解三角形常见题型
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（2） ，则bc＝3。
将a＝2，cosA＝ ，c＝ 代入余弦定理： 中，
得 解得b＝ 。
点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。
4．在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ．
（Ⅰ）若 的面积等于 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
4.在△ABC中， ，判断△ABC的形状。
答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1.(2005年全国高考上海卷)在 中，若 ， ， ，
则 的面积S＝_________
2．在 中， ， ， ，求 的值和 的面积。
A． B．
C． D．
分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)．
5（2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知 ，AC边上的中线BD= ，求sinA的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且 ，设BE＝x
解三角形常见题型
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
1.在 中，AB=3，AC=2，BC= ，则 ( )
设 满足条件 和 ，求 和 的值．
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：由余弦定理 ，因此，
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得 从而
2． 的三个内角为 ，求当A为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得 = － ，所以有cos =sin 。
A． B． C． D． 【答案】D
2．（1）在 中，已知 ， ， cm，解三角形；
（2）在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到1cm）。
3．（1）在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A；
（2）在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形
4(2005年全国高考江苏卷) 中， ，BC＝3，则 的周长为（）
2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
3.在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状。
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。
答案：
3.（07浙江理18）已知 的周长为 ，且 ．
（I）求边 的长；（II）若 的面积为 ，求角 的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得 ， ，
两式相减，得 ．
（II）由 的面积 ，得 ，
由余弦定理，得 ，
所以 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题型之四：三角形中求值问题
1.(2005年全国高考天津卷)在 中， 所对的边长分别为 ，
解法1：由 ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．
解法2：由题意，得cosB＝ ，再由余弦定理，得cosB＝ ．
∴ ＝ ，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．
（一.）测量问题
1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，
AB=120cm，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。
解析：由正弦定理得 ，∴AC=AB=120m，又∵ ，解得CD=60m。
在ΔBDE中利用余弦定理可得： ，
，解得 ， （舍去）
故BC=2，从而 ，即 又 ，
故 ，
在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求A。
答案：
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
1.(2005年北京春季高考题)在 中，已知 ，那么 一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， ，
又因为 的面积等于 ，所以 ，得 ．4分
联立方程组 解得 ， ．6分
（Ⅱ）由题意得 ，
即 ，8分
当 时， ， ， ， ，
当 时，得 ，由正弦定理得 ，
联立方程组 解得 ， ．
所以 的面积 ．12分
题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+ ；
当sin = ，即A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。
3．在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，（1）求 的值；（2）若 ， ，求 的值。
解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝， ，所以cosA＝ ，则
将a＝2，cosA＝ ，c＝ 代入余弦定理： 中，
得 解得b＝ 。
点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。
4．在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ．
（Ⅰ）若 的面积等于 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
4.在△ABC中， ，判断△ABC的形状。
答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1.(2005年全国高考上海卷)在 中，若 ， ， ，
则 的面积S＝_________
2．在 中， ， ， ，求 的值和 的面积。
A． B．
C． D．
分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)．
5（2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知 ，AC边上的中线BD= ，求sinA的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且 ，设BE＝x
解三角形常见题型
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
1.在 中，AB=3，AC=2，BC= ，则 ( )
设 满足条件 和 ，求 和 的值．
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：由余弦定理 ，因此，
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得 从而
2． 的三个内角为 ，求当A为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得 = － ，所以有cos =sin 。
A． B． C． D． 【答案】D
2．（1）在 中，已知 ， ， cm，解三角形；
（2）在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到1cm）。
3．（1）在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A；
（2）在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形
4(2005年全国高考江苏卷) 中， ，BC＝3，则 的周长为（）
2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
3.在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状。
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。
答案：
3.（07浙江理18）已知 的周长为 ，且 ．
（I）求边 的长；（II）若 的面积为 ，求角 的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得 ， ，
两式相减，得 ．
（II）由 的面积 ，得 ，
由余弦定理，得 ，
所以 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题型之四：三角形中求值问题
1.(2005年全国高考天津卷)在 中， 所对的边长分别为 ，
解法1：由 ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．
解法2：由题意，得cosB＝ ，再由余弦定理，得cosB＝ ．
∴ ＝ ，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．
（一.）测量问题
1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，
AB=120cm，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。
解析：由正弦定理得 ，∴AC=AB=120m，又∵ ，解得CD=60m。
在ΔBDE中利用余弦定理可得： ，
，解得 ， （舍去）
故BC=2，从而 ，即 又 ，
故 ，
在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求A。
答案：
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
1.(2005年北京春季高考题)在 中，已知 ，那么 一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， ，
又因为 的面积等于 ，所以 ，得 ．4分
联立方程组 解得 ， ．6分
（Ⅱ）由题意得 ，
即 ，8分
当 时， ， ， ， ，
当 时，得 ，由正弦定理得 ，
联立方程组 解得 ， ．
所以 的面积 ．12分
题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+ ；
当sin = ，即A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。
3．在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，（1）求 的值；（2）若 ， ，求 的值。
解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝， ，所以cosA＝ ，则