙O 上一点，过点 C 作⊙ O 的切线，交BA 的延伸线交于点D，过点 B 作 BE ⊥BA，交 DC 延伸线于点E，连结 OE，交⊙ O 于点 F，交 BC 于点 H，连结 AC．（ 1）求证：∠ ECB = ∠ EBC ；（ 2）连结 BF， CF，若 CF =6 ， sin∠ FCB = 3，求 AC 的长．5EFCHD A O B26．以下资料：某种型号的温控水箱的工作程是：接通源后，在初始温度 20℃ 下加水箱中的水；当水温达到定温度80℃ ，加停止；今后水箱中的水温开始逐降落，当降落到20℃，再次自加水箱中的水至80℃，加停止；当水箱中的水温降落到20℃，再次自加，⋯⋯，按照以上方式不停循．小明依据学函数的，型号温控水箱中的水温随化的律行了研究．水温 y 是 x 的函数，此中y(位：℃)表示水箱中水的温度．x(位： min)表示接通源后的．下边是小明的研究程，充完好：（ 1）下表了32min 内 14 个点的温控水箱中水的温度y 随 x 的化状况接通源后的x012345810161820212432⋯（位： min）水箱中水的温度y203550658064403220m80644020⋯（位：℃ ）m 的；（ 2）①当 0 ≤x ≤4 ，写出一个切合表中数据的函数分析式；当 4＜ x ≤16 ，写出一个切合表中数据的函数分析式；②如，在平面直角坐系xOy 中，描出了上表中部分数据的点，依据描出的点，画出当 0≤x≤ 32，温度y 随 x 化的函数象：y10080604020O246810121416182022242628303234x（ 3）假如水温 y随时间 x 的变化规律不变，展望水温第8 次达到40℃时，距离接通电源min ．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx2(2m + 1)x + m 5 的图象与x 轴有两个公共点.（ 1）求m 的取值范围；（ 2）若m 取知足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的分析式；②当n ≤x ≤1 时，函数值y 的取值范围是 6 ≤y ≤ 4 n，求n 的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x h)2 + k，当 x < 2 时， y 随 x 的增大而减小，求k 的取值范围 .28．在△ABC 中， AB = BC， BD⊥AC 于点 D.（1）如图 1，当∠ ABC = 90 °时，若 CE 均分∠ ACB，交 AB 于点 E，交 BD 于点 F. ①求证：△BEF 是等腰三角形；②求证： BD = 1（BC + BF ）；2（ 2）点E 在AB 边上，连结 CE.若BD =1 （ BC + BE ），在图2 中补全图形，判断∠ACE 与∠ ABC之间的2数目关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ ABC 关系的思路 .BBEFAD CAD C图1图229．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P 和点 P 1 对于 y 轴对称，点 P 1 和点 P 2 对于直线 l 对称，则称点 P 2是点 P 对于 y 轴，直线 l 的二次对称点．（ 1）如图 1，点 A （ -1 , 0）．①若点 B 是点 A 对于 y 轴，直线 l1: x=2 的二次对称点，则点 B 的坐标为；②若点 C（ -5 , 0）是点 A 对于 y 轴，直线 l 2: x = a 的二次对称点，则 a 的值为；③若点 D（ 2 , 1）是点 A 对于 y 轴，直线 l3的二次对称点，则直线l3的表达式为；（ 2）如图 2，⊙ O 的半径为 1．若⊙ O 上存在点 M，使得点 M＇是点 M对于 y 轴，直线 l 4: x = b 的二次对称点，且点 M＇在射线y3上， b 的取值范围是；x( x 0)3（ 3）E（ t， 0）是x 轴上的动点，⊙ E 的半径为2，若⊙ E 上存在点N，使得点N＇是点N 对于y 轴，直线l 5:y3x 1 的二次对称点，且点N＇在y 轴上，求t 的取值范围．y y44332211A–5–4–3–2–11 2 3 4 5 x–5–4–3–2–11 2 3 4 5 xO O–1–1–2–2–3–3图 1图 2。

2017年北京各城区一二模拟理科解析几何题答案

17年东城二模理（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得解得．所以椭圆的方程为．…………………………5分（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”．设直线的方程为，则．设点，由得，得① 当轴时，，此时．所以．此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分． ② 当时，直线的斜率为，所以直线的方程为24(41)40kx k y k +--=．所以点到直线的距离2d =2=22|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==．即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分17年东城一模理（19）（共14分）2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩2a =C 22143x y +=B EF MF EF MFB ÐAM (2)(0)y k x k =+?(2,4),(2,2)N k E k 00(,)M x y 22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî2222(34)1616120k x k x k +++-=2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+îMF x ^01x =12k =?3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?E BFM Ð1y x =-1y x =-+EF MFB Ð12k 贡MF 0204114MF y k k x k==--MF E MF解：（Ⅰ）由题意得2222,b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b ==所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>．射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002y y x x =-，所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=．过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--．由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得2201102()42y x x x +=+，即2220010222200004(2)4(2)2(2)2(2)4x x x x x y x x ++===+++++-，同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN………………14分17年西城一模理19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得 2222(43)1616120k x k x k +++-=，[ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [ 9分]所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分]由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ；因为直线DF 的斜率是3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分]由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分] 同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]17年西城二模理18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ，得 4a =， [ 3分] 所以抛物线C 的方程为24y x =． [ 4分] （Ⅱ）因为 ||||PM PN =，所以 PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以直线PA 与PB 的倾斜角互补，所以 0PA PB k k +=． [ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠，将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=． [ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k=-+=-， [10分]所以 22(2)4(,2)k A k k--． [11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得 22(2)4(,2)k B k k+--． [12分] 所以 222244()1(2)(2)AB k k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-． [14分]17年海淀一模理19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+设A (11,x y )，B (22,x y )，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以AB 中点M 21(,)33-，于是直线OM 的斜率为1323=-12-．（Ⅱ）解法1：假设存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立．当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以AM =11)1CM DM ⋅==，矛盾；故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程，得：2222(21)42(1)0k x k x k +++-=，设A (11,x y )，B (22,x y )，则2122421k x x k +=-+，21222(1)21k x x k -=+，于是，2121222(1)(1)2221y y x x k k k k ++=⋅+=⋅-++221kk =+，点M 的坐标为(2222,2121k kk k -++),AB 直线CD 的方程为：12y x k=-⋅，联立椭圆G 的方程，得：222421k x k =+，设C (x 0，y 0)，则222200021(1)4OC x y x k=+=+⋅224121k k +=+，由题知，22244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，即：22228(1)(21)k k ⋅++22222241(41)4()21(21)k k k k k ++=-++，化简，得：212k =，故k =，所以直线l 的方程为：1),1)y x y x =+=+．（II ）解法2：假设存在直线l 使得2AM CM DM =成立由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my +--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则12122221,22m y y y y m m -+==++，12AB y =-=212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++，所以AB 中点M 的坐标为222(,)22mm m -++，所以直线CD 的方程为：2my x =-，由22222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2242x m =+，由对称性，设00(,)C x y ，则00(,)D x y --，即20242x m =+222220022(4)(1)(1)4(2)M M M m m m CM DM x x x x m ++=-+=+-=+，由||2||AB AM =，2AM CM DM =得24AB CM DM =，即22222(4)(1)4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭，解得22m =，故m =所以直线l的方程为：1,1x x =-=-. 17年海淀二模理18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，所以轨迹E 的方程为24y x =. （Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*），因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=，所以2(,2)A m m ，令1x =-得1(1,)nP m+--，因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220n NA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--=u u u r u u u r所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上. 法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*），因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k-+=，所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--，因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=u u u r u u u r ，所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.17年朝阳一模理19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又c a =，即22123a a -=.解得23a =.即a =所以c =所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(. …………………4分（Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R . 设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y .因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+，又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-222248(3)3m m m =+++22224824(3)m m m ++=+2221224(3)m m +=+. 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分 17年朝阳二模理（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y = ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+- ．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分17年石景山一模19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为c e a ==c =2a =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ．联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m < 所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC == ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN ==． ………12分所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=．所以B 、N………14分17年顺义二模19.解：（Ⅰ）由点3(1,)2-在椭圆上得，221914a b +=-----------------① 依题设知2a c =，则223b c =. ----------------------------------②②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ---------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 消去y ,得 ()0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ------------③ 此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以点T 的坐标为43(,)k m m -. 由⎩⎨⎧+=-=mkx y x 4得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .则由已知条件知AT AS ⊥,即0=∙对满足③式的k m ,恒成立. 因为()m k x AS +---=4,41，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m x mk 3,41，由0=∙AT AS 得 0312********=+-+++m k x x m kx m k ，整理得()034441211=++++x x mk x --------④由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=++=+0340441211x x x ，解得11-=x . 故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分 17年昌平二模(19)(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意解得故椭圆的方程为． ………………5分（Ⅱ）⑴由题意，因为，得，则直线的方程为，联立得代入化简得.因为判别式，即直线与椭圆有且只有一个公共点． ………………9分⑵ 设直线的方程为. 联立方程组解得. 故点坐标为，．联立方程组，代入化简得．设点．因为判别式，得．22222,2411,.c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩E 22182y x +=14AC BD k k ⋅=-12==BD OD k k 12AC k =-l 122y x =-+2212,248.y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩2440x x -+=0∆=l E l '1(0)2y x m m =+≠12122y x m y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，212x m m y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，P (2,1)2m m -+2254m PD =224812x y y x m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩222240x mx m ++-=1122(,),(,)M x y N x y 24(4)0∆=-+>m 22m -<<又，．所以.同理，.故．因为，解得．故存在常数，使得． ………………14分122x x m +=-21224x x m =-=PM1m x =--2|2|2PN m x =--125|2||2|4PM PN m x m x =----212125|(2)(2)()|4m m x x x x =---++254m =2PD PM PN λ=⋅1λ=λ2PD PM PN λ=⋅。

2017西城区高三(一模)文数试题及答案(1)

2017年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么 A∩∁U B=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（，0）C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）4．函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．则“曲线：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在△ABC中，点D满足=3，则（）A． =+B． =﹣C． =+D． =﹣7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4 B．6 C．4 D．28．函数f（x）的图象上任意一点A（x，y）的坐标满足条件|x|≥|y|，称函数f（x）具有性质P，下列函数中，具有性质P的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=sinx D．f（x）=ln（x+1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数 y=的定义域为．10．执行如图所示的程序框图．当输入x=ln时，输出的y值为11．圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标是，直线l：x﹣y=0与圆C相交于A，B两点，则|AB|= ．12．函数f（x）=的最小正周期是．13．实数x，y满足，则x2+y2的最大值是；最小值是．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≥的点P组成，则W的面积是．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知{a n}是等比数列，数列满足a1=3，a4=24，数列{b n}满足b1=1，b4=﹣8，且{a n+b n} 是等差数列．（I ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（II）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．（I）求角C的大小；（II）求sinA+sinB的最大值．17．（13分）在测试中，客观题难度的计算公式为P i=，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度P i0.9 0.8 0.7 0.6 0.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：1 2 3 4 5题号学生编号1 ×√√√√2 √√√√×3 √√√√×4 √√√××5 √√√√√6 √××√×7 ×√√√×8 √××××9 √√√××10 √√√√×（I）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]，其中P′i为第i题的实测难度，P i为第i 题的预估难度（i=l，2，…，n），规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）．（I）求证：平面PAB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论．19．（14分）如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为为，F为椭圆C的右焦点A（﹣a，0），|AF|=3．（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O作OE丄DF，交直线x=4于点E．求证：OE∥AP．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣x2，设l为曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线，其中x0∈[﹣1，1]．（1）求直线l的方程（用x0表示）（2）求直线l在y轴上的截距的取值范围；（3）设直线y=a分别与曲线y=f（x）（x∈[0，+∞））和射线y=x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值．数学试题答案一、1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴∁U B={2，3，5，6}；∴A∩∁U B={3，5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数分母实数化，再化简即可．【解答】解： =故选D．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．4．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象即可解答．【解答】解：函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数，是方程log2x﹣（）x=0的实数根的个数，即log2x=（）x，令f（x）=log2x，g（x）=（）x，画出函数的图象，如图所示：由图象得：f（x）与g（x）有1个交点，∴函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为1个，故选：B．【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了转化思想，数形结合思想的应用问题，是基础题．5．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，反之不成立．【解答】解：∵函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，若曲线：y=f（x）过原点”，则f（x）不一定为奇函数．：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义计算即可．【解答】解：△ABC中，点D满足=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：C【点评】本题考查了向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义，属于基础题．7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4的四面体，计算各条棱的长度可得答案．【解答】解：解：由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），∵AC=4，BC=4，AC⊥BC，SO⊥BC，SO=4，OB=OC=2，∴AB=4，AO=SB=SC=2，AOS是三角形直角，∴AS=6．∴棱的最长是AS=6，故选：B．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，根据已知的三视图，判断几何体的形状和尺寸关系是解答的关键．8．【考点】3T：函数的值．【分析】不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示，函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，由此能求出结果【解答】解：不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示：函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，在A中，f（x）=x2图象分布在区域①②和③内，故A不具有性质P；在B中，图象分布在区域②和③内，故B不具有性质P；在C中，f（x）=sinx图象分布在区域①和②内，故C具有性质P；在D中，f（x）=ln（x+1）图象分布在区域②和④内，故D不具有性质P．故选：C．【点评】本题考查函数是否具有性质P的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、数形结合思想的合理运用．二、9．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．10．【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的作用是计算并输出分段函数y=的值，由于x=ln=﹣ln2＜0，可得：y=e=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，是容易题．11．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】本题可以将圆的普通方程化成为标准方程，得到圆心坐标和半径长，得到本题结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标和半径分别为：（1，1），1．圆心在直线l：x﹣y=0，∴|AB|=2，故答案为：（1，1），2．【点评】本题考查了圆的普通方程和标准方程的互化，本题难度不大，属于基础题．12．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数公式化简只有一个函数名，即可求解周期．【解答】解：函数f（x）===tan2x．∴最小正周期T=．故答案为．【点评】本题主要考查三角函数的化简能力及图象和性质，比较基础．13．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域：而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离的平方，点在阴影区域里运动时，点P到点O，OP最大当在点P（1，2），z最大，最大值为02+22=4，Q在直线2x+y﹣2=0，OQ与直线垂直距离最小，可得z的最小值为： =，故答案为：4；．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．14．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】可得P的轨迹就是以A1为球心的球面与面ABCD的交线．即以A为圆心，半径为1的圆面【解答】解：通过作图，当A1P=时，分析得到P在以A1为球心，以为半径的球面上，又点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，由此可得P的轨迹就是球与面ABCD的交公共部分，即以A为圆心，半径为1的圆面，其面积为．故答案为：【点评】本题考查了空间轨迹问题，考查了学生的空间想象能力，是中档题．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a4=a1q3，∴q 3=8，解得q=2，∴a n =3×2n ﹣1，设等差数列{a n +b n } 的公差为d ，由题意得：a 4+b 4=（a 1+b 1 ）+3d ，∴24﹣8=（1+3）+3d ，解得d=4，∴a n +b n =4+4（n ﹣1）=4n ，∴b n =4n ﹣3×2n ﹣1，（Ⅱ）数列{a n }的前n 项和为=﹣3+3×2n ，数列{a n +b n }的前n 项和为=n （2n ﹣4）=2n 2﹣4n ，故{b n }的前n 项和为2n 2﹣4n+3﹣3×2n【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n 项和，是中档题．16．【考点】GH ：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（I ）根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C 的值．（II ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinA+sinB=sin （A+），由范围＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．【解答】解：（I ）∵2csinA=atanC ，∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC ，则2sinC sinA=sinA•，由sinCsinA ≠0得，cosC=，∵0＜C ＜π，∴C=．（II ）则A+B=，∴B=﹣A ，0＜A ＜，∴sinA+sinB=sinA+sin （﹣A ）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin （A+），∵0＜A ＜，∴＜A+＜， ∴当A+=时，sinA+sinB 取得最大值，【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，求出C的大小是解决本题的关键，考查了转化思想和数形结合思想，属于基本知识的考查．17．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据P i=，得到难度系数；（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）由S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]计算出S值，与0.05比较后，可得答案．【解答】解：（I）根据题中数据，可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：；题号 1 2 3 4 5实测答对人数8 8 8 7 2实测难度0.8 0.8 0.8 0.7 0.2（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，共有=10种不同的情况，其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况，故恰好有1人答对第5题的概率P==；（Ⅲ）由题意得：S= [（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.8﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]=0.014＜0.05，故该次测试的难度预估合理．【点评】本题考查的知识点是统计与概率，古典概型的概率计算公式，难度不大，属于基础题．18．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，即F为PC中点，可得，（Ⅲ）假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．【解答】解（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，∴PA⊥BC，BC⊥AB，又因为PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，∵BC⊂面PBC，∴平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，∴F为PC中点，∴，（Ⅲ）直线AE是不可能与平面PCD平行．假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．假设不成立，∴直线AE是不可能与平面PCD平行．【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．19．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，依题意列式求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设出直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得M的坐标，进一步求出直线OM的斜率，得到直线OM的方程，再求得D的坐标，得到直线DF的斜率，由OE丄DF可得OE的斜率，则答案得证．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c，依题意，得：，a+c=3，解得a=2，c=1．∴b2=a2﹣c2=3，则椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．∴，，．即M（），∴直线OM的斜率是，∴直线OM的方程是y=﹣，令x=4，得D（4，﹣）．由F（1，0），得直线DF的斜率是，∵OE丄DF，∴直线OE的斜率为k，∴OE∥AP．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．20．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）由直线l的方程，可令x=0，求出y，再求导数，判断导数符号小于等于0，可得函数y的单调性，即可得到所求最值，进而得到l在y轴上截距的范围；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，求得|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，二次求出导数，即可判断函数y的单调性，即可得到所求最小值及a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣x2的导数为f′（x）=e x﹣x，可得切线的斜率为k=e x0﹣x0，切点为（x0，e x0﹣x02），切线l的方程为y﹣e x0+x02=（e x0﹣x0）（x﹣x0），即为（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0；（2）由直线l：（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0，令x=0，可得y=e x0（1﹣x0）+x02，x0∈[﹣1，1]．则y′=e x0（﹣x0）+x0=x0（1﹣e x0），当x0=0时，1﹣e x0=0，则x0（1﹣e x0）=0；当x0＞0时，1﹣e x0＜0，则x0（1﹣e x0）＜0；当x0＜0时，1﹣e x0＞0，则x0（1﹣e x0）＜0；综上可得x0（1﹣e x0）≤0恒成立．则y=e x0（1﹣x0）+x02，在x0∈[﹣1，1]上递减，可得y的最大值为+，最小值为．则直线l在y轴上的截距的取值范围是[， +]；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，则y′=e x﹣x﹣1，y′′=e x﹣1，可得e x﹣1≥0，则y′在[0，+∞）递增，即有1+e x﹣x2﹣x[0，+∞）递增，可得1+e x﹣x2﹣x≥1+1﹣0=2，则|MN|的最小值为2，此时a=1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查方程思想和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．。

北京市西城区2017届高三数学4月统一测试一模试题文20170413039

北京市西城区2017届高三数学4月统一测试（一模）试题文第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =I ð （A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+（D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A）（B ）6 （C）（D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性质P ．下列函数中，具有性质P 的是（A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()1f x x =-的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号题号12 3 4 5 1 × √√ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 45 实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-L ，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =L ．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值；（Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；2 12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=L ． [ 4分] 设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=L ． [ 9分] （Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=L ．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a C A c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分] π)6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以当π3A =时，sin sin AB + [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分] 因为0.0120.05S=<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分] 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA BC⊥． [ 1分]因为ABCD为正方形，所以AB BC⊥， [ 2分]所以BC⊥平面PAB． [ 3分]所以平面PAB⊥平面PBC． [ 4分]（Ⅱ）连接AF． [ 5分] 因为PC⊥平面AEFG，所以PC AF⊥． [ 7分] 又因为PA AC=，所以F是PC的中点． [ 8分]所以12PFPC=． [ 9分]（Ⅲ）AE与平面PCD不可能平行． [10分] 证明如下：假设//AE平面PCD，因为//AB CD，AB⊄平面PCD．所以//AB平面PCD． [12分] 而AE AB⊂，平面PAB，所以平面//PAB平面PCD，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE与平面PCD不可能平行． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分] 所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-．所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =．()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==，所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞，所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>，所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。

北京市西城区第一学期期末试卷高三数学理科试题

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2017.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤（C ）{|10}x x -<≤ （D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±=（C ）30x y ±= （D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（A ）3 （B）（C ）6 （D）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是（A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是（A）1]（B ）[1,3]（C）1,2]（D）1]精品文档第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a的各项均为正数，其前n项和为n S．若11a=，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；6311．3-12；[4,9)14．16注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[4分]1sin 2cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，[6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=．[7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；[11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ，解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分] 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]4711(0)35C P X ===；133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===；3447C 4(3)35C P X ===．[8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．[13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分] 导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分]所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=．[12分]所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分] 直线MA 的方程为00()y n y n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．[9分] 直线MB 的方程为00()y n y n x t x t ++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．[11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()2222002204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤，所以()()i j a i i a j j -+<-+，所以i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =．[5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j ++≤．所以(1,2,3,,)n n B ∈，所以n n A B ⊆．[7分]所以集合n n A B 的元素个数为1．[8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤，所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个．[10分] （2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上23111n n b b b b -=+++++，3n ≥．因为3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=，[12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=．所以{}n b 成等比数列．[13分]。

2017西城理科数学上学期期末带有答案

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2017.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么A B = （A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2x y =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是（A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是（A）11] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）[11]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >． ① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)nn ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；6311．3- 12[4,9)14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[4分]12cos 222x x ωω=+πsin(2)6x ω=+，[6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=．[7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；[11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 [13分] 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠= ，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分]所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩ 令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分]因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ，解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]4711(0)35C P X ===；133447C C 12(1)35C P X ===；223447C C 18(2)35C P X ===；3447C 4(3)35C P X ===．[8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．[13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分] 所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=．[12分] 所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB 面积的最大值是2．[5分]（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222200224242=n y n y y n----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤，所以()()i j a i i a j j -+<-+，所以i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n = ．[5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j ++≤．所以(1,2,3,,)n n B ∈ ，所以n n A B ⊆．[7分] 所以集合n n A B 的元素个数为1．[8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0nb ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤，所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a - 是1,2,3,,1k - 的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个．[10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a - 是1,2,3,,1n - 的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上23111n n b b b b -=+++++ ，3n ≥．因为3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++= ，[12分]所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12nn b b -=．所以{}n b 成等比数列..．[13分]。

2017北京西城中考数学一模试卷含答案解析

．
x−5
答案： x ≠ 5
12.
半径为
4 cm，圆心角为
∘ 60
的扇形的面积为
答案： 8
π
3
． 2
cm
13. 分解因式：12m2 − 3 =
．
答案： 3 (2m + 1) (2m − 1)
14. 如图，△ABC 中，AB = AC ，点， D E 在 BC 边上，当加一个适当的条件即可）．
时，△ABD ≅ △AC E．（添
A．
B．
C．
D．答案： A
7. 如图，线段 AB 是 ⊙O 的直径，弦 C D ⊥ AB，如果，那么 ∠BOC = 70∘ ∠BAD 等于 (
)
A．20∘ 答案： C
B．30∘
C．35∘
D．70∘
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在反比例函数图象上，如果点 P 的纵坐标是 3， OP = 5，那么该函数的表达式为 ( )
单位长度至 A1 ，第 2 次点 A1 向右移动 6 个单位长度至 A2 ，第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单
位长度至 A3 ，⋯，按照这种移动方式进行下去，点 A4 表示的数是
，如果点 An 与原点
的距离不小于 20，那么 n 的最小值是
．
答案：； 7 13
解析： A 表示的数为：1；
A1 表示的数为：1 − 3 × 1 = ； −2
A． 12 y= x
答案： A
B． 12 y=− x
C． 15 y= x
D． 15 y=− x
解析：
过点 P 作 P Q ⊥ y轴于点 Q，则 OQ = 3．
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2017届1模-西城区高三统一测试(2017-4)试卷和答案

北京市西城区2017年4月高三理科综合第1页（共5页）西城区高三统一测试理科综合 2017.4本试卷共16页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．下列有关核糖体的叙述不正确．．．的是 A ．观察核糖体需要使用电子显微镜B ．是原核细胞和真核细胞共有的结构C ．抗体由细胞溶胶中的游离核糖体合成D ．是按照mRNA 的信息将氨基酸合成多肽链的场所2．光合作用是生物界最基本的同化作用。

下列相关叙述不正确．．．的是 A ．流经森林生态系统的总能量是该生态系统的生产者固定的太阳能B ．净光合速率为零时，蓝藻细胞产生A TP 的场所主要有线粒体和叶绿体C ．光反应产生的ATP 和NADPH 是碳反应中将CO 2合成糖类的能源物质D ．用H 218O 培养小球藻，一段时间后可在其产生的糖类和氧气中检测到18O3．右图中染色体1、2为一对同源染色体，染色体1为正常染色体。

精原细胞在减数分裂过程中发生了一次染色体片段的交换，形成了如图所示的染色体3、4。

下列相关叙述不正确．．．的是 A ．染色体2发生的变异类型是倒位B ．该精原细胞产生的配子类型有4种C ．基因位置的改变不会导致性状改变D ．上述变异可为自然选择提供原材料4．大鼠SCN 神经元白天胞内氯离子浓度高于胞外，夜晚则相反。

SCN 神经元主要受递质γ-氨基丁酸（GABA ）的调节。

GABA 与受体结合后会引起氯离子通道开放。

由以上信息可以得出的推论是A ．SCN 神经元兴奋时膜内电位由正变负B ．GABA 是通过主动运输方式由突触前膜释放的C ．夜晚GABA 使突触后膜氯离子通道开放，氯离子外流D ．白天GABA 提高SCN 神经元的兴奋性，夜晚则相反5．三刺鱼通常以浮游动物水蚤为食。

2017年北京一模理数20题汇编

2017年北京一模理数20题汇编西城一模理20．（本小题满分13分）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n ≥全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为12,,,n a a a ，第二行填入的数字依次为12,,,n b b b ．记11221||||||||nn i i n n i S a b a b a b a b ==-=-+-++-∑．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数n ．试给出12,,,n a a a 的一组取值，使得无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．海淀一模理数20（本小题满分13分）已知含有n 个元素的正整数集A={ , }( ， )具有性质P:对任意不大于S(A)(其中S(A)= )的正整数K,存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k 。

（I ）写出 , 的值；（II ）证明：“ , 成等差数列”的充要条件时“S(A)=”；（III ）若S(A)=2017，求当n 取最小值时a n 的最大值。

东城一模理（20）（本小题共13分）已知集合12{,,,},1,2,,n i A a a a a ,i n R =∈=L L ，并且2n ≥．定义1()||j i i j n T A a a ≤<≤=-∑（例如：21313213||||||||j i i j a a a a a a a a ??-=-+-+-å ）．（Ⅰ）若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，集合A 的子集N 满足：N M ¹，且()()T M T N =，求出一个符合条件的N ；（Ⅱ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合12{,,,}n A a a a =L ，求证：存在集合12{,,,}n B b b b =L ，使得()()T B T A =，且1ni i b C ==∑.（Ⅲ）已知集合122{,,,}m A a a a =L 满足：1i i a a +<，1,2,,21i m =-L ，2m ³， 12,m a a a b ==，其中,a b ÎR 为给定的常数，求()T A 的取值范围．丰台一模理数20.（本小题共13分）对于*N ∀∈n ，若数列{}n x 满足11+->n n x x ，则称这个数列为“K 数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m +1，m 2是“K 数列”，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 满足2*1(N )2<-∈n S n n n ？若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列{}n b 是否为“K 数列”，并说明理由．朝阳一模理数(20)（本小题满分13分）对于正整数集合12{,,,}n A a a a =（n *∈N ，3n ³），如果去掉其中任意一个元素i a （1,2,,i n =）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.平谷一模理数20.(本小题满分13分)对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.若存在一个正整数(21)k k n ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，例如数列:A 0,1,1,0,1,1,0. 因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”.（Ⅰ）分别判断下列数列:1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1.A 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m 的数列A 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由；（III ）假设数列A 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a =，求数列{}n a 的最后一项m a 的值. 石景山一模理数20．（本小题共13分）已知集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i R X X x x x x i n n ==∈=≥．对于12(,,,),n n A a a a R =∈ 12(,,,),n n B b b b R =∈定义A 与B 之间的距离为11221(,)n n n i i i d A B a b a b a b a b ==-+-+-=-∑．（Ⅰ）写出2R 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：3M R ⊆，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合n P R ⊆，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明()2(1)mn d P m ≤-．。

高考数学一轮总复习专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习(含解析)理-人教版高三全册数学

专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题回放1.【2017年全国一卷理数（3）】设有下面四个命题1p ：若复数满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2.【2017年卷理数第6题】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 3.【2017年某某卷理数第4题】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A4.【2017年某某数学第6题】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 +S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【考点】等差数列、充分必要性考点分析考点了解A 掌握B 灵活运用C命题的概念 A 四种命题的相互关系 B 全称命题与特称命题 B 充分条件与必要条件C高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值X 围．融会贯通题型一四种命题的关系及真假判断【典例1】【2017届某某某某市高三理一诊】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（）．A ．若a b ≤，则a c b c +≤+B ．若a c b c +≤+，则a b ≤C ．若a c b c +>+，则a b >D ．若a b >，则a c b c +≤+ 【答案】A 【解析】试题分析：“若p 则”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，所以原命题的否命题是“若b a ≤，则c b c a +≤+”，故选A.考点：四种命题【例2】有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题，其中真命题的序号是________.【答案】②③解题方法与技巧：(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(4) 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．【变式训练】【2017届某某抚州市七校高三理上学期联考】,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（） A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分【答案】C考点：原命题与它的逆否命题之间的关系．知识：一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．二．四种命题及其关系 1．四种命题命题表述形式原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若p ⌝，则q ⌝逆否命题若q ⌝，则p ⌝即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。