北师大版七年级下册数学培优压轴题

北师大版七年级下册数学培优压轴题

一．解答题（共8小题）

1．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF 时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证

明．

CD上的点，分别是边BC、EAB=AD，∠B=∠D=90°，、FABCD2．（1）如图，在四

边形中，；BAD．求证：且∠EF=BE+FDEAF=∠

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，

EAF=∠BAD，（1且∠）中的结论是否仍然成立？

1

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，EAF=∠BAD，且∠（1）中的结论是否仍然成立？若成立，

请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB 边上时，

填空：①线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC的面积为S，△AEC的面积为S，则S与S的数量关系是．2211（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中

S与S的数量关系21仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究：已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB 交BC于点E（如图4）．若S=S，请直接写出相应的BF上存在点BAF，使的长．在

射线BDE△△DCF

2

4．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP= ；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

5．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD 上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．

附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理

由．

3

6．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说

明理由．

7．已知：等边三角形ABC；（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．

4

8．认真阅读材料，然后回答问题：

1=a+b），我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b222323223，…=a +3a+b），（a+bb+3ab=（a+b）a+b（（a+b）=a）+2ab+b n 展开式的各项系数进一步研究发现，当n）取正整数时可以单独列成表中的下面

我们依次对（a+b形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

n的展开式是一个几次几项式）a+b？并预测第三项的系数；（1）多项式（n展开式的各项系数之

和． a+b）（2）请你预测一下多项式

（n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，

（结果用a+b（3）结合上述材料，推断出多项式（）含字母n的代数式表示）．

5

北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析

1、【解答】∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，

在△ABE和△CBF中，

，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，CF=BF；∵∠MBN=60°，BE=BFBE，，∴△BEF为等边三角形；∠∴∠ABE=CBF=30°，

∴ AE=BE+BF=BE=EFAE+CF=；∴

图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在△BAE

和△BCK中，

则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，

∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和

△EBF中，

∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．

图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．

2．【解答】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．