二重积分习题答案
第九章-二重积分-复习题答案
第九章 二重积分 复习题答案一、单项选择题1、设D 是由曲线x y x 422=+围成的闭区域，则()⎰⎰+Dd y x f σ22=（ C ）A.()dr rf d ⎰⎰πθ012B. ()rdr r f d ⎰⎰-22sin 402ππθθC.()rdr rfd⎰⎰-22cos 402ππθθ D.()dr r f d ⎰⎰-22cos 402ππθθ2、设f 是连续函数，D 是由0,122≥≤+y y x 确定的区域，则=+⎰⎰σd y x f D)(22（ A ）。
A 、 10()d rf r dr πθ⎰⎰ B 、2100()d rf r dr πθ⎰⎰C 、10()d f r dr πθ⎰⎰ D 、210()d f r dr πθ⎰⎰3、设22:14, D x y ≤+≤则2Ddxdy =⎰⎰（ D ） A.3π B.4π C.30π D.6π 4、设D 是由直线,2,1y x y x y ===围成的闭区域，则Ddxdy =⎰⎰（ A 、12 B 、14 C 、1 D 、325、设积分区域D 是由圆22x y Ry +=围成，则二重积分22()Df xy d σ+=⎰⎰（ D ）A 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰B 、22sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰ C 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰D 、2sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰6、若{}22(,)12D x y x y =≤+≤，则二重积分Dd σ⎰⎰＝（ C ）A.2π B. 2πC. πD. 3π二、填空题：1、变换二次积分⎰⎰⎰⎰-+=21201),(),(yy dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则=I ⎰⎰-=12),(xxdy y x f dx I ；2、改变二次积分210(,)y y dy f x y dx ⎰⎰的积分次序，则I = ⎰⎰1),(xxdy y x f dx ；3、改变二次积分210(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分次序，可得21(,)x dx f x y dy ⎰⎰=_______⎰⎰11),(ydx y x f dy ;4、若D 是由直线 1,1,1,1=-==-=y y x x 围成的矩形区域，则⎰⎰=Ddxdy 25、交换二次积分1(,)00yI dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，则I =⎰⎰11),(xdy y x f dx ___;三、计算题：1、求⎰⎰+Ddxdy y x )2(，其中D 是由曲线2x y =和0=+y x 围成的闭区域. 101|)1022()2223(|)22()2()2(:0154314320120122-=---=⋅---=⋅+=+=+------⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x dx x x x dxy xy dy y x dx dxdy y x xx Dxx解2、求σd y x D⎰⎰+22，其中D 是由圆周x y x 222=+所围成的闭区域。
经济数学(二重积分习题及答案)
第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义.解 当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+⎰⎰224(2)d x y x y*+≤⎰⎰解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+<⎰⎰(2)因为224d x y x y+≥⎰⎰222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x yx y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当221x y +≤1，且此区域面积为π，则221d x y x y π+≤≤⎰⎰当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤⎰⎰当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-⎰⎰当2234x y <+≤≤且此区域面积为π,则2243d x y x y <+≤≤⎰⎰故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=<⎰⎰.3．试用二重积分的定义证明:(1) d DDS σ=⎰⎰(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==∆∑⎰⎰则当1),(≡y x f 时,上式变为01d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==∆=∆=∆∑⎰⎰∑∑ (,)d .Dk f x y σ=⎰⎰4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.()2(1) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;()2(2) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示. 因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为22cos 12sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则32(sin cos )32sin()4x y πθθθ+=++=++图9－2min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()23d ()d .D D x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰， :01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=⎰⎰， :0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰， :01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++⎰⎰，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0102xy x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 因0,0x y ππ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0sin 10sin 1x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==⎰⎰⎰⎰（3）因0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰而 24D S r ππ== 故 36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤;22(2) ()d ,Dx y x σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;2(3) d ,Dxy σ⎰⎰其中D2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 2111sin (4) d d .y x y x x -⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－3 所示.11222211()d d ()d Dxy x x y yσ--+=+⎰⎰⎰⎰12128(2)d .33x x -=+=⎰ 图9－3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-⎰⎰⎰⎰232019313()2486y y dy =-=⎰图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 1470111()d 3340x x x =-=⎰图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.22111110110sin sin d d d d sin d sin1cos1.x y xx y x x yx x x x x +-===-⎰⎰⎰⎰⎰图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ⋅求证：()()d d ()d ()d bdacDf xg y x y f x x g y y⋅=⎰⎰⎰⎰.证 积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=⎰⎰⎰⎰()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰证 积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d b xb baaayx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=⎰⎰按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4). y=x积分区域D 如图9－9 所示. 于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得420d (,)d xxI x f x y y=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2414d (,)d .y y I y f x y x =⎰⎰(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得22d (,)d rr x rI x f x y y--=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2222d (,)d rr y r y I y f x y x---=⎰⎰图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d yy y f x y x⎰⎰10(2) d (,)d yy f x y x⎰⎰1(3) d (,)d e ln xx f x y y⎰⎰221101(4) d (,)d y y y f x y x---⎰⎰2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+⎰⎰⎰⎰解 (1)因为原积分区域{}(,)01,D x y y y x y=≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故211d (,)d d (,)d .yxyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .yoxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其 图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .xexee xf x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰（4）因为原积分区域{}22(,)01,11D x y y y x y =≤≤≤≤－－－为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2221111011d (,)d d (,)d .y x yy f x y x x f x y y -----=⎰⎰⎰⎰图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y yx f x y y x f x y yy f x y x --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解 该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+⎰⎰.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ⎰⎰1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +⎰⎰ D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成;()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=⎰⎰⎰⎰2222(4) ()d d ,D y x x y a b +⎰⎰2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=⎧⎨+=⎩，解得()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与 图9－17新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂故()()22sin d d Dx y x y x y -+⎰⎰22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=⋅=⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 图9－183431().3223ππππ=⋅-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 xy u yv x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得u x v y uv ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成.其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂2111()122222v v u u v u v v v u uvuv⋅-==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v =⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==⎰⎰ （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=⎧⎨=⎩，解得x u vy v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v∂∂-∂∂∂====∂∂∂∂∂图9－22故 10'd d 1d d d d y v v x yuuuoDD ex y e u v u e v+=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1011d 2e u e u -=-=⎰.（4）积分区域D 如图9－23所示.令 cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩则新积分区域为 (){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23因为(,)(,)x xx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y xx y r abr r a bab r r ab πθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、 (2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =⎧⎨=⎩，解得,u vx u y v u ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂31221211122u u uv v vvvu u uv-==-81515545'd d111d d d d4ln2ln3.222DDDS x yu v u v vv v====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－24(2) 令33yuxxvy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得838311xu vyuv⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂图9－25 1113988883293111888831188()81388u v u vuvu v v u-----------==--故d dDDS x y=⎰⎰()33442211342111d d d()d8811d.88Duv u v u uv vu u---====⎰⎰⎰⎰⎰’100D x y x y+===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2Dx yx yx y-=+⎰⎰证积分区域D如图9－26所示.令x y vx y u+=⎧⎨-=⎩，解得()()1212x v uy v u⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D由v = 1,v = -u, 及v = u围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂'1cos d d cos d d 2D D x y u x y u vx y v -=⋅+⎰⎰⎰⎰故 图9－27101d cos d 2vv uv uv -=⎰⎰101[sin ]d 21sin1d sin1.2v v u v v v v v =-==⎰⎰4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤⎰⎰⎰证 积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=⎧⎨-=⎩, 解得()()1212x u v y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====-∂∂∂-∂∂ 故'1()d d ()d d 2DD f x y x y f u u v +=-⎰⎰⎰⎰1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==⎰⎰⎰习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y⎰⎰化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3) 0 (4) 0101a x y b a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且 解 积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故 图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－31所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 22(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与， 图9－32而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－33所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=⎰⎰⎰⎰2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222222222001122222000(1) d ()d (2) d d (3) d ()d (4) d ()d aax x axxa a y xx x y y x x y y x x y y yx y x---++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－34所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则22y ax x =-的极坐标方程为2cos ,r a θ=而D 被夹在02πθθ==与之间, 故 图9－342222cos 22320d ()d d d .aax x a x x y y r r πθθ-+=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－35所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 则0x a x ==与的极坐标方程分别为图9－26cos a r θ=与0;r =0y x y ==与的方程分别为04πθθ==与,故sec 22240d d d d .axa x x y y r r πθθ+=⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－36所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则2y x y x ==与的极坐标方程分别为 图9－36 tan sec r θθ=4πθ=与,故211tan sec 2224000d ()d d d .xx x x y y r πθθθ-+=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－37所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则222x y a +=上方程为,r a =而D 被夹在02πθθ==与之间, 故222232000d ()d d d .aa y ay x y x r r πθ-+=⎰⎰⎰⎰ 图9－373．用极坐标计算下列各题：22(1) d ,xy De σ+⎰⎰D 由圆周224x y +=所围成；22(2) d ,Dx y σ+⎰⎰{}2222(,);D x y a x y b =≤+≤(3) arctand ,Dy x σ⎰⎰2222140D x y x y y y x +=+===由、、和所围成的第I 象限部分；222224 d , :.DR x y D x y Rx σ--+≤⎰⎰（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ {}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r Dee r r πσθ+=⎰⎰⎰⎰图9－382224012d (1)2re r e ππ==-⎰.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故 图9－39222203333d d d 22().33baDx y r rb a b a πσθππ+=-=⋅=⋅-⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),12,04D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故 图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0cos ,22D r r R ππθθθ⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭则, 故 图9－41 ()cos 22222202cos 2220322220 d d d 2d d cos 2 d 03R DR R x y R r r rR r r rR R r πθππθπσθθθθ---=-⋅=-⋅⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-⎰.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>⎰⎰，由、、、所围成;222(2) d d :,00;Dy x y D x y a x y +=≥≥⎰⎰，、(3) d d 212;Dxy x y D y x y x xy xy ====⎰⎰，由、、与围成()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===⎰⎰，解 (1) 令,y x uy v -=⎧⎨=⎩得变换式x v u y v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为 11(,)101(,)x y J u v -∂===-∂()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ⎡⎤+=-+⋅-⎣⎦=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==⎰⎰⎰⎰图9－43（3）令y u xxy v ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 得变换式v x u y vu ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所 围成.D’如图9－44所示.因为()11122(,)1,21122v x y u u vu J u v uv u uv-∂===-∂- 图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）令x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得变换式11u x vuv y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所 围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++∂===∂+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=⋅⋅++⎰⎰⎰⎰故 ()322233111525d d d .72961u u v u u v ===+⎰⎰⎰5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ϕθϕθαθβ≤≤≤≤解 积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βϕθαϕθθ==⎰⎰⎰⎰图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥⎰⎰⎰⎰解 （1）积分区域D 如图9－46所示.220 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxex +∞+∞--+∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰(2)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故()2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=⋅⎡⎤+∞=-⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故 图9－48212100224d d 124d d d 33()Dx yr r rx y ππθθπ=⋅==+⎰⎰⎰⎰⎰.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++⎰⎰解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=⎰⎰()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=⎰⎰由普阿松积分 ()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I e x I I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则由普阿松积分可得 由奇函数的性质可得 ()22222222221222224220d d d d d d cos ,sin d sin cos d x x x y x yr I x e x x e xx e x y e y x y ex yx r y r r e r rπθθθθθ+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞-======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而 2225002201d sin 2d 411 sin 2d 44r e r r ππθθθθπ+∞-==⎰⎰⎰1I ==即()221d 0x x x e x +∞--∞++++⎰综合习题九1.选择填空：(1) 设Ｄ由x 轴、ln y x x e ==、围成，则(,)d d ( ).D f x y x y =⎰⎰① ln 1d (,)d exx f x y y⎰⎰②ln 0d (,)d ex x f x y y⎰⎰③1d (,)d ye yf x y x⎰⎰④10d (,)d yee yf x y x⎰⎰(2) 当( )a =时，有221d .xy x y π+≤=⎰⎰① 1 ②③④(3) 下列不等式中，（ ）是正确的.①||1||1(1)d 0x y x σ<<->⎰⎰ ②22221()d 0x y x y σ+≤-->⎰⎰③ ||1||1(1)d 0x y y σ≤≤->⎰⎰④ ||1||1(1)d 0x y x σ≤≤+>⎰⎰(4) 设3123d d d 444DD Dx y x y x yI I I σσσ+++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，,22:(1)(1)1,D x y -+-≤ 则有（ ）.① 123I I I << ② 231I I I <<③ 312I I I << ④ 321I I I << 解 (1) ① ④； (2) ②； (3) ④； (4) ①. 2．计算下列二重积分：.25512100d (1) d (2) d dln y xyxy x ey y x-⎰⎰⎰⎰2222(3) d , :,12D xy D y x x y x y σ≥≤+≤+⎰⎰2222(4) 1()()d d , :()()1Dy y x xx y D a b a b -++≤⎰⎰22222(5) ln()d , :1Dx y D x y σε+≤+≤⎰⎰，并求此二重积分当0ε→时之极限.解 积分区域D 如图9－49所示.交换积分次序，得55511151d d d ln ln d 4.x y yx y dx y x y xx ===⎰⎰⎰⎰⎰故(2) 积分区域D 如图9－50所示. 图9－49 交换积分次序，得2221112200d d d d y y xyx eyy ex--=⎰⎰⎰⎰21220(1)d y ey y-=-⎰22112220d y y edy y ey--=-⎰⎰22222112211122220d d()1d d .0y y y y y ey y eeyyee y e ------=+=+-=⎰⎰⎰⎰图9－50(3) 积分区域D 如图9－51所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 ()5,12,44D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故 图9－51522422214544cos sin d d d d 3sin 2d 0.xyr x y r rx y rππππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰D(4)积分区域D 如图9－52所示. 图9－52cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令{},01,02D r r θθπ≤≤≤≤则＝（）（如图9－53）因为(,)(,)x xx y r J y yr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 图9－53 cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==212222220021201()()d d d 1cos sin d 2d 1cos 2d .3Dy xx y r r abr ra b ab r r r ab ππθθθθθπ-+=-+=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(5) 积分区域D 如图9－54所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},1,02D r r θεθπ=≤≤≤≤则，故2122202220222 ln()d d ln d 1 (ln )d 2(ln 1)Dx y r r rπεπσθεεεθπεεε+=⋅-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－5422ln()d ,DI x y σ=+⎰⎰令则2220220lim lim (ln 1)ln lim 2lim.I εεεεπεεεεπεπππε→→-→→=--=--=-3.改变下列积分次序：2222sin 120sin211221(1) d (,)d (2) d (,)d(3) d (,)d (4) d (,)d d (,)d yx x xx x e y y x f x y y x f x y y y f x y x y f x y x y f x y xπ----+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)因为积分区域{}2(,)12,22D x y x x y x x =≤≤-≤≤-为X 型区域, 其图形如图9－55 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故22221111202d (,)d d (,)d .x x y x yx f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰(2)因为积分区域(,)0,sin sin 2x D x y x y x π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭为X 型区域, 其图形如图9－56 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故sin 0sin21arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d d (,)d .xx yyyx f x y yy f x y x y f x y x πππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－55 图9－56(3)因为积分区域{}(,)01,0yD x y y x e =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－57 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故11111ln d (,)d d (,)d d (,)d .ye exy f x y x x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)因为积分区域{}121,(,)21,02D D D D x y y x y =+=-≤≤-≤≤+{}22(,)10,0D x y y x y =-≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－58所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2121212d (,)d d (,)d d (,)d .y y xx y f x y x y f x y x x f x y y -+----+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－57 图9－58 4.计算下列二重积分：24212(1) d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰112111224(2) d d d d y y yyxxyy e x y e x+⎰⎰⎰⎰22222(3) d d ,Dxy x y D x y a x y+≤+⎰⎰是由曲线位于第一象限的部分；22(4) d d ,(1cos )D x y x y D r a θ+=-⎰⎰由曲线所组成；22(5) d d :()() 1.Dy xy x y D a b +≤⎰⎰，()0,0(6) (,)d d (,).0x y D ex y f x y x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰且其它解 （1）积分区域D 如图9－59所示.24212d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰2222222221222221222113d sind d sind d sind 222d sind d sind 222d sind (cos)d 224(2).y y yyy y y yy yxxxy x y x y xyyyxxy x y xyyxyy x y yyππππππππππ=++=+==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分区域D 如图9－60所示.22112111224212122212112222d d d d d d d d d d yyyyx x yy y y x x x x x x x y e xy e x x e y x e y x e y+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222122122112d d d d d d .82y y xxx x x x yxxx x e yx e ye e x e y =+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－59 图9－60（3）积分区域D 如图9－61所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故 222222220cos sin d d d d 1 sin 2d .24aDxy r x y r rx yra a ππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－61(4) 积分区域D 如图9－62所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},0(1cos ),02D r r a θθθπ=≤≤-≤≤则，故2(1cos )22023330d d d d 15 (1cos )d .33a Dx y x y r r ra a πθπθπθθ-+=⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰图9－62（5）积分区域D 如图9－63所示. cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令因为 (,)(,)xxx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-== 图9－63(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故222222221(0)1(0)d d d d ()d d Dx y x y y y a b a b y x y y x y y x y+=≥+≤<=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰112d sin d d (sin )d 4.3br abr r br abr rab ππθθθθπ-=⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰()00020(6) (,)d d d d d d (d ) 1.x y Dx y xf x y x y x e y e x e y e x +∞+∞-++∞+∞--+∞-==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.设(,)f x y 在xoy 平面上连续且(0,0),f a =求22221lim (,)d d .t x y t I f x y x y tπ+→+≤=⎰⎰解222222(,)(,)lim lim x y t t t f x y dxdyf t I tt ξηπππ+++≤→→==⎰⎰222((,)x y t ξη+≤其中为圆域的内点)0(,)(0,0)t ξη→→当圆域半径时，必有，故 (,)0,0)lim (,)(0,0).f f a ξηξη→==（6.设()[0,]f x a 在上连续，求证：202[()d ()d ][()d ].aaaxf x x f y y f x x =⎰⎰⎰证 令21200()d ()d [()d ]a a ax I f x x f y y I f x x ==⎰⎰⎰，I 1的积分区域D 1与交换积分次序后的积分区域D 2如图9－64所示.而102()d ()d ()d ()d aaaaxxI f x x f y y f x x f y y=+⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d aaaaxyf x x f y y f y y f x x=+⎰⎰⎰⎰12()()d d ()()d d D D f x f y x y f x f y x y=+⎰⎰⎰⎰12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰则20()d ()d a a I f x x f x x=⎰⎰()d ()d d ()()d aaaaf x x f y y x f x f y y==⎰⎰⎰⎰ 图9－64 12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰.7.已知()[,]f x a b 在上连续，求证：当0n >时，有11d ()()d ()()d .1byb n n aaa y y x f x xb x f x x n +-=-+⎰⎰⎰证 因为积分区域{}(,),D x y a y b a x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－65所示.交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故d ()()d d ()()d bybbnn aaaxy y x f x x x y x f x y-=-⎰⎰⎰⎰111()[()]d 1()[()]d 11()()d .1n ba n ba b n a b y x f x x x n b x f x x n b x f x x n +++-=+-=+=-+⎰⎰⎰8.设()[,]f x a b 在上连续，求证： 图9－6522[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰证 ,()()[,],k R f x g x a b ∀∈若与在上连续则必有2[()()]0f x kg x -≥从而2[()()]d 0baf x kg x x k -≥∆≤⎰关于的0.222()()]4()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ∆-≤⎰⎰⎰即=[0故222[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰在上式中令()1,g x ≡则22[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰.9．求证：221(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰其中{}(,)0101.D x y x y =≤≤≤≤，解 积分区域D 如图9－66所示.考虑 22(,)sin cos f x y x y =+在D 内的最值，为此解方程组222cos 2sin x y f x x f y y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩ 图9－66得驻点(0,0)(0,0) 1.f =且而在该区域内y x =上，有222(,)sin cos 2sin()4f x y x y x π=+=+因23301,1444244x x ππππππ≤≤≤+≤+<+=则 由正弦函数的性质知min 0,0,1;x y f ===当时 max ,, 2.22x y f ππ===当时则 1(,)2f x y ≤≤故22(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰110．已知()[0,1]f x 在上连续，求证：11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰证 令()(),f x F x e =则()[0,1]()0.F x F x >在上连续，且 由综合习题六的第9题知2d ()d ()()b b a a x F x x b a F x ≥-⎰⎰即11()2()00d d (10)1f x f x x e x e ⋅≥-=⎰⎰故11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰11．求球体22224x y z a ++≤与圆柱体222x y ax +≤的公共部分的体积. 解 由题意所求立体的图形如图9－67所示.上半球面的方程为 2224z a x y =-- 由对称性，得12221 444d d cos ,sin , d d = d d D V V a x y x yx r y r x y r r θθθ==--==⎰⎰令 图9－671(,)0,02cos 2D r r a πθθθ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭则 ,其图形如图9－68所示.11222122 4d d 4d d D D V a x y x ya r r r θ=--=-⋅⎰⎰⎰⎰2cos 2220d 4d a a r r rπθθ=-⋅⎰⎰图9－682cos 2222203222233201 d 4d(4)22cos 1 [(4)]d 031(2)(sin 1)d 3a a r a r a a r a πθππθθθθθ=---=--=--⎰⎰⎰⎰3220233031(2)[(1cos )d cos ]3281[(cos cos )]33282().323a x a a πππθθπθθπ=----=--+-=-⎰312432().69V V a π==-所以。
二重积分习题答案
二重积分习题答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.第八章二重积分习题答案练习题1.设D：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y=200d πθ⎰⎰=222001()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题1.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。
解：σd y x D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习 题 八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。
数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 2直角坐标系下二重积分的计算定理21.8：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个x ∈[a,b], 积分⎰dc dy y x f ),(存在，则累次积分⎰⎰dc ba dy y x f dx ),(也存在，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dc b ady y x f dx ),(.证：令F(x)=⎰dc dy y x f ),(, 分别对区间[a,b]与[c,d]作分割： a=x 0<x 1<…<x r =b, c=y 0<y 1<…<y s =d, 按这些分点作两组直线x=x i (i=1,2,…,r-1), y=y j (j=1,2,…,s-1), 它们把矩形D 分为rs 个小矩形, 记△ij 为小矩形[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ] (i=1,2,…,r; j=1,2,…,s)； 设f(x,y)在△ij 上的上确界和下确界分别为M ij 和m ij .在区间[x i-1,x i ] 中任取一点ξi , 于是有m ij △y j ≤⎰-jj y y i dy y f 1),(ξ≤M ij △y j ,其中△y j =y j -y j-1. ∴j sj ij y m ∆∑=1≤F(ξi )=⎰dc i dy y f ),(ξ≤j sj ij y M ∆∑=1,∑∑==∆∆r i i j sj ijx y m11≤∑=∆r i i i x F 1)(ξ≤∑∑==∆∆r i i j sj ij x y M 11, 其中△x i =x i -x i-1.记△ij 的对角线长度为d ij 及T =ji ,max d ij , 由于二重积分存在，由定理21.4，当T →0时，∑∆∆ki i j ij x y m ,和∑∆∆ki i j ij x y M ,有相同的极限，且极限值等于⎰⎰Dd y x f σ),(，∴∑=→∆ri i i T x F 1)(lim ξ=⎰⎰Dd y x f σ),(. 又当T →0时，必有i ri x ∆≤≤1max →0, 由定积分定义得∑=→∆ri i i T x F 1)(limξ=⎰b adx x F )(=⎰⎰d cb ady y x f dx ),(，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dcb a dy y x f dx ),(.定理21.9：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个y ∈[c,d],积分⎰badxyxf),(存在，则累次积分⎰⎰b adcdxyxfdy),(也存在，且⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.注：特别地，当f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上连续时，有⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰d cbadyyxfdx),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.例1：计算⎰⎰Ddxdyxyy)sin(, 其中D=[0,π]×[0,1].解：⎰⎰Ddxdyxyy)sin(=⎰⎰π01)sin(dxxyydy=⎰-1)]cos(1[dyyπ=1.注：对一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行.称平面点集D={(x,y)|y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}为x型区域(如图1)称平面点集D={(x,y)|x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d}为y型区域(如图2)如图3，区域D可分解成三个区域，I, III为x型区域，II为y型区域.定理21.10：若f(x,y)在x型区域D上连续，y1(x), y2(x)在[a,b]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分.证：∵y 1(x), y 2(x)在[a,b]上连续，∴存在R=[a,b]×[c,d]⊃D(如上图1)， 记定义在R 上的函数F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),(, 则F 在R 上可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰Rd y x F σ),(=⎰⎰dcbadyy x F dx ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x F dx =⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .注：同理可证f(x,y)在y 型区域D 上连续，x 1(y), x 2(y)在[c,d]上连续， 则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(y x y x dc dx y x f dy .例2：设D 是直线x=0,y=1及y=x 围成的区域(如图)， 试计算：I=⎰⎰-Dy d e x σ22的值.解：∵D={(x,y)|0≤x ≤y,0≤y ≤1}， ∴I=⎰⎰-Dy d ex σ22=⎰⎰-yy dx e x dy 02102=⎰-103231dy e y y =e3161-.注：若取D={(x,y)|x ≤y ≤1,0≤x ≤1}，则I=⎰⎰-12102x y dy e x dx =⎰⎰-11022x y dy e dx x ，∵2y e -的原函数无法用初等函数形式表示，∴无法直接求积.例3：计算二重积分⎰⎰Dd σ, 其中D 为由直线y=2x, x=2y 及x+y=3所围的三角形区域(如图).解：(如图)D 1={(x,y)|2x ≤y ≤2x,0≤x ≤1}， D 2={(x,y)|2x ≤y ≤3-x,1≤x ≤2}， ∴⎰⎰1D d σ=⎰⎰xx dy dx 2210=⎰1023xdx =43; ⎰⎰2D d σ=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21233xdx =493-. ⎰⎰Dd σ=⎰⎰1D d σ+⎰⎰2D d σ=23.例4：求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解：设圆柱底面半径为a, 两个圆柱底面方程为 x 2+y 2=a 2与x 2+z 2=a 2.第一封限部分的立体是曲顶柱体， 以z=22x a -为曲顶，以四分之一圆域D={(x,y)|0≤y ≤22x a -,0≤x ≤a}为底. ∴V=8⎰⎰-Dd x a σ22=8⎰⎰--220220x a ady x a dx =8⎰-adx x a 022=3316a .习题1、设f(x,y)在区域D 上连续，试将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为不同顺序的累次积分：(1)D 是由不等式y ≤x, y ≥a,x ≤b(0<a<b)所确定的区域； (2)D 是由不等式x 2+y 2≤1, x+y ≥1所确定的区域； (3)D 是由不等式y ≤x, y ≥0,x 2+y 2≤1所确定的区域；(4)D={(x,y)||x|+|y|≤1}.解：如图，(1)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰xa ba dy y x f dx ),(=⎰⎰by b a dx y x f dy ),(.(2)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx =⎰⎰--2111),(y ydx y x f dy .(3)⎰⎰D d y x f σ),(=⎰⎰xdy y x f dx 0220),(+⎰⎰-210122),(x dy y x f dx =⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy .(4)⎰⎰Dd y x f σ),(=4⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=4⎰⎰-ydx y x f dy 1010),(.2、在下列积分中改变累次积分的顺序： (1)⎰⎰x x dy y x f dx 220),(；(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx ；(3)⎰⎰-axx ax ady y x f dx 22202),(；(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx.解：如图，(1)⎰⎰xx dy y x f dx 220),(=⎰⎰y y dx y x f dy 220),(+⎰⎰2242),(y dx y x f dy .(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx =⎰⎰----221101),(y y dx y x f dy +⎰⎰---yydx y x f dy 1110),(.(3)⎰⎰-axx ax a dyy x f dx 22202),(=⎰⎰--22220),(y a a ayadx y x f dy +⎰⎰-+ay a a adx y x f dy 2022),(+⎰⎰aay a adx y x f dy 2222),(.(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx =⎰⎰-y ydx y x f dy 2310),(.3、计算下列二重积分：(1)⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由抛物线y 2=2px 与直线x=2p(p>0)所围成的区域；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x ≤y ≤x 2}；(3)⎰⎰-Dxa d 2σ(a>0)，其中D 为图中阴影部分；(4)⎰⎰Dd x σ，其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x}.(5)⎰⎰Dd xy σ||，其中D=为圆域x 2+y 2≤a 2.解：(1)方法一：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-pxpx p dy y xdx 22220=⎰2025324pdx x p p =215p .方法二：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-2222p py pp xdx dy y =⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p p dy p y p y 242281=215p . (2)⎰⎰+Dd y x σ)(22=⎰⎰+xxdy y x dx 22210)(=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10232537dx x x =105128. (3)⎰⎰-Dxa d 2σ=⎰⎰----22)(002a x a a axa dy dx =⎰----ax a a x a a 0222)(=233822a ⎪⎭⎫⎝⎛-.(4)⎰⎰Dd x σ=⎰⎰---2210x x x x dy x dx =2⎰-11dx x x =158.(5)方法一：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰adr r d 032cos sin 4θθθπ=⎰204cos sin πθθθd a=24a .方法二：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰-22004x a aydy xdx =⎰-adx x a 0222)(=24a.4、求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积. 解：如图，V=⎰⎰--Dd y x σ)4(=⎰⎰--2020)4(dx y x dy +⎰⎰---ydx y x dy 4032)4(=⎰-20)26(dy y +⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---32222)4(816dy y y y=12-4+16-20-67+319=-591.5、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f ≤(b-a)⎰b a dx x f )(2， 其中等号仅在f(x)为常量函数时成立.证：2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f =⎰⎰⋅b a b a dy y f dx x f )()(=⎰⎰D dxdy y f x f )()(≤⎰⎰+Ddxdy y f x f )]()([2122=⎰⎰⋅b a b a dx x f dy )(2=(b-a)⎰b a dx x f )(2.其中D={(x,y)|a ≤x ≤b, a ≤y ≤b}.若等号成立，则对任何(x,y)∈D ，有f 2(x)+f 2(y)=2f(x)f(y)，即 [f(x)-f(y)]2=0，∴f(x)=f(y)，即f(x)为常数函数.6、设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为l x 和l y ，D 的面积为S D ，(α,β)为D 内任一点，证明：(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤l x l y S D ; (2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.证：设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a,b]和[c,d]，则 l x =b-a, l y =d-c ，且|x-α|≤l x , |y-β|≤l y.(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰--D d y x σβα||||≤l x l y ⎰⎰Dd σ≤l x l y S D .(2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰-⋅-dc ba dy y dx x ||||βα.令x l a x -=t (0≤t ≤1), 记ρ=xl l(α-a) (0≤ρ≤1). |x-α|=|x-a+a-α|=|l x t-l x ρ|=l x |t-ρ|.⎰-b adx x ||α=l x ⎰-badx t ||ρ=l x2⎰-1||dtt ρ=l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎰⎰ρρρρ1)()(dt t dt t= l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)1(21ρρ.∵0≤ρ≤1, ∴ρ(1-ρ)≥0，∴⎰-ba dx x ||α≤21l x 2. 同理可证，⎰-dc dy y ||β≤21l y 2. ∴⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.7、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧+中非有理点为当中有理点为当D y x ，D y x ，q q yx ),(0),(11， 其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母.证明：f(x,y)在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.证：∀ε>0, 只有有限个点使f(x,y)>2ε, ∴存在分割T ，使得S(T)-s(T)<ε, ∴二重积分存在且等于0.当y 取无理数时，f(x,y)≡0，∴⎰10),(dx y x f =0; 而当y 取有理数时，在x 为无理数处f(x,y)=0, 在x 为有理数处f(x,y)=y x q q 11+, 故函数f 在任何区间上振幅总大于yq 1, 即函数f(x,y)在x ∈[0,1]上关于x 的积分不存在.∴不存在先x 后y 的累次积分. 同理可证先y 后x 的累次积分不存在.8、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎩⎨⎧=中其他点时为当时且中有理点为当D y x ，q q ，D y x ，y x ),(0),(1，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明：f(x,y)在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.证：在正方形的任何部分内， f 的振幅等于1，∴二重积分不存在. 对固定的y ，若y 为无理数，则f 恒为0，若y 为有理数，则 函数仅有有限个异于0的值，因此⎰10),(dx y x f =0, ∴累次积分存在且⎰⎰110),(dx y x f dy =0，同理可证累次积分⎰⎰110),(dy y x f dx =0.。
高等数学第八章二重积分试题及答案
第八章 多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分 记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。
如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。
2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质 （1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。
高数二重积分习题解答
第9章 重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体解答：(1) 222d ,{(,)|}DV x y D x y x y R ==+≤；(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}DV x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)，其中D 为222x y a +≤； (2) ，其中D 为222,0x y a b a +≤>>解答：(1)32π3Da σ=；(2)232(ππ3Db a b a σ=-⎰⎰所属章节：第九章第一节难度：一级3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ．解答：所属章节：第九章第一节 难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：所属章节：第九章第一节 难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1)与，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2)与222ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(3)与，其中D 是任一平面有界闭区域；(4)与，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2；(2)在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3)由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1<I 2；(4)在区域D 内部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4)DI D x y x y x y σ==≤≤≤≤++⎰⎰；(2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ⎧⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(3) 221d ,{(,)|||||1}100cos cos DI D x y x y x y σ==+≤++⎰⎰； (4) 22221e d ,(,)4xy DI D x y x y σ+⎧⎫==+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰解答：(1)由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln 4x y ≤≤++，而等号不恒成立，故；(2)由于22π3π(,)44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭的面积为212π，在其中，而等号不恒成立，故；(3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111102100100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为(4)由于221(,)4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭的面积为14π，在其中12241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，故．所属章节：第九章第一节 难度：二级7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：22221lim (,)d πr x y r f x y r σ+→+≤⎰⎰解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得222220011lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r rσξησξηππ+++→→→+≤=⋅==⎰⎰． 所属章节：第九章第一节难度：二级8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明： (1) 若f (x ，y )不恒为零，则； (2) 若，则f (x ，y )≡0解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ⊂，在其上恒有(,)0f x y >，于是，而，所以11(,)d (,)d (,)d 0DD D D f x y f x y f x y σσσ-=+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知，矛盾，故f (x ，y )≡0．所属章节：第九章第一节 难度：二级9．计算下列二重积分： (1) πsin d ,(,)12,02Dx y D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (2) {}22(e )d ,(,)11,01x y Dxy D x y x y σ++=-≤≤≤≤⎰⎰； (3) {}2e d ,(,)01,01xyDxy D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰；(4) 22πsin()d ,(,)0,022Dx y xy D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (5){}2222d ,(,)2,2Dx D x y x y x y x σ=+≥+≤⎰⎰解答：(1)222113sin d sin 2Dx y dx x ydy xdx πσ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2)22111112222221111(1)(e)d ()(1)22x yx yx yxD e xydx xy edy dx edy e e dx eσ+++----+=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)2211101d )(1)122xy xyx Dexye dx xye dy e dx σ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰； (4)22222222001sin()d sin()(cos 4)216D xy xy dx x y xy dy x x x dx πππσ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5)11112Dxd dy πσ--===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分化为两种次序不同的二次积分： (1) D 由曲线y =ln x ，直线x =2及x 轴所围成； (2) D 由抛物线y =x 2与直线2x +y =3所围成； (3) D 由y =0及y =sin x (0≤x ≤π)所围成； (4) D 由曲线y =x 3，y =x 所围成；(5) D 由直线y =0，y =1，y =x ，y =x –2所围成 解答：本题图略，建议画出 (1)2ln ln 22100(,)(,)y xe dxf x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰；(2)231321931(,)(,)(,)y xxdx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰⎰；(3)sin 1arcsin 000arcsin (,)(,)xyydx f x y dy dy f x y dx ππ-=⎰⎰⎰⎰；(4)3301111(,)(,)(,)(,)x xyxxydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线y =x 3，y =x 所围成”改为“D 由曲线3,1,1y x y x ===-所围成”，则答案为原参考答案3111111d (,)d d (,)d xx f x y y y f x y x ---=⎰⎰⎰；(5)1213112122d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x y x yx f x y y x f x y y x f x y y y f x y x +-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：一级11．计算下列二重积分：(1)，D 由曲线x =2，y =x ，xy =1所围成；(2)，D 由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域； (3)，D由抛物线y =y =x 2围成； (4)，D 由抛物线y 2=x 与直线y =x –2所围成； (5) ，D 由直线y =x ，y =2和曲线x =y 3所围成解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(2)0003cos()cos()(sin 2sin )2xDx x y dxdy dx x x y dy x x x x dx ππ+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(3)2711440026()355xD dx x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰；(4)22222411145(44)28y yDxydxdy dy xydx y y y y dx +--==++-=⎰⎰⎰⎰⎰； (5) 3222113cos1sin1sin 4sin()sin()(cos1cos )2y y Dx x d dy dx y y y dy y y σ+-==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f (x ，y )在积分区域上连续)： (1) ； (2) 2122001d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；(3)2122d (,)d yyy f x y x --⎰⎰；(4)； (5)(6)1320d (,)d y y f x y x -⎰解答：本题图略，建议画出 (1)21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰；(2)120(,)y dy f x y dx -⎰；(3) 1 4 2 0 1(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰；(4) 11 1 20 01 1 0(,)(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ++⎰⎰⎰⎰⎰；(5)0111000(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +-+⎰⎰⎰；(6)2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级13．计算下列二次积分：(1) 110d yy x ⎰⎰；(2)23211d e d y x x y --⎰⎰；(3) ； (4) 2220d 2sin()d xx y xy y ⎰⎰；(5)π12arcsin d cos yy x ⎰⎰；(6)24212ππd d d d 22xx xx y x y y y+⎰⎰解答：(1) 31/111116x ydy dx x ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2)2223221241101(1)2y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e +-----===-⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 22220000sin sin sin 1x y xx dy dx dx dy xdx x xππππ===⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 222222202sin()2sin()[22cos()]4sin 4yxdx y xy dy dy y xy dx y y y dy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(5)1sin 2220arcsin 0cos cos sin cos xydy dx x πππ==⎰⎰⎰⎰⎰3222011(1cos )1)33x π=-+=； (6)22422231211284sincos2222xy yxxxdx dy dx dy dy dx y ydy yyyπππππππ++==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性，计算下列二重积分：(1) 222||d ,:Dxy D x y R σ+≤⎰⎰； (2) 2322(tan 4)d d ,:4Dx x y x y D x y +++≤⎰⎰； (3) 2222(1)arcsin d ,:()Dyx x D x R y R Rσ++-+≤⎰⎰； (4)(||||)d d ,:||||1Dx y x y D x y ++≤⎰⎰解答：(1) 设2221:,0,0D x y R x y +≤≥≥，则14320||4||4sin cos 2RDD R xy d xy d d r dr πσσθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2)23(tan 4)416DDx x y dxdy dxdy π++==⎰⎰⎰⎰； (3) 由于积分区域关于x 对称，被积函数是关于y 的奇函数，故2(1)arcsind 0Dyx x Rσ++=⎰⎰； (4) 设1:1,0,0D x y x y +≤≥≥，则11104(||||)2||883xDDD x y dxdy x dxdy xdxdy dx xdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级15．利用极坐标化二重积分为二次积分，其中积分区域D 为： (1) 22:,(0)D x y ax a +≤>； (2) 22:14D x y ≤+≤； (3) :01,01D x y x ≤≤≤≤-； (4) 22:2()D x y x y +≤+ (5) 22:24D x x y ≤+≤ 解答：(1)πcos 2π02d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ-⎰⎰；(2)2π21d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰；(3) π12cos sin 0d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+⎰⎰；(4)3π2(cos sin )4π04d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-⎰⎰；(5)π3π2222ππ2cos 022d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θθθθθθθ-+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分：(1) 22d ,:Dx y D x y Rx +≤；(2) 22222222()d d ,:()()Dx y x y D x y a x y ++≤-⎰⎰； (3) 22arctan d d ,:14,0,Dy x y D x y y y x x ≤+≤≥≤⎰⎰； (4)2222d d ,:2,2Dx x y D x y x y x +≥+≤⎰⎰；(5)arctan22,:14,yxDD x y x y σ≤+≤≤≤(6) ，D ：第一象限中由圆22222,4x y y x y y +=+=及直线,x y =所围成． 解答：(1)cos 33322022114d (1sin )()333R Dx y d R d R ππθππθθθπ--==-=-⎰⎰⎰；(2)223424440()4cos 28Dx y dxdy d dr ad a πππθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 224013arctan d d 64Dy x y d rdr x ππθθ==⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 2444448cos (cos cos )332Dxdxdy d r dr d ππθπππθθθθθ--==-=⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第9大题第（5）小题相同．(5)arctan 233414yx Dd e dr e e πππθπσθ==-⎰⎰；(6)4sin 2234332sin 6615()d d 60sin (28Dx y x y d r dr d ππθππθθθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级17．设r ，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) πcos 2π02d (,)d (0)a f r r a θθθ->⎰⎰；(2) π20d (,)d (0)f r r a θθ>⎰⎰；(3) 0d (,)d (02π)af r r a θθθ<<⎰⎰；(4)π4cos 0d (,)d (0)a f r r a θθθ>⎰⎰；解答：(1) ； (2) ； (3) 0d (,)d aarr f r θθ⎰⎰；(4)ππ44arccosd (,)d d (,)d aa rr f r r f r θθθθ+⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：一级18．计算下列二次积分： (1) ；(2)d d yyy x x； (3) ；(4)1223/201d )d x x x y y --+⎰．解答：(1)22211221(1)24x y r e e dx dy d e rdr d πππθθ+--===⎰⎰⎰⎰；(2)21242000011264yy dy dx d rdr d x ππθθθθπ===⎰⎰⎰；(3)22cos 232200816cos 39dx d r dr d ππθθθθ===⎰⎰⎰⎰；(4)11223/22221010sin cos )(sin cos 1)22xdx x y dy d r dr d ππθθπθθθθ---++==+-=-⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级19．计算下列二重积分： (1) 22max(,)e d d ,:{(,)|01,01}x y Dx y D x y x y ≤≤≤≤⎰⎰；(2) 2222|4|d d ,:{(,)|9}Dx y x y D x y x y +-+≤⎰⎰； (3) ππ|cos()|d d ,:{(,)|0,0}22Dx y x y D x y x y +≤≤≤≤⎰⎰；(4)d ,:{(,)|11,02}Dx y D x y x y -≤≤≤≤．解答：(1)222211max(,)1xyxy x y De dxdy dx e dy dy e dx e =+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)22232222221|4|(4)(4)2Dx y dxdy d r rdr d r rdr ππθθπ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)222202|cos()|cos()cos()2xxDx y dxdy dx x y dy dx x y dy ππππππ--+=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)2211152223x xDdx dx π=+=+⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第二节 难度：三级20．选择适当坐标计算下列各题：(1) ，其中D 是由双曲线xy =1与直线y =x ，x =2围成； (2) ，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥；(3) ，其中D 是直线y =x ，y =x +a ，y =a ，y =3a (a >0)围成； (4) ，其中2222{(,)|0,1,2}D x y y x y x y x =≥+≥+≤．解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第11大题第（1）小题重复．(2)222000(2)28DDx d d y ππππσσθ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(3)3222220()()14a xx aDxy dxdy dy x y dx a ++=+=⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 353301019sin cos (4cos sin sin cos )416Dxydxdy d r dr d ππθθθθθθθθθ==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级21．用适当的变量变换，计算下列二重积分：(1) ，中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分；(2) ，D 是由双曲线xy =1，xy =2与直线x =y ，x =4y 所围成的在第一象限内的闭区域； (3) ，D 是椭圆形闭区域； (4) ，D 是闭区域|x |+|y |≤1； (5)32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰，其中D 是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行四边形；参考答案：(1) (提示：作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==)；(2) (提示：作变换)；(3) (提示：作变换cos ,sin x ar y br θθ==)； (4) 1e e --(提示：作变换,x y u x y v +=-=)； (5) 78π5(提示：作变换,x y u x y v +=-=)解答：(1) 作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==，则，12222001sin(94)d d sin (1cos1)624Dx y x y d r rdr ππθ+=⋅=-⎰⎰⎰⎰； (2) 作变换，则，2122211417d d ln 223Dx y x y du u dv v ==⎰⎰⎰⎰； (3) 作变换cos ,sin x ar y br θθ==，则J abr =，2221322001()d d 2Dx y x y d abr dr ab a b πθπ+==⎰⎰⎰⎰； (4) 作变换,x y u x y v +=-=，则，111111e d d 2x y uDx y du e dv e e +---==-⎰⎰⎰⎰； (5) 作变换,x y u x y v +=-=，则52323251()cos ()d d cos 392Dx y x y x y du u v dv πππππ+-=⋅=⎰⎰⎰⎰． （原参考答案有误？）所属章节：第九章第二节 难度：三级22．利用二重积分求下列平面区域的面积： (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及x =1围成； (2)D 由曲线y =x +1，y 2= –x –1围成； (3)D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1{(cos ,sin )|1cos }2D r r r θθθ=≤≤+； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；(7)D 由曲线y =x 3，y =4x 3，x =y 3，x =4y 3所围成的第一象限部分参考答案：(1)1e e 2-+-；(2)16；(3)4；(4)；(5)；(6)；(7)18解答：(1)1110()2xx e x x eDA dxdy dx dy e e dx e e ---===-=+-⎰⎰⎰⎰⎰；(2)20121111()6y y DA dxdy dy dx y y dx -----===--=⎰⎰⎰⎰⎰； (3)双纽线22222()4()x y x y +=-用极坐标表示24cos2r θ=，44048cos24DA dxdy d d ππθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(4)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5)221cos 331252(4cos cos2)2DA dxdy d rdr d ππθθθθθ+===++=⎰⎰⎰⎰⎰；(6)曲线2223()2(0)x y ax a +=>用极坐标表示32cos r a θ=，32cos 2622024cos a DA dxdy d rdr ad ππθθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(7)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰18？所属章节：第九章第二节 难度：二级23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：(1)Ω为第一象限中由圆柱面y 2+z 2=4与平面x =2y ，x =0，z =0所围成；（注：象限应为卦限？） (2)Ω由平面y =0，z =0，y =x 及6x +2y +3z =6围成；(3)22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤+； (4)222{(,,)|1,11x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤； 参考答案：(1)163；(2)14；(3)7π6；(4)8π3解答：(1)2221623DV dy ====⎰⎰⎰； (2)21(22)34DV x y dxdy =--=⎰⎰；(3)2122207[(1()](1)6DV x y dxdy d r rdr ππθ=-+==⎰⎰⎰⎰；(4)220822423xyD V d rdr πππθπ=⋅-=-=⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级24．设f (x )在[0，1]上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：1()d ()d Df x y uf u u σ+=⎰⎰⎰解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u =x +y ，然后交换积分顺序111111()d ()()()()d xu xDf x y dx f x y dy dx f u du du f u dx uf u u σ-+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级25．设f (x )连续，证明：221()d d (x y f x y x y f u u +≤+=⎰⎰解答：作变量变换11(),()22x u v y u v =-=+，则，22221211()()()(22x y u v f x y dxdy f u dudv f u dv f u +≤+≤+===⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：三级26．设f (x )在[a ，b ]上连续，证明：()22()d ()()d bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则2(())()()()()bb b b baaaaaf x dx f x dx f x dx f x dx f y dy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰2222()()11()()222DD Df x f y dxdy f x dxdy f y dxdy +≤=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰222()()()()bbbaaaDf x dxdy dx f x dy b a f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级27．设f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )>0，证明：21()d d ()()bb a af x x x b a f x ≥-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则11()()()()()()bbb b aaa a D f x f x dx dx f x dx dy dxdy f x f y f y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，11()()()()()()b bb b a aa a Df y f x dx dx f y dy dx dxdy f x f x f x ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以211()()()()()()2()()b baaD Df x f x f x dx dx dxdy dxdy b a f x f y f y =+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节难度：三级28．在曲线族y =c (1–x 2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小解答：曲线在(1，0)处的法线为，由对称性知所围图形面积为21(1)1102241232c x x c cA dx dy c c --==+⎰⎰， 令，得唯一驻点（负值舍去）又由于该实际问题的最小值存在，故当时，所围图形面积最小，为所属章节：第九章第二节 难度：三级29．设f (x )是连续函数，区域D 由y =x 3，y =1，x = –1围成，计算二重积分22[1()]d d Dx yf x y x y ++⎰⎰ 解答：将D 分成两块，记为{}{}3312(,)1,(,),10D x y x y D x y x y x x =≤≤≤≤=≤≤--≤≤， 则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得12222222[1()][1()][1()]DD D x yf x y dxdy x yf x y dxdy x yf x y dxdy ++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰321225x D xdxdy dx xdy --===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级30．设f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则111()()()()()()()()DDI f x g x dx f x dx g x dx f x g x dxdy f x g y dxdy =-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[()()]Df xg x g y dxdy =-⎰⎰，类似地有()[()()]DI f y g y g x dxdy =-⎰⎰，两式相加，并利用条件f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，就有2[()()][()()]0DI f x f y g x g y dxdy =--≥⎰⎰，所以0I ≥，即111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级31．设f (x )在[0，1]上连续，并设1()d f x x A =⎰，求11d ()()d xx f x f y y ⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则11110()()()()()()y xxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1110001[()()()()]2x x dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰112001()()()()2Df x f y dxdy f x dx f y dy A ==⋅=⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节难度：三级32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，1] 解答：212222220313()()2616x yz dv dx dy x yz dz dx x dy x dx Ω---+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，类似0212231()()16x yz dv dy dx x yz dz Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1222130()()16x yz dv dz dy x yz dx Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第三节难度：一级33．将三重积分化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是： (1)2222:,0x y z R z Ω++≤≥；(2)Ω由x 2+y 2=4，z =0，z =x +y +10所围成； (3)22222:2,x y z z x y Ω++≤≥+(4)Ω：由双曲抛物面z =xy 及平面x +y –1=0，z =0所围成的闭区域解答：(1) 22222220d d (,,)d RR x R x y RR x x y f x y z z ------⎰⎰⎰；(2) 222410240d d (,,)d x x y x x y f x y z z -++---⎰⎰⎰；(3) 22222211211d d (,,)d x x y x x y x y f x y z z ------+⎰⎰⎰；(4)110d d (,,)d xxy x y f x y z z -⎰⎰⎰双曲抛物面所属章节：第九章第三节 难度：二级34．计算下列三重积分：(1) ，其中Ω是在平面z=x+2y下放，xOy平面上由y=x2、y=0及x=1围成的平面区域上方的立体；(2) ，其中Ω是在平面x+y+z=1与三个坐标面围成；(3) ，其中π{(,,)|0}2x y z x z yΩ=≤≤≤≤-(4)，其中Ω是第一象限中由曲面y2+z2=9与平面x=0、y=3x和z=0所围成的空间立体；(5)222d d d1xyzx y zx y zΩ+++⎰⎰⎰，其中222{(,,)|0,0,1}x y z x z x y zΩ=≥≥++≤；(6) ，其中Ω是由抛物面x=4y2+4z2与平面x=4围成参考答案：(1)528；(2)e12-；(3)；(4)278；(5)0；(6)16π3解答：(1)528；(2)e12-；(3)；(4)278；(5)0；(6)16π3所属章节：第九章第三节难度：二级35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：(1) 计算三重积分，其中Ω是由锥面z=和平面z=π围成；(2) 设Ω是由单叶双曲面x2+y2–z2=R2和平面z=0，z=H围成，试求其体积；(3) 已知物体Ω的底面是xOy平面上的区域222{(,)|}D x y x y R=+≤，当垂直于x轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为，试求其质量；(4)试求立体2222(,,)1x yx y z za bΩ⎧⎫=+≤≤⎨⎬⎩⎭的形心坐标参考答案：(1)π2–4π；(2)；(3)；(4)解答：(1)2300sin d sin sin4zDz v zdz dxdy z z dzππΩπππ==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；与原参考答案不同(2)2223001()3zH HDV dv dz dxdy R z dz R H HπππΩ===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3)223(,,)(1)(1))xRR R R D x x m x y z dv dx dydz R x dx R R ρ--Ω==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)由对称性，0x y ==，110012zD V dv dz dxdy abzdz ab ππΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1120011123zD z zdv zdz dxdy abz dz V V V πΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即所求形心坐标为．所属章节：第九章第三节难度：二级36．利用柱面坐标计算下列三重积分： (1)，其中22{(,,)|4,12}x y z x y z Ω=+≤-≤≤；(2)，其中Ω由柱面x 2+(y –1)2=1及平面z =0，z =2所围成； (3)，其中22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--； (4)，其中22{(,,)|14,02}x y z y z x z Ω=≤+≤≤≤+； (5)，其中Ω为z ≥0上平面y =0、y =z 及柱面x 2+z 2=1围成 解答：(1)2222222301()d 2324x y v d rdr r dz r dr πΩθππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 由于被积函数、积分区域关于x 为奇，故32()d d d 0x xy x y z Ω+=⎰⎰⎰；(3)223932403242(9)5r v d rdr rdz r r dr πΩπθπ-==-=⎰⎰⎰⎰； (4) ； (5)所属章节：第九章第四节 难度：三级37．利用球面坐标计算下列三重积分： (1) ，其中2222:x y z a Ω++≤；(2) ，其中Ω是第一象限中球面2221x y z ++=与球面2224x y z ++=之间的部分；卦限？ (3) ，其中Ω是单位球体在第五象限部分；(4) 222222sin(1)d 1x y z v x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是0z ≤≤(5) ，其中Ω是锥面上方与上半球面ρ=2所围立体 解答：(1)22220sin 44(22)8a ar r a v d d e r dr r e dr e a a ππΩθϕϕπππ===-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)222242()22201ed sin cos sin x y z r x v d d re r dr ππΩθϕϕθϕ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰161622200cos sin 416e e e e d d ππθθϕϕπ--==⎰⎰； (3) 1222222322000221d sin sin sin sin sin 530y v d d r r dr d d ππππππΩπθϕϕθϕθθϕϕ=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 222321222222000ln(1)d ln(1)sin cos 11z x y z r v d d r dr x y z r ππΩθϕϕϕ+++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220112(ln 2ln 2)sin cos 24d ππϕϕϕ=--⎰；(5)223660sin 8sin 4(2v d d r dr d πππΩθϕϕπϕϕπ===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节 难度：三级38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：(1)222212223/21d ()d x y x yx y x y z ---++⎰⎰；(2)22100d d x y y x z +⎰；(3)33d x y z -⎰；(4)322200d )d y x x y z z ++⎰；参考答案：(1)8π35；(2)196；(3)；(4) 解答：本题图略 (1) 用柱面坐标，222222122121223/234618d ()d 4()35x y r x y rx y x y z d rdr r dz r r dr πθππ----++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 用柱面坐标，22211222000011d d sin cos sin cos 4896rx y r y x z d rdr r dz d ππθθθθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用球面坐标，3234223000243243d sin cos sin 255x y z d d r dr d πππθϕϕϕπϕϕπ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 用球面坐标，32224240d )d sin y x x y z z d d dr ππθϕϕ++==⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第四节 难度：三级39．选择适当坐标计算下列三重积分：(1) ，其中Ω由柱面x 2+y 2=8，椭圆锥面z =z =0所围成； (2)，其中{(,,)|11x y z z Ω=≤≤+；(3) ，其中Ω由曲面22222222,()z x y x y x y =++=-及平面z =0所围成；(4)2221d v x y z Ω⎫⎪++⎭⎰⎰⎰，其中Ω由曲面222222,33z x y z x y =+=+及平面z =1所围成；(5) ，其中Ω是两个球体2222x y z R ++≤与2222x y z Rz ++≤的公共部分 解答：(1) 用柱面坐标，22202d 16(1sin )48z v d zdz d ππΩθθθπ==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 用柱面坐标，21101()d (sin cos )0x y v d rdr dz πΩθθθ+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用柱面坐标，2142041d 238r z v d zdz ππΩθ-==⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 用球面坐标，1224cos222200611d[]sinv d d r r drx y z rππϕπΩθϕϕ⎫=+⋅⎪++⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln3ln2)π=+-；(5) 用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy面上的投影，在柱面坐标下积分区域可表示为2222,230,20:ρρρπθ-≤≤--≤≤≤≤ΩRRzRRR，所以22200Rz dv d d dzπθρρΩ=⎰⎰⎰⎰523322232248059])()[(312RdRRRRπρρρρπ=----=⎰．注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，22222dz zRRRD Dz v dz z dxdy dz z dxdyΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222(2)()RRRz Rz z dz z R z dzππ=-+-⎰⎰5551475940480480R R Rπππ=+=．所属章节：第九章第四节难度：三级40．利用三重积分求所给立体Ω的体积：(1)Ω由柱面x=y2和平面z=0及x+z=1围成的立体；(2)Ω由抛物面z=x2+y2和z=18–x2–y2围成的立体；(3)Ω为圆柱体r≤a cosθ内被球心在原点、半径为a的球所割下的部分解答：(1)13111220008(22)15xV dv dx dz x x dz-Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（2）2223180081rrV dv d rdr dzπθπ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰;（3）cos333220000424(1sin)(34)39aV dv d rdr a d aππθθθθπΩ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所属章节：第九章第四节难度：二级41．设Ω是Oxyz坐标系中体积为V=5的有界闭区域，Ω*为Ω在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z下的有界闭区域，试求Ω*的体积V *解答：在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z 下，448(,,)27420(,,)143u v w x y z ∂==∂，所以V *=20V =100． 所属章节：第九章第四节 难度：二级42．计算三重积分222222d d x y z ab c x y z ++≤⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ===，则2sin J abc ρϕ=，222222220008d d sin 9x y z a b c x y z abc d d d abc ππθϕρϕρπ++≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节 难度：三级43．计算三重积分2222222()()()()d d d x a y b z c R I x y z x y z -+-+-≤=++⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ=+=+=+，则2sin J ρϕ=，222220(2sin cos 2sin sin 2cos )sin RI d d a b c a b c d ππθϕρϕθρϕθρϕρϕρ=+++++⎰⎰⎰5322244()53R R a b c ππ=+++． 所属章节：第九章第四节 难度：三级44．计算平面6x +3y +2z =12在第一象限中的部分的面积 参考答案：14解答：平面方程，:6312,0,0D x y x y +≤≥≥，投影面积4，，7741422DA d σ==⨯=⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级45．求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的曲面面积解答：由对称性，设z =22:,0D x y ax y +≤≥，则dA =，cos 220442(2)a DA d a πθθπ===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级46．计算旋转抛物面2z =x 2+y 2被柱面(x 2+y 2)2= x 2–y 2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为r =dA σθ==，442093DA d πππθθ-===-⎰． 所属章节：第九章第五节 难度：二级47．求双曲抛物面z =y 2–x 2夹在圆柱面x 2+y 2=1和x 2+y 2=4之间部分的曲面面积 解答：曲面方程22z y x =-，投影区域为圆环域22:14D x y ≤+≤，dA σθ==，2016DA d ππθθ===⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级48．计算由球面22223(0)x y z a z ++=>和旋转抛物面222(0)x y az a +=>所围成立体的表面积 参考答案：解答：上半曲面方程z =投影区域为圆环域222:2D x y a +≤，dAσθ==，221002(3DA d aπθθπ===⎰；类似，下半曲面面积，2220012)3DA rdrd d r dr aa aπθθπ===⎰⎰⎰；所以所求总的曲面面积为．所属章节：第九章第五节难度：二级49．求由圆柱面229x y+=、平面4y+3z=12和4y–3z=12所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积1A，另一块为侧面，面积记为2A，整个立体的表面积122A A A=+．先计算1A，由于对应曲面方程为，，xyD为投影区域，53dA dσ==，所以15591533xy xyD DA dA dσππ===⋅=⎰⎰⎰⎰，再计算2A，由于对应曲面方程之一为y=，，xzD为投影区域，dAσ==，所以382302248xzDA dA dxπ-===⎰⎰⎰⎰，于是，总面积为122304878A A Aπππ=+=+=．所属章节：第九章第五节难度：三级50．设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积解答：设两个圆柱面的方程为222222,x y R x z R+=+=，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积1A，再乘以16即可，由于z dA ===，所以121016161616RD A A dx R ====⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级51．设平面薄片所占的闭区域D 是由直线x +y =2，y =x 和x 轴所围成，它的面密度ρ(x )=x 2+y 2，求该薄片的质量解答：122204(,)()3y yDm x y dxdy dy x y dx ρ-==+=⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第五节 难度：二级52．求占有下列区域D 的平面薄片的质量与重心(质心)：(1)D 是以(0，0)，(2，1)，(0，3)为顶点的三角形区域，ρ(x ，y )=x +y ； (2)D 是第一象限中由抛物线y =x 2与直线y =1围成的区域，ρ(x ，y )=xy ； (3)D 由心脏线r =1+sin θ所围成的区域，ρ(x ，y )=2； (4)22{(,)|(1)1},(,)|1|D x y x y x y y y ρ=+-≤=+- 解答：(1)23102(,)()6xxDm x y dxdy dx x y dy ρ-==+=⎰⎰⎰⎰，23210211(,)3()46D x x dx x xy d x x x y dxdy m y ρ-===+⎰⎰⎰⎰， 23210211(,)3()26D x x dx xy y d y y x y dxdy m y ρ-=+==⎰⎰⎰⎰，即所求平面薄片的质量为6，质心坐标为； (2)211150011(,)()26xDm x y dxdy dx xydy x x dx ρ===-=⎰⎰⎰⎰⎰， 2111226004163((),)7x D dx x ydy x x x x y dxd m x x y d ρ=-===⎰⎰⎰⎰⎰，211201(,63)4D x dx y y x y dxd y m xy y d ρ===⎰⎰⎰⎰， 即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为、；(3)1sin 22202(,)44(1sin )3Dm x y dxdy d rdr d ππθπρθθθπ+-===+=⎰⎰⎰⎰⎰，由对称性知，1(,)0Dx x x y dxdy m ρ==⎰⎰， 1sin 2242202485sin (3sin sin 1(,))396D d r d y y x y dxdy r m d ππθπθθθθθπρπ+-=+===⎰⎰⎰⎰⎰， 即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为；(4)将区域分为两个部分，记为221{(,)|(1)1,1}D x y x y y =+-≤≤，此处(,)1x y ρ=，222{(,)|(1)1,1}D x y x y y =+-≤≥，此处(,)21x y y ρ=-，故 124(,)(21)3D D D m x y dxdy dxdy y dxdy ρπ==+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1(,)0Dx x x y dxdy m ρ==⎰⎰， 121516121111(,)(621)D D D y y x y dxdy ydxdy y y dxdy m m m ππρ==+++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为415π16π,(0,)312π16m +=++． 所属章节：第九章第五节 难度：二级53．求均匀平面薄片{(cos ,sin )|2sin 4sin }D r r r θθθθ=≤≤绕极轴的转动惯量解答：4sin 22262202sin 0752sin 60sin 4DI y d d r rdr d ππθθπμμσμθθμθθ====⎰⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第五节 难度：二级54．求底长为a ，高为h 的等腰三角形薄片，绕其高的转动惯量(设密度为1)解答：将高放在y 轴上，以底的中心为原点建立坐标系，问题转化为求密度为1、占有区域{(,)|0,()()}22a a D x y y h h y x h y h h=≤≤--≤≤-的物体绕y 轴的转动惯量，即 33()2232302()1248ah h y h h y Da a h I x d dy x dx h y dy h σ-===-=⎰⎰⎰⎰⎰．。
二重积分习题答案精编WORD版
二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。
解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习 题 八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。
二重积分习题解答
二重积分习题解答(一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1．12200I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后得 C 。
（A）1220I dy x y dy =⎰； （B）12203I x y dy =⎰；（C ）2112203x I dx x y dx -=⎰⎰； （D ）2112203x I dx x y dy +=⎰⎰。
2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则x yDedxdy +=⎰⎰ D. .(A)2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ;3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则(,)D f x y dxdy =⎰⎰ C(A)120(,)xx dx f x y dy -⎰⎰, (B) 21(,)yydyf x y dx -⎰⎰, (C) 212(,)xxdx f x y dy -⎰⎰, (D) 1(,)xdx f x y dy ⎰⎰.;4．22x y DI e dxdy --=⎰⎰，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。
（A ）221[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（B ）2124[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（C ）21202[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰；（D ）221[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰。
5. 2DI xy d σ=⎰⎰, 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。
（A）120I dy dy =⎰； （B ）1120I dx xy dy =⎰⎰；（C）12I dx dy =⎰；（D ）1232cos sin I d r dr πθθθ=⎰⎰。
填空题1.交换二次积分次序，1(,)xI f x y dy =⎰＝ 。
故211(,)(,)yxy I dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则3(2)Dx y dxdy +=⎰⎰ 0 3．设积分域为22{(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分22()Df xy dxdy +=⎰⎰在极坐标下的二次积分为 。
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
二重积分练习答案(07)
二重积分练习答案1设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分212(,)y f x y dx ⎰的积分次序。
21132102221(,)(,)(,)(,)y dx f x y dy f x y dy f x y dy f x y dx ++=⎰⎰⎰⎰ 2设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分1(,)ydyf x y dx ⎰的积分次序。
111111(,)(,))),((,yxx f x y d y d x f x y d y d x f x y d yd yf x y d x --++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分2313201(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰的积分次序。
2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰321(,)ydyf x y dx -=⎰4设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分12221112(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分次序。
12222111112(,)(,)(,)xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5 将(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分， D 是由1,1,0x y x y x +=-==所围。
110111011(,)(,)(,)(,)xyy x Dd x f x y d y d yf x y d x d f x y d x yx x dy f y d -+---=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6将(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分，D 是由,3,1,3x y x y x x ====所围。
3339311133((,)(,)(,),)xy y Dxdx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx f x y dxdy +==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 7将(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分。
第九章 二重积分 复习题答案
第九章 二重积分 复习题答案一、单项选择题1、设D 是由曲线x y x 422=+围成的闭区域，则()⎰⎰+Dd y x f σ22=（ C ）A.()dr rf d ⎰⎰πθ012B.()rdr r f d ⎰⎰-22sin 402ππθθC.()rdr rf d ⎰⎰-22cos 42ππθθ D. ()dr r f d ⎰⎰-22cos 402ππθθ2、设f 是连续函数，D 是由0,122≥≤+y y x 确定的区域，则=+⎰⎰σd y x f D)(22（ A ）。
A 、 10()d rf r dr πθ⎰⎰ B 、210()d rf r dr πθ⎰⎰C 、10()d f r dr πθ⎰⎰ D 、210()d f r dr πθ⎰⎰3、设22:14, D x y ≤+≤则2Ddxdy =⎰⎰（ D ）A.3πB.4πC.30πD.6π 4、设D 是由直线,2,1y x y x y ===围成的闭区域，则Ddxdy =⎰⎰（ B ）A 、12 B 、14 C 、1 D 、325、设积分区域D 是由圆22x y Ry +=围成，则二重积分22()Df x y d σ+=⎰⎰（ D ）A 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰ B 、22sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰C 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰D 、2sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰ 6、若{}22(,)12D x y x y =≤+≤，则二重积分Dd σ⎰⎰＝（ C ）A.2π B. 2πC. πD. 3π二、填空题：1、变换二次积分⎰⎰⎰⎰-+=2120100),(),(yydx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则=I ⎰⎰-=12),(xx dy y x f dx I ；2、改变二次积分21(,)yydy f x y dx ⎰⎰的积分次序，则I = ⎰⎰1),(xxdy y x f dx ；3、改变二次积分210(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分次序，可得21(,)x dx f x y dy ⎰⎰=_______⎰⎰101),(ydx y x f dy ;4、若D 是由直线 1,1,1,1=-==-=y y x x 围成的矩形区域，则⎰⎰=Ddxdy 25、交换二次积分1(,)00y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，则I =⎰⎰11),(xdy y x f dx ___;三、计算题：1、求⎰⎰+Ddxdy y x )2(，其中D 是由曲线2x y =和0=+y x 围成的闭区域. 101|)1022()2223(|)22()2()2(:0154314320120122-=---=⋅---=⋅+=+=+------⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x dx x x x dxy xy dy y x dx dxdy y x xx Dxx解2、求σd y x D⎰⎰+22，其中D 是由圆周x y x 222=+所围成的闭区域。
二重积分练习题答案
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解： 原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
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3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累 次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr
数学分析21.8反常二重积分（含习题及参考答案）
数学分析21.8反常⼆重积分（含习题及参考答案）第⼆⼗⼀章重积分 8 反常⼆重积分⼀、⽆界区域上的⼆重积分：定义1：设f(x,y)为定义在⽆界区域D 上的⼆元函数. 若对于平⾯上任⼀包围原点的光滑封闭曲线γ, f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D 的交集 D ∩E γ=D γ上恒可积. 令d γ=min{22y x +|(x,y)∈γ}. 若极限σγγd y x f Dd ??∞→),(lim存在且有限，且与γ的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛，并记σd y x f D),(=σγγd y x f Dd ??∞→),(lim，否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分发散，或简称σd y x f D),(发散.定理21.17：设在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, γ1, γ2,…, γn ,…为⼀列包围原点的光滑封闭曲线序列，满⾜：(1)d n =inf{22y x +|(x,y)∈γn }→+∞, (n →∞)；(2)I=σd y x f nD n),(sup <+∞, 其中D n 为γn 所围的有界区域E n 与D 的交集，则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛，且有σd y x f D),(=I.证：设γ’为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为E ’, 并记D ’=E ’∩D. ∵∞→n lim d n =+∞, ∴存在n, 使得D ’?D n ?D. 由f(x,y)≥0,有σd y x f D ??'),(≤σd y x f n),(sup , ?ε>0, ?n 0, 使得σd y x f nD ??0),(>I-ε. 对充分⼤的d ’, 区域D ’⼜可包含D 0n, 使得σd y x f D ??'),(>I-ε. 由I-ε<σd y x f D ??'),(≤I, 知f(x,y)在D 上的反常⼆重积分存在，且σd y x f D),(=I.定理21.18：若在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, 则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛的充要条件是：在D 的任何有界⼦区域上f(x,y)可积，且积分值有上界.例1：证明反常⼆重积分σd eDy x ??+-)(22收敛，其中D 为第⼀象限部分，即D=[0,+∞)×[0,+∞).证：设D R 是以原点为圆⼼, 半径为R 的圆与D 的交集，即该圆第⼀象限部分. ∵) (22y x e +->0，∴⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22关于R 递增.⼜σd eRD y x ??+-)(22=dr r e d Rr ??-0202πθ=)1(4D y x R ??+-+∞→)(22lim =)1(4lim 2R R e -+∞→-π=4π. 即对D 的任何有界⼦区域D ’, 总存在⾜够⼤的R ，使得D ’?D R , ∴σd e D y x ??' +-)(22≤σd e RD y x ??+-)(22≤4π.由定理21.18知，反常⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22收敛，⼜由定理21.17有，σd e Dy x ??+-)(22=4π.注：由例1结论，可推出反常积分?+∞-02dx e x 的值(常⽤于概率论). 考察S a =[0,a]×[0,a]上的积分σd eaS y x ??+-)(22=??--ay ax dy edx e22x dx e .由D a ?S a ?aD2(如图)知σd eaD y x ??+-)(22≤σd eaS y x ??+-)(22=202??? ???-ax dx e ≤σd e aDy x ??+-222)(. 令a →+∞, 则得202lim ??? ???-+∞→a x a dx e =σd e D y x ??+-)(22=4π, ∴?+∞-02dx e x =2π.例2：证明：若p>0, q>0, 则B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.证：令x=u 2, 则dx=2udu, Г(p)=?+∞--01dx e x x p =2?+∞--0122du e u u p , 从⽽ Г(p)Г(q)=4?+∞--+∞--?0ydx exy q x p =4??----+∞→?Ry q Rx p R dy e y dx ex1201222lim.令D R =[0,R]×[0,R], 由⼆重积分化为累次积分计算公式有σd eyxy x D q p R)(121222+---??=??----?Ry q Rx p dy e y dx ex1201222.∴Г(p)Г(q)= 4σd e y x y x D q p R R)(121222lim +---+∞2+---??, 其中D 为平⾯上第⼀象限部分. 记D r ={(x,y)|x 2+y 2≤r 2, x ≥0, y ≥0}. 于是有 Г(p)Г(q)=4σd e y x y x Dq p )(121222+---??=4σd e y x y x D q p r r)(121222lim +---+∞→??,应⽤极坐标变换，有Г(p)Г(q)=4??----++∞→rr q p q p r rdr e r d 012122)(2202sin cos lim θθθπ=4??--+--+∞→rr q p q p r dr e r d 01)(22012122sin cos lim πθθθ=2?+Γ?--201212)(sin cos πθθθq p d q p =B(p,q)Г(p+q). ∴B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.定理21.19：函数f(x,y)在⽆界区域D 上的反常⼆重积分收敛的充要条件是|f(x,y)|在D 上的反常⼆重积分收敛.证：[只证充分性]设σd y x f D|),(|收敛，其值为A. 作辅助函数f +(x,y)=2),(|),(|y x f y x f +, f -(x,y)=2),(|),(|y x f y x f -, 则0≤f +(x,y)≤|f(x,y)|, 0≤f -(x,y)≤|f(x,y)|.∴在D 的任何有界⼦区域σ上, 恒有σd y x f D+),(≤σd y x f D|),(|=A,σd y x f D即f +(x,y)与f -(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. ⼜f(x,y)=f +(x,y)-f -(x,y), ∴f(x,y)在D 上的反常⼆重积分也收敛.定理21.20：(柯西判别法)设f(x,y)在⽆界区域D 的任何有界⼦区域上⼆重积分存在, r 为D 内的点(x,y)到原点的距离r=22y x +. (1)若当r ⾜够⼤时, |f(x,y)|≤p rc, 其中常数c>0, 则当p>2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛；(2)若f(x,y)在D 内满⾜|f(x,y)|≥p rc,其中D 是含有顶点为原点的⽆限扇形区域, 则当p ≤2时，反常⼆重积分σd y x f D),(发散.⼆、⽆界函数的⼆重积分定义2：设P 为有界区域D 的⼀个聚点，f(x,y)在D 上除点P 外皆有定义，且在P 的任何空⼼邻域内⽆界，△为D 中任何含有P 的⼩区域，f(x,y)在D-△上可积. ⼜设d 表⽰△的直径，即 d=sup{221221)()(y y x x -+-|(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈△}. 若极限-→D d d y x f σ),(lim存在且有限，且与△的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. 记作-D d y x f σ),(=-→D d d y x f σ),(lim 0,否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分??Dd y x f σ),(发散.定理21.21：(柯西判别法)设f(x,y)在有界区域D 上除点P(x 0,y 0)外处处有定义, 点P(x 0,y 0)为瑕点，则： (1)若在点P 附近有|f(x,y)|≤a rc, 其中c 为常数, r=2020)()(y y x x -+-, 则当a<2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛； (2)若在点P 附近有|f(x,y)|≥a rc, 且D 含有以点P 为顶点的⾓形区域, 则当a ≥2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛.习题1、试讨论下列⽆界区域上⼆重积分的收敛性： (1)??≥++1σ?d y x y x y p≤≤++1022)1(),(, (0解：(1)令x=rcos θ, y=rsin θ, 则≥++12222)(y x m y x d σ=??+∞12201rdr r d m πθ=??+-+∞→d m d dr r d 11220lim πθ=-2π?+-+∞→d m d dr r 11 2lim . ∵?+-+∞→dm d dr r 112lim 当2m-1>1时, 收敛；当2m-1≤1时, 发散；∴≥++12222)(y x m y x d σ当m>1时, 收敛；当m ≤1时, 发散. (2)由区域的对称性和被积函数关于x,y 的偶性得原积分=4??+∞+∞++001111dy ydx x q p . ∵?+∞+011dx x p当p>1时, 收敛；当p ≤1时, 发散. ∴原积分当p>1, q>1时收敛，其它情况发散.(3)∵0y x y x )1(),(22++?≤p x M)1(2+,∴当p>21时, 由σd x My p ??≤≤+102)1(收敛，得原积分收敛；当p<21时, 由σd x my p ??≤≤+1∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x )cos(22)(22. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则+∞∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x)cos(22)(22=??+∞-0220cos 2dr r re d r πθ=π?-+∞→du d udu e 0cos lim=2π.3、判别下列积分的收敛性： (1)≤++12222)(y x m y x d σ；(2)??≤+--12222)1(y x m y x d σ. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则(1)??≤++12222)(y x m y x d σ=??102201rdr r d m πθ=2π?+-→1120lim d m d dr r . ∵?+-→1 120lim dm d dr r 当2m-1<1时, 收敛；当2m-1≥1时, 发散；∴??≤++1 2222)(y x m y x d σ2222)1(y x m y x d σ =??-10220)1(rdr r d d m σθπ=π?-→-d m d du u 01)1(lim . ∴当m<1时, 由?-→-dmd du u 01)1(lim 收敛知，原积分收敛；当m ≥1时, 由?-→-dm d du u 01)1(lim 发散知，原积分发散.。
数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则 每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又 这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β， 在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知， 每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等； 可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ， 以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ， 使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证： 设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ， 则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。
重积分习题答案
第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y=200d πθ⎰⎰=222001()2d a r πθ=--⎰⎰ 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。
解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰ =222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习 题 八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。
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二重积分习题答案
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第八章二重积分习题答
案
练习题
1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义
计算d D
x y
解：d D
x y =200
d π
θ⎰⎰
=222
01()2r d a r π
θ=--⎰⎰
2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
练习题
1.2d D
x σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.
解：2d D
x σ⎰⎰=22
222301
001515
cos [cos2]84
d r dr d d πππθθθθθπ=
+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd y
x D
)3
41(--
⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。
解：σd y
x D
)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰
=222(1)84
x
dx --=⎰
3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.
解：
2
2
2
42
20
2320(42)
28(2)|33
x x x
D
A dxdy dx dy x x x x -===-=-
=⎰⎰⎰⎰⎰
4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积
解： 22
222
2
(4)(4)48D
V x y d d r rdr d ππ
σθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰
习 题 八
一．判断题
1.d D
σ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）
2.二重积分 100f(x,y)d y
dy x ⎰⎰交换积分次序后为1
1
f(x,y)d x
dx x ⎰
⎰ （×）
二．填空题
1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =
⎰⎰
12π12π.
2.二重积分d d D
xy x y ⎰⎰的值为
1
12
，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.
112
3.二重积分10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为
11
(,)x
dx f x y dy
⎰⎰
. 11
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =
0.0
5.交换积分次序
1
d (,)y f x y dx ⎰
=
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy
+⎰⎰
⎰⎰
.
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰
6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。
则22
1D
dxdy
x y ++⎰⎰
=_ln 2πln2π
三. 选择题
1.设1ln D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，2D
I =⎰⎰（x y +）2d d x y ，3D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，其中D 是由直
线0x =，0y =，1
2
x y +=，1x y +=所围成的区域，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（ B ）.
2.设 1 1
2 0 d sin d y I y x x =⎰⎰，则I 等于（ A ）.
A )1cos 1(2
1
- B 1cos 1- C 1sin 1+ D 积不出来
3.设D
f ⎰⎰（x ，y ） 1 1 0 0d d d x
x y x f -=⎰⎰（x ，y ）d y ，则改变其积分次序后应为（ D ）.
A 1 1
0 0d x y f -⎰⎰（x ，y ）d x
B 1 1 0 0
d x
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
C 1 1
d y f ⎰⎰（x ，y ）d x
D . 1 1 0 0
d y
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B
）时D
π=
A 1
B
C
D 四 计算二重积分
1.计算二重积分2D dxdy ⎰⎰，其中D 是由2214x y ≤+≤围成.
解：2dxdy =⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
2.计算二重积分(6)D
x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,5,1y x y x x ===所围成的区域。
解：150
(6)(6)x
x
D
x y dxdy dx x y dy +=+⎰⎰⎰⎰
1
23100
76767633
x dx x ==
=⎰
解： 120
3dy xy dx ⎰123033()22y y dy =-⎰3410
3111
()2348
y y =-= 4.()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，
2,1,D y x x x ==其中由曲线轴围成. 解：2
1
()()x o
D
x y d dx x y dy σ+=+⎰⎰⎰⎰
1
3445100
1117
()()241020
x x dx x x =+
=+=
⎰ 解： 110
xy
xy
o
D
xe d dx xe dy σ=⎰⎰⎰⎰1
100
(1)()2x x e dx e x e =-=-=-⎰
6.
x y
D
e dxdy +⎰⎰其中区域 D 是由 0,1,0,1x x y y ==== 围成的矩形； 解：210
1
)1(-==⎰⎰⎰⎰+e dy e dx e dxdy e o
y x D
y x
解： 2
2
2
40
x x x
D
xdxdy dx xdy -=⎰⎰⎰
⎰2
23342
041
8(43)()
32
3
x x dx x x =-=-=
⎰
8. ()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，1,1D y x ≤≤其中由曲线围成.
解：1
1
1
1
()()D
x y dxdy dx x y dy --+=+⎰⎰⎰
⎰
1
2
1
1
1
20xdx x --===⎰
解：12220
x
D
x ydxdy dx x ydy =⎰⎰⎰⎰
1
4510
2225
5
x dx x ==
=
⎰ 10.2,D
xy dxdy ⎰⎰计算二重积分
()2
02
p
y x x p =>其中D 为=2p 与所围成的区域。
解：2
2
2
2p
D
xy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰
35372
22
2
2
5
20
0243721
p
p
p p x dx p x ===⎰。