中考数学专题复习---圆的切线有关的证明与计算
中考数学专题--切线的相关证明及计算
授课时间年月日总课时数：总序数：
课题
切线的相关证明及计算
教学
目标
1、掌握圆的切线的性质和判定，并会进行相关的计算和证明。
2、掌握切线长长和切线定理
重点
切线的判定和切线长定理
难点
常添加辅助线
教学准备
教学过程
教学环节
教学内容
二次备课
导
入
新
授
新
授
一、知识点梳理
1、切线的性质：
（1）数量关系：圆心到切线的距离等于半径；
通过本节课的学习，你对圆的基本性质又有哪些认识呢？你还有什么收获？
板书
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设计
教学
反思
围绕教学方式、学习方式、课程资源的开发与利用、成功与不足……进行反思
巩
固
检
测
1、如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为10，圆心O到AD的距离为4，求AE和ED的长度．
（2）位置关系：切线________于过切点的半径。
2、切线的判定：
(1)“连半径，证垂直”
(2)“作垂直，证半径”
3、切线长和切线长定理
（1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角。如图，PA=PB，∠APO=∠BPO.
三、典例分析
1、如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上， = ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法证明圆的切线有两种方法，其中一种是通过切线与半径的关系来证明，另一种是通过圆的切线与半径的垂直关系来证明。
首先，我们来看第一种方法。
1.通过切线与半径的关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。
由圆的性质可知，半径与切线在切点处垂直，因此OA⊥TA。
又因为同一条直线上的两个垂直角相等，所以∠OTA=90°。
设切线与半径的交点为B，连接OB。
由于切线只有一个触点，所以TA=TB=r，且AB为直径。
在△OAB中，∠OAB=90°，所以角OAB也是直角，即AB垂直于OA。
综上所述，切线与半径在切点处垂直，即切线是与半径垂直的直线。
接下来，我们来看第二种方法。
2.通过圆的切线与半径的垂直关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。
由圆的性质可知，切线与半径在切点处垂直，即OA⊥AT。
在△OAT中，角AOT是圆心角，它对应的弧AT是它所对的弧，所以∠AOT=1/2arc(AT)。
而角AOT是直角，所以∠AOT=90°。
所以1/2arc(AT)=90°，即arc(AT)=180°，即AT是整个圆的弧。
同理可知切线与半径相交于切点处的弧也是整个圆的弧。
所以切点处的弧为整个圆的弧，即切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。
综上所述，切线与半径在切点处相交的弧都是整个圆的弧，即切线与半径在切点处垂直。
综合两种方法的证明，我们可以得出圆的切线与半径在切点处垂直，并且切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。
这就是证明圆的切线的两种方法的过程。
注：以上只是两种常用的证明方法，实际上还有其他一些方法来证明圆的切线的性质。
圆的切线的证明与计算
1、证明相切的基本思路：
无已公知共半径点---------直-“接证连直半线与径半，径垂证直垂； 直” 有常公 用方共法：点 - - -“作垂直，证半径”
证平行、证全等、计算角度、运用角平分线 的性质…… 2、根据切线的性质，构造相似三角形，利
用相似三角形对应边成比例的性质，建 立方程求解，运 用勾股定理，三角函 数……
已知：A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B 在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的 切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径， 证垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】
如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO＝BD＝ BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
中考数学专题 复习
圆的切线的证明与计算
第四中学
杨琴
一、本课主要知识梳理 1. 定义：与圆只有一个__公__共__点__的直线叫做圆的切线，这个
公共点叫做切点.
O
A CB
2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过__切__点__的半径.
3. 切线的判定定理：经过半径的外端点并且_垂__直___于这条半 径的直线是圆的切线.
4. 证明一条直线是圆的切线方法：
主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_半__径___，
二 是利用切线的__判__定__定__理__。
常作的辅助线：有切点，连__半__径____证__垂__直__，
无切点，作__垂__直__证__半__径__. 2
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【教材原型】
【中考预测】
如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交 AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线， 交AC的延长线于点F. (1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数；
九年级中考数学专题复习--圆切线的相关证明及计算专题
圆切线的相关证明及计算类型一角平分线模型(2016·云南省卷)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)求证：DE是⊙O 的切线；(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】(1)连接OC，先证明∠OAC＝∠OCA，结合AC平分∠BAE，得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD 的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影＝S△COD－S扇形OBC即可得到答案．【自主解答】1．(2017·营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是BE︵的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若cos∠CAD＝45，BF＝15，求AC的长．2．如图，半圆O的直径AB＝5，AC、AD为弦，且AC＝3，AD平分∠BAC，过D作AC延长线的垂线，垂足为E.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)求AD的长．3．(2018·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．4．(2018·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC 的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB＝25，BC＝5，求DE的长．5．(2019·原创)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠CAB ＝30°，⊙O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分∠AOC交弧AC于点E，连接AE，EC.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若M在边AC上，OM＝CM＝2，求△ABC的面积．6．(2018·成都)如图，在Rt△A BC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)设AB＝x，AF＝y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE＝8，sin B＝513，求DG的长．类型二弦切角模型(2018·云南省卷)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．【自主解答】1．(2018·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O 交BC 于点D ，∠DAC＝∠B. (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)点E 是AB 上一点，若∠BCE＝∠B ，tan ∠B＝12，⊙O 的半径是4，求EC 的长．2．(2018·齐齐哈尔)如图，以△ABC 的边AB 为直径画⊙O ，交AC 于点D ，半径OE∥BD ，连接BE ，DE ，BD ，设BE 交AC 于点F ，若∠DEB＝∠DBC. (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BF ＝BC ＝2，求图中阴影部分的面积．3．(2018·兰州)如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上的一点，D 为BA 延长线上的一点，∠ACD＝∠B. (1)求证：DC 为圆O 的切线；(2)线段DF 分别交AC ，BC 于点E ，F ，且∠CEF＝45°，圆O 的半径为5，sin B ＝35，求CF 的长．类型三 双切线模型(2017·云南省卷)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC∥OP，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围． 【分析】 (1)连接OC ，根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠OCA ，由平行线的性质得到∠A ＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠BOP ，由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过O 作OD⊥AC 于D ，根据相似三角形的性质得到CD·OP＝OC 2，根据已知条件得到OC OP ＝33，由三角函数的定义即可得到结论；(3)连接BC ，根据勾股定理得到BC＝AB2－AC2＝12，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时d＋f的值，从而得到结论．【自主解答】1．(2018·曲靖)如图，AB为⊙O的直径，点C 为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC 的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC.(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝3，求四边形OCDB的面积．2．(2018·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求证：AB为⊙O的切线；3．(2018·临沂)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BD＝3，BE＝1，求阴影部分的面积．4．(2018·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若∠APC＝3∠BPC，求PECE的值．。
圆的相关证明与计算--与切线有关的证明与计算(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．〔1〕求证：AD=DC．〔2〕求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图，直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．〔1〕求∠ACM 的度数．〔2〕在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． 〔1〕假设圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ 〔2〕假设点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；〔3〕假设3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
数学专题-切线的证明与圆的计算
专题一:圆的切线直线与圆相切是圆的重点，也是中考的热点．证明、判断或探究直线与圆相切的题目虽然很多，但是在这些众多的题目中，只有两个类型．►类型之一有公共点时，连接圆心与公共点，证垂直当要证明的直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证明此半径与直线垂直，利用“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明直线是圆的切线．1．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，点O在AB上，BD ⊥AB，B是垂足，OD∥AC，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．证明：如图，连接CO.∵OD∥AC，∴∠COD＝∠ACO，∠CAO＝∠DOB.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠COD＝∠BOD.又∵OD＝OD，OC＝OB，∴△COD≌△BOD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．2.如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．[解析]要证明直线AB是⊙O的切线，由于直线AB与⊙O已有公共点C，所以连接OC，只需要证明OC⊥AB即可．证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线，∴OC ⊥AB.∵AB经过半径OC的外端点C，∴AB是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．3．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．证明：(1)如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.(2)如图，连接OD.∵点O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．4．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD.又∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．5．如图所示，设AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B.求证：直线CD与⊙O相切．证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB ＝90°.∵∠CDA＝∠B＝∠BDO，∴∠ADO＋∠ADC＝90°，即OD ⊥CD.∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．6．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径作半圆交AC 于点D，点E 为BC 的中点，连接DE.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD 的长．解：(1)证明：如图，连接OD，OE，BD.∵AB为⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴DE＝BE.在△OBE 和△ODE∴△OBE≌△ODE(SSS)，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，即OD⊥DE，故DE 为⊙O 的切线．(2)在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∴BC＝12AC.∵BC＝2DE ＝4，∴AC＝8.又∵∠C＝90°－∠A＝60°，∠BDC＝90°，∴∠DBC＝30°，∴DC＝12BC＝2，则AD＝AC－DC＝6.►类型之二无公共点时，过圆心作垂线，证相等欲证直线与圆相切，当直线与圆无公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径，利用“到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线”可以证明直线是圆的切线．7．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定()A．与x 轴相离，与y 轴相切B．与x 轴、y 轴都相离C．与x 轴相切，与y 轴相离D．与x 轴、y 轴都相切[答案]A8．如图，在直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y ＝－2x＋5与⊙O 的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法确定[解析]C 如图1－ZT－11所示，过O 作OC⊥直线AB，垂足为C，对于直线y＝－2x＋5，令x＝0，解得y＝5；令y＝0，解得x＝52，∴A(52，0)，B(0，5)，即OA＝52，OB＝5，∴在Rt△AOB 中，根据勾股定理得AB＝OA 2＋OB 2＝52.又S △AOB ＝12AB·OC＝12OA·OB，∴OC＝OA·OB AB ＝52×552＝1.又⊙O的半径为1，∴直线y＝－2x＋5与圆O的位置关系是相切．9．如图所示，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．证明：如图，连接OD，则OD⊥AB.过点O作OE⊥AC于点E.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵O是BC的中点，∴OB＝OC.又∵∠BDO＝∠CEO＝90°，∴△BDO≌△CEO，∴OD＝OE，∴AC与⊙O相切(到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线)．专题二:不规则图形的面积及曲线长的求法►类型之一用覆盖法求阴影图形的面积1．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是________．[答案]π－2[解析]∵在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影部分＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(222－12×2×2＝π－2.2.如图所示，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(结果用π表示)．[答案]8－2π[解析]用四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝π2×4－2×2＝2π－4，阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4＝8－2π.►类型之二用旋转求阴影图形的面积3．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为BB′︵，若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是()A.π2B.π3C.π4D．π[解析]A ∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴BC＝ACtan60°＝1×3＝3，AB＝2AC＝2.根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S △ABC ＝S △AB′C′，AB ＝AB′，∴S 阴影＝S 扇形BAB′＋S △AB′C′－S △ABC ＝45π×22360＝π2.4．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，雨刷CD 扫过的面积如图所示，现量得：CD＝80cm，∠DBA＝20°，AC＝115cm，DA ＝35cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．解：由题意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，且大扇形半径AC＝115cm，小扇形半径AD＝35cm，且圆心角都为直角，所以雨刷CD 扫过的面积为S 扇形CAC′－S 扇形DAD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4×(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm 2)．答：雨刷扫过的面积为3000πcm 2.►类型之三用平移求阴影图形的面积5．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，求图中阴影部分的面积．[解析]将小圆向右平移，使之与大圆的圆心重合，阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图2－ZT －6所示，连接OB，过点O 作OC⊥AB 于点C，则AC＝BC＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影部分＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB 2－12π·OC 2＝12π(OB2－OC 2)＝12πBC 2＝72π.►类型之四用等积变形求阴影图形的面积6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为()A．4πB．2πC．πD.2π3[解析]D 连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝3，故S △OCE ＝S △ODE ，则阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积．又∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OB＝2，故S 扇形BOD ＝60π×22360＝2π3，即阴影部分的面积为2π3D.►类型之五用割补法求阴影图形的面积7.如图所示，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为________．[答案]2π－4[解析]连接AB.由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形AOB－S △OAB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.8．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC 为直径作半圆，圆心为O.以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________．[答案]5π33[解析]连接CE.由题意，得∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD ＝2，BC＝CE＝4.又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°，∴在Rt△OEC 中，OE＝23，cos∠OCE＝OC CE ＝24＝12，∴∠OCE＝60°.∴S 阴影＝S 扇形BCE －S 扇形BOD －S △OCE ＝60π×42360－14π×22－12×2×23＝5π3－23.9．如图所示，OC 平分∠MON，点A 在射线OC 上，以点A 为圆心，半径为2的⊙A 与OM 相切于点B，连接BA 并延长交⊙A 于点D，交ON 于点E.(1)求证：ON 是⊙A 的切线；(2)若∠MON＝60°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)证明：过点A 作AF⊥ON 于点F.∵⊙A 与OM 相切于点B，∴AB⊥OM.∵OC 平分∠MON，∴AF＝AB＝2，∴ON 是⊙A 的切线．(2)∵∠MON＝60°，AB⊥OM，∴∠OEB＝30°.∵AF⊥ON，∴∠FAE＝60°.在Rt△AEF 中，EF＝23，∴S 阴影＝S △AEF －S 扇形DAF ＝12AF·EF－603602＝23－23π.►类型之六用圆的周长公式计算曲线长10．如图所示，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是()A．2πcm B．4πcmC．8πcm D．16πcm[解析]B∵一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，∴圆心移动的距离等于圆的周长，即2π×42＝4π(cm)．►类型之七用弧长公式计算曲线长11．如图所示，△ABC 的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在三角形的相邻两边上)，则这三条弧的长度之和是()A．4πB．3πC．6πD．5π[解析]D 三个圆的圆弧缺少的部分之和是∠A＋∠B＋∠C 360·2π·1＝180360三个圆的周长为2π×1×3＝6π，则这三条弧的长度之和是6π－π＝5π.12．如图所示，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6.三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边上时立即停止转动，则点B转过的路径长为________．[答案]2π►类型之八用分步求和计算曲线长13.[安徽模拟]如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为________．[答案]4π3[解析]从图中发现，B 点从开始至结束所走过的路径长度为两段圆弧，第一段长120π×1180，第二段长120π×1180.故B 点从开始至结束所走过的路径长度＝120π×1180＋120π×1180＝4π3.14．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆做如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O 所经过的路线长是________m(结果用π表示)．[答案](2π＋50)[解析]由图2－ZT－16可知，圆心先向前走O 1O 2的长度，即14圆的周长，然后沿着O 2O 3︵旋转1450m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半(即半圆)加上50m，由已知得圆的半径为2m，则半圆的弧长l＝（90＋90）×π×2180＝2π(m)，∴圆心O 所经过的路线长＝(2π＋50)m.15．如图所示，将一长为4cm，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚(顺时针方向)，木板上点A 的位置变化为A→A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为多少？解：由图形知AA 1︵的圆心角为90°，半径为长方形的对角线长，为32＋42＝5(cm)，从而求出AA 1︵的长为90π×5180＝52π(cm)．同理，A 1A 2︵的圆心角为60°，半径为3cm，从而求出A 1A 2︵的长为60π×3180＝π(cm)，从而得点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为52π＋π＝72►类型之九用转化的方法求曲线长16．如图所示，已知圆柱体底面的半径为2π，高为2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线．若一只小虫从点D 出发，从侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．[答案]22[解析]沿AD，BC 将圆柱侧面剪开，并展开得到矩形B 1C 1D 1A 1，如图2－ZT－19所示，B 1C 1＝BC＝2，A 1B 1＝2×2π×π×12＝2，B 1D 1＝22＋22＝2 2.即小虫爬行的最短路线的长度是22.。
中考数学复习与圆的切线有关的证明与计算课件
∴∠OAD＝∠ODA.
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°.
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠AFC＝90°.
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
预测答图
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵BF＝8，DF＝ 40，⊙O 的半径为 r，
∴OF＝BF－OB＝8－r. ∵在直角三角形 OFD 中，OD2＋OF2＝DF2，
∴r2＋(8－r)2＝( 40)2，
解得 r＝6 或 r＝2(不合题意，舍去)， ∴⊙O 的半径 r＝6.
(1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
图Z12－2
解：(1)如图(1)，连结OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∴∠OCD＝90°.
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.
教材母题答图 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过 切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得 到切线与半径垂直．
[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径， AD⊥l于点D.
[2013·防城港]如图Z12－7，以△ABC的BC边上一点 O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为 BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O 的半径 r.
中考数学与圆的切线相关的证明与计算
中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。
中考数学 考点系统复习 第六章 圆 微专题(七) 与切线有关的常考五大模型
1 ∴CD＝3，∠DAC＝2∠BAC， ∴AD＝ AC2－CD2＝4，∠DAO＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形 ADEO 是矩形， ∴OE＝AD＝4， ∴⊙O 的半径是 4.
类型三： 与锐角三角函数结合
【类型归纳】
模型展示
常见辅助线
连接圆心与切点
若问题中涉及到直角(或构造出直角)时，可以利用锐角三角函数来
半圆与 AB，AC 相切，切点分别为 D，E.过半圆上一点 F 作半圆的切线，
BM·CN 分别交 AB，AC 于点 M，N，那么 BC2 的值为 A.18 B.14 C.12 D．1
(B )
7．★如图，AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点， AD 和过 C 点的切线互
25 相垂直，垂足为 D.若 AD＝4，AC＝5，则 AB 的长为 4 .
AD⊥DC，若⊙O 的半径为 3，AD＝4，则 AC＝2 6.连接 BC，OC，由
常见结论 与方法
AD⊥DC 和直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵DC 是⊙O 的切线，∴∠DCA＝∠ABC，∴△ADC∽△ACB，得出AADC＝
AACB，进而求出 AC＝2 6.
对应练习
6．★如图，在等腰三角形 ABC 中，O 为底边 BC 的中点，以点 O 为圆心作
OB＝3，PB＝2.连接 OC，由切线的性质可得 OC⊥PC，易得 PO＝BO
＋PB＝5，再利用勾股定理，可得 PC＝ PO2－OC2＝4.
对应练习 1．★(2022·深圳)如图，三角形 ABE 为直角三角形，∠ABE＝90°，BC 为⊙O 的切线，C 为切点，CA＝CD，则△ABC 和△CDE 的面积之比为( B ) A．1∶3 B．1∶2 C. 2∶2 D．( 2－1)∶1
中考专题提升与圆的切线有关的计算与证明
专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．图Z12－1 经典母题答图【解析】如答图，连结OC.∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方式】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，取得切线与半径垂直．【中考变形】[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图Z12－2解：(1)如答图①，连结AC，∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；中考变形答图①中考变形答图②(2)如答图②，连结AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考预测】[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1)求证：AP＝AB；(2)假设OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25，∵12PC·OH＝12OC·OP，∴OH＝OP·OCPC＝455，∴CH＝OC2－OH2＝85 5，∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝165 5，∴BP＝BC－PC＝1655－25＝655.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．图Z12－4经典母题答图证明：如答图，连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．【思想方式】证明圆的切线经常使用两种方式“作半径，证垂直”或“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD ⊥CD.(1)假设BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)假设AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．图Z12－5 中考变形1答图解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)证明：如答图，连结OC，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直线CD是⊙O的切线．2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假设CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．图Z12－6 中考变形2答图【解析】(1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，依照“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE ＝90°，从而得证；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理成立关于半径的方程求解．解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.【中考预测】如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)假设BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH＝BH＝12BF＝1，∴HD＝DF2－FH2＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。
中考压轴题圆的切线证明和计算附详解(中考真题汇编)
圆的切线证明和圆中计算附详解(2024年中考数学真题汇编)1.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．（1)求证:BD 是半圆O 的切线.（2)当3BC =时,求 AC 的长．2.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===．以点A 为圆心,以AD 为半径作 DE交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作 EF所交BC 于点F ,连接FD 交 EF 于另一点G ,连接CG ．（1)求证：CG 为 EF所在圆的切线（2)求图中阴影部分面积．（结果保留π)3.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.4.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =,O 是ABC 的外接圆,点D 在 O 上（AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】（1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】（2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】（3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示)5.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =,D 为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos4ADC ∠=.O 是ACD 的外接圆．（1)求BC 的长（2)求O 的半径．6.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。
中考数学复习专项训练--圆的切线证明及圆内长度计算(含解析)
中考数学复习专项训练--圆的切线证明及圆内长度计算（含解析）一、综合题（共23题；共245分）1.（2021·肇源模拟）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：．（3）若PD=4，，求直径AB的长．2.（2021·南山模拟）如图，内接于，AB为直径，作交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点E且．（1）求证：直线CE是的切线；（2）如果，，求弦AC的长．3.（2021·光明模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O，D分别在AB，AC上，CD＝CB，⊙O 经过点B，D，弦DF⊥AB于点E，连接BF．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若∠C＝60°，BF＝3，求DF的长．4.（2021·三水模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．5.（2021·陕西模拟）如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC 的垂线，交AC的延长线于点D.（1）求证：DP是⨀的切线；（2）若AC=5，,求AP的长.6.（2021·武汉模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝6，cosC＝时，求⊙O的半径.7.（2021·铁东模拟）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．8.（2021九下·江阴期中）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB.（1）求证：PB是⊙O的切线.（2）若PB＝3，tan∠PDB＝，求⊙O的半径.9.（2021九下·叙州期中）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．10.（2021·兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径.11.（2021·白银模拟）如图，在菱形ABCD中，P为对角线AC上一点，AB与经过A、P、D三点的⊙O相切于点A.（1）求证：AP＝DP；（2）若AC＝8，tan∠BAC＝，求⊙O的半径.12.（2021·越城模拟）△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O 的切线DF，交AB的延长线于F.（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的长.13.（2021·越城模拟）如图，已知与相切于点A，直线与相离，于点B，且与交于点的延长线交直线于点C.（1）求证：；（2）若的半径为3，求线段的长.14.（2021·长宁模拟）如图，是的直径，.（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值.15.（2021·郫都模拟）如图，中，.以AB为直径作，与AC相交于点D，连接BD.点E为上一点，且，连接EO并延长交CB的延长线于点F.（1）求证：；（2）求证：CE是的切线；（3）若，求AC的长.16.（2021·东台模拟）如图，以为直径作半圆O，C是半圆上一点，的平分线交于点E，D为延长线上一点，且.（1）求证：为的切线；（2）若，求的长.17.（2021·开江模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F.（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，sinC＝，求直径AB的长.18.（2021·淮安模拟）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P.点C 在OP上，且BC＝PC.（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长.19.（2021·咸宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，AD=1，BD=3，求AF的长.20.（2021·黄冈模拟）如图，是的直径，切于点，，的延长线交于点.（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长.21.（2021九下·咸宁月考）如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，∠BED=∠C.（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OA=6，AC=8，求tan∠B的值.22.（2021·邹城模拟）如图，为⊙O的直径，弦于点M，过B点作，交的延长线于点E，连接．（1）求证：为⊙O的切线；（2）如果，求⊙O的直径．23.（2021·门头沟模拟）如图，AB是的直径，C是上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，．（1）求证：CE是的切线；（2）如果，，求AB的长．参考答案一、综合题1.【答案】（1）证明：连接OD，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵AB⊥CD，AB是直径，∴= ，∴∠DOP=∠COP，在△DOP和△COP中，，∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠PDO=∠PCO=90°，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠PDO=90°，∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠A=∠PDB，∵∠BPD=∠BPD，∴△PDB∽△PAD，∴，∴；（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB=∠DMB=90°，∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°，∴∠A=∠CDB，∵，∴，∵△PDB∽△PAD，∴∵PD=4，∴PB=2，PA=8，∴AB=8-2=6．【解析】【分析】（1）连接OD、OC，证△PDO≌△PCO，得出∠PDO=∠PCO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；（3）根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用AB=PA-PB即可求出答案．2.【答案】（1）证明：连接，，，，，，，，，，，，，是的切线；（2）解：在中，，，，，，，，，，，在中，，在和中，，，，，即，．【解析】【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则，则可得出结论；（2）先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出的长．3.【答案】（1）证明：连接OD，OC，如图：∵CD＝CB，OD＝OB，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）解：在四边形OBCD中，∠ODC＝∠OBC＝90°．∵∠BCD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠F＝∠BOD＝60°．∵DF⊥AB，∴EF＝BFcos60°＝3× ＝，∴DF＝2EF＝3．【解析】【分析】（1）连接OD，OC，根据“SSS”可得△OBC≌△ODC，进而可得结论；（2）根据圆周角性质可得∠F＝60°，再利用60°角的余弦可得EF的长，进而可得DF．4.【答案】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．5.【答案】（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P为的中点；∴∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP为⨀O半径；∴DP为⨀O的切线（2）解：连接BC，交于OP于点G；∵AB是圆O的直径；∴∠ACB为直角；∵∴sin∠ABC=AC=5,则AB=13,半径为由勾股定理的BC= ，那么CG=6又∵四边形DCGP为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP中，AP=【解析】【分析】（1）连接OP，根据等腰三角形的性质及弧、圆周角的关系，可求出∠3=∠2，从而得出OP∥DA，利用平行线的性质得出∠OPD=90°，根据切线的判定定理即证；（2）连接BC，交于OP于点G，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，=sin∠ABC=，从而求出AB=13，半径OB=，利用勾股定理求出BC=12，即得CG=6，根据矩形的性质，得出GP=DC=PO-OG=4，继而得出AD=AC+CD=9，在Rt△ADP中，利用勾股定理求出AP的长即可.6.【答案】（1）证明：连接OM，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠MBE，即∠OMB=∠MBE，∴OM∥BC，∴∠AMO=∠AEB=90°，∴AE与⊙O相切（2）解：∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴BE=CE，AE⊥BC，∵BC=6，cosC＝= ，∴BE=CE=3，AB=AC=9，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴，设半径为r，则，解得：r= ，即⊙O的半径为【解析】【分析】（1）连接OM，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠OBM=∠OMB=∠MBE，利用平行线的判定可证OM∥BC，可得∠AMO=∠AEB=90°，根据切线的判定定理即证；（2）利用等腰三角形三线合一的性质得出BE=CE，AE⊥BC，由cosC＝=，求出BE=CE=3，AB=AC=9，根据平行线可证△AOM∽△ABE，可得，设半径为r，则，求出r值即可.7.【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵DE⊥OA，∴∠HED＝90°，∴∠H＋∠D＝90°，∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，∴∠BOC＝∠D，∴∠H＋∠BOC＝90°，∴∠OCH＝90°，∴DC⊥OC，∴DC与⊙O相切；（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：则AG∥OC，∵DC⊥OC，∴∠OCH＝90°，∵∠BOC＝∠D，OC＝4，∴cos∠BOC＝＝，∴OH＝OC＝5，∴AH＝OA＋OH＝4＋5＝9，CH＝＝＝3，∵AG∥OC，∴△OCH∽△AGH，∴＝＝＝，∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，∴AC＝＝＝．【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA＋OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．8.【答案】（1）证明：，，，，，半径，是的切线.（2）解：如图，连接，，.和是的切线，，，设的半径是，则，切于点，，，，.【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可证得∠E=∠PBO，利用垂直的定义可证得∠E=∠PBO=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）连接OC，利用解直角三角形求出BD的长，利用勾股定理求出PD的长；再利用切线长定理可求出PC的长；设圆的半径为r，利用切线的性质证明△OCD是直角三角形，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值.9.【答案】（1）证明：∵OA= OD，∴∠A=∠ABD= 30°，∴∠A=∠ADO= 30°，∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°,∴∠ODB= 180° -∠DOB-∠B = 90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O 的切线；（2）解：)∵∠ODB= 90°，∠DBC= 30°,∴ OD=OB，∵OC = OD，∴BC=OC=1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）解：∵OD= 1，∴DE= 2，BD=，∴ BE==，∵BD是⊙O 的切线，BE是⊙O 的割线，∴BD2=BM·BE，.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO= 30°，求出∠DOB= 60°，再求出∠ODB = 90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD=OB，即可得到结论；(3)解直角三角形得到DE=2，BD=，根据勾股定理得到BE==，根据切割线定理即可得到结论.10.【答案】（1）证明：连结DO、DE，∵AE为直径，∴∠ADE=90°∵∠C＝90°，∴∠ADE=∠C＝90°，∴DE∥CB，∴∠EDB=∠DBC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠A＝∠CBD，∴∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB，∵∠ODB=∠EDB+∠ODE=∠ADO+∠ODE=∠ADE=90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠CBD，∠DCB=∠BCA，∴△DCB∽△BCA，∴，∵CD＝1，BC＝2，∴，∵DE∥CB，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AD=AC-CD=4-1=3，∴，∴，在Rt△ADE中，∴.【解析】【分析】（1）连接OD、DE，由AE为直径，可得∠ADE=90°，结合∠C=90°，可得DE∥CB，可证∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB，通过计算∠ODB=∠ADE=90°即可得出结论；（2）先证△DCB∽△BCA，可得比列，求出，再证△ADE∽△ACB，可得比列，求出，在Rt△ADE中由勾股定理算出AE ，进而由即可得到结果.11.【答案】（1）证明：连接DP、OP、OA，OP交AD于E，如图1∵直线AB与⊙O相切，∴OA⊥AB，∴∠BAC+∠OAP=90°，∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠BAC+∠OPA=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DAC+∠OPA=90°，∴OP⊥AD，∴，∴AP=PD（2）解：连接BD，交AC于点F，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分，∵AC=8，tan∠BAC=tan∠DAC= ，∴AF=4，tan∠DAC= ，∴DF=2，∴AD= ，∴AE= ，在Rt△PAE中，tan∠DAC= ，∴PE= ，设⊙O的半径为R，则OE=R- ，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R- ）2+（）2，∴R= ，即⊙O的半径为.【解析】【分析】（1）连接DP、OP、OA，OP交AD于E，由切线性质可得∠BAC+∠OAP=90°，由菱形的性质可得∠BAC=∠DAC，即∠DAC+∠OPA=90°，由垂径定理可得结果；（2）连接BD，交AC于点F，由菱形的性质可得DB与AC互相垂直平分，可得AF=4，tan∠DAC=，DF=2，根据勾股定理可得AD，即可得AE，由正切值可得PE，根据垂径定理和勾股定理可得半径.12.【答案】（1）证明：连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∴DF∥BC；（2）解：连接OB，∵，∴∠BOD＝∠BAC，由（1）知OD⊥BC，∴tan∠BOD＝，∵tan∠BAC＝2 ，∴，设ON＝x，BN＝2 x，由勾股定理得：OB＝3x，∴OD＝3x，∴DN＝3x﹣x＝2x，Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，∴，解得x＝2或﹣2（舍），∴OB＝OD＝3x＝6，Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得：OD⊥DF，由角平分线得∠BAD＝∠CAD，则所对的弧相等，由垂径定理得：OD⊥BC，从而得结论；（2）先得∠BOD＝∠BAC，根据tan∠BOD＝，设ON＝x，BN＝，利用勾股定理解决问题.13.【答案】（1）证明：如图，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°，∴∠OAP+∠BAC=90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC=90°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=∠BPC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD=90°，∵OB=5，OP=3，∴PB=2，∴BC=AB= ，在Rt△PBC中，PC= ，∵∠DAP=∠CPB，∠APD=∠PBC=90°，∴△DAP∽△PBC，∴，即，解得：AP=【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAB=90°，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到∠BAC=∠BCA，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，根据勾股定理求出BC，PC，证明△DAP∽△PBC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.14.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线（2）解：∵BD=5，CD=4，∴BC=9，∵△ADC∽△BAC（已证），∴，即AC2=BC×CD=36，解得：AC=6，在Rt△ACD中，AD= ，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA-CD=2，在Rt△AFD中，AF=【解析】【分析】（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=900，从而可判断AC是⊙O的切线;（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长.15.【答案】（1）证明：∵AB为的直径，，，，又，（2）证明：在和中，，，，，∴CE是的切线（3）解：，，，，，，，设，在中，，，，，【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得出，根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出，求出，由勾股定理求出OF的长，求出，则可得出答案.16.【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴为的切线（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C=∠AEB=90°，求得∠D=∠AFD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBF，求得∠DAB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠CBF=∠CAE=∠EBA，解直角三角形即可得到结论.17.【答案】（1）证明：连接OC，∵D 是的中点，∴∠AOD＝∠COD∵OA＝OC，∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°∵∠AOE＝2∠ACD，∠CAE＝2∠ACD，∴∠CAE＝∠AOE∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°∴AE是⊙O的切线（2）解：∵∠ACD＝∠B∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠ACD，∴，∴由勾股定理得：∵∠ACD＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD∴△DFH～△CFD∴∴∴设OA＝OD＝x，∴∵AF2+OF2＝OA2∴，解得：x＝10∴OA＝10∴直径AB的长为20.【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理可证得∠AOD＝∠COD，利用等腰三角形的性质可证得∠AFE＝90°，可推出∠E+∠EAF＝90°；再利用圆周角定理可证得∠AOE＝2∠ACD，∠CAE＝2∠ACD，可推出∠CAE=∠AOE，由此可证得∠E+∠AOE＝90°，利用三角形的内角和定理可求出∠EAO=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）利用已知条件易证∠ODB＝∠ACD，利用解直角三角形可求出HF的长，利用勾股定理求出DF的长；再证明△DFH～△CFD，利用相似三角形的对应边成比例可求出CF的长，设OA＝OD＝x，用含x的代数式表示出OF的长；然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，继而可求出直径AB的长.18.【答案】（1）解：直线BC是⊙O的切线，证明：连接OB.∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴，即，AP=9，∴BP=AP-BA=9-2=7.【解析】【分析】（1）连接OB，由等边对等角可得∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由∠A+∠P=90°，可得∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，可得结果；（2）连接DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠ABD=90°，可得Rt△ABD∽Rt△AOP，根据相似三角形对应边成比例可得结果.19.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠EAB+∠EBA＝90°，∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线.（2）解：在Rt△ABD中，.∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，∵∠DAF＝∠DBE，∴∠DAF＝∠ABD.∵∠ADB＝∠ADF，∴△ADF∽△BDA.∴，即∴.【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，根据角的和差以及圆周角定理、等量代换可得∠ABC＝90°可得结果；（2）由勾股定理可得AB，根据角平分线定义和圆周角定理可得△ADF∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例可得结果.20.【答案】（1）证明：连接，∵，∴，，∵，∴，∴，在与中，，∴.∴，∵切于点，∴，∴，∴，∴直线是的切线.（2）解：∵，∴，设，，由（1）证得，∴，∵，∴即∴，Rt△ADO中根据勾股定理可得：即，解得：r=1，∴.【解析】【分析】（1）连接OD，由平行线的性质以及等腰三角形的性质可推出∠1=∠2，从而可以利用SAS证明△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，然后由切线的性质可得∠ODB=90°，据此证明即可；（2）由平行线的性质可得∠DEO=∠2，进而求得tan∠DEO=，设OC=r，则BC=r，由全等三角形的性质可得BD=BC=r，然后利用平行线分线段成比例求出AD的值，接下来由勾股定理可求得r的值，进而得到AO的值.21.【答案】（1）证明：根据圆周角的性质得：∠BED=∠BAD，∵∠BED=∠C，∴∠BAD=∠C，∵OC⊥AD，∴∠C+∠CAF=90°，∴∠BAD+∠CAF=90°，即：∠OAC=90°，且OA为半径，∴AC为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OAC中，∵OA=6，AC=8，∴OC=10，∵，∴，根据垂径定理可知，∴，∴，根据圆周角的性质得：∠B=∠ADE，∴，∴.【解析】【分析】（1）根据圆周角的性质得：∠BED=∠BAD，进而推出∠BAD=∠C，得到∠OAC=90°，据此证明即可；（2）首先由勾股定理可得OC=10，然后根据三角形的面积公式求出AF的值，根据垂径定理可得DF=AF=，由勾股定理求出OF的值，进而得到EF的值，根据圆周角的性质得：∠B=∠ADE，据此求解即可.22.【答案】（1）证明：，，．又为直径，为⊙O的切线；（2）解：为直径，，．∵弧BC=弧CD．，．．∴⊙O的直径．【解析】【分析】（1）先求出AB⊥BE，再根据AB为直径，进行求解即可；（2）先求出CM=3，再求出BM的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与圆的切线有关的证明与计算
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
对应训练
4. 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ， 设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。
对应训练 5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD，
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
有交点，连半径，证垂直
例1
对应训练 1.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. （1）求证：直线PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3， PC=4.求弦CE的长．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， OD 为半径作圆。
12 ∴ CF 5
9 在Rt△COF中， OF CO CF 5
2 2
9 24 ∴ FE 3 5 5
在Rt△CFE中， CE CF 2 EF 2
12 5 5
对应训练 2.如图，AB是⊙O 的直径，⊙O交BC的中点于D， DE⊥AC. 求证：DE与⊙O相切.
对应训练 3.如图，已知AB是⊙O的直径，过点E的直线EF与AB 的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。 求证：CF是⊙O的切线。（5分）
求证：AC 是⊙ O 的切线。
证明：过O作OE⊥AC于E ∵ AO平分∠BAC OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OE是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线
E
证明：（1）如图1，连接OE， ∵OA=OE， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上，OE是半径， ∴GF是⊙O的切线．
∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线．
又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
对应训练
6.如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点 E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径 OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
︵ ︵ ∴AD＝BD，∴AD＝BD. ∴Rt△ABD 为等腰直角三角形，AD＝BD＝5 2cm. ∴AC＝8 cm，AD＝5 2 cm；
(2)直线PC与⊙O相切．
理由：如图，连结OC，
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10， ∴AB=CD=10，∠ABE=90°， 设OA=OE=x，则OB=10﹣x， 在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5， 由勾股定理得：OB2+BE2=OE2， ∴（10﹣x）2+52=x2，
∴
∴⊙O的直径为
．
【中考预测】
如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6cm，D，E 分别是∠ACB
（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC. ∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP. 又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB是⊙O的切线.
（2）解:过C作CF⊥PE于点F. 在Rt△OCP中，OP= OP2 CP 2 5
1 1 S OC CP OP CF ∵ OCP 2 2
的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：(1)如图，连结BD，
∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
看看你能得几分？
（1）证明：连接OE……………1分 ∵AE平分∠FAC ∴∠CAE=∠OAE 又∵OA=OE， ∴ ∠OEA=∠OAE …………..…2分 ∴ ∠CAE=∠OEA ∴OE∥AC…………………....…3分 ∴∠OEF=∠ACF 又∵AC⊥EF ∴∠OEF=∠ACF=90° ∴OE⊥CF …………………...…4分 又∵点E在⊙O上 ∴CF是⊙O的切线…………..…5分