中考数学专题复习---圆的切线有关的证明与计算
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中考数学专题复习
与圆的切线有关的证明与计算
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
对应训练
4. 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ， 设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。
对应训练 5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD，
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
有交点，连半径，证垂直
例1
对应训练 1.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. （1）求证：直线PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3， PC=4.求弦CE的长．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， OD 为半径作圆。
12 ∴ CF 5
9 在Rt△COF中， OF CO CF 5
2 2
9 24 ∴ FE 3 5 5
在Rt△CFE中， CE CF 2 EF 2
12 5 5
对应训练 2.如图，AB是⊙O 的直径，⊙O交BC的中点于D， DE⊥AC. 求证：DE与⊙O相切.
对应训练 3.如图，已知AB是⊙O的直径，过点E的直线EF与AB 的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。 求证：CF是⊙O的切线。（5分）
求证：AC 是⊙ O 的切线。
证明：过O作OE⊥AC于E ∵ AO平分∠BAC OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OE是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线
E
证明：（1）如图1，连接OE， ∵OA=OE， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上，OE是半径， ∴GF是⊙O的切线．
∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线．
又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
对应训练
6.如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点 E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径 OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
︵ ︵ ∴AD＝BD，∴AD＝BD. ∴Rt△ABD 为等腰直角三角形，AD＝BD＝5 2cm. ∴AC＝8 cm，AD＝5 2 cm；
(2)直线PC与⊙O相切．
理由：如图，连结OC，
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10， ∴AB=CD=10，∠ABE=90°， 设OA=OE=x，则OB=10﹣x， 在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5， 由勾股定理得：OB2+BE2=OE2， ∴（10﹣x）2+52=x2，
∴
∴⊙O的直径为
．
【中考预测】
如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6cm，D，E 分别是∠ACB
（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC. ∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP. 又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB是⊙O的切线.
（2）解:过C作CF⊥PE于点F. 在Rt△OCP中，OP= OP2 CP 2 5
1 1 S OC CP OP CF ∵ OCP 2 2
的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：(1)如图，连结BD，
∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
看看你能得几分？
（1）证明：连接OE……………1分 ∵AE平分∠FAC ∴∠CAE=∠OAE 又∵OA=OE， ∴ ∠OEA=∠OAE …………..…2分 ∴ ∠CAE=∠OEA ∴OE∥AC…………………....…3分 ∴∠OEF=∠ACF 又∵AC⊥EF ∴∠OEF=∠ACF=90° ∴OE⊥CF …………………...…4分 又∵点E在⊙O上 ∴CF是⊙O的切线…………..…5分
与圆的切线有关的证明与计算
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
对应训练
4. 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ， 设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。
对应训练 5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD，
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
有交点，连半径，证垂直
例1
对应训练 1.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. （1）求证：直线PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3， PC=4.求弦CE的长．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， OD 为半径作圆。
12 ∴ CF 5
9 在Rt△COF中， OF CO CF 5
2 2
9 24 ∴ FE 3 5 5
在Rt△CFE中， CE CF 2 EF 2
12 5 5
对应训练 2.如图，AB是⊙O 的直径，⊙O交BC的中点于D， DE⊥AC. 求证：DE与⊙O相切.
对应训练 3.如图，已知AB是⊙O的直径，过点E的直线EF与AB 的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。 求证：CF是⊙O的切线。（5分）
求证：AC 是⊙ O 的切线。
证明：过O作OE⊥AC于E ∵ AO平分∠BAC OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OE是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线
E
证明：（1）如图1，连接OE， ∵OA=OE， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上，OE是半径， ∴GF是⊙O的切线．
∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线．
又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
对应训练
6.如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点 E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径 OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
︵ ︵ ∴AD＝BD，∴AD＝BD. ∴Rt△ABD 为等腰直角三角形，AD＝BD＝5 2cm. ∴AC＝8 cm，AD＝5 2 cm；
(2)直线PC与⊙O相切．
理由：如图，连结OC，
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10， ∴AB=CD=10，∠ABE=90°， 设OA=OE=x，则OB=10﹣x， 在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5， 由勾股定理得：OB2+BE2=OE2， ∴（10﹣x）2+52=x2，
∴
∴⊙O的直径为
．
【中考预测】
如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6cm，D，E 分别是∠ACB
（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC. ∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP. 又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB是⊙O的切线.
（2）解:过C作CF⊥PE于点F. 在Rt△OCP中，OP= OP2 CP 2 5
1 1 S OC CP OP CF ∵ OCP 2 2
的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：(1)如图，连结BD，
∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
看看你能得几分？
（1）证明：连接OE……………1分 ∵AE平分∠FAC ∴∠CAE=∠OAE 又∵OA=OE， ∴ ∠OEA=∠OAE …………..…2分 ∴ ∠CAE=∠OEA ∴OE∥AC…………………....…3分 ∴∠OEF=∠ACF 又∵AC⊥EF ∴∠OEF=∠ACF=90° ∴OE⊥CF …………………...…4分 又∵点E在⊙O上 ∴CF是⊙O的切线…………..…5分