分支限界法-批处理调度问题

【分支限界法】批处理作业调度问题

问题描述

给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。

批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

例：设n=3，考虑以下实例：

这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。

限界函数

批处理作业调度问题要从n个作业的所有排列中找出具有最小完成时间和的作业调度，所以如图，批处理作业调度问题的解空间是一颗排列树。

在作业调度问相应的排列空间树中，每一个节点E都对应于一个已安排的作业集。以该节点为根的子树中所含叶节点的完成时间和可表示为：

设|M|=r，且L是以节点E为根的子树中的叶节点，相应的作业调度为{pk,k=1,2,……n}，其中pk是第k个安排的作业。如果从节点E到叶节点L的路上，每一个作业pk在机器1上完成处理后都能立

即在机器2上开始处理，即从p r+1开始，机器1没有空闲时间，则对于该叶节点L有：

注：(n-k+1)t1pk,因为是完成时间和，所以，后续的(n-k+1)个作业完成时间和都得算上t1pk。

如果不能做到上面这一点，则s1只会增加，从而有：

。

类似地，如果从节点E开始到节点L的路上，从作业p r+1开始，机器2没有空闲时间，则：

同理可知，s2是的下界。由此得到在节点E处相应子树中叶节点完成时间和的下界是：

注意到如果选择Pk，使t1pk在k>=r+1时依非减序排列，S1则取得极小值。同理如果选择Pk使t2pk依非减序排列，则S2取得极小值。

这可以作为优先队列式分支限界法中的限界函数。

算法描述

算法中用最小堆表示活节点优先队列。最小堆中元素类型是MinHeapNode。每一个MinHeapNode类型的节点包含域x,用来表示节点所相应的作业调度。s表示该作业已安排的作业时x[1:s]。f1表示当前已安排的作业在机器1上的最后完成时间；f2表示当前已安排作业在机器2上的完成时间；sf2表示当前已安排的作业在机器2上的完成时间和；bb表示当前完成时间和下界。二维数组M表示所给的n个作业在机器1和机器2所需的处理时间。在类Flowshop中用二维数组b 存储排好序的作业处理时间。数组a表示数组M和b的对应关系。算法Sort实现对各作业在机器1和2上所需时间排序。函数Bound用于计算完成时间和下界。

函数BBFlow中while循环完成对排列树部结点的有序扩展。在while循环体算法依次从活结点优先队列中取出具有最小bb值（完成时间和下界）的结点作为当前扩展结点，并加以扩展。算法将当前扩展节点E分两种情形处理：

1)首先考虑E.s=n的情形，当前扩展结点E是排列树中的叶结点。

E.sf2是相应于该叶结点的完成时间和。当E.sf2 < bestc时更新当前最优值bestc和相应的当前最优解bestx。

2)当E.s

算法具体实现如下：

1.#include

2.

3.template

4.class Graph;

5.

6.template

7.class MinHeap

8.{

9.template

10.friend class Graph;

11.public:

12.MinHeap(int maxheapsize = 10);

13.~MinHeap(){delete[]heap;}

14.

15.int Size() const{return currentsize;}

16.T Max(){if(currentsize) return heap[1];}

17.

18.MinHeap& Insert(const T& x);

19.MinHeap& DeleteMin(T &x);

20.

21.void Initialize(T x[], int size, int ArraySize);

22.void Deactivate();

23.void output(T a[],int n);

24.private:

25.int currentsize, maxsize;

26.T *heap;

27.};

28.

29.template

30.void MinHeap::output(T a[],int n)

31.{

32.for(int i = 1; i <= n; i++)

33.cout << a[i] << " ";

34.cout << endl;

35.}

36.

37.template

38.MinHeap::MinHeap(int maxheapsize)

39.{

40.maxsize = maxheapsize;

41.heap = new T[maxsize + 1];

42.currentsize = 0;

43.}

44.

45.template

46.MinHeap& MinHeap::Insert(const T& x)

47.{

48.if(currentsize == maxsize)

49.{

50.return*this;

51.}

52.int i = ++currentsize;

53.while(i != 1 && x < heap[i/2])

54.{

55.heap[i] = heap[i/2];

56.i /= 2;

57.}

58.

59.heap[i] = x;

60.return*this;

61.}

62.

63.template

64.MinHeap& MinHeap::DeleteMin(T& x)

65.{

66.if(currentsize == 0)

67.{

68.cout<<"Empty heap!"<

69.return*this;

70.}