中考冲刺模拟考试《数学试题》带答案解析
2023初中数学中考真题模拟冲刺卷(含解析)
2023初中数学中考真题模拟冲刺卷（含解析）一、单选题1．用配方法解一元二次方程2640x x -+=，配方正确的是（）A ．()235x +=-B ．()2313x -=C ．()235x +=D ．()235x -=2．若关于x 的一元二次方程20x x n -+=有两个相等的实数根，则实数n 的值为（）A ．4B ．14C ．14-D ．－43．已知公式180n rl π=用,l r 表示n ，正确的是（）A ．180lr n π=B ．180n l rπ=C ．180r n lπ=D ．180l n rπ=4．下列运算中，正确的是（）A ．3x ÷x=4x B ．236()x x =C ．3x －2x=1D ．222()a b a b -=-5．不等式组2131532123(1)152(1)x x x x x -+⎧-≤-⎪⎨⎪-+>--⎩的解集为（）A ．102x -<<B ．12x -<≤C ．12x -≤<D ．12x -≤≤6．若y 与x 成反比例，且x=3时，y=7，则比例系数是（）A ．3B ．7C ．21D ．207．如图，四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=︒，4AB =，扇形BEF 的半径为4，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是（）A ．8433π-B ．8233π-C ．243π-D ．223π-8．如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A 、B 、C 、D 分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD 为正方形．若圆的半径为r ，组合烟花的高为h ，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计)．．二、填空题11．在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为______．12．如图，ABC 的顶点均在坐标轴上，AE BC ⊥于点E ，交y 轴于点D ，已知点B ，C 的坐标分别为()0,6B ，()2,0C ，若AD BC =，则AOD △的面积为_______．13．如图，双骄制衣厂在厂房O 的周围租了三幢楼A 、B 、C 作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O 与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC AC AB >>．已知厂房O 到每条公路的距离相等．（1）则点O 为ABC 三条_____的交点（填写：角平分线或中线或高线）；（2）如图，设BC a =，AC b =，AB c =，OA x =，OB y =，OC z =，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是_____．14．如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧 ABC 上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ，若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是_____．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC═12，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，F 为AC 中点，连接BF 、DE ，当BE 2﹣DE 2最大时，则DE 长为_______．三、解答题19．甲、乙两人相约一起去登山，乙两人距地面的高度y（米）与登山时间据图象所提供的信息解答下列问题：参考答案与解析有三条路线可走：1d x c a =+++在BC 上截取BE BA =，连接OE ∵点O 为ABC 三条角平分线的交点，∴ABO OBE ∠=∠，在ABO 和EBO 中，AB BE ABO OBE BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABO EBO ≌，∴1252ADC AOP∠=∠=︒，故答案为：25︒CD如图所示：(2)线段'(3)将线段B C'绕C点旋转180︒(2)()()150********x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩(3)甲、乙相遇后，甲再经过1.5分或10.5分与乙相距30米．【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度⨯时间即可算出乙在A 地时距地面的高度b 的值；（2）分02x ≤≤和2x >两种情况，根据高度=初始高度+速度⨯时间即可得出y 关于x 的函数关系；（3）先求出甲、乙相遇时所用时间，在路程之间的关系列出方程求解即可．【详解】（1）解：()3001002010-÷=（米/分钟），151230b =÷⨯=．故答案为：10；30；（2）解：当02x ≤≤时15y x =；当2x >时，()3010323030y x x =+⨯-=-．当3030300y x =-=时，11x =．∴乙登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式为()()150********x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩；（3）解：甲登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式为()10100011y x x =+≤≤．当101003030+=-x x 时，解得： 6.5x =；∴()()30 6.510 6.530x x ---=，解得8x =，∴ 6.5 1.5x -=；当甲距离山顶30米时，此时203 6.510.5--=（分），18【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含30°直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题．23．（1）y＝5x+30；（2）第23天去掉捐款后的利润是6235元；（3）W＝﹣5（x﹣30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b（k≠0），从表中取两个点（1，35），（3，45），把两点坐标代入函数解析式中，求得k、b即可解决；（2）设第x天去掉捐款后的利润为6235元，根据等量关系：一件的利润×销量=总利润，列出方程，解方程即可；（3）根据：总利润=一件的利润×销量，即可得出W与x之间的二次函数关系式，然后求出此二次函数最大值即可．【详解】（1）设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（1，35），（3，45）分别代入y＝kx+b中，得：35453k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：530 kb=⎧⎨=⎩，∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；（2）设第x天去掉捐款后的利润为6235元根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，整理得：x2﹣60x+851＝0，解得：x＝23或x＝37（舍），∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；（3）由题意得：W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝﹣5x2+300x+1980即W与x之间的函数关系式为W＝﹣5x2+300x+1980∵W＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5（x﹣30）2+6480，且a＝﹣5＜0，∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．【点睛】本题是函数与方程的综合性问题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，求二次函数的最值等知识，本题首先要正确理解题意，熟悉售价、进价、利润三者间的关系，其次要求有较好的运算能力．。
【中考冲刺】2023年湖北省黄冈市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年湖北省黄冈市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．34-的倒数是（ ）A ．34-B ．43C ．43-D ．342．已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形第三边的长可能是（ ） A ．4B ．5C ．10D ．113．如图，CD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AC ，DC 的中点，1EF =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．()236x x =C ．632x x x ÷=D ．222()a b a b +=+5．若,a b 方程2230x x --=的两个根，则a b +=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-6．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数7．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（ ） A ．3.2米B ．4.8米C ．5.2米D ．5.6米8．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，P 为正方形内一点，且△PBC 为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：①P AD 为等腰三角形；①PBC①22AP =①PBD ．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题 9．若分式1xx -有意义，则x 的取值范围是________． 10．201(2022)π-+-=_________．11．为了解晋州市文苑社区20~60岁居民最常用的支付方式，嘉嘉和淇淇对该社区相应年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答，在参与调查的居民中，处于41－60岁且最常用微信支付的人数为___________人．12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分①BAC 交BC 于点D ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN ，交AD 于点E ，则DE 的长为 _____.13．不等式组5741423x x x x >+⎧⎪-+⎨≤⎪⎩的最小整数解是____．14．如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为1:2.4i =，它把物品从地面A 送到离地面5米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为______．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 为等腰三角形，5AC AB ==，8BC =，点A 与坐标原点重合，点C 在x 轴正半轴上，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度后得到11A B C ，使得点B 对应点1B 在x 轴上，记为第一次旋转，再将11A B C 绕点1B 顺时针旋转一定的角度后得到211A B C ，使得点1A 对应点2A 在x 轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为___________．16．矩形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒1个单位的速度向B 点运动，至B 点停止；同时点Q 也从A 点出发，以同样的速度沿A -D -C -B 的路径运动，至B 点停止，在此过程中①APQ 的面积y 与运动时间t 的函数关系图象如图所示，则m 的值为________三、解答题17．先化简，再求值：()()2262234a ab a ab --+，其中1,2a b ==-．18．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A ，B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A 种树苗8棵，B 种树苗3棵，要950元若购买A 种树苗5棵，B 种树苗6棵，则需要800元．(1)求购买A ，B 两种树苗每棵各需多少元(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A 种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？ 19．两个可以自由转动的转盘A 、B 都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．(1)试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平． 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与函数(0)ky k x=>的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(,1)a -．(1)求a ，k 的值；(2)已知点(,0)P m ，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =+于点C ，交函数(0)ky k x=>的图象于点D ． ①当2m =时，求线段CD 的长；①若PC PD >，通过探究函数的图象，直接写出m 的取值范围．21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，E 是BC 的中点，以AC 为直径的O 与AB 边交于点D ，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若53cm cm 3CD DE ==，，求O 直径的长．22．某水果经销商以19元/千克的价格新进一批芒果进行销售，因为芒果不耐储存，在运输储存过程损耗率为5%．为了得到日销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)这批芒果的实际成本为 元千克；[实际成本＝进价÷（1﹣损耗率）](2)①请你根据表中的数据直接出写出y 与x 之间的函数表达式，标出x 的取值范围； ①该水果经销商应该如何确定这批芒果的销售价格，才能使日销售利润W 1最大？ (3)该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克芒果需支出a 元（a ＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤29，该水果经销商日获利W2的最大值为2090元，求a 的值．23．（1）如图1，O是等边①ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；①线段OD的长；①求①BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角①ABC（①ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，①ODC＝90°？请给出证明．24．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且①DQE＝2①ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．C 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：34-的倒数是43-．故选：C ． 【点睛】本题考查了倒数．倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，注意：零没有倒数．解题的关键是掌握倒数的定义． 2．C 【解析】 【分析】根据三角形的三边的关系逐个判断三角形的三边看是否符合三角形的三边关系即可． 【详解】根据三角形的三边关系可得三角形的第三边大于835-=，小于3811+=，因此可得10符合三边关系，故C 正确． 故选Ｃ． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，关键在于理解三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．B 【解析】 【分析】先利用中位线性质求得AD ，再由中线知BD =AD 即可解答． 【详解】解：①点E 、F 分别是AC 、DC 的中点， ①EF 是①ACD 的中位线， ①AD =2EF =2，①CD是①ABC的中线，①BD=AD=2故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握中位线的性质是解答的关键．4．B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 235a a a⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B. ()236x x=，故该选项正确，符合题意；C. 633x x x÷=，故该选项不正确，不符合题意；D. 222()2a b a ab b+=++，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握幂的运算法则与完全平方公式是解题的关键．5．A【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=ba-可以直接求得x1+x2的值，即本题中a b+的值【详解】解：①一元二次方程x2-2x-3=0的二次项系数是1，一次项系数-2，①由韦达定理，得x1+x2=2．即a b+=2故选：A．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．D【解析】【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选D.7．B【解析】【详解】试题分析：同一时刻，物体长度与影长成比例，所以是=，解得旗杆的高为4.8米.故选B.考点：比例的应用.8．C【解析】【分析】过点P作EF AD⊥，交AD于点E，交BC于点F，根据正方形的性质与等边三角形的性质，逐项分析计算判断即可．【详解】解：如图，过点P作EF AD⊥，交AD于点E，交BC于点F，四边形ABCD 是正方形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，AB BC CD AD ===∴四边形ABFE 是矩形1EF AB ∴==PBC 是等边三角形，60BPC CPB PCB ∴∠=∠=∠=︒，PB PC BC == 906030ABP PCD ∴∠=∠=︒-︒=︒EF BC ⊥BF FC =∴12AE ED ∴==PB PA PC PD ===()118030752BAP CDP ∴∠=∠=︒-︒=︒ 15PAD PDA ∴∠=∠=︒ ∴APD △是等腰三角形故①正确60,30PBF BPF ∠=︒∠=︒PF ∴==11122PBCSBC PE ∴=⋅⋅=⨯=故①不正确1EP EF PF ∴=-= 12AE AD =12=2222113112444AP AE EP ⎛∴=+=+=++= ⎝⎭故①正确PDB ADB EPD ABPE S S S S =--梯形111111*********⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故①正确故选C【点睛】本题考查了正方形与等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键．9．1x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x 的范围．【详解】解：根据题意得：x-1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．【点睛】本题考查了分式的意义．要使分式有意义，必须满足分母不等于0．10．2【解析】【分析】根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则，即可求得其结果．【详解】解：201(2022)π-+-=1+1=2故答案为：2【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．11．80【解析】【分析】由C的人数与占比求得总人数，根据总人数乘以45%即可求得B组的人数，进而即可求解．【详解】解：总人数为1050400 15%+=人，使用微信支付的人有40045%180⨯=人，∴处于41－60岁且最常用微信支付的人数为18010080-=人．故答案为：80．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计信息关联，根据统计图获取信息是解题的关键．12．74##314##1.75【解析】【分析】连接CE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，再利用等腰三角形的性质得到AD①BC，BD=CD=6，则利用勾股定理可计算出AD=8，设DE=x，则AE=CE=8-x，在Rt△DEC中利用勾股定理得到x2+62=（8-x）2，然后解方程即可．【详解】解：连接CE，如图，由作法得MN垂直平分AC，①EA=EC，①AB=AC=10，AD平分①BAC交BC于点D，①AD①BC，BD=CD=12BC=6，在Rt△ACD中，AD，设DE=x，则AE=CE=8-x，在Rt△DEC中，x2+62=（8-x）2，解得x=74，即DE的长为74．故答案为：74．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．13．8【解析】【分析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，从中找出最小整数解．【详解】解：5741423x xx x>+⎧⎪⎨-+≤⎪⎩①②，解①，得x>7，解①，得x≤11，①不等式组的解集为，7＜x≤11，①不等式组的整数解为，8,9,10,11，①不等式组的最小整数解为8．故答案为8．【点睛】本题考查了不等式组的最小整数解，熟练掌握解不等式组的一般方法是解决此类问题的关键．14．13m##13米【解析】【分析】根据坡度的概念求出AF ，然后根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，过B 作BF ①AF 于F ，由题意得，BF ＝5米，①斜坡的坡度i ＝1①2.4， ①BF AF ＝12.4，即512.4AF =， 解得：AF ＝12（米），由勾股定理得，AB 13（米）．故答案是：13米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角三角形的问题成为解答本题的关键．15．(12141,3)【解析】【分析】过点A 作AD ①BC 于点D ，根据AB =AC =5，BC =8，得到BD =CD =12BC =4，推出3AD ==，根据1(9,3)A ，()218,0A ，3(18,0)A ，4(27,3)A ，5(36,0)A ，6(36,0)A ，()745,3A ,…，得到每3次是一个循环组，根据202336741÷=⋅⋅⋅，得到2023A 在竖直方向的位置与1A 的位置相同，纵坐标为3，第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为67418912141⨯+=，得到第2023次旋转后钝角顶点坐标为(12141,3)．【详解】过点A 作AD ①BC 于点D ，①AB =AC =5，BC =8,①BD =CD =12BC =4，①3AD ==，由题意1(9,3)A ，()218,0A ，3(18,0)A ，4(27,3)A ，5(36,0)A ，6(36,0)A ，()745,3A ,…， 每3次是一个循环组，202336741÷=⋅⋅⋅，①2023A 在竖直方向的位置与1A 的位置相同，纵坐标为3，①第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为67418912141⨯+=，①第2023次旋转后钝角顶点坐标为(12141,3)．故答案为（12141，3）【点睛】本题主要考查了等腰三角形在坐标轴上无滑动的滚动，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练运用旋转性质探究滚动的循环组的规律，运用得到的规律解答．16．24【解析】【分析】根据①APQ 的面积y 与运动时间t 的函数关系图象先算出矩形ABCD 中AD 边的长，然后根据最后运动时间为20s 时，①APQ 的面积为0，得出此时点Q 运动到了点B 上，得出20AD DC CB ++=，从而求出DC 的长度，即可求出m 的值．【详解】当点Q 在AD 上时，①APQ 的面积y 与运动时间t 的函数关系式为：212y t =， 根据函数图象可知，当点Q 运动到D 上时，18y =，即21182t =， 解得1=6t ，26t =-（不合题意舍去）①6AD =，①根据函数图象可知，Q 点运动到B 点用的时间为20s ，①20AD DC CB ++=，①20668DC =--=，①点P 从A 点运动到B 点用的时间为：()881s =， ①8b =，①此时APQ 的面积为：186242⨯⨯=，即24m =．故答案为：24．【点睛】本题主要考查了动点图象问题，涉及矩形的性质，三角形面积的计算，解决本题的关键是弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系．17．10ab -，20【解析】【分析】根据整式的加减运算法则进行计算，然后将a 、b 的值代入即可求出答案．【详解】 ()()2262234a ab a ab --+226268a ab a ab =---10ab =-．当1,2a b ==-时，原式101(2)20=-⨯⨯-=．【点睛】本题考查整式的加减运算，解题关键是熟练运用整式的加减运算法则．18．(1)A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元(2)①进A 种树苗52棵，种树苗48棵；①购进A 种树苗53棵，种树苗47棵【解析】【分析】（1）设A 种树苗每棵x 元，B 种树苗每棵y 元，根据“购买A 种树苗8棵，B 种树苗3棵，要950元若购买A 种树苗5棵，B 种树苗6棵，则需要800元”列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗()100m -棵，根据“A 种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列出相应的一元一次不等式组，从而可以解答本题．(1)解：设A 种树苗每棵x 元，B 种树苗每棵y 元，根据题意，得：8395056800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：10050x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元；(2)设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗()100m -棵，根据题意，得：()521000100501007650m m m m ⎧≥⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，解得：5253m ≤≤，所以购买的方案有：①进A 种树苗52棵，种树苗48棵；①购进A 种树苗53棵，种树苗47棵．【点睛】本题考察一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程组或不等式组．19．(1)5 9(2)不公平，见解析【解析】【分析】（1）选择列表或画树状图法，计算概率即可；（2）先计算规则下的各自得分概率，比较概率大小，相等，则判定游戏公平．(1)利用表格或树状图列出所有可能出现的结果：总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．(2)这个游戏对双方不公平．理由如下：①数字之积为5的倍数的有3种，其概率为31 93 =，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．①5323 99⨯≠⨯，①游戏对双方不公平．修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分，若数字之积为5的倍数时，小芸得5分．【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表或画树状图法求概率是解题的关键．20．(1)3a =-，3k = (2)①12；①1m 或3m <- 【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入直线解析式可求出a 的值，再将点A 坐标代入反比例函数解析式可求k 的值；（2）①将点P 坐标分别代入直线解析式和反比例函数解析式，可求出点C ，点D 的坐标，即可求出CD 的长；①根据图象即可求解．(1)将A （a ，-1）代入y =x +2中，得：a =-3，①点A 坐标为（-3，-1），将A （-3，-1）代入(0)k y k x =>，得： k =3，①反比例函数解析式为：3y x =，故答案为：a =-3，k =3；(2)①将x =2代入y =x +2，得：y =4，①点C 坐标为（2，4），将x =2代入3y x =，得：32y =， ①点D 坐标为（2，32）， ①CD 的长为：4-32=52， ①如图，①直线y =x +2与反比例函数3y x=的图象交于A ，B 两点，①点A 坐标为（-3，-1），点B 坐标为（1，3），①当m ＞1或m ＜-3时，PC ＞PD ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是解题的关键．21．(1)见解析【解析】【分析】（1）连接OD ，先证明①BDC =90°，ODC OCD ∠=∠，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出EDC ECD ∠=∠，从而推出90ODE ∠=︒，即可证明结论；（2）先求出BC 的长，从而求出BD 的长，然后证明①ABC ①①CBD 得到AC BC CD BD=，据此求解即可．(1)解：连接OD ，AC 为圆O 的直径，90ADC ∴∠=︒，①①BDC =90°，OD OC =，ODC OCD ∴∠=∠，在Rt BCD 中，E 为BC 中点，12DE BC CE ∴==， EDC ECD ∴∠=∠，90ODC EDC OCD ECD ∴∠+∠=∠+=︒，即90ODE ∠=︒，OD DE ∴⊥，DE ∴是圆O 的切线；(2)解：在Rt BCD 中，E 为BC 中点，102cm 3BC DE ∴==， 3cm CD =，BD ∴==， AC 为直径，90ADC ACB BDC ∴∠=∠=∠=︒，又B B ∠∠=，ABC CBD ∴∽△△，AC BC CD BD∴=，103AC ∴=AC ∴=． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，直径所对的圆周角是直角等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．22．(1)20；(2)①20800(2040)y x x =-+≤≤；①这批芒果的价格为30元时，才能使日销售利润最大；(3)0.5a =【解析】【分析】（1）根据芒果进价19元/千克，在运输过程中损耗率为5%，芒果的实际进价为：1910.05-，得出结论； （2）①根据表中数据可得日销售量y 与销售价格x 满足一次函数，设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可；①根据日销售利润＝（销售单价﹣实际成本）×日销售量列出二次函数关系式，根据函数的性质以及x 的取值范围求函数最值；（3）根据日获利＝日销售利润﹣日支出费用列出二次函数关系式，然后根据函数的性质当x ＝29时，函数取得最大值，解方程求出a 的值．(1) 解：由题意知：这批芒果的实际成本为：1910.05=-20（元/千克）． 故答案为：20．(2)解：①根据表中数据可以发现，销售价格每增加5元，日销售量减少100千克， ①日销售量y 与销售价格x 满足一次函数，设y 与x 的函数关系为y ＝kx +b ，把（20，400）与（25，300）代入解析式得： 2040025300k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：20800k b =-⎧⎨=⎩， ①y 与x 之间的函数表达式y ＝﹣20x +800（20≤x ≤40），①W 1＝（x ﹣20）（﹣20x +800）＝﹣20x 2+1200x ﹣16000＝﹣20（x 2﹣60x +900﹣900）﹣16000＝﹣20（x ﹣30）2+2000，①a ＝﹣20＜0，①抛物线开口向下，又①20≤x ≤40，对称轴x ＝30，①当x＝30时，W1最大＝2000（元），答：这批芒果的价格为30元时，才能使日销售利润最大．(3)W2＝（x﹣19）（﹣20x+800）﹣a（﹣20x+800）＝﹣20x2+（1180+20a）x﹣15200﹣800a，对称轴：x11802040a+=-=29.5+0.5a，又①a＞0，①x＝29.5+0.5a＞29.5，又①抛物线开口向下，25≤x≤29，①当x＝29时，W2最大＝2090，即：﹣20×292+（1180+20a）×29﹣15200﹣800a＝2090，解得：a＝0.5，答：a的值为0.5．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及解一元一次方程，关键是根据日获利＝日销售利润﹣日支出费用列出函数关系式．23．（1）①60°；①4；①150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，①ODC＝90°，见解析【解析】【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，①ABC＝60°，再根据旋转的性质得①OBD＝①ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；①由旋转的性质得BO＝BD，加上①OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD ＝OB＝4；①由△BOD为等边三角形得到①BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，①ODC＝90°，所以①BDC＝①BDO＋①ODC ＝150°；（2）根据旋转的性质得①OBD＝①ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD，然后根据勾股定理的逆定理，当222CD OD OC＋＝时，△OCD为直角三角形，①ODC＝90°．【详解】解：（1）①①①ABC为等边三角形，①BA＝BC，①ABC＝60°，①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①①OBD＝①ABC＝60°，①旋转角的度数为60°；①①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①BO＝BD，而①OBD＝60°，①①OBD为等边三角形；①OD＝OB＝4；①①①BOD为等边三角形，①①BDO＝60°，①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①CD＝AO＝3，在①OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，①32+42＝52，①CD2+OD2＝OC2，①①OCD为直角三角形，①ODC＝90°，①①BDC＝①BDO+①ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，①ODC＝90°．理由如下：①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①①OBD＝①ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，①①OBD为等腰直角三角形，①OD，①当CD2+OD2＝OC2时，①OCD为直角三角形，①ODC＝90°，①OA2+2OB2＝OC2，①当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，①ODC＝90°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．24．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4）(2)平行四边形，理由见解析(3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0，258）【解析】【分析】（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解；（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；（3）当①DQE＝2①ODQ，则①HQA＝①HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．(1)解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，①x1＝4，x2＝1，①点A（1，0），点B（4，0），令x＝0，则y＝4，①点C（0，4）；(2)解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：①点B的坐标为（4，0），点C（0，4），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则404k bb+=⎧⎨=⎩，解得14kb=-⎧⎨=⎩，①直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，①﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，①PQ＝CO，PQ OC，①四边形OCPQ为平行四边形；(3)解：①D是OC的中点，点C（0，4），①点D（0，2），由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，①Q（2，﹣2），由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，过点Q作QH①x轴于点H，则QH CO，故①AQH＝①ODQ，而①DQE＝2①ODQ.①①HQA ＝①HQE ，则直线AQ 和直线QE 关于直线QH 对称，①设直线QE 的表达式为y ＝2x +r ，将点Q 的坐标代入上式并解得r ＝﹣6，①直线QE 的表达式为y ＝2x ﹣6，联立y ＝x 2﹣5x +4得，22654y x y x x =-⎧⎨=-+⎩解得54x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩（不合题意，舍去）， ①点E 的坐标为（5，4），设点F 的坐标为（0，m ），①BE 2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，BF 2＝m 2+42＝m 2+16，EF 2＝（m ﹣4）2+52，当BE ＝BF 时，即16+m 2＝17，解得m ＝±1；当BE ＝EF 时，即25+（m ﹣4）2＝17，方程无解；当BF ＝EF 时，即16+m 2＝25+（m ﹣4）2，解得m ＝258 ； 故点F 的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，258）. 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．。
2023年初中数学中考冲刺模拟卷一(含解析)
2023年初中数学中考冲刺模拟卷（含解析）一、单选题1．下列四个数中，最大的数是().A ．0B ．2C ．3-D ．42．技术融合打破时空限制，2020服贸会全面上“云”,据悉本届服贸会共有境内外5372家企业搭建了线上电子展台，共举办32场纯线上会议和173场线上直播会议，线上发布项目1870个，发起在线洽谈550000次，将550000用科学记数法表示为（）A ．45510⨯B ．55.510⨯C ．65.510⨯D ．60.5510⨯3．如图，在O 中，弦,AB CD 相交于点P ，若48,80A APD ∠=︒∠=︒，则B ∠的大小为（）A ．32︒B ．42︒C ．52︒D ．62︒4．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，是红球的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系中，若抛物线2211y x =-+（）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为（）A ．2243y x =+（-）B ．2242y x =++（）C ．2242y x =+（-）D ．2241y x =+（）-6．如图，正方形ABCDAC 和BD 交于点E ，点F 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ，连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ，CH ＝y ，则y 与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果3P点运动一周时，点Q运动的总路程是（）A．3B．6C．3D．88．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是()A．B．C．D．二、填空题9．因式分解：22ab ac -=_______________10．小华家客厅有一张直径为1.2,m 高为0.8m 的圆桌,AB 有一盏灯E 到地面垂直距离EF 为2,m 圆桌的影子为,2CD FC =，则点D 到点F 的距离为_______．11．不等式组240431x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是______．12．把多项式2x 3﹣8x 分解因式的结果是_____．13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是DE 延长线上的一点，若∠AFC ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，则DF 的长为________．14．在平面直角坐标系中，ABC 和111A B C △的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为()2,4，则其对应点1A 的坐标是________．15．如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AB ＝4，P 是BC 边上的动点（不与B ，C 重合），点P 关于直线AB ，AC 的对称点分别为M ，N ，则线段MN 长的取值范围是_____．16．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AB AC =，3BC =，点E 是AB 上的点，将ACE △沿CE 翻折，得到'A CE ，过点B 作BF AC ∥交BAC ∠的平分线于点F ，连接'A F ，则'A F 长度的最小值为______．三、解答题17．化简或化简求值:212(1)211a a a a +÷+-+-，其中3a =18．如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝BC ，点D 为BC 的中点．（1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：①过点B 作AC 的平行线BP ；②过点D 作BP 的垂线，分别交AC ，BP ，BQ 于点E ，F ，G ．（2）在（1）所作的图中，连接BE ，CF ．求证：四边形BFCE 是平行四边形．19．为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业．张大爷计划明年承租村民部分土地种植某种经济作物，考虑各种因素，预计明年种植该作物的总成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且部分数据如下：种植面积x （亩）4060种植该作物的总成本y （元）880012800(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果张大爷计划种植该作物120亩，请你帮张大爷计算一下种植该作物的总成本是多少？20．计算：()()3425284+-⨯--÷．21．如图，直线y x b =-+与反比例函数3y x=-的图象相交于点(),3A a ，且与x 轴相交于点B ．（1）求a 、b 的值；（2）若点P 在x 轴上，且AOP 的面积是AOB 的面积的12，求点P的坐标．22．（1）化简求值：222442111x x x x x x++++÷+--，其中x 是一元二次方程x （x ﹣1）=2x ﹣2的解．（2）解不等式组：23(3)9212135x x x x --≥⎧⎪⎨+-->-⎪⎩①②，并求其整数解的和．23．先化简，再求值：23193m m m ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中4m =-．24．如图，拋物线2y x bx c =-++交y 轴于点(02)A ，，交x 轴于点(40)B ，、C 两点，点D为线段OB 上的一个动点（不与O B 、重合)，过点D 作DM x ⊥轴，交AB 于点M ，交抛物线于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AN 和BN ，当ABN 的面积最大时，求出点D 的坐标及ABN 的最大面积；(3)在平面内是否存在一点P ，使得以点A ，M ，N ，P 为顶点，以AM 为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2223y x bx =+-的图像与x 轴交于点()3,0A ，B （点B 在点A 左侧），与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，作直线AD ．(1)填空：b =______；(2)将AOC 平移到EFG （点E ，F ，G 依次与A ，O ，C 对应），若点E 落在抛物线上且点G 落在直线AD 上，求点E 的坐标；(3)设点P 是第四象限抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交AC 于点T ．若180CPT DAC ∠+∠=︒，求AHT △与CPT △的面积之比．参考答案与解析1．D【详解】试题分析：根据正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，给出的数中，最大的数是4，故选D.考点：有理数比较大小.2．B【分析】将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a ，数出整数的整数位数，减去1确定n ，写成10n a ⨯即可【详解】∵550000=55.510⨯，故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值大于10的大数的科学记数法，将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a ，数出整数的整数位数，减去1确定n ，是解题的关键．3．A【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得32C ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】C A APD ∠+∠=∠ ，48,80A APD ∠=︒∠=︒，32C ∴∠=︒32B C ∴∠=∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．4．C【详解】试题分析：根据概率公式可得，摸到红球的概率为，故答案选C.考点：概率公式.5．A【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线2211y x =-+（）的顶点坐标为(1,1)，再利用点平移的规律得到点(1,1)平移后所得对应点的坐标为43（，），然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式．【详解】解：∵抛物线2211y x =-+（）的顶点坐标为(1,1)，∴把点(1,1)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为43（，），∴所得到的抛物线的解析式为2243y x =+（-）；故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．A【分析】证明△BEF ∽△CFH ，可得BF BECH CF=，由此构建函数关系式即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBF ＝∠ECG ＝45°，AC ⊥BD ，EB ＝EC ，∵EF ⊥EG ，∴∠BEC ＝∠FEG ＝90°，∴∠BEF ＝∠CEG ，∴△BEF ≌△CEG （ASA ），∴EF ＝EG ，∴∠EFG ＝45°，∵∠EFC ＝45°+∠CFH ＝45°+∠BEF ，∴∠CFH ＝∠BEF ，∴△BEF ∽△CFH ，∴BF BECH CF =，∴x y=∴y ＝2(0x x -+<<，故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．D【详解】在Rt △AOB 中，∵∠ABO=30°，AO=2，∴AB=4，BO=①当点P 从O→B 时，点Q 刚好从原位置移动到点O 处，如图2所示，此时点Q 运动的路程为PQ=②如图3所示，作QC ⊥AB ，则∠ACQ=90°，即PQ 运动到与AB 垂直时，垂足为P ，当点P 从B→C 运动到P 与C 重合时，∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°，∴cos30°=CQAQ，∴AQ=4cos 30CQ，∴OQ=4﹣2=2，∴此时点Q 运动的路程为QO=2，③当点P 从C→A 运动到点P 与点A 重合时，如图3所示，点Q 运动的路程为QQ′=4﹣④当点P 从A→O 运动到P 与点O 重合时，点Q 运动的路程为AO=2，∴点Q 运动的总路程为：﹣．故选D ．8．A【详解】解：分析题中所给函数图像，O E -段，AP 随x 的增大而增大，长度与点P 的运动时间成正比．E F -段，AP 逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除C 、D 选项，F G -段，AP 逐渐减小直至为0，排除B 选项．故选A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．9．()()a b c b c +-##()()a b c b c -+【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22ab ac -＝22()a b c -＝()()a b c b c +-，故答案为：()()a b c b c +-.【点睛】本题主要考查因式分解——提公因式法与公式法的综合运用，找准公因式是解题的关键．10．4【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴AB CD =20.82-.∵AB=1.2，∴CD=2.又∵FC=2,∴DF=CD+FC=2+2=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．12x ≤<【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解的公共部分，即可求解．【详解】解：240431x x -<⎧⎨-≤⎩①②，由①得：x ＜2，由②得：x≥1，∴不等式组的解：12x ≤<．故答案是：12x ≤<．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．12．2x （x +2）（x ﹣2）【分析】先提取公因式2x ，再运用平方差公式分解因式即可．【详解】解：原式＝2x （x 2﹣4）＝2x （x +2）（x ﹣2），故答案为：2x （x +2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查分解因式，能够熟练应用乘法公式进行分解因式是解决本题的关键．13．8【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF ，根据三角形中位线定理求得DE ，则DF =DE +EF ．【详解】解：在直角△AEC 中，EF 是斜边AC 上的中线，AC =6，则EF =12AC =3．在△ABC 中，DE 是中位线，BC =10，则DE =12BC =5．则DF =DE +EF =3+5=8．故答案是：8．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（4，8）或（﹣4，﹣8）【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ，即可求得答案．【详解】解：在同一象限内，∵ ABC 与111A B C △是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比等于12，A 坐标为（2，4），∴则点1A 的坐标为：（4，8），不在同一象限内，∵ ABC 与111A B C △是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比等于12，A 坐标为（2，4），∴则点1A 的坐标为：（﹣4，﹣8），故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）．【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．15．≤MN ＜【详解】连接AM 、AN 、AP ，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，如图所示．∵点P 关于直线AB ，AC 的对称点分别为M ，N ，∴AM=AP=AN ，∠MAB=∠PAB ，∠NAC=∠PAC ，∴△MAN 等腰直角三角形，∴∠AMD=45°，∴AD=MD=2AM ，AM ．∵AB=4，∠B=60°，∴，∵AM=AP ，∴故答案为≤MN ＜．【点睛】连接AM 、AN 、AP ，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，由对称性可知AM=AP=AN 、△MAN 等腰直角三角形，进而即可得出AP ，再根据AP 的取值范围即可得出线段MN 长的取值范围．16【分析】先求出ACAB =AB =BF =由勾股定理可求CF 的长，由点A '在以点C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点A '在FC 上时，A 'F 有最小值，即可求解．【详解】解：如图，90ACB ∠=︒ ，2AB AC =，1cos 2AC CAB AB ∴∠==，60CAB ∴∠=︒，tan BC CAB AC∴∠==AC ∴=AB ∴=，AF 平分BAC ∠，30BAF CAF ∴∠=∠=︒，//BF AC ，30BFA FAC ∴∠=∠=︒，90FBC BCA ∠=∠=︒，AB BF ∴==FC ∴===将ACE △沿CE 翻折，得到'A CE ，'AC A C ∴==∴点'A 在以点C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点'A 在FC 上时，'A F 有最小值，'A F ∴，．【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF 的长是本题的关键．17．11a -，12．【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式=()21111a a a a ++÷--=()21111a a a a +-⋅+-=11a -，当a=3时，原式=131-=12．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．18．（1）作图见解析；（2）证明见解析．【详解】试题分析：（1）①作∠CBQ 的平分线BP ；②过点D 作BP 的垂线；由BP//CE ，可得∠ECD=∠FBD ，∠CED=∠BFD ，又CD=BD ，从而△CDE ≌△BDF ，可得CE=BF ，从而可得BF//CE ，BF=CE ，判定出四边形BFCE 是平行四边形．试题解析：（1）①作∠CBQ 的平分线BP ；②过点D 作BP 的垂线；（2）∵BP//CE ，∴∠ECD=∠FBD ，∠CED=∠BFD ，∵点D 是BC 的中点，∴CD=BD ，∴△CDE ≌△BDF ，∴CE=BF ，∵BF//CE ，BF=CE ，∴四边形BFCE 是平行四边形．考点：1．尺规作图；2．平行四边形的判定．19．(1)200800y x =+(2)张大爷种植该作物的总成本是24800元【分析】（1）根据题意设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，利用待定系数法即可求得函数关系式．（2）将120x =代入函数关系式即可解出．(1)设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，依题意得：880040,1280060,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得200,800.k b =⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数关系式为200800y x =+．(2)当120x =时，20080020012080024800y x =+=⨯+=，∴张大爷种植该作物的总成本是24800元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．20．29-【分析】根据有理数的运算法则计算即可，注意运算顺序．【详解】()()3425284+-⨯--÷485(7)=-⨯--1140=-29=-【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．21．（1）a=﹣1，b=2；（2）P 的坐标为（1，0）或（﹣1，0）．【分析】（1）直接利用待定系数法把A （a ，3）代入反比例函数3y x=-中即可求出a 的值，然后把A 的坐标代入y=-x+b 即可求得b 的值；（2）根据直线解析式求得B 的坐标，然后根据题意即可求得P 的坐标．【详解】（1）∵直线y=-x+b 与反比例函数3y x =-的图象相交于点A （a ，3），∴3=-3a ，∴a=-1．∴A （-1，3）．把A 的坐标代入y=-x+b 得，3=1+b ，∴b=2；（2）直线y=-x+2与x 轴相交于点B ．∴B （2，0），∵点P 在x 轴上，△AOP 的面积是△AOB 的面积的12，∴OB=2PO ，∴P 的坐标为（1，0）或（-1，0）．22．（1）﹣23；（2）﹣6．【分析】（1）原式利用除法法则变形，计算得到最简结果，求出方程的解得到x 的值，代入计算即可求出值；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出解集，即可求出整数和．【详解】（1）原式=()()()2221•1112x x x x x x +--++-+=2211x x x +-++=1x x -+，已知方程整理得：（x-2）（x-1）=0，解得：x=2或x=1（舍去），当x=2时，原式=-23；（2）由①得：x≤0，由②得：x ＞-267，∴不等式组的解集为-267＜x≤0，即整数解为-3，-2，-1，0，之和为-6．【点睛】此题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．13m +，1-【分析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入4m =-求出答案即可．【详解】解：23193m m m ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭233933m m m m m -⎛⎫=÷+ ⎪---⎝⎭293m m m m =÷--()()333m m m m m -=⋅+-13m =+当4m =-时代入得，原式1143==--+．【点睛】本题考查分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．24．(1)2722y x x =-++；(2)当2t =时，ABN 有最大值，最大值为8，此时D (2)0，；(3)P 3(0)4+，或(6)2，．【分析】（1）将A ，B 的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；（2）设D (0)(04)t t <<，，根据坐标的特点，可得出点M ，N 的坐标，再根据三角形的面积公式可表达ABN 的面积，根据二次函数的性质可得出结论；（3）根据题意，易证AEM AOB ∽，由此得出AE 和AM 的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当AM MN =时，②当AM AN =时，分别求解即可．【详解】（1）解：将点(02)A ，，点(40)B ，代入抛物线2y x bx c =-++，∴21640c b c =⎧⎨-++=⎩，∴722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为：2722y x x =-++；（2）解：∵点(02)A ，，点(40)B ，，∴直线AB 的解析式为：122y x =-+；设D (0)(04)t t <<，，∵DM x ⊥轴，点M 在直线AB 上，点N 在抛物线上，∴217(t,t 2),N(t,t 2)22M t -+-++，∴2271t 2(t 2)t 422MN t t =-++--+=-+，∴ABN 的面积2211()(4)42(2)822B A MN x x t t t =⋅⋅-=⋅-+⋅=--+，∵2004t -<<<，，∴当2t =时，ABN 有最大值，最大值为8，此时D (2)0，；（3）解：存在，如图，过点M 作ME y ⊥轴于点E ，∴ME OB ∥，∴90AEM AOB AME ABO ∠=∠=︒∠=∠，，∴AEM AOB ∽，∴:::AE AO AM AB ME OB ==，Rt AOB ∆中，24OA OB ==，，∴AB =∴24AE t ==，∴12AE t AM ==，．根据题意，需要分两种情况讨论：①AM MN =时，如图，24(04)t t t =-+<<，解得82t =或t =0（舍），∴54AM =，∴54AP AM ==，∵AP MN ∥，∴点P 在y 轴上，∴53244OP =+=，∴P (0；②当AM AN =时，如图，此时AP 与MN 互相垂直平分，设AP 与MN 交于点F ，∴211(4)22MF MN t t ==-+，∵12MF AE t ==，∴211(4)22t t t -+=，解得3t =或0=t （舍），∴26AP t ==，∴P (6)2，．综上，存在点P ，使得以点A ，M ，N ，P 为顶点，以AM 为边的四边形是菱形，此时P 3(0)4，或(6)2，．【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．25．(1)43b =-(2)()3,8E -，104,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)8147【分析】（1）由题意，将点(3,0)A 代入2223y x bx =+-中，即可解得b 的值；（2）令0x =，可求得点C 的坐标，再由点D 与点C 关于x 轴对称可求得D 的坐标，求出直线AD 的表达式，由于EFG 是由AOC 平移得到，若设224(,2)33E m m m --，则224(3,4)33G m m m ---，将点G 代入直线AD 的表达式中，即可求得m ，从而得E 的坐标；（3）过C 作CK AD ⊥于K ，作CQ PH ⊥于Q ，先由勾股定理求出AD 的长，再利用等面积法求出CK 的长，再用勾股定理求AK 的长，由180CPT DAC ∠+∠=︒可得CPQ DAC ∠=∠，故tan CK CQ DAC AK PQ ∠==，设出点224(,2)33P n n n --，则可利用上式求出n 的值，由此可进一步计算出PT 与HT 的值，求出两个三角形的面积之比．(1)解： 二次函数2223y x bx =+-的图像经过点(3,0)A ，∴2203323b =⨯+-，解得43b =-．故答案是：43-；(2)解：如图1，对于二次函数224233y x x =--，当0x =时，=2y -．∴()0,2C -．点D 与点C 关于x 轴对称，∴()0,2D ．设直线AD 的函数表达式是2y kx =+．()3,0A ，∴320k +=．解得23k =-．∴直线AD 的函数表达式为223y x =-+．设点224(,2)33E m m m --，则点224(3,4)33G m m m ---．点G 在直线223y x =-+上，∴22424(3)2333m m m --=--+，整理得2120m m --=，解得13m =-，24m =．∴()3,8E -，10(4,3E ．(3)解：如图2，过点C 作CK AD ⊥，垂足为K ．2OD =，3OA =，∴AD =AO CD AD CK ⋅=⋅，∴13CK =．∴13DK =．∴13AK AD DK =-=．∴12tan 5CK CAK AK ∠==．过点C 作CQ PH ⊥，垂足为Q ．180CPT DAC ∠+∠=︒，∴CPQ CAK ∠=∠．∴125CQ PQ =．设点224(,2)33P n n n --，则22433PQ n n =-，CQ n =．∴25241233n n n =-．解得218n =，∴2129(,)832P -．∴218CQ =，213388AH =-=． 2tan 3TH OC OAC AH OA ∠===，∴22313384TH AH ==⨯=，∴2912132432TP PH TH =-=-=．∴13118284211212114722328AHT CPT AH TH S S TP CQ ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯△△．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、一次函数表达式的求法、三角函数的性质与应用、相似三角形的性质与判定（本题答案中应用三角函数的步骤也可以改用相似三角形的知识解答）、勾股定理的应用，解决本题的关键在于将各模块知识点融会贯通，并作出正确的辅助线．。
【精品】中考冲刺模拟考试《数学试卷》附答案解析
中考仿真模拟测试数学试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1.若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是()A. a﹣b＝0B. a+b＝0C. ab＝1D. ab＝﹣12.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3.2018年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年农村贫困人口脱贫6800万，脱贫攻坚取得阶段性胜利，6800万用科学记数法表示为（）A. 6800×104B. 6.8×104C. 6.8×107D. 0.68×1084.下列关于x的一元二次方程有实数根的是A. 2x10--= += B. 2x x10-+= D. 2x x10++= C. 2x x105.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 平分一组对角6.一次函数y＝3x﹣2的图象上有两点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系为（）A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1＝y2D. 不能确定7.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A . 222123S S S +=B. 123S S S +＞C. 123S S S +＜D. 123S S S += 8.某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )A. ()()2120%1x 115%-+=+B. ()2115%(1x)120%++=- C. ()()2115%1x 120%++=- D. ()2120%(1x)115%-+=+ 9.如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A. ﹣1B. ﹣3C. ﹣5D. ﹣710.如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+AP 的最小值为（ ）A. 2 3C. 4 311.已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n ），则下列结论：①4a +2b ＜0； ②﹣1≤a ≤23-； ③对于任意实数m ，a +b ≥am 2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为()A. 8B. 10C. 13D. 14二、填空题13.把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____14.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为_______．15.如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝_____．16.如图，正五边形ABCDE边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则»BF 的长为_____．17.已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=2x的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为_____．18.如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝32，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为_____．三、解答题19.（1）解方程：x21 x1x-= -（2）化简求值：82(2)224x xxx x+-+÷--，其中12x=-.20.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，合肥市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）请把折线统计图补充完整；（2）求扇形统计图中，网络文明部分对应圆心角的度数；（3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．21.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分FAB∠交⊙O于点C，过点C作CE DF⊥，垂足为点E（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若1,2AE CE ==，求⊙O 的半径．22.某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y （人/月）与旅游报价x （元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间． （1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；（3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润；最大利润是多少．23.如图，AD 是ABC V 的边BC 的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC P ，交BE 的延长线于点F ，连接CF ，BF 交AC 于G ．（1）若四边形ADCF 是菱形，试证明ABC V 是直角三角形；（2）求证：2CG AG =．24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．点M 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过点M 且与边AB 交于点N ，连接MN ．（1）当点M 是边BC 的中点时．①求反比例函数的表达式；②求△OMN 的面积；（2）在点M 的运动过程中，试证明：MB NB是一个定值．25.如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题1.若实数a 、b 互为相反数，则下列等式中成立的是( )A. a ﹣b ＝0B. a +b ＝0C. ab ＝1D. ab ＝﹣1【答案】B【解析】∵a b 、互为相反数，∴0a b +=.故选B.2.下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 3.2018年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年农村贫困人口脱贫6800万，脱贫攻坚取得阶段性胜利，6800万用科学记数法表示为（ ）A. 6800×104 B. 6.8×104 C. 6.8×107 D. 0.68×108 【答案】C【详解】解：6800万用科学记数法表示为6.8×107．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．4.下列关于x的一元二次方程有实数根的是A. 2x10-+= D. 2x x10--=++= C. 2x x10+= B. 2x x10【答案】D【解析】【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．【详解】A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2-4ac=-4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=-1，c=1，∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=-1，c=-1，∵△=b2-4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D．5.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 平分一组对角【答案】A【解析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分．【详解】因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有一个共同的性质，这条性质是对角线互相平分．故选A ．【点睛】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质．用到的知识点：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．6.一次函数y ＝3x ﹣2的图象上有两点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2），则y 1与y 2的大小关系为（ ） A. y 1＜y 2B. y 1＞y 2C. y 1＝y 2D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由-1＞-2即可得出结论．【详解】∵一次函数y=3x-2中，k=3＞0，∴y 随x 的增大而增大．∵-1＞-2，∴y 1＞y 2．故选B ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是（ ）A. 222123S S S +=B. 123S S S +＞C. 123S S S +＜D. 123S S S +=【答案】D【解析】【分析】 根据等边三角形的性质,知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍,结合勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.【详解】解:设直角三角形的三边从小到大是a,b,c. 则214S a =，224S b =，234S c =， 又222a b c +=，则123S S S +=，故选D .【点睛】熟悉等边三角形的面积公式,熟练运用勾股定理.熟记结论:以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.8.某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )A. ()()2120%1x 115%-+=+B. ()2115%(1x)120%++=-C. ()()2115%1x 120%++=-D. ()2120%(1x)115%-+=+ 【答案】D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）.【详解】设一月份的产量为a ，由题意可得， ()()2a 120%(1x)a 115%-+=+，则()2120%(1x)115%-+=+，故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用.9.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A. ﹣1B. ﹣3C. ﹣5D. ﹣7【答案】C【解析】【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A 和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．【详解】根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），故点M的横坐标的最小值为﹣5．故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．10.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）A. 2B. 23C. 4D. 43【答案】B【解析】【详解】解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为3∴AB=BC=4，3∴3，在Rt△BCE′中，224(23)=2-，∵BE=EA=2，∴E与E′重合，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长3故选B．11.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤23-；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a ，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-3c ，再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-23，结论②正确； ③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．【详解】：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ），∴-2b a=1， ∴b=-2a ，∴4a+2b=0，结论①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0），∴a -b+c=3a+c=0，∴a=-3c ． 又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴-1≤a≤-23，结论②正确； ③∵a＜0，顶点坐标为（1，n ），∴n=a+b+c，且n≥ax 2+bx+c ，∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，又∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．12.如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为( )A. 8B. 10C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．【详解】连接PE、PF、PG，AP，由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，∴S△PBC＝12BC•PE＝12×4×2＝4，∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，∴由切线长定理可知：S△APG＝12S四边形AFPG＝132，∴132＝12×AG•PG，∴AG＝132，由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE＝AC+AB+CF+BG＝AF+AG＝2AG＝13，故选C．【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．二、填空题13.把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____【答案】x（x+5）（x﹣5）．【解析】分析：首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．详解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）．故答案为x（x+5）（x-5）．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为_______．【答案】12【解析】【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEF：S△BCF=（DEBC）2，又∵E是AD中点，∴DE=12AD=12BC，∴DE：BC=DF：BF=1：2，∴S△DEF：S△BCF=1：4，∴S△BCF=4，又∵DF：BF=1：2，∴S△DCF=2，∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．故答案为12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF 的面积．15.如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝_____．【答案】5 12【解析】【分析】结合勾股定理，计算BC的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可．【详解】解：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝＝12，∴tan ∠ADC ＝tanB ＝＝， 故答案为:．【点睛】考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出tan tan ADC B ∠=，计算结果，即可，难度中等．16.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，则»BF的长为_____．【答案】815π 【解析】试题解析：连接CF ，DF ，则△CFD 是等边三角形，∴∠FCD=60°， ∵在正五边形ABCDE 中，∠BCD=108°， ∴∠BCF=48°， ∴»BF的长=482818015ππ⨯⨯=， 故答案为815π．17.已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=2x的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为_____．【答案】（1，2）或（-2，-1）【解析】【详解】分析：由三角形三边关系知|PA﹣PB|≥AB知直线AB与双曲线y=2x的交点即为所求点P，据此先求出直线AB解析式，继而联立反比例函数解析式求得点P的坐标．详解：如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，1）、B（-1，0）代入，得：1-0 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：11 kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y=x﹣1，直线AB与双曲线y=2x的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|=AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，由+12y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩可得12xy=⎧⎨=⎩或-2-1xy=⎧⎨=⎩，∴点P的坐标为（1，2）或（-2，-1），点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．18.如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝32，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为_____．【答案】201212【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC 的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE 的长，再利用锐角三角函数的关系得出12EI PF KI EF ＝＝，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可． 【详解】∵在Rt △ABC 中，2，∴∠B=∠C=45°，22AB AC 6，∵在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；∴EF=EC=DG=BD ， ∴DE=13BC ∴DE=2，∵取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去， ∴12EI PF KI EF ＝＝， ∴EI=12KI=12HI ， ∵DH=EI ，∴HI=12DE=(12)2−1×2， 则第n 个内接正方形的边长为：2×(12)n−1， ∴则第2014个内接正方形边长为2×(12)2014−1=2×201312=201212．故答案为201212．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．三、解答题19.（1）解方程：x 21x 1x-=- （2）化简求值：82(2)224x x x x x +-+÷--，其中12x =-. 【答案】(1) x ＝2;(2)3.【解析】【分析】 （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x 的值，再把x 的值代入公分母进行检验；（2）先根据分式混合运算的法则把原式化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】（1）去分母得：x 2﹣2x+2＝x 2﹣x ，解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，方程左右两边相等，所以x ＝2是原方程的解；（2）原式＝24482(2)()222x x x x x x x -+-+⋅--+ ＝2(+2)2x x -2(2)2x x -⋅+ ＝2（x+2）＝2x+4， 当12x =-时，原式＝2×（﹣12）+4＝﹣1+4＝3． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值及解分式方程，在解分式方程时要注意验根．20.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，合肥市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）请把折线统计图补充完整；（2）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；（3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．【答案】（1）该班全部人数48人，社区服务的人数为24人，补全折线统计如图所示见解析；（2）网络文明部分对应的圆心角的度数为45°；（3）他们参加同一服务活动的概率为14．【解析】【分析】（1）根据参加生态环保的人数以及百分比求得总人数；（2）用总人数乘以“社区服务”百分比求得其人数，再补全折线统计图即可.（3）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与他们参加同一服务活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：(1)该班全部人数：12÷25%＝48.(2)48×50%＝24，补全折线统计图如图所示：(3)分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：小明小丽1 2 3 41 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 3(1，3) (2，3) (3，3) (4，3) 4(1，4) (2，4) (3，4) (4，4)则所有等可能的情况有16种，其中他们参加同一活动的情况有4种即(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)， ∴他们参加同一服务活动的概率为41.164P == 【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.21.如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线的一点，AC 平分FAB ∠交⊙O 于点C ，过点C 作CE DF ⊥，垂足为点E（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若1,2AE CE ==，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）2.5【解析】【分析】（1）连接CO ，易得∠OCA=∠OAC ，由AC 平分∠FAB ，得∠CAE=∠OAC ，从而得∠OCA=∠CAE ，，进而即可得OC ∥FD ，即可得到结论；（2）连接BC ，由勾股定理得5ABC ∽△ACE ，从而得CA AE AB AC=，进而即可求解． 【详解】（1）连接CO ，∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ，∵AC 平分∠FAB ，∴∠CAE=∠OAC ，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥FD，∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）连接BC，Rt△ACE中，AC=2222215AE EC+=+=，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠BCA=∠CEA，∵∠CAE=∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴CA AE AB AC=，∴55 AB=，∴AB=5，∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质定理，掌握添加常见辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．22.某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y（人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；（3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润；最大利润是多少．【答案】（1）取值范围为1100元/人～1200元/人之间；（2）50000；（3）x=900时，w 最大=160000【解析】【分析】（1）根据题意列不等式求解可；（2）根据报价减去成本可得到函数的解析式，根据一次函数的图像求解即可；（3）根据利润等于人次乘以价格即可得到函数的解析式，然后根据二次函数的最值求解即可．【详解】解：（1）∵由题意得200y <时，即1300200x -+<，∴解得1100x >即要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，该旅游线路报价的取值范围为1100元/人至1200元/人之间；（2）500z y =，1300y x =-+，∴500(1300)500650000z x x =-+=-+∵5000-<，∴当1200x =时，z 最低，即50000z =；（3）利润22(500)1800650000(900)160000w x y x x x =-=-+-=--+当900x =时，160000w =最大．23.如图，AD 是ABC V 的边BC 的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC P ，交BE 的延长线于点F ，连接CF ，BF 交AC 于G ．（1）若四边形ADCF 是菱形，试证明ABC V 是直角三角形；（2）求证：2CG AG =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由菱形定义及AD 是△ABC 的中线知AD ＝DC ＝BD ，从而得∠DBA ＝∠DAB ，∠DAC ＝∠DCA ，根据∠DBA ＋∠DAC ＋∠DAB ＋∠DCA ＝180°可得答案；（2）作DM ∥EG 交AC 于点M ，分别证DM 是△BCG 的中位线和EG 是△ADM 的中位线得AG ＝GM ＝CM ，从而得出答案．【详解】解：（1）Q四边形ADCF是菱形，AD是ABCV的中线，AD DC BD∴==，,DBA DAB DAC DCA∴∠=∠∠=∠，180DBA DAC DAB DCA∠+∠+∠+∠=︒Q，90BAC BAD DAC∴∠=∠+∠=︒，ABC∴V是直角三角形；（2）过点D作DM EG∥交AC于点M，AD Q是ABC V的边BC的中线，BD DC∴=，DM EG Q∥，DM∴是BCG V的中位线，M∴是CG的中点，CM MG∴=，DM EG Q∥，E是AD的中点，EG∴是ADM V的中位线，G∴是AM的中点，AG MG∴=，2CG AG∴=.【点睛】本题主要考查菱形的性质，直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用各性质进行推理．24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．（1）当点M是边BC的中点时．①求反比例函数的表达式；②求△OMN的面积；（2）在点M的运动过程中，试证明：MBNB是一个定值．【答案】（1）4yx；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质及M是BC中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式；②先求出点N的坐标，从而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根据S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN 计算可得．（2）设M（a，2），据此知反比例函数解析式为y＝2ax，求出N（4，2a），从而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣2a，再代入计算可得．【详解】(1)①∵点B(4，2)，且四边形OABC是矩形，∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，∵点M是BC中点，∴CM＝2，则点M(2，2)，∴反比例函数解析式为y＝4x；②当x＝4时，y＝4x＝1，∴N(4，1)，则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN＝4×2﹣12×4×1﹣12×2×2﹣12×2×1＝3；(2)设M(a，2)，则k＝2a，∴反比例函数解析式为y ＝2a x ， 当x ＝4时，y ＝2a ， ∴N(4，2a )， 则BM ＝4﹣a ，BN ＝2﹣2a ， ∴MB NB ＝422a a --＝442a a --＝2． 【点睛】本题是反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、割补法求三角形的面积．25.如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 抛物线的解析式为y=13x 2-2x+1，(2) 四边形AECP 的面积的最大值是814，点P （92，﹣54）；(3) Q （4,1）或（-3，1）.【解析】【分析】 (1)把点A ，B 的坐标代入抛物线的解析式中，求b ，c ；(2)设P (m ，13m 2−2m ＋1)，根据S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ，把S 四边形AECP 用含m 式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q (t ，1)，分别求出点A ，B ，C ，P 的坐标，求出AB ，BC ，CA ；用含t 的式子表示出PQ ，CQ ，判断出∠BAC ＝∠PCA ＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t .【详解】解：(1)将A (0，1)，B (9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b ＋c ＝10，c ＝1，解得b ＝−2，c ＝1， 所以抛物线的解析式y ＝13x 2−2x ＋1； (2)∵AC ∥x 轴，A (0，1)， ∴13x 2−2x ＋1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，即C 点坐标为(6，1)， ∵点A (0，1)，点B (9，10)， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1，设P (m ，13m 2−2m ＋1)，∴E (m ，m ＋1)， ∴PE ＝m ＋1−(13m 2−2m ＋1)＝−13m 2＋3m . ∵AC ⊥PE ，AC ＝6， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ⋅EF ＋12AC ⋅PF ＝12AC ⋅(EF ＋PF )＝12AC ⋅EP ＝12×6(−13m 2＋3m )＝−m 2＋9m. ∵0<m <6，∴当m ＝92时，四边形AECP 的面积最大值是814，此时P (9524 ，)； (3)∵y ＝13x 2−2x ＋1＝13(x −3)2−2， P (3，−2)，PF ＝y F −y p ＝3，CF ＝x F −x C ＝3，∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45∘，同理可得∠EAF ＝45∘，∴∠PCF ＝∠EAF ，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q ，设Q (t ，1)且AB ＝，AC ＝6，CP ＝∵以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，①当△CPQ ∽△ABC 时，CQ :AC ＝CP :AB ，(6−t):6＝t ＝4，所以Q (4，1)；②当△CQP ∽△ABC 时，CQ :AB ＝CP :AC ，(6−t)6，解得t ＝−3，所以Q (−3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．。
精品中考冲刺模拟检测《数学试题》含答案解析
中考数学仿真模拟测试题一、选择题(本大题共10小题，共40分)1. 下列运算正确的是( )A. 2a3•a4=2a7B. a3+a4=a7C. (2a4)3=8a7D. a3÷a4=a2. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为( )A. B.C. D.3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×10104. 若代数式12x在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( )A. x=﹣2B. x＞﹣2C. x≠0D. x≠﹣25. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A. 1.70，1.65B. 1.70，1.70C. 1.65，1.70D. 3，46. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=( )A. 1：4B. 1：3C. 1：2D. 1：17. 如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是()A. 100°B. 80°C. 60°D. 50°8. 一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x=≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为(－2，0)．则下列结论中，正确的是【 】A. b 2a k =+B. a b k =+C. a b 0>>D. a k 0>>9. 阅读理解： 如图1，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对(θ，m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为( )A. (60°，4)B. (45°，4)C. (60°，2D. (50°，2)10. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，动点P 从点B 出发，沿着B ﹣A ﹣D 在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P ′是点P 关于BD 的对称点，PP ′交BD 于点M ，若BM ＝x ，△OPP ′的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共6小题，共30分)11. 分解因式：2x 2-8x+8=__________.12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x <，则1y 2y .(填”>”，”<”或”=”)13. 如图，直线l 与⊙相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB 的正切值为______．14. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 顺时针旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，若BC ＝1，则点B 旋转到B′所经过的路线长为______．15. 如图，菱形ABCD 内两点M 、N ，满足MB ⊥BC ，MD ⊥DC ，NB ⊥BA ，ND ⊥DA ，若四边形BMDN 面积是菱形ABCD 面积的15，则cosA=_____．16. 如图，将二次函数y =x 2-m (其中m ＞0)的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y 1，另有一次函数y =x +b 的图象记为y 2，则以下说法：①当m =1，且y 1与y 2恰好有三个交点时b 有唯一值为1；②当b =2，且y 1与y 2恰有两个交点时，m ＞4或0＜m ＜74； ③当m =-b 时，y 1与y 2一定有交点；④当m =b 时，y 1与y 2至少有2个交点，且其中一个为(0，m )．其中正确说法的序号为 ______ ． 三、解答题(本大题共8小题，共72分)17. 计算：cos 245°+cos30 2sin601︒︒+-3•tan30° 18. 如图，已知反比例函数y 1＝1k x 与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A (1，8)，B (﹣4，m )两点． (1)求k 1，k 2，b 的值；(2)求△AOB 的面积；(3)请直接写出不等式1k x≤2k x+b 的解．19. 2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数是______ ；扇形统计图中的圆心角α等于______ ；补全统计直方图；(2)被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．20. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离.(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)21. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F 是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE(1)求证：DE是⊙O切线；(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．22. 有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)，最大利润是多少？23. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；(2)如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线(要求：保留作图痕迹)；(3)在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．24. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，点D为AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP，DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．(1)当t=2时，求PD的长；(2)如图2，当点Q 运动至点B 时，连结DE ，求证：DE∥AP.(3)如图3，连结CD ．①当点E 恰好落在△ACD 的边上时，求所有满足要求的t 值；②记运动过程中▱PEQD 的面积为S ，▱PEQD 与△ACD 的重叠部分面积为S 1，当1S S ＜13时，请直接写出t 的取值范围是 ______ ．答案与解析一、选择题(本大题共10小题，共40分)1. 下列运算正确的是( )A. 2a3•a4=2a7B. a3+a4=a7C. (2a4)3=8a7D. a3÷a4=a【答案】A【解析】选项A，2a3•a4=2a7，本选项正确；选项B，a3和a4不是同类项不能合并，本选项错误；选项C，(2a4)3=8a12，本选项错误；选项D，a3÷a4=a-1，本选项错误；故选A．点睛：本题考查了合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力．2. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可．【详解】A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.故选C．3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×1010【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：4 400 000 000=4.4×109，故选C．4. 若代数式12x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )A.x=﹣2B. x＞﹣2C. x≠0D. x≠﹣2 【答案】D 【解析】试题分析：根据分式有意义的条件，分母不等于0，即x+2≠0，解得x≠-2. 故选：D. 5. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A. 1.70，1.65 B. 1.70，1.70 C. 1.65，1.70 D. 3，4 【答案】A 【解析】在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.70，所以中位数是1.70；在这一组数据中1.65是出现次数最多的，所以众数是1.65．∴这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.70，1.65．故选A．6. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=( )A. 1：4B. 1：3C. 1：2D. 1：1【答案】C【解析】【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理.【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD, ∴1,,,,,3DE DF DE DF DEF BEA OB BD OE DE BE AB BE AB ~∴===∴==∴ 1.2DF FC = 故选C.7. 如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是( )A. 100°B. 80°C. 60°D. 50°【答案】B【解析】 试题分析：如图，翻折△ACD，点A 落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B =80°. 故选：B8. 一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x =≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为(－2，0)．则下列结论中，正确的是【 】A. b 2a k =+B. a b k =+C. a b 0>>D. a k 0>>【答案】D【解析】 将A(－2，0)代入y ax b =+，得b 2a =．∴二次函数()222y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-．∴二次函数的顶点坐标为(－1，－a)．当x=－1时，反比例函数k k y k x 1===--． 由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方，∴a k 0-<-<，即a k 0>>．故选D ．(实际上应用排它法，由b 2a 0=>，k 0≠也可得ABC 三选项错误)9. 阅读理解：如图1，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对(θ，m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为( )A. (60°，4)B. (45°，4)C. (60°，2D. (50°，2)【答案】A【解析】 试题分析：如图，设正六边形的中心为D ，连接AD ，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°，4)．故选A．考点：1.正多边形和圆；2.坐标确定位置．10. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D 在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM＝x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，①当BM ≤4时，∵点P′与点P 关于BD 对称，∴P′P ⊥BD ，∴P′P ∥AC ，∴△P′BP ∽△CBA ， ∴=PP BM AC OB '，即=64PP x '， ∴PP′=32x ， ∵OM =4-x ，∴△OP P′的面积y =12PP′•OM =12×233(4)324x x x x -=-+； ∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0，0)和(4，0)；②当BM ≥4时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4，0)和(8，0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．二、填空题(本大题共6小题，共30分)11. 分解因式：2x 2-8x+8=__________.【答案】2(x-2)2【解析】【分析】先运用提公因式法，再运用完全平方公式.【详解】：2x 2-8x+8=()()2224422x x x -+=-. 故答案为2(x-2)2.【点睛】本题考核知识点：因式分解.解题关键点：熟练掌握分解因式的基本方法.12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x <，则1y 2y .(填”>”，”<”或”=”)【答案】<.【解析】试题分析：一次函数y kx+b =的增减性有两种情况：①当k 0>时，函数y kx+b =的值随x 的值增大而增大；②当k 0<时，函数y kx+b = y 的值随x 的值增大而减小.由题意得，函数21y x =+的k 0>，故y 的值随x 的值增大而增大.∵12x x <，∴12y y <.考点：一次函数图象与系数的关系.13. 如图，直线l 与⊙相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB 的正切值为______．【答案】75【解析】 试题分析：连接OD ，则OD⊥BD，过E 作EH⊥BC 于H ，则四边形EODH 是正方形，可得EH=5，BH=7，易求tan∠BEH=BH EH=75，再由∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，证明∠ACB=∠BEH 即可得到tan ∠ACB=75． 故答案为：75.14. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 顺时针旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，若BC ＝1，则点B 旋转到B′所经过的路线长为______．【答案】53π【解析】已知将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，可得点B 旋转到B′所经过的路线是以点A为圆心，AB为半径所得扇形BA B′的弧长，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2，所以点B旋转到B′所经过的路线长为150251803ππ⋅⨯= .15. 如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN 的面积是菱形ABCD面积的15，则cosA=_____．【答案】23【解析】试题分析：如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，易知四边形BMDN是菱形，设S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a，因为四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的15，所以S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出OB2=OA•ON=5k2，推出OB=5k，AB=AD=22OA OB+=30k，由12AD•BH=12BD•AO，推出BH=AO BDAD⋅=563，再利用勾股定理求出AH即可得22AH AB BH=-=2303，即cosA=AHAB=230330kk=23．点睛：本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．16. 如图，将二次函数y=x2-m(其中m＞0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+b的图象记为y2，则以下说法：①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜74；③当m=-b时，y1与y2一定有交点；④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为(0，m)．其中正确说法的序号为______．【答案】②④【解析】试题分析：(1)当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时，b有唯一值为1，b=54，故(1)错误；(2)当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜74，故(2)正确；(3)当m=-b时，y1与y2没有交点，故(3)错误；(4)当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为(0，m)故(4)正确；故答案为(2)，(3)．三、解答题(本大题共8小题，共72分)17. 计算：cos245°+cos302sin601︒︒+313-【解析】试题分析：根据特殊角的锐角三角函数值直接代入求解即可.试题解析：原式22+32321⨯+3×3=12+334--1=134-． 18. 如图，已知反比例函数y 1＝1k x 与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A (1，8)，B (﹣4，m )两点． (1)求k 1，k 2，b 的值；(2)求△AOB 的面积；(3)请直接写出不等式1k x≤2k x+b 的解．【答案】(1)k 1=8，k 2=2，b=6；(2)15；(3)-4≤x ＜0或x≥1【解析】【分析】(1)将A 点的坐标代入反比例函数的解析式，可得出反比例函数解析式，再结合点B 的横坐标即可得出点B 的坐标，根据点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；(2)先求出一次函数图像与y 轴的交点坐标，再将△AOB 的面积分成两个小三角形面积分别求解即可；(3)根据两函数图像的上下位置关系即可得出不等式的解集.【详解】解：(1)∵反比例函数y=1k x 与一次函数y=k 2x+b 的图象交于点A (1，8)、B (-4，m )， ∴k 1=1×8=8，m=8÷(-4)=-2，∴点B 的坐标为(-4，-2)．将A (1，8)、B (-4，-2)代入y 2=k 2x+b 中， 22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：226k b =⎧⎨=⎩． ∴k 1=8，k 2=2，b=6．(2)当x=0时，y 2=2x+6=6，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为(0，6)．∴S △AOB =12×6×4+12×6×1=15．(3)观察函数图象可知：当-4＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式12k k x≤x+b 的解为-4≤x ＜0或x≥1． 19. 2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数是 ______ ；扇形统计图中的圆心角α等于 ______ ；补全统计直方图；(2)被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．【答案】(1)30；144︒；(2)2()5P A =． 【解析】【分析】(1)根据题意列式求值，根据相应数据画图即可；(2)根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可．【详解】解：(1)6÷20%=30，(30﹣3﹣7﹣6﹣2)÷30×360=12÷30×26=144°，答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°；故答案为30，144°；补全统计图如图所示：(2)根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，∴82 ()205P A==．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率．20. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离.(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)【答案】(1)15cm ；(2)点E 到AB 的距离为58.2cm【解析】分析：(1)根据勾股定理求出AD 的长；(2)作EH ⊥AB 于H ，求出AE 的长，根据正弦的概念求出点E 到车架AB 的距离．详解：(1)在Rt △ADF 中，由勾股定理得， AD=2222=2520=15AF FD --(cm)．(2)AE=AD+CD+EC=15+30+15=60(cm)．过点E 作EH ⊥AB 于H ，在Rt △AEH 中，sin ∠EAH=EH AE ， ∴EH=AE•sin ∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2(cm)．答：点E 到AB 的距离为58.2 cm ．点睛：本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 21. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分的面积为8833π-．【解析】【分析】(1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：(1)连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；(2)在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=4342⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影3﹣83π，∴阴影部分的面积为383π．22. 有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)，最大利润是多少？【答案】(1)p=30+x(2)当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元【解析】(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.(3)设总利润为L=Q－30000－400x=－10x2+500x=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.23. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；(2)如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线(要求：保留作图痕迹)；(3)在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．【答案】(1)108°，72°，108°，72°．(2)图形见解析(3)∠BAD的度数为80°．【解析】试题分析：(1)先由对角线AC是黄金线，可知△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：①AB=BC；②AC=BC.根据黄金四边形的定义和四边形的内角和求解即可；(2)①以A为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D1，②以C为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D2，③连接AD1，CD1，AD2，CD2.(3)先根据∠BAC=30°，算得∠ABC=120°，再分情况讨论：i：当AC为黄金线，则AD=CD，或AD=AC，根据等腰三角形及黄金四边形进行计算即可；ii：当BD为黄金线时，分三种情况：①当AB=A D时，②当AB=B D时，③当AD=dD时．试题解析：(1)∵在四边形ABCD中，对角线AC是黄金线，∴△ABC是等腰三角形，∵AB＜AC，∴AB=BC或AC=BC，①当AB=BC时，∵AB=AD=DC，∴AB=BC=AD=DC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，此种情况不符合黄金四边形定义，②AC=BC，同理，BD=BC，∴AC=BD=BC，易证得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，且∠DCA＜∠DCB，∴∠DAC＜∠CAB又由黄金四边形定义知：∠CAB=2∠DAC，设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∴∠DAB=∠ADC=3x°，而四边形的内角和为360°，∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，答：四边形ABCD各个内角的度数分别为108°，72°，108°，72°．(2)由题意作图为：(3)∵AB=BC，∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，ⅰ)当AC黄金线时，∴△ACD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，AC＞BC，∴AD=CD或AD=AC，当AD=CD时，则AB=BC=CD=AD，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，如图3，此种情况不符合黄金四边形定义，∴AD≠CD ，当AD=AC 时，由黄金四边形定义知，∠ACD=∠D=15°或60°，此时∠BAD=180°(不合题意，舍去)或90°(不合题意，舍去)；ⅱ)当BD 为黄金线时，∴△ABD 是等腰三角形，∵AB=BC=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，①当AB=AD 时，△BCD≌△BAD，此种情况不符合黄金四边形定义；②当AB=BD 时，AB=BD=BC=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°，∴∠A=30°或120°(不合题意，舍去)，∴∠ABC=180°(不合题意，舍去)，此种情况也不符合黄金四边形定义；③当AD=BD 时，设∠CBD=∠CDB=y °，则∠ABD=∠BAD=(2y )°或2y ⎛⎫︒⎪⎝⎭， ∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，当∠ABD=2y °时，y =40，∴∠BAD=2y =80°； 当2y ABD ⎛⎫∠=︒⎪⎝⎭时，y =80°， ∴402y BAD ∠==︒； 由于∠ADB=180°-40°-40°=100°，∠BDC=80°，∴∠ADB+∠BDC=180°，∴此种情况不能构成四边形，综上所述：∠BAD 的度数为80°．24. 如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，点D 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向以每秒1个单位的速度向终点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度先沿CB 方向运动到点B ，再沿BA 方向向终点A 运动，以DP ，DQ 为邻边构造▱PEQD ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当t=2时，求PD 的长；(2)如图2，当点Q 运动至点B 时，连结DE ，求证：DE∥AP.(3)如图3，连结CD ．①当点E 恰好落在△ACD 的边上时，求所有满足要求的t 值；②记运动过程中▱PEQD 的面积为S ，▱PEQD 与△ACD 的重叠部分面积为S 1，当1S S ＜13时，请直接写出t 的取值范围是 ______ ．【答案】(1)13(2)证明见解析(3)①分三种情况讨论：满足要求的t 的值为32或2411或4811．②当1S S ＜13时， t 的取值范围是7225＜t ＜5617． 【解析】(1)如图1中，作DF⊥CA 于F ，当t =2时，AP=2，DF=AD•sin A=5×35=3，∵AF=AD•cos A=5×45=4，∴PF=4-2=2，∴PD=22DF PF +=2232+=13．(2)如图2中，在平行四边形PEQD 中，∵PE ∥DQ ，∴PE ∥AD ，∵AD=DQ ．PE=DQ ，∴PE=AD ，∴四边形APED 是平行四边形，∴DE ∥AP ．(3)①分三种情况讨论：Ⅰ．当点E 在CA 上时，DQ⊥CB (如图3所示)，∵∠ACB=R t ∠，CD 是中线，∴CD=BD，∴CQ=12CB=3即：t =32Ⅱ．当点E 在CD 上，且点Q 在CB 上时 (如图4所示)，过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，易证R t△PGE≌R t△PHQ，∴PG=DH=4，∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC∴在R t△CEG中，tan∠ECG=GE CG=234tt--=34，∴t=2411Ⅲ．当点E在CD上，且点Q在AB上时(如图5所示)，过点E作EF⊥CA于点F，∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，∴PF=12PC=82t-，PE=DQ=11-2t，∴在R t△PEF中，cos∠EPF=PFPE=82112Tt--=45∴t=4811综上所述，满足要求的t的值为32或2411或4811．②如图6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．当△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13时，PE′：EE′=2：1，由(Ⅱ)可知CG=4-t，GE=2t-3，∴PG=8-t-(4-t)=4，∵E′G′∥EG，∴'PGPG=''E GEG='PEPE=23，∴PG′=83，E′G′=23(2t-3)，CG′=8-t-83=163-t，∵tan∠ECG='''E GCG=()223331643tt-=-，解得t=72 25．如图7中，当点Q在AB上时，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．∵△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13，∴PE′：EE′=2：1，由Ⅲ可知，PG′=12PC=4-12t，PE′=23DQ=23(11-2t)，∵cos∠E′PG′=''PGPE=45，∴()1442251123t t -=-， 解得t =5617， 综上所述，当1S S ＜13时，请直接写出t 的取值范围是7225＜t ＜5617．。
【中考冲刺】2023年湖南省长沙市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年湖南省长沙市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数y ＝12x-自变量x 的取值范围是（ ） A ．全体实数 B ．x ≠0 C ．x ＜2 D ．x ≠2 3．如图，AB ∥CD ，且被直线l 所截，若∥1=54°，则∥2的度数是（ ）A ．154°B ．126°C ．116°D ．54° 4．下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b -=-B ．()232622ab a b =C ．235ab ab ab +=D ．248a a a ⋅= 5．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示:则这15名运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）A ．4.65,4.70 B ．4.65,4.75 C ．4.70,4.70， D ．4.70,4.75 6．如图，在Rt∥ABC 中，∥ACB=90°，∥A=α，将∥ABC 绕点C 按顺时针方向旋转后得到∥DEC ，此时点E 在AB 边上，则旋转角的大小为（ ）A．αB．2αC．90α︒-D．1802α︒-7．在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是13，则黄球的个数为（）A．2B．3C．4D．68．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2﹣2D．y＝（x+1）2+29．如图，在∥ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若CF：BC=3：5，AB=15，则BD=（）A．6B．9C．10D．1210．已知二次函数2y-x+x6=+，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线y x m=+与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A．2524m-≤<-B．2534m-≤<-C．62m-≤≤-D．73m-≤≤-二、填空题11．“学中共党史，庆建党百年”，截至4月26日，某市党员群众参与答题次数达8420000次，掀起了党史学习竞赛的热潮，数据“8420000”用科学记数法可表示为___． 12．因式分解2242x x -+=______．13．如图，∥ABC 中，AB =5，AC =4，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于D 和E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于二分之一DE 为半径作弧，两弧交于点F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，GH ∥AC 于H ，GH =2，则∥ABG 的面积为________．14．一个扇形的圆心角为150°，弧长20cm π，则此扇形的半径是________cm .15．如图，CD 是∥O 的直径，弦AB ∥CD 于点H ，若∥D =30°，AD =，则AB =________cm ．16．如图，直线CE 是平行四边形ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E ．连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论： ∥四边形ACBE 是菱形； ∥∥ACD=∠BAE ； ∥AF ：FC=1：2；其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．计算：1024cos 45(2022)π-︒+-18．先化简22213111-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭x x x x ，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x 的值代入求值．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数152y x=+和2y x=-的图象相交于点A，反比例函数kyx=的图象经过点A.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x=+的图象与反比例函数kyx=的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO∆的面积.20．某市教育局实施对口帮扶活动中，准备为部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外读物阅读的喜好情况，现对该市农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他”类统计，图（1）与图（2）是整理后绘制的两幅不完整的统计图．(1)本次调查抽取的人数是________人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为________度．(2)本次调查中喜欢“小说”的人数是________人；若该市农村小学有25000名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有________人．(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本但小丽和小芳都想要，于是她们设计了一种游戏，规则是：现有4张卡片上分别写有7，8，9，10四个整数，先让小丽随机抽取一张后不放回．．．，再由小芳随机抽取一张，若抽取的两张卡片上的数字之和是2的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书．用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？AC ，连接AE 交OD 于点F ，连接OE 、CE ．(1)求证：四边形OCED 为矩形；(2)已知AB =2，DE =1，求OD 的长．22．甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲比乙每小时少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等．(1)甲、乙两人每小时各加工多少个零件？(2)现有一批这种零件需要加工，已知由甲单独完成比由乙单独完成多花费2个小时，这批零件共有多少个？23．已知，如图，AB 是∥O 的直径，点C 为∥O 上一点，作弦BD ∥OC 于点F ，交AC 于点G ．过点B 作直线交OC 的延长线于点E ，且∥OEB =∥AC D ．(1)求证：BE 是∥O 的切线；(2)求证：2CD CG CA =⋅；24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若点M 的横坐标与纵坐标之和等于点N 的横坐标与纵坐标之和，则称M ，N 两点同为“郡系点”．(1)己知点A 的坐标为（2，6），B 是反比例函数16y x=图象上的一点，且A ，B 两点同为“郡系点”，求点B 的坐标；(2)若点C （2-，1y ），D （4，2y ）在直线3y kx =-（0k ≠）上，且C ，D 两点同为“郡系点”，求k 的值；(3)若点E 是直线132y x =-+上第一象限内的一点，若在抛物线212y x x c =++（1322x -≤≤）上总存在点F ，使得E ，F 两点同为“郡系点”，求c 的取值范围． 25．如图，CD 与∥O 相切于点D ，CB 与∥O 相交于A 、B 两点，且圆心O 在AB 上．(1)若1tan2C∠=，OD=2．求CD的长；(2)若点E在∥O上运动，连接DE，当弦DE平分∥ADB且与AB交于点F时：∥若AF=7，EF=13，求此时∥O的直径；∥设DE长为x，直径AB长为t（0t>，t为常数），求∥ABD的面积S关于x的函数解析式（不要求写x的取值范围）．参考答案：1．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项不符合；B 、是轴对称图形，故本选项符合；C 、不是轴对称图形，故本选项不符合；D 、不是轴对称图形，故本选项不符合．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．D【解析】【分析】函数右边为分式，分式有意义的条件是分母不等于零，由此进行计算即可得到正确答案．【详解】解：∥当20x -≠时，分式12x -有意义 ∥函数y ＝12x-自变量x 的取值范围是：2x ≠ 故选：D【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．3．B【解析】【分析】由平行线的性质得到∥2与∥3的关系，再根据对顶角的性质得到∥1与∥3的关系，最后求出∥2．解：∥AB∥CD，∥∥2+∥3=180°．∥∥3=∥1=54°，∥∥2=180°-∥3=180°-54°=126°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“对顶角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．4．C【解析】【分析】根据展开式是三项不是两项，2平方是4不是2，合并同类项、同底数幂乘法法则计算即可判断．【详解】A、∥()222a b a ab b-=-+，此选项错误，不符合题意；2B、∥()2326=，此选项错误，不符合题意；24ab a bC、∥2ab+3ab=5ab，此选项正确，符合题意；D、∥246⋅=，此选项错误，不符合题意．a a a故选：C．【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式计算、积的乘方法则、合并同类项、同底数幂乘法法则计算．5．D【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题．【详解】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．故选D．【点睛】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题. 6．B【解析】【分析】先根据互余得到∥B=90°-α，再根据旋转的性质得CB=CE，∥BCE等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得∥CEB=∥B=90°-α，然后根据三角形的内角和定理计算出∥BCE=180°-2∥B=2α，于是得到旋转角为2α．【详解】∥∥ACB=90°，∥A=α，∥∥B=90°-α，∥∥ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，∥CB=CE，∥BCE等于旋转角，∥∥CEB=∥B=90°-α，∥∥BCE=180°-2∥B=2α，∥旋转角为2α．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，等腰三角形的性质．7．C【解析】【详解】试题分析：设黄球的个数为x个，根据题意得：1212x+=13，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；∥黄球的个数为24．故选C．考点：概率公式．8．A【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线2y x向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是()212y x=-+．故选：A．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．9．B【解析】【分析】先证明CEF CAB∆∆，由相似三角形的性质求出EF=9，再证明四边形BFED是平行四边形即可得到结论．【详解】解：∥EF //AB，∥CEF CAB∆∆，∥EF CF AB CB=，∥3155CFABCB==，∥3, 155 EF=∥9,EF=∥DE∥BC，EF∥AB，∥四边形BFED是平行四边形，∥9,BD EF ==故选B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，求出EF =9是解答本题的关键．10．D【解析】【分析】解方程-x 2+x +6=0得A (-2，0)，B (3，0)，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y =(x +2)(x -3)，即y =x 2-x -6(-2≤x ≤3)，然后求出直线y =x +m 经过点B (3，0)时m 的值和当直线y =x +m 与抛物线y =x 2-x -6(-2≤x ≤3)有唯一公共点时m 的值，从而得到当直线y =x +m 与新图象有3个或4个交点时，m 的取值范围．【详解】解：如图，当0y =时，260x x -++=，解得122,3x x =-=，∥A (-2，0)，B (3，0)，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，则下方对应的解析式为2(2)(3)6(23)=+-=---≤≤y x x x x x ，∥y=x 为第一、三象限的角平分线，直线y =x +m 可以看成是y=x 上下平移m 个单位得到， ∥当直线y =x +m 刚好经过B 点时，此时新函数图像与y =x +m 恰好有3个交点，如上图中的 直线y =x +m 1所示，∥10=3+m ，解得13m =-；当直线y =x +m 刚好经过C 点时，此时新函数图像与y =x +m 恰好有3个交点，如上图中的 直线y =x +m 2所示，∥联立方程组226⎧=--⎨=+⎩y x x y x m ，整理得到：22260---=x x m ， ∥直线y =x +m 2和y =x 2-x -6(-2≤x ≤3)有唯一公共点C ，∥方程22260---=x x m 有两个相等的实数根，∥22=444(6)0∆-=-⨯--=b ac m ，解得：27m =-，当新函数图像与y =x +m 有4个交点时，73m -<<-，综上所述：直线y =x +m 与新图象有3个或4个交点时，m 的取值范围是73m -≤≤-．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法及二次函数的图像和性质，考查了二次函数图像的坐标变化，本题的关键是求出2y -x +x 6=+沿x 轴翻折后对应的解析式．11．68.4210⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯ 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数【详解】解：8420000=68.4210⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12．22(1)x -．【解析】【详解】解：2242x x -+=22(21)x x -+=22(1)x -，故答案为22(1)x -．13．5【解析】【分析】根据ADF AEF ≌，得出AG 为BAC ∠的角平分线，得到GM =GH 即可求出∥ABG 的面积．【详解】连接DF 、EF ，过点F 作GM ∥AB ，交AB 于点M∥在以A为圆心的圆中，AD=AE，以D、E为圆心的半径DF=EF∥AD AE DF EF AF AF=⎧⎪=⎨⎪=⎩∥ADF AEF≌∥DAF FAE∠=∠∥ AG为BAC∠的角平分线∥ GM∥AB，GH∥AC∥ GM=GH=2∥1152522ABGAB GM=⨯=⨯⨯=△S故答案为：5．【点睛】本题考查全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的相关知识．14．24【解析】【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．【详解】解：设扇形的半径是R，则15020 180Rππ=解得：R=24．故答案为24．【点睛】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键．15．【解析】【分析】根据∥D=30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB=2AH计算出AB．【详解】在Rt AHD中，∥D=30°∥2AD AH=∥AH∥弦AB∥CD∥2==AB AH故答案为：【点睛】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．16．∥∥∥【解析】【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．【详解】∥四边形ABCD是平行四边形，∥AB CD∥，AB=CD，∥EC垂直平分AB，∥OA=OB=12AB=12DC，CD∥CE，∥OA CD∥，∥EA EO OAED EC CD===12，∥AE=AD，OE=OC，∥OA=OB，OE=OC，∥四边形ACBE是平行四边形，∥AB∥EC，∥四边形ACBE是菱形，故∥正确，∥∥DCE=90°，DA=AE，∥AC=AD=AE，∥∥ACD=∥ADC=∥BAE，故∥正确，∥OA CD ∥， ∥12AF OA CF CD ==，故∥正确， 故答案是：∥∥∥．【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．32【解析】【分析】直接利用负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和零指数幂分别计算，然后根据实数的混合运算法则计算即可求解．【详解】解：原式1412=+ 32=+32=． 【点睛】本题主要考查负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和零指数幂，熟记相关运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．18．12x x --，2． 【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可．【详解】解：原式=2(1)13()(1)(1)11x x x x x x -+÷-+-++ =1211x x x x --÷++=1112x x x x -+⋅+- =12x x -- ， ∥x≠±1且x≠2，∥x=3，则原式=3132--=2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．19．（1）反比例函数的表达式为8y x-=；（2）ABO ∆的面积为15. 【解析】【分析】（1）联立两一次函数解出A 点坐标，再代入反比例函数即可求解；（2）联立一次函数与反比例函数求出B 点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.【详解】 （1）由题意：联立直线方程1522y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，可得24x y =-⎧⎨=⎩，故A 点坐标为（-2,4） 将A （-2,4）代入反比例函数表达式k y x=，有42k =-，∥8k =- 故反比例函数的表达式为8y x =-（2）联立直线152y x =+与反比例函数8y x=-， 1528x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得122,8x x =-=-，当8x =-时，1y =，故B （-8,1）如图，过A ，B 两点分别作x 轴的垂线，交x 轴于M 、N 两点，由模型可知S 梯形AMNB =S △AOB ，∥S 梯形AMNB =S △AOB =12121()()2y y x x +-⨯=1(14)[(2)(8)]2+⨯---⨯=156152⨯⨯= 【点睛】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.20．(1)300、72(2)120、7500(3)公平，理由见解析【解析】【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘360°即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数； （2）先求出“科普常识”人数，再用本次调查抽取的人数减去“漫画”“科普常识”“其他”的人数，即可求出本次调查中喜欢“小说”的人数；用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生，估计喜爱“科普常识”的小学生人数；（3）画出树状图，根据树状图求出所有情况，找到符合抽得的数字之和是2的倍数的情况数、是3的倍数的情况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是2的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，即可判断是否公平．(1)解：30÷10％=300（人）60÷300×360°=72°故答案为：300，72(2)解：300×30%=90（人）300－90－60－30=120（人）25000×30%=7500（人）故答案为：120，7500(3)解：树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中，抽得的数字之和是2的倍数的有4种，是3的倍数的有4种；则书给小丽的概率是41123=，给小亮的概率是41123= 答：这种方法是公平的．【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．21．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质先证，即有DE ＝OC ，即有四边形OCED 都是平行四边形，再结合AC ∥BD ，即可证明四边形OCED 是矩形；（2）在Rt ∥OCD 中利用勾股定理即可求出OD ．(1)证明∥四边形ABCD 是菱形，∥OA ＝OC 12AC =，AC ∥BD∥DE AC ∥且DE 12AC =， ∥DE ＝OC ，又DE AC ∥，∥四边形OCED 都是平行四边形，∥AC ∥BD ，∥四边形OCED 是矩形；(2)∥四边形OCED 为矩形，DE ＝1，∥OC ＝DE ＝1，∥COD ＝90°，又∥四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∥CD ＝AB ＝2，又∥∥COD ＝90°，∥在Rt ∥OCD 中，∥OD【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．22．(1)甲每小时分别加工24个零件，乙每小时分别加工30个零件；(2)这批零件共有240个【解析】【分析】（1）设甲每小时加工x 个零件，则乙每小时加工()6x +个零件，根据题意列出分式方程，解方程即可解答；（2）设这批零件共有y 个，根据题意列出关于y 的一元一次方程，解方程即可解答(1)解：设甲每小时加工x 个零件，则乙每小时加工()6x +个零件，由题意得：2403006x x =+， 解得：24x =，检验：24x =是方程的解，且符合题意，630x +=，答：甲每小时分别加工24个零件，乙每小时分别加工30个零件．(2)设这批零件共有y 个，由题意得：22430y y -=， 解得：240y =，答：这批零件共有240个．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意正确列出方程，熟练掌握分式方程和一元一次方程的解法．23．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据BD∥OC，可得∥OBF+∥BOF＝90°，又根据∥OEB＝∥ACD，∥ACD=∥ABD，即有∥OEB＝∥ABD，则∥OEB+∥BOF＝90°，即OB∥BE问题得证；（2）连接AD，证明出∥DCG∥∥ACD即可．(1)证明：∥BD∥OC，∥∥OBF+∥BOF＝90°，又∥∥OEB＝∥ACD，∥ACD=∥ABD，∥∥OEB＝∥ABD，∥∥OEB+∥BOF＝90°，∥∥OBE＝90°，即OB∥BE，∥OB是∥O的半径，∥BE是∥O的切线；(2)证明：连接AD，如图，∥OC是∥O的半径，BD∥OC，∥CD BC=，∥∥DAC＝∥BDC，∥∥DCA＝∥DCA，∥∥DCG∥∥ACD，∥CG CD CD CA=．∥ 2•CD CG CA＝．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．24．(1)（4，4）(2)1k=-(3)1531 88c≤≤【解析】【分析】（1）设点B的坐标为（b，16b），由A，B两点同为“郡系点”得1626bb+=+，解分式方程即可；（2）根据一次函数图象上点的坐标的特征求出1y，2y，利用C，D两点横坐标与纵坐标之和相等列方程即可求解；（3）先根据点E在直线132y x=-+上第一象限内，求出点E的横、纵坐标之和N的取值范围，再根据二次函数图象的性质求出点F的横、纵坐标之和M的取值范围，N的取值范围在M的取值范围之内，列一元一次不等式组，即可求解．(1)解：∥点B是反比例函数16yx=图象上的一点，∥设点B的坐标为（b，16b），∥点A的坐标为（2，6），A，B两点同为“郡系点”，∥16 26bb+=+，整理得28160b b-+=，解得4b =，经验证4b =是分式方程1626b b+=+的解， ∥164b =， ∥点B 的坐标为（4，4）．(2)解：∥点C （2-，1y ），D （4，2y ）在直线3y kx =-（0k ≠）上，∥123y k =--，243y k =-，∥C ，D 两点同为“郡系点”，∥223443k k ---=+-，整理得66k =-，∥1k =-．(3) 解：对于一次函数图象132y x =-+， 令0x =，得3y =；令0y =，得6x =．∥点E 是直线132y x =-+上第一象限内的一点， ∥设点E 的坐标为（n ，132n -+），其中06n <<，∥点E 的横、纵坐标之和为：113322N n n n =-+=+，∥06n <<，N 随n 的增大而增大， ∥11036322N ⨯+<<⨯+，即36N <<．∥点F 在抛物线212y x x c =++（1322x -≤≤）上， ∥设点F 的坐标为（m ，212m m c ++），其中1322m -≤≤， ∥点F 的横、纵坐标之和为：2211222M m m m c m m c =+++=++， ∥二次函数2122M m m c =++的图象开口向上，对称轴为22122m -==-⨯， ∥当1322m -≤≤时，M 随m 的增大而增大，∥2211113322222222c M c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+<<⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即73388c M c -+<<+， ∥抛物线212y x x c =++（1322x -≤≤）上总存在点F ，使得E ，F 两点同为“郡系点”， ∥7383368c c ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩， 解得153188c ≤≤． 【点睛】本题借新定义考查一次函数、二次函数图象的性质，解一元一次不等式组等知识点，第3问有一定难度，求出点E 及点F 的横、纵坐标之和的取值范围是解题的关键． 25．(1)4(2)∥24；∥221124S x t =- 【解析】【分析】（1）连接OD ，在Rt COD 中，利用tan OD C CD∠=即可求得 （2）∥将EBD △绕E 点逆时针旋转，至EB 与EA 重合，易知AEB △和D ED '△等腰直角三角形，且AFD EFB ∽△△，设AD a =，BD b =，OB r =，由Rt ADB 和相似三角形得对应边成比例，列三个等式，解三个未知数，即可算出r∥设AD a =，BD b =，OB r =，由Rt ADB 和等腰直角三角形D ED '△，列出两个关于a ，b ，r 的等式，得到ab 的表达式，即可(1)连接OD∥CD 为切线∥90CDO ∠=︒在Rt COD 中：1tan 2OD C CD ∠== 解得：4CD =(2)∥连接AE ，BE∥AB 为直径∥90AEB =︒∠∥DE 平分ADB ∠，90ADB ∠=︒∥45ADE BDE ∠=∠=︒∥AE BE =，AE BE =∥AEB △是等腰直角三角形将EBD △绕E 点逆时针旋转，至EB 与EA 重合，D 点对应点为D∥180DBE DAE ∠+∠=︒，DBE D AE '∠=∠∥180D AE DAE '∠+∠=︒即D ，A ，D 三点共线∥90DEB AED ∠+∠=︒，DEB D EA '∠=∠∥90D EA AED '∠+∠=︒又∥D E DE '=∥D ED '△是等腰直角三角形设AD a =，BD b =，OB r =则BE =，DD a b '=+，)2DE a b =+ ∥ADE ABE ∠=∠，AFD EFB ∠=∠，∥AFD EFB ∽△△ ∥AD AF DF BE EF BF== 即： 222(2)a b r +=①713== 将∥式拆成两个：713713=④ 由∥得：a =将a =代入∥式得：b =将a =，b =代入∥式 解得：24r =∥设AD a =，BD b =，由∥知：222a b a b t ⎧+⎪⎨+=⎪⎩①② 2-①②化简得：2212ab x r =- 2211112224ABD S AD BD ab x t =⋅==-△ 【点睛】本题是几何综合题，考查了圆的基本性质，相似三角形，旋转，特殊直角三角形三边关系．第一小问注意利用切线的特点做辅助线构造直角三角形，第二小问∥旋转构造等腰直角三角形是难点，相似是重点，第二小问∥注意利用方程组算出目标代数式即可．。
精品中考冲刺模拟测试《数学试题》带答案解析
中 考 全 真 模 拟 测 试数 学 试 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.213-⎛⎫- ⎪⎝⎭的相反数是：（ ） A. 9B. 9-C.19D. 19-2.随着经济社会发展和物质消费水平的大幅提高，我国生活垃圾产生量迅速增长，环境隐患已经成为新型城镇化发展的制约因素．中央文件下发以来，全国各级各地均投入了一定的人力物力，以期逐步实现生活垃圾分类．2019年1月，H 市共印发了5050万张宣传单，对生活垃圾分类作了广泛的宣传．这里的5050万用科学记数法表示为：（ ） A. 85.0510⨯B. 550510⨯C. 35.0510⨯D. 75.0510⨯3.下列几何体中，左视图是三角形的是：（ ） A. B. C. D.4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）.A.10B.5C.3D.25.对下列各整式因式分解正确的是：（ ） A. 221(21)1-+=-+x x x x B. 2221(1)--=-x x x C. 32244(2)++==+y y y y yD. 26(2)(3)--=-+x x x x6.不等式组213351x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B.C.D.7.一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是：（ ） A. 2，1，2 B. 3，2，0.2C. 2，1，0.4D. 2，2，0.48.如图，Oe 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O e 上任意一点，过点P 作PM AB⊥于点M ，PN CD ⊥于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周旋转60︒时Q 点所经过的路线长为：（ ）A .16π B.14π C.13π D. π9.如图，矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将PCD ∆沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作BPF ∠的角平分线交AB 于点E ．设BP x =，BE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是：（ ）A. B. C.D.10.在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，12CE =，9BF =，则ABC ∆面积的最大值是：（ ） A. 72B. 108C. 120D. 无最大值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.方程(3)x x x -=的解是______________．12.H 市某区为了推进义务教育均衡发展，计划利用四年大力加强学校标准化建设，已知2016年区政府已向某校投资500万元人民币，若每年投资的增长率相同，2018年投资720万元人民币，则2016年至2019年共向该校投资____________万元．13.如图，在x 轴的上方，直角BOA ∠绕原点O 按顺时针方向旋转．若BOA ∠的两边分别与函数1y x=-、2y x=的图象交于B 、A 两点，则cos OAB ∠的值为___________．14.在平面直角坐标系中，直线364y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外），在x 轴上方存在点N ，使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，则ON 的长度为____________．三、简答题15.先化简22211111x x x x x x -+-⎛⎫÷-+ ⎪-+⎝⎭，5x 5x 的值代入求值．16.如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，点D 是弧BC 中点，DE AC ⊥，垂足为E ，F 是CA 延长线上一点，且AFAB =．求证：点E 是FC 的中点．17.如图，A B C '''∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形．（1）写出A B C '''∆是ABC ∆经过怎样变换得到的，如果ABC ∆中有一点P 的坐标为(),2a ，那么变换后它的对应点Q 的坐标为____；（2）画出将ABC ∆绕点()0,1顺时针旋转90︒得到的DEF ∆．18.观察下列算式：334287-=⨯，3362826-=⨯，3384856-=⨯…… （1）请你再写出一个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性．19.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC =1：10（即EF ：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE=35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tanα=37，升旗台高AF=1m ，小明身高CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．20.现有一笔直的公路连接M 、N 两地，甲车从M 地驶往N 地，速度为每小时60千米，同时乙车从N 地驶往M 地，速度为每小时80千米．途中甲车发生故障，于是停车修理了2．5小时，修好后立即开车驶往N 地．设甲车行驶的时间为()t h ，两车之间的距离为()s km ．已知s 与t 的函数关系的部分图像如图所示．（1）直接写出B 点的实际意义． （2）问：甲车出发几小时后发生故障？（3）将s 与t 的函数图象补充完整．（请对画出的图象用数据作适当的标注）21.若一个三位数两个数位上数字的和等于另一个数位上的数字，则称这个三位数为“均衡三位数”．现从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个数字，组成无重复数字且百位数字、十位数字、个位数字依次增大的三位数．（1）请列举出所有可能得到的三位数；（2）小明和小亮玩一个游戏，游戏规则如下：若（1）中组成的三位数是“均衡三位数”，则小明胜；否则小亮胜．这个游戏公平吗？说明理由．22.已知抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()30A -,和()10B ,两点（点A 在点B 的左边），点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式； （2）画出此二次函数的大致图像；（3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，求当矩形PQMN 的周长最大时点M 的横坐标．23.如图①，以ABC ∆的两边AB ，AC 分别向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，BE 与DC 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）证明：60∠=︒DPB ； （2）求边BE的长；（3）如图②，若点Q 、R 分别是等边ABD ∆和等边ACE ∆的中心，连接AQ 、AR 、QR ，求QR 的长答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.213-⎛⎫- ⎪⎝⎭的相反数是：（ ） A. 9B. 9-C.19D. 19-【答案】B 【解析】 【分析】先求出原数，根据相反数的定义即可求解.【详解】2913-⎛⎫- ⎪⎭=⎝，9的相反数为-9； 故选;B【点睛】本题考查了相反数的定义和负整指数幂的计算，解题的关键是求得原数的值.2.随着经济社会发展和物质消费水平的大幅提高，我国生活垃圾产生量迅速增长，环境隐患已经成为新型城镇化发展的制约因素．中央文件下发以来，全国各级各地均投入了一定的人力物力，以期逐步实现生活垃圾分类．2019年1月，H 市共印发了5050万张宣传单，对生活垃圾分类作了广泛的宣传．这里的5050万用科学记数法表示为：（ ） A. 85.0510⨯ B. 550510⨯C. 35.0510⨯D. 75.0510⨯【答案】D 【解析】 【分析】将5050万根据科学记数法的定义表示出来即可． 【详解】5050万750500000 5.0510==⨯ 故选:D ．【点睛】本题考查了科学记数法的定义，解题的关键是掌握科学计数法的表示方法． 3.下列几何体中，左视图是三角形的是：（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】左视图是从物体左面看到的图形，进而分析即可. 【详解】A.左视图为三角形； B. 左视图为圆； C. 左视图为圆； D ．左视图为长方形. 故选：A【点睛】本题考查了几何体的三种视图，解题的关键是掌握左视图的是从左边看到的图形. 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）.A. 10B.5 C.3D.2【答案】B 【解析】 【分析】只要判定出2＜p ＜3，由此即可解决问题． 【详解】由图象可知，2＜p ＜3．5≈2.236，∴数轴上点P 5 故选B ．【点睛】本题考查了实数与数轴，理解数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键，学会估计无理数的近似值，属于中考常考题型．5.对下列各整式因式分解正确的是：（ ） A. 221(21)1-+=-+x x x xB. 2221(1)--=-x x xC. 32244(2)++==+y y y y yD. 26(2)(3)--=-+x x x x【答案】C 【解析】 【分析】原式各项分解得到结果，即可判断． 【详解】A. 221x x -+不能分解，故错误； B. 221x x --不能分解，故错误； C. 32244(2)y y y y y ++=+，正确； D. 26(3)(2)x x x x --=-+，故错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的相关方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．6.不等式组213351x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集再求出其公共解集． 【详解】该不等式组的解集为1＜x≤2， 故选C ．【点睛】考查了不等式组解集表示．按照不等式的表示方法1＜x≤2在数轴上表示如选项C 所示，解答这类题时常常因表示解集时不注意数轴上圆圈和黑点所表示意义的区别而误选D ． 7.一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是：（ ） A. 2，1，2 B. 3，2，0.2C. 2，1，0.4D. 2，2，0.4【答案】D【解析】 【分析】根据众数，中位数，方差的定义计算即可.【详解】将这组数据重新由小到大排列为：12223、、、、 平均数为：1222325++++=2出现的次数最多，众数为：2 中位数为：2方差为：()()()()()22222212222222320.45s -+-+-+-=+-=故选：D【点睛】本题考查了确定数据众数，中位数，方差的能力，解题的关键是熟悉它们的定义和计算方法. 8.如图，O e 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O e 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN CD ⊥于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周旋转60︒时Q 点所经过的路线长为：（ ）A. 16πB.14π C. 13πD. π【答案】C 【解析】 【分析】OP 的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再代入弧长公式计算即可． 【详解】连接PQ ，如图所示：∵PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，∴四边形ONPM 是矩形，∴OP=MN ，又∵点Q 为MN 的中点，∴点Q 为OP 的中点，∴O 、P 、Q 三点共线 则112OQ OP == 点Q 走过的路径长6011803ππ⨯== 故选C ． 【点睛】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q 运动轨迹的半径．9.如图，矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将PCD ∆沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作BPF ∠的角平分线交AB 于点E ．设BP x =，BE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是：（ ）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】证明△BPE ∽△CDP ，根据相似三角形的对应边的比相等求得y 与x 的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．【详解】解：∵∠CPD=∠FPD ，∠BPE=∠FPE ，又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，∴∠CPD+∠BPE=90°，又∵直角△BPE 中，∠BPE+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠CPD ，又∵∠B=∠C ，∴△BPE ∽△CDP ， ∴BP BE CD PC =,即35x y x=- 则21533y x x =-+ ，y 是x 的二次函数，且开口向下. 故选：C【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y 的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE ∽△CDP 是关键．10.在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，12CE =，9BF =，则ABC ∆面积的最大值是：（ ） A. 72B. 108C. 120D. 无最大值【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线定理，连接EF ，过点F 作//FD CE 交BC 的延长线于点D ，当BF CE ⊥时，ABC V 的面积最大，可得2ABC BCF S S =V V ，即可求解.【详解】如图，连接EF ，过点F 作//FD CE 交BC 的延长线于点D∵E 、F 分别是AB 、AC 边的中点 ∴1//,2EF BC EF BC = ∴四边形CDEF 是平行四边形∴,12FE CD DF CE ===当BF CE ⊥时，ABC V 的面积最大，此时1912542BDF S =⨯⨯=V ∵2BC CD = ∴254363BCF S =⨯=V ∴272ABC BCF S S ==V V故选：A【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的面积，解题的关键是通过中位线构造平行四边形，进而求出关键线段的长度关系.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.方程(3)x x x -=的解是______________．【答案】14x =,20x =【解析】【分析】根据题意先移项，再提取公因式，求出x 的值即可．【详解】解：移项得，x （x-3）-x=0，提取公因式得，x （x-3-1）=0，即x （x-4）=0，解得14x =,20x =．故答案为：14x =,20x =．【点睛】本题考查的是解一元二次方程-因式分解法，熟练利用因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．12.H 市某区为了推进义务教育均衡发展，计划利用四年大力加强学校标准化建设，已知2016年区政府已向某校投资500万元人民币，若每年投资的增长率相同，2018年投资720万元人民币，则2016年至2019年共向该校投资____________万元．【答案】2684【解析】【分析】根据2016年和2018年的投资金额求出增长率，再分别求出每年的投资金额相加即为最终答案．【详解】设每年投资的额增长率为x ，根据题意得：()25001720x +=解得120.2, 2.2x x ==-（不合题意）∴每年的增长率为20%，∴2017年投资()500120%600+=（万元）∴2018年投资()600120%720+=（万元）∴2019年投资()720120%864+=（万元）∴2016年至2019年共向该校投资5006007208642684+++=（万元）故答案为：2684．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是求出增长率．13.如图，在x 轴的上方，直角BOA ∠绕原点O 按顺时针方向旋转．若BOA ∠的两边分别与函数1y x =-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则cos OAB ∠的值为___________．【答案】63【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BOM ∽△OAN ，得到BM OM ON AN =，设点B 1,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭A 2,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭；则12,,,BM AN OM m ON n m n ==== 进而得到2,2mn mn mn==，此为解决问题的关键性结论. 【详解】如图，分别过点A 、B 作AN ⊥x 轴、BM ⊥x 轴；∵∠AOB=90°，∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，∴∠BOM=∠OAN ，∵∠BMO=∠ANO=90°，∴△BOM ∽△OAN ，∴BM OM ON AN= 设点B 1,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ A 2,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ；则12,,,BM AN OM m ON n m n ==== 2,2mn mn mn∴==90AOB ︒∠=Q tan OB OAB OA∴∠=① ~BOM OAN QV V12OB BM OA ON mn ∴=== ∴由①②可知2tan 2OAB ∠=设2,2,6OB x OA x AB x ===6cos 3OAB ∴∠=故答案为：63【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．14.在平面直角坐标系中，直线364y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外），在x 轴上方存在点N ，使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，则ON 的长度为____________．【答案】5或9.6【解析】【分析】 分两种情形讨论①OB 为边，②OB 为对角线，分别求出点N 坐标即可求出ON 的长度．【详解】如图，当OB 为边时，四边形OBNM 是菱形，连接ON 交AB 于H ，延长NM 交OA 于E,1122OA OB OH AB ⨯=⋅Q 2418,55OH BH HM ∴=== 1425AM AB BH ∴=-= 由EM //OB 得到EM AM AE OB AB AO== 4256,2525EM AE ∴== 14425OE ∴= ∴点N 坐标144192,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则2214419225259.6ON ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=+=⎭⎝如图当OB 为对角线时，易知点N 坐标（-4，3）．∴()22534ON=-+=综上所述以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，ON的长度为9.6或4.【点睛】本题考查一次函数图象上的点坐标特征，菱形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．三、简答题15.先化简22211111x x xxx x-+-⎛⎫÷-+⎪-+⎝⎭，5x5x的值代入求值．【答案】1x-,x=-2时,原式=12【解析】分析：先把22211x xx-+-的分子、分母分解因式，把1x11xx--++通分，然后把除法转化为乘法约分化简，从5x3中取一个使分式有意义的数代入到化简后的式子中计算即可.详解：22211x111x x xx x-+-÷-+-+，=()()()()()1?111111x x x xx x x----+÷+-+，=()()()21?11111x xx x x x-++---+n，=()()()()1?1111x xx x x x-++--n，=1x -.当x=-2时，原式=1122 -=-.点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键，本题也考查了分式有意义的条件，取值时不能取-1,0，1三个数.16.如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，点D 是弧BC 中点，DE AC ⊥，垂足为E ，F 是CA 延长线上一点，且AF AB =．求证：点E 是FC 的中点．【答案】见解析【解析】【分析】连接BD ，可证()≌∆∆DAF DAB SAS ,根据全等的性质可得DFC △是等腰三角形，即可求证.【详解】证明：连接BD ，如图：∵点D 是弧BC 中点，∴DB DC = DBC DCB ∠=∠又∵180∠+∠=︒DAF DAC ，DAC DBC ∠=∠∴180∠+∠=︒DAF DCB∵四边形ABCD 是O e 内接四边形，∴180DAB DCB ∠+∠=︒∴∠=∠DAF DAB ，又∵AB AF =，AD AD =在DAF △和DAB V 中DA DA DAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()≌∆∆DAF DAB SAS∴DF DB =，又∵DB DC =∴DF DC =∴DFC △是等腰三角形又∵DE AC ⊥，∴EF EC =∴点E 是FC 的中点【点睛】本题考查了主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是连接BD ，得到DAF DAB ∆∆≌，从而解决问题.17.如图，A B C '''∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形．（1）写出A B C '''∆是ABC ∆经过怎样变换得到，如果ABC ∆中有一点P 的坐标为(),2a ，那么变换后它的对应点Q 的坐标为____；（2）画出将ABC ∆绕点()0,1顺时针旋转90︒得到的DEF ∆．【答案】（1）()5,2Q a +-；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据对应点A 、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q 的坐标即可． （2）做出图形即可.【详解】解：（1）由图可知，A （-4，3），A′（1，-1），所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，∵P （a ，2），∴对应点Q 的坐标为（a+5，-2）．故答案为：（a+5，-2）（2）如图所示：DEF ∆即为所求.【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移和旋转，观察图形得到变化规律是解题的关键．18.观察下列算式：334287-=⨯，3362826-=⨯，3384856-=⨯……（1）请你再写出一个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．【答案】3382863-=⨯；（2）两个正偶数的立方差是8的倍数；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据已知数据之间的变化规律得出答案；（2）根据（1）中规律得出一般规律；（3）利用整式的运算证明即可.【详解】解：（1）3382863-=⨯（2）两个正偶数的立方差是8的倍数．（3）设,m n 为正整数，则()3333(2)(2)8-=-m n m n【点睛】本题考查了数字的变化规律，整式的混合运算，解题的关键是得出一般规律求解.19.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC =1：10（即EF ：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE=35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tanα=37，升旗台高AF=1m ，小明身高CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．【答案】12.1m ．【解析】【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，分别解可得BG 与EF 的大小，进而求得BE 、AE 的大小，再利用AB=BE-AE 可求出答案． 【详解】解：作DG ⊥AE 于G ，则∠BDG=α，易知四边形DCEG 为矩形．∴DG=CE=35m ，EG=DC=1.6m在直角三角形BDG 中，BG=DG•×tanα=35×37=15m ， ∴BE=15+1.6=16.6m ． ∵斜坡FC 的坡比为i FC =1：10，CE=35m ，∴EF=35×110=3.5， ∵AF=1，∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5，∴AB=BE-AE=16.6-4.5=12.1m ．答：旗杆AB 的高度为12.1m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．20.现有一笔直的公路连接M 、N 两地，甲车从M 地驶往N 地，速度为每小时60千米，同时乙车从N 地驶往M 地，速度为每小时80千米．途中甲车发生故障，于是停车修理了2．5小时，修好后立即开车驶往N 地．设甲车行驶的时间为()t h ，两车之间的距离为()s km ．已知s 与t 的函数关系的部分图像如图所示．（1）直接写出B 点的实际意义．（2）问：甲车出发几小时后发生故障？（3）将s 与t 的函数图象补充完整．（请对画出的图象用数据作适当的标注）【答案】（1）是甲车故障开始修理了，乙车还在继续行驶；（2）1小时；（3）见解析【解析】【分析】（1）B 点开始两车距离变化变慢，说明甲车故障开始修理了；（2）根据图象，3小时时两车相遇，再求出相遇时甲车行驶的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）根据两车行驶的情况分类讨论.【详解】解：（1）点B的实际意义是甲车故障开始修理了，乙车还在继续行驶；（2）t=3时，两车距离为0km，两车相遇，∵80×3=240km，∴发生故障前甲车行驶路程为300-240=60km，时间位：60÷60=1小时；∴甲车出发1小时后发生故障.（3）甲车再次行驶时，t=1+2.5=3.5h，乙车到达N地时，t=300÷80=3.75h，甲车到达M地时，t=300÷60+2.5=7.5h，所以，3＜t≤3.5时，s=80（t-3）=80t-240，t=3.5时，80t-240=80×3.5-240=40km，3.5＜t≤3.75时，s=80（t-3）+60（t-3.5）=140t-450，t=3.75时，140t-450=140×3.75-450=75km，3.75＜t≤7.5时，s=60（t-3.75）+75=60t-150补全图形如图所示．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，判断出点C为两车相遇是解题的关键，难点在于（3）根据两车的行驶情况分情况讨论．21.若一个三位数两个数位上数字的和等于另一个数位上的数字，则称这个三位数为“均衡三位数”．现从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个数字，组成无重复数字且百位数字、十位数字、个位数字依次增大的三位数．（1）请列举出所有可能得到的三位数；（2）小明和小亮玩一个游戏，游戏规则如下：若（1）中组成的三位数是“均衡三位数”，则小明胜；否则小亮胜．这个游戏公平吗？说明理由．【答案】（1）123，124，125，134，135，145，234，235，245，345；（2）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题目要求列出所有数字即可；（2）根据（1）中的数据判断“均衡三位数”的个数，比较概率即可.【详解】解：（1）123，124，125，134，135，145，234，235，245，345（2）这个游戏不公平．理由：由（1）可知共有10种结果，每种结果出现的可能性相同，其中“均衡三位数”有123，134，145，235四种，∴P （小明胜）42105==，P （小亮胜）23155=-= ∴P （小明胜）P <（小亮胜），所以该游戏不公平．【点睛】本题是阅读类型的题目，考查了概率问题；解题的关键是弄清楚“均衡三位数”的定义，据此解题.22.已知抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()30A -,和()10B ,两点（点A 在点B 的左边），点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）画出此二次函数的大致图像； （3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，求当矩形PQMN 的周长最大时点M 的横坐标． 【答案】（1）223y x x =--+；（2）见解析；（3）－2 【解析】 【分析】 （1）把A,B 两点坐标分别代入解析式即可求解； （2）求出对称轴，与坐标轴的交点可画出大致图像； （3）设点M 的横坐标为m ，则PM 和MN 的长度可以用m 表示，从而得出矩形的周长与m 的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解. 【详解】解：（1）把()30A -,、()10B ,两点坐标分别代入2y x bx c =-++()2203301b c b c ⎧=---+⎪⎨=-++⎪⎩解得2b =-，3c =，∴223y x x =--+（2）函数与x 轴的交点为(3,0);(1,0)A B - ；与y 轴的交点坐标()0,3C ；顶点坐标()1,4D - ;函数图像如图所示：（3）由抛物线223y x x =--+可知，对称轴为直线1x =-，设M 点的横坐标为m ()31m -<<- ，则223PM m m =--+，(1)222MN m m =--⨯=--， ∴矩形PMNQ 的周长()2222()232222822(2)10=+=--+--⨯=--+=-++PM MN m m m m m m ，∴当2m =-时矩形的周长最大．即M 的横坐标为-2.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式和关键点的坐标.23.如图①，以ABC ∆的两边AB ，AC 分别向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，BE 与DC 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）证明：60∠=︒DPB ；（2）求边BE 的长；（3）如图②，若点Q 、R 分别是等边ABD ∆和等边ACE ∆的中心，连接AQ 、AR 、QR ，求QR 的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12；（3）3QR =【解析】【分析】（1）根据题目信息可证()ABE ADC SAS ∆≅∆，通过8字模型可求证60∠=︒DPB ；（2）通过证明()E S PC AS A FC ∆∆≅，将BE 的长度转为PB PF FE ++，从而可求解；（3）证明ABE AQR ∆∆:，根据对应边成比例和BE 的长可求得QR 的长.【详解】解：（1）∵ABD ∆和ACE ∆是等边三角形∴,,60AD AB AC AE DAB CAE ====o ∠∠∵BAE BAC CAE =+∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠∠∠∴DAC BAE ∠=∠∴()ABE ADC SAS ∆≅∆∴ADC ABE ∠=∠∴60∠=∠=︒DPB DAB（2）在PE 上取点F ，使60∠=︒PCF ，如图所示：∵,60PFC =o o ∠FPC=∠DPB=60∠∴PFC △为等边三角形∴,60,PC FC PCF ACE AC EC ====o ∠∠∵,PCF ACF FCE ACE ACF -=-∠PCA=∠∠∠∠∠∴FCE ∠PCA=∠∴()E S PC AS A FC ∆∆≅，60∠=∠=︒EPC EAC ，∴3==EF AP ，∴45312=++=++=BE PB PF FE（3）过点Q 作⊥QG AD 于G ，设QG x =，∵点Q 、R 分别是等边ABD ∆和等边ACE ∆的中心∴2=AQ x ，3AG x =，3=AD x ， 则2332AB x AQ x==，同理可得：3AE AR =∵60QAB BAC CAR BAC ++=+o ∠QAR=∠∠∠∠60BAC EAC BAC +=+o ∠BAE=∠∠∠∴∠QAR=∠BAEABE AQR ∆∆:（两边对应成比例且夹角相等），∴QR AQ BE AB ===∵12BE =∴QR =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；解题的关键在于根据全等和相似实现边角转换，从而达到解题的目的。
【中考冲刺】2023年浙江省杭州市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年浙江省杭州市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形2．下面运算正确的是（ ） A ．234a a a += B ．541a a -=C ．325x y xy +=D ．()222581016xy x xy x --=-+3．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 的取值范围是（ ）． A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤5．点P 的坐标为()6,2，A 是x 轴正半轴上一点，O 为原点，则tan AOP ∠的值为（ ）A ．3B C D ．136．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，AC ＝l ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ，则AD 的长为( )A ．l.5 BC ．2D 7．多顶式x 2+kx +25是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A 10B 10C ±10D ±58．一次函数y 1＝x ＋4的图象与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象的交点不可能．．．在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．小明､小亮参加学校运动会800米赛跑；小明前半程的速度为2x 米/秒，后半程的速度为x 米/秒，小亮则用一米32x/秒的速度跑完全程，结果是（ ） A ．小明先到终点B ．小亮先到终点C ．同时到达D ．不能确定10．如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，延长BA ，BC ，使AF ＝CE ＝b ，以BE 为边长在正方形ABCD 外围作正方形BFGE ，以点E 为圆心，EG 为半径画弧交BE 的延长线于点H ，连接DH ，交GE 于点M ，延长AD 交GE 于点K ，交圆弧于点J ，连接GJ ，记∠GKJ 的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2． 当F ，D ，H 三点共线时，12S S 的值为（ ）AB ．12CD二、填空题11．因式分解：24x -=__________．12．已知一个圆锥的底面半径为3cm ，母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积为____________.13．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需_______分钟． 14．已知点()1,A m y ，()22,B m y +且0m >，在反比例函数22k y x+=的图像上，则1y _______2y （填><、）．15．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝80°，∠B ＝120°，∠B 与∠ADC 互为补角，点E 在直线BC 上，将∠DCE 沿DE 翻折，得到△DC E '，若AB ∥C E '，则∠CDE 的度数为_______°．16．如图，是一个“摩天轮”蛋糕架，圆周上均匀分布了8个蛋糕篮悬挂点，圆O 半径为20cm ，O 到MN 的距离为32cm ，A ，B 两个悬挂点之间间隔了一个悬挂点． （1）A 、B 两个悬挂点之间的高度差最大可达到__________cm ．（2）当A 在B 的上方且两个悬挂点的高度差为4cm 时，A 到MN 的距离为________________cm ．三、解答题17．计算：1013920222sin603-⎛⎫-⨯+++︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组50,31212x x x +≤⎧⎪⎨-≥+⎪⎩．19．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BE ∠AC ， DF ∠A C ，求证：AE ＝CF ．20．“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 度，图中m 的值为 ； （2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A 等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A 等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．21．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线21144:1233C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线223:2C y ax x c =++运动．(1)当小雅滑到离A 处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为172米．求出a ，c 的值；(2)小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于103米，请求出a 的取值范围． 22．如图，AB 是∠O 的直径，AC 是弦，P 为AB 延长线上一点，∠BCP ＝∠BAC ，∠ACB 的平分线交∠O 于点D ，交AB 于点E ，(1)求证：PC 是∠O 的切线； (2)若AC ＋BC ＝2时，求CD 的长． 23．我们定义：当m ，n 是正实数．．．，且满足1mm n =-时，就称P ,m m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭为“完美点”． (1)m =3时，则n = ，P 点的坐标为 ．(2)已知点A （0，5）与点B 都在直线y ＝－x ＋b 上，且B 是“完美点”，若C 也是“完美点”且BC ，求点C 的坐标．(3)正方形A 1B 1C 1D 1一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，且点E （1，t ）是此正方形对角线的交点，若正方形A 1B 1C 1D 1边上存在“完美点”，求t 的取值范围． 24．如图，在矩形ABCD 中，已知AD =6，CD =8，点H 是直线AB 上一点，连接CH ，过顶点A 作AG ⊥CH 于G ，AG 交直线CB 于点E ．(1)如图，当点E 在CB 边上时， ∠求证：∠CGE ~∠ABE ； ∠连接BG ，求tan∠AGB ；(2)作点B 关于直线CH 的对称点F ，连接FG ．当直线FG 截∠ADC 所得的三角形是等腰三角形时，求BH 的长．参考答案：1．D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．D 【解析】 【分析】根据同类项的定义及合并同类项的方法逐项分析即可． 【详解】解：A.34a a a +=，故原式不正确； B.54a a a -=，故原式不正确；C.3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原式不正确；D.()222581016xy x xy x --=-+，正确；故选D ． 【点睛】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 3．B【解析】【分析】首先从正面看几何体得到的平面图形是几个正方形的组合图形；然后再分别得到的图形的列数和每列小正方形的个数，由此可得出答案.【详解】解：根据主视图可知有上下两行，上面一行有1个正方形且在最后边，下面一行有3个正方形，故选B.【点睛】本题主要考查的是简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解题的关键. 4．B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，x-2≥0，解得x≥2．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．D【解析】【分析】过点P作PB∠x轴于点B，根据点P的坐标可得PB=2，OB=6，利用勾股定理求出OP，然后根据三角函数的概念进行计算．【详解】解：过点P作PB∠x轴于点B，如图所示：∠点P的坐标为（6，2），∠PB=2，OB=6，∠1tan3BPAOPOB∠==，故D正确．故选：D．【点睛】题主要考查了求一个角的正切值，根据正切的定义，将∠AOP放在相应的直角三角形中是解题的关键．6．C【解析】【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长．【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB，∠∠DAB＝∠B＝15°，∠∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2．故选C．【点睛】本题考查作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了线段垂直平分线的性质．7．C【分析】根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：多顶式x 2+kx +25是一个完全平方式， 则2510kx x x =±⨯=±， ∠10k =±， 故选：C 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点． 8．D 【解析】 【分析】由图象可知一次函数y 1=x+4的图象在第一，二，三象限上；根据一次函数的图象和性质，可知与一次函数y 2=-x+b 的图象的交点不可能在第几象限上. 【详解】因为一次函数y 1=x+4的图象在第一，二，三象限上， 所以与一次函数y 2=-x+b 的图象的交点不可能在第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质. 9．B 【解析】根据题意分别求解出两人跑完全程所用的时间，然后利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意，小明的总用时为：14004002004006002t x x x x x=+=+=秒， 小亮的总用时为：23160080023x t x=÷=秒， 则126001600180016002003333t t x x x x x-=-=-=， ∠由题意可知，0x >，∠120t t ->，12t t >，即：小亮用时更少，先到达终点， 故选：B ． 【点睛】本题考查列分式表示实际问题，并比较大小，理解题意，准确列出分式，掌握比较分式大小的方法是解题关键． 10．D 【解析】 【分析】利用F ，D ，H 三点共线，即有tan∠FDA ＝tan∠DHC ，即可求得a ＝2b ，连接EJ ，在Rt ∠KJE 中求出KJ ，则S 1可求，再证∠DKM ∠∠HEM ，即有ME HEMK DK=，进而求出ME ，则S 2可求，则问题得解． 【详解】根据题意可知AB ＝CD ＝AD ＝a ，AF ＝GK ＝DK ＝CE ＝b ， 即EH ＝a ＋b ，CH =CE +EH =b +a +b ，∠F ，D ，H 三点共线，在正方形ABCD 中，AD BC ∥， ∠∠FDA ＝∠DHC ， ∠tan∠FDA ＝tan∠DHC ， ∠AF DC AD CH=，即b aa b a b =++，∠2220a ab b --=，即()(2)0a b a b +-=， 显然0a b +≠， ∠20a b -=，如图，连接EJ ，则有EJ =EH =EG =a +b ，∠在Rt ∠KJE 中，KJ，∠S 1＝12b ⨯2， ∠AD BC ∥，∠∠DKM ∠∠HEM ， ∠ME HE MK DK =，即ME HE EK ME DK =-， ∠ME a b a ME b+=-， ∠ME ＝2a b a a b +⨯+＝2222b b b b b +⨯+＝32b ， ∠S 2＝13(2)322b b b b b ⨯+⨯+⨯＝2194b ， ∠12S S2÷（2194b故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用F ，D ，H 三点共线可求得a ＝2b ，是解答本题的关键．11．(x+2)(x-2)【解析】【详解】解：24x -=222x -=(2)(2)x x +-；故答案为(2)(2)x x +-12．30πcm 2.【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可．【详解】这个圆锥的侧面积=π×3×10=30πcm 2.故答案为30πcm 2.【点睛】考点: 圆锥的计算.13．40．【解析】【详解】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟，依题意得：3555{4985x y x y +=+=①②， 由∠+∠，得：7x+14y=140，所以x+2y=20，则2x+4y=40，所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．故答案为40．考点：二元一次方程组的应用．14．>【解析】【分析】先根据反比例函数中22k +＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】∠22k +＞0∠反比例函数22k y x+=的图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∠()1,A m y ，()22,B m y +且0m >，∠12y y >故答案为：>．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．20【解析】【分析】根据补角性质即可求得ADC ∠，利用四边形内角和可求得C ∠，再根据翻折及平行线的性质即可求得答案．【详解】∠B ＝120°，∠B 与∠ADC 互为补角，18012060ADC ∴∠=︒-︒=︒，又80A ∠=︒，360100C A B ADC ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，又//'AB C E ，'120CEC B ∴∠=∠=︒，将△DCE 沿DE 翻折，得到△DC E '，1''602CED C ED CEC ∴∠=∠=∠=︒， 18020CDE C CED ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：20．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行线的性质、多边形内角和定理及补角性质，熟练掌握翻折变换的性质及平行线的性质是解题的关键．16． 44或48或20或16【解析】【分析】（1）90AOB ∠=︒，勾股定理求得AB =A 、B 两点在同一竖直线上时，A 、B之间高度差达到最大值（2）A 、B 两个悬挂点的高度差为4cm ，需分为两类情况：A 比B 高4cm （情形∠、∠）B 比A 高4cm （情形∠、∠），如图，过点O 作MN 的平行线，过A 、B 分别向该平行线作垂线，垂足记为F 、E ，证明BOE ∆∠AOF ∆．设Rt AOF ∆较短直角边为x （cm ），则较长直角边为（x +4）cm ，勾股定理建立方程，解方程求解，根据O 到MN 的距离为32cm ，结合图形分情况即可求解．【详解】（1）圆周上均匀分布了8个蛋糕篮悬挂点，A ，B 两个悬挂点之间间隔了一个悬挂点． ∴90AOB ∠=︒，如图，连接AB ，圆O 半径为20cm ，∴AB =，当A 、B 两点在同一竖直线上时，A 、B之间高度差达到最大值故答案为：（2）A 、B 两个悬挂点的高度差为4cm ，需分为两类情况：A 比B 高4cm （情形∠、∠）B 比A 高4cm （情形∠、∠）．如图，过点O 作MN 的平行线，过A 、B 分别向该平行线作垂线，垂足记为F 、E ， 则9090BOE B AOF OAF ∠=︒-∠=︒-∠=∠，在BOE ∆与AOF ∆中，BOE OAF E FOA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BOE ∆∠AOF ∆．设Rt AOF ∆较短直角边为x （cm ），则较长直角边为（x +4）cm ，在Rt AOF ∆中，由勾股定理可得：()222420x x ++=，解得1212,16x x ==-（舍去）． 情形∠、∠中，AF =12cm ，情形∠、∠中，AF =16cm ．O 到MN 的距离为32cm ，四个情形中，A 到MN 的距离分别为32+12=44，32+16=48，32-12=20，32-16=16． 故答案为：44或48或20或16∠ ∠∠【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．17．1【解析】【分析】先化简再计算即可．【详解】原式=339121-⨯++= 【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数幂、实数绝对值、0指数幂、特殊角度三角函数值进行化简．18．5x ≤-【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可．【详解】解：解不等式50x +≤得5x ≤-． 解不等式31212x x -≥+得3x ≤-． ∠不等式组的解集为5x ≤-．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是解题关键．19．见解析【解析】【分析】 可证明ABE ≌CDF ，即可得到结论．【详解】证明：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AB =CD ，AB ∥CD∠∠BAC =∠DCA∠BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F∠∠AEB =∠DFC =90°在ABE 和CDF 中 ，BAE DCF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABE ≌CDF （AAS ）∠AE =CF【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．20．（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）23．【解析】【分析】（1）根据等级为A 的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D 级的人数求得D 等级扇形圆心角的度数和m 的值；（2）求出等级B 的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），表示“D 等级”的扇形的圆心角为420×360°=72°； C 级所占的百分比为820×100%=40%，故m=40， 故答案为20，72，40．（2）故等级B 的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），补全统计图，如图所示；（3）列表如下：所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P （恰好是一名男生和一名女生）=46=23． 考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．21．(1)18a =-，4c = (2)3032a -≤< 【解析】【分析】（1）根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为（6，172），设C 2的解析式为：()21762y a x =-+，代入0,4x y ==，即可求解； （2）求出山坡的顶点坐标为（8，203），根据题意列出不等式，解不等式即可求得a 的取值范围．(1)解：根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为（6，172）， 设C 2：()21762y a x =-+，代入0,4x y ==，得173642a +=， 解得18a =-， ∴()2117682y x =--+213482x x =-++， 18a ∴=-，4c =； (2)解：抛物线C 1：()2214412081233123y x x x =-++=--+， 因此抛物线C 1的顶点坐标为（8，203）， 即当x =8时，运动员到达坡顶， 此时238842a ⨯+⨯+≥103+203， 解得332a ≥-， 根据实际情况，0a <，3032a ∴-≤<． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．22．(1)见解析【解析】【分析】（1）连接OC ，根据AB 为直径，得出∠ACB =90°，则∠ACO +∠OCB =90°，从而得出∠BCP +∠OCB =90°，即∠OCP =90°，即可得出结论；（2）连接BD ，作DM AC DN CB ⊥⊥，，垂足为M ，N ，根据CD 平分ACB ∠，DM AC ⊥，DN CB ⊥，得出DM DN AD BD ==，，推出AD BD =，再利用HL 证明AMD BND ≌，得出四边形CMDN 为矩形，再推出矩形CMDN 为正方形，则CN =，即可得出答案 (1)连接OC ，∠AB 为直径，∠∠ACB =90°，∠∠ACO +∠OCB =90°，∠OA =OC ，∠∠BAC =∠ACO ，∠∠BCP ＝∠BAC ，∠∠BCP =∠ACO∠∠BCP +∠OCB =90°，即∠OCP =90°，∠PC 是∠O 的切线；(2)连接BD ，作DM AC DN CB ⊥⊥，，垂足为M ，N ，∠CD 平分ACB ∠，DM AC ⊥，DN CB ⊥， ∠DM DN AD BD ==，，∠AD BD =，∠90AMD BND ∠∠==︒，∠AMD BND HL ≌（）， ∠90DMC MCN CND ∠∠∠===︒，∠四边形CMDN 为矩形，∠DM DN =，∠矩形CMDN 为正方形，∠CN =， ∠2AC BC CM AM CB CN +=++=，∠AC BC +=，∠2AC BC +=，∠CD =【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．23．(1)32，（3，2） (2)点C 的坐标（2，1）或（4，3）(3)-1＜t ≤2【解析】【分析】（1）根据“完美点”的定义即可求解；（2）先根据A 点坐标求出直线解析式，根据B 点在直线5y x -＝＋上，设B 点坐标为(,5)-+a a ，再根据B 点是“完美点”，即可求出B 点坐标，设“完美点”C 点坐标为00(,)x y ，即有001y x =-，再利用勾股定理有：22200(3)(2)BC x y =-+-，即可求解出C 点坐标；（3）设正方形1111D C B A 的四个顶点的坐标为1(0,)A p 、1(,)B w p 、1(,)C w q 、1(0,)D q ，即有11111111A B C D A D B C ===，即q p w -=，再根据正方形1111D C B A 对角线交点E 的坐标为(1,)t ，利用中点坐标公式可得到112q t p t w =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则可用t 表示出1(0,1)A t -、1(2,1)B t -、1(2,1)C t +、1(0,1)D t +，根据题意设“完美点”的坐标为(,)m P m n ，即有1m m n =-，再根据m 、n 时正实数，可知m n也为正实数，即1m ＞，再分当“完美点”P 点在边长11A D 上时、当“完美点”P 点在边长11A B 上时、当“完美点”P 点在边长11B C 上时、当“完美点”P 点在边长11C D 上时四种情况讨论，即可求出t 的取值范围．(1)∠m =3， ∠1312m m n =-=-=，即P 点坐标为(3,2)， ∠32n=， ∠32n =， 故答案为：32，(3,2)； (2)∠A (0,5)在直线5y x -＝＋上，∠5b ＝，即直线的解析式为：5y x -＝＋，∠B 点在直线5y x -＝＋上，∠设B 点坐标为(,5)-+a a ，∠B 点是“完美点”，∠51a a -+=-，解得a =3，∠B 点坐标为(3,2)，设C 点坐标为00(,)x y∠C 点是“完美点”，∠001y x =-，∠BC ，∠利用勾股定理有：22200(3)(2)BC x y =-+-，∠代入001y x =-有：2200(3)(12)2x x -+--=，解得02x =或者04x =，∠01y =或者03y =，∠C 点坐标为：(2,1)或(4,3)；(3)按题意作图如下，∠四边形1111D C B A 是正方形，则设1(0,)A p 、1(,)B w p 、1(,)C w q 、1(0,)D q ，即有11111111A B C D A D B C ===，即q p w -=，∠正方形1111D C B A 对角线交点E 的坐标为(1,)t ，∠根据中点坐标公式有：0122w p q t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∠22w p q t =⎧⎨+=⎩， ∠q p w -=，∠2q p -=，∠联立22q p p q t -=⎧⎨+=⎩，即得：11q t p t =+⎧⎨=-⎩， ∠1(0,1)A t -、1(2,1)B t -、1(2,1)C t +、1(0,1)D t +，根据题意设“完美点”的坐标为(,)m P m n， ∠1m m n =-， ∠m 、n 时正实数， ∠m n也为正实数，∠10m m n=-＞，即1m ＞， 当“完美点”P 点在边长11A D 上时，即有m =0，此时不满足1m ＞，故“完美点”P 点不可能在边长11A D 上；当“完美点”P 点在边长11A B 上时即有02m ≤≤，11m m t n =-=-， 即有m =t ，∠1m ＞，∠此时2m ≤1＜，∠12t ＜≤；当“完美点”P 点在边长11B C 上时，即有2m =，11m t t n -≤≤+， ∠1m m n =-， ∠1211m m n=-=-=， ∠111t t -≤≤+，即有：02t ≤≤；当“完美点”P 点在边长11C D 上时即有02m ≤≤，11m m t n=-=+， 即有m =t +2，∠1m ＞，∠此时2m ≤1＜，∠22t +≤1＜；∠0t ≤-1＜，综上所述：t 的取值范围：2t ≤-1＜．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、正方形的性质、中点坐标公式等知识，利用E 点坐标表示出正方形1111D C B A 四个顶点的坐标是解答本题的关键．24．(1)∠见解析；∠43(2)74，2，8，42 【解析】【分析】（1）∠根据对顶角相等可得CEG AEB ∠=∠，根据,90AG CH ABC ⊥∠=︒，可得BAE GCE ∠=∠，即可得证；∠由90ABC AGC ∠=∠=︒得,,,A B G C 四点共圆，则AGB ACB ∠=∠，即可求解．（2）根据题意画出图形建立平面直角坐标系，分4种情况讨论求解即可．(1)∠证明：,90AG CH ABC ⊥∠=︒，CEG AEB ∠=∠，∠BAE AEB GCE CEG ∠+∠=∠+，即BAE GCE ∠=∠∠∠CGE ~∠ABE ；∠∠90ABC AGC ∠=∠=︒，∠,,,A B G C 四点共圆，∠AGB ACB ∠=∠在矩形ABCD 中，已知AD =6，CD =8，6,8BC AD AB CD ∴====，∴tan tan AGB ACB ∠=∠8463AB BC ===； (2)解：如图1所示，以B 为原点，以BC 所在的直线为y 轴，以AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点H 的坐标为（m ，0），由（1）∠可知∠ABE =∠CBH =90°，∠BAE =∠BCH ，∠∠BAE ∠∠BCH ， ∠AB BC BE BH =，即86BE m=， ∠43BE m =，∠点E 的坐标为（0，43m ）， 设直线AE 的解析式为y kx b =+， ∠8043k b b m -+=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∠66m k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∠直线AE 的解析式为463m y x m =+， 同理可以求出直线CH 的解析式为66y x m =-+， 联立46366m y x m y x m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得22223683664836m m x m m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， ∠点G 的坐标为22223686483636m m m m m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，； 过点F 作FT ∠x 轴于T ，设BL FL n ==（轴对称的性质），∠AG ∠CH ，BF ∠CH ，∠AG BF ∥，∠∠BAE =∠LBH ，∠ABE ∠∠BTF ， ∠8643BT AB FT BE mm ===， ∠∠ABE =∠BLH =90°（轴对称的性质∠BLH =90°），∠∠ABE ∠∠BLH ， ∠BE HL AB BL =，即438m HL n=， ∠6mn HL =， 又∠1122BHF S BH FT OF HL =⋅=⋅△，∠112226mn m FT n ⋅=⋅⋅， ∠213FT n =， ∠222BH BL HL =+， ∠222236m n m n =+， ∠2223636m n m =+， ∠221236m FT m =+， ∠267236m BT FT m m ==+， ∠点F 的坐标为（27236m m +，221236m m +）， 设直线FG 的解析式为11y k x b =+， ∠22112221122368648363672123636m m m m k b m m m m k b m m ⎧-++=⎪⎪++⎨⎪+=⎪++⎩， 解得113244182429m k m m b m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∠直线FG 的解析式为3242441829m m y x m m -=+++， 设直线FG 与y 轴交于K ，与AC 交于点M ，与BC 交于点N ，∠点K 的坐标为24029m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，， ∠24629m CK m =-+， 当6y =时，32424641829m m x m m -=+++， ∠24418629324m m x m m +⎛⎫=-⋅ ⎪+-⎝⎭， ∠24418629243m m CN m m +⎛⎫=-⋅ ⎪+-⎝⎭， 当MN =MC ，即∠MNC =∠MCN 时，如图1所示，∠∠NCK =∠ADC =90°，∠∠ADC ∠∠KCN ，∠43 CN CDCK AD==，∠244186429243243629m mm mmm+⎛⎫-⋅⎪+-⎝⎭=-+，∠12549612m m+=-，解得74m=，∠74 BH=；当CN=CM时，如图2所示，过点M作MQ∠CD于Q，则MQ AD∥，∠CQM CDA△∽△，∠10AC==，∠CM QM CQAC AD CD==，即1068CM QM CQ==，∠4355CQ CM QM CM ==，，∠15NQ CM=，∠13 NQQM=，同理可证NMQ NKC△∽△，∠13 NC NQNK CK==，∠244186129243243629m mm mmm+⎛⎫-⋅⎪+-⎝⎭=-+，∠1254243m m+=-，解得2m=-，即此时的情形如图3所示，∠2BH=；如图4所示，当H运动到与点A重合时，此时，G、H、M三点都与点A重合，由轴对称的性质可知∠F AC=∠BAC，又∠AB CD∥，∠∠ACD=∠BAC，∠∠NAC=∠BCA，∠NA=NC，即∠NAC为等腰三角形，∠当H为点A重合时满足题意，∠此时BH=8；如图5所示，当点H 在A 点左侧时，设直线FG 与x 轴交于J ，与y 轴交于Z ， 同理可以求出直线FG 的解析式为3242441829m m y x m m -=+++， ∠∠DMN 是等腰三角形，且∠D =90°，∠∠DMN 是等腰直角三角形，∠∠DNM =45°，∠==45ZJB DNM ︒∠∠，∠∠BZJ =∠BJZ =45°，∠BJ =BZ ，设直线JZ 的解析式为22y k x b =+，∠点Z 的坐标为（0，2b ），点J 的坐标为（22b k -，0）， ∠222b BJ BZ b k ===， ∠21k =， ∠3241418m m -=+， ∠324418m m -=+，∠42m =-，∠42BH =，综上所述，当直线FG 截∠ADC 所得的三角形是等腰三角形时，74BH =或2或8或42．【点睛】本题考查了求正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，一次函数与综合等等，利用分类讨论和属性结合的思想求解是解题的关键．答案第26页，共26页。
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中考数学综合模拟测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题（共8小题）1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 圆锥C. 圆柱D. 三棱柱2.为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ） A. 611610⨯B. 711.610⨯C. 71.1610⨯D. 81.1610⨯3.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A. a ＞bB. a ＝b ＞0C. ac ＞0D. |a |＞|c |4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.5. 如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 6B. 11C. 12D. 186.如果2a b +=，那么代数式2b aa a ab ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是（ ）. A. 2B. 2-C.12D. 12-7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤o o ）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A. 18oB. 36oC. 41oD. 58o8.为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点A 的坐标为11-（，），表示点B 的坐标为32（，），则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A. C 10-（，）B. D 31-（，）C. E 25--（，）D. F 52（，）二．填空题（共8小题）9.若二次根式x 2-有意义，则x 的取值范围是___．10.如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC BCA ∠+∠=__________．11.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数x （单位：分）及方差S 2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．甲乙丙丁x 7 8 8 7s2 1 1.2 0.9 1.812.如图，AD为ABCV的外接圆Oe的直径，如果50BAD∠=︒，那么ACB=∠__________．13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_____．14.设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣2x图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是_____．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为____．16.完全相同的3个小球上面分别标有数－2、－1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是________．三．解答题（共12小题）17.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使//PQ l.作法：如图，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于,A B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接,PB QB，∵PA QB=，∴»PA=__________.∴PBA QPB∠=∠（______________）（填推理的依据）.∴//PQ l（_____________）（填推理依据）.18.计算：()02cos301223π++-o．19.解不等式组：()311342x xx⎧-+⎪⎨-≥-⎪⎩＜20.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．21.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝2，求OE的长．22.为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：成绩x 学校5060x≤<6070x≤<7080x≤<8090x≤<90100x≤<甲 4 11 13 10 2乙 6 3 15 14 2（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在7080x≤<这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2 n 85乙73.5 76 84根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是_____________校的学生（填“甲”或“乙”），理由是__________； （3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数． 23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与函数(0)ky k x=≠的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1,)a ．（1）求k 的值；（2）已知点(,0)P m ，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =+于点C ，交函数(0)ky k x=≠的图象于点D ．①当2m =时，求线段CD 的长；②若PC PD >，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．24.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与 图形G 有且只有一个交点？请说明理由． 25.如图，C 是¼AmB 的一定点，D 是弦AB 上的一定点，P 是弦CB 上的一动点.连接DP ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90︒得到线段PD '.射线PD '与¼AmB 交于点Q.已知6cm BC =，设P ，C 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离1cm y ，P ，Q 两点的距离为2cm y .小石根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y ，与x 的几组对应值： x/cm0 1 2 3 4 5 6 1y /cm 4.293.331.651.221.502.242y /cm0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点1(,)x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为_____cm.（结果保留一位小数）26.在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a=+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ． （1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27.已知△ABC 为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）．将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ．连结DE 、BE ．（1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系．（2）过点A 作AF ⊥EB 交EB 延长线于点F ．用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为r （r ＞0）．给出如下定义：若平面上一点P 到圆心O 的距离d ，满足1322r d r ≤≤，则称点P 为⊙O 的“随心点”．（1）当⊙O 的半径r =2时，A （3，0），B （0，4），C （32-，2），D （12，12-）中，⊙O 的“随心点”是 ； （2）若点E （4，3）是⊙O 的“随心点”，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）当⊙O 的半径r =2时，直线y=- x+b （b ≠0）与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在⊙O 的“随心点”，直接写出b 的取值范围 ．答案与解析一．选择题（共8小题）1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 圆锥C. 圆柱D. 三棱柱【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称． 【详解】俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱， 故选：D ．【点睛】考查简单几何体的三视图，画三视图注意“长对正，宽相等，高平齐”的原则，三视图实际上就是从三个方向的正投影所得到的图形．2.为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ） A. 611610⨯ B. 711.610⨯C. 71.1610⨯D. 81.1610⨯【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将116000000用科学记数法表示应为1.16×108． 故选：D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. a＞bB. a＝b＞0C. ac＞0D. |a|＞|c|【答案】D【解析】【分析】根据数轴的特点：判断a、b、c正负性，然后比较大小即可．【详解】根据数轴的性质可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|；所以a＞b，a＝b＞0，ac＞0错误；|a|＞|c|正确；故选D．【点睛】本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误，故选A.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.5. 如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A. 6B. 11C. 12D. 18【答案】C【解析】试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C．考点：多边形内角与外角．6.如果2a b +=，那么代数式2b a a a a b ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是（ ）. A. 2B. 2-C. 12D. 12- 【答案】A【解析】 【详解】（a －2b a）·a a b - =22a b a-·a a b - =a b a b a +-（）（）·a a b- =a +b =2.故选A.7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤o o ）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A. 18oB. 36oC. 41oD. 58o【答案】C【解析】【分析】 根据已知三点和近似满足函数关系y =ax 2+bx +c (a ≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃∴旋钮的旋转角度x 在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.故选C ，【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．8.为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点A 的坐标为11-（，），表示点B 的坐标为32（，），则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A. C 10-（，）B. D 31-（，）C. E 25--（，）D. F 52（，）【答案】B【解析】【分析】正确建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【详解】建立平面直角坐标系，如图：则00315252C D E F ----（，），（，），（，），（，）. 表示正确的点的坐标是点D.故选B.【点睛】本题主要考查坐标确定位置，确定坐标原点和x ，y 轴的位置及方向，正确建立平面直角坐标系是解题关键.二．填空题（共8小题）9.若二次根式x 2-有意义，则x 的取值范围是___．【答案】x 2≥【解析】【详解】试题分析：根据题意，使二次根式2x -有意义，即x ﹣2≥0，解得x≥2．故答案是x≥2．【点睛】考点：二次根式有意义的条件．10.如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC BCA ∠+∠=__________．【答案】45°．【解析】【分析】构建等腰直角三角形ABD ，根据三角形外角的性质可知，∠BAC+∠BCA=∠ABD ，可得结论．【详解】过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，则AD=BD ，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，∴∠BAC+∠BCA=∠ABD=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查网格型三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数x （单位：分）及方差S 2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．甲乙 丙 丁 x 78 8 7 s 21 1.2 0.9 1.8【答案】丙【解析】【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为丙．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．12.如图，AD 为ABC V 的外接圆O e 的直径，如果50BAD ∠=︒，那么ACB =∠__________．【答案】40°．【解析】【分析】连接BD ，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB 的度数．【详解】连接BD ，如图，∵AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆周角定理．熟练掌握并运用圆周角定理是解决本题的关键.13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____． 【答案】 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 【解析】【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于,x y的二元一次方程组，此题得解．【详解】设木条长x尺，绳子长y尺，依题意，得：4.5112 x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩故答案为4.5112x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14.设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣2x图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是_____．【答案】y2＞y1＞0【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣2x中，k＝﹣2＜0，∴函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴y2＞y1＞0．故答案为：y2＞y1＞0．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为____．【答案】9 【解析】【分析】根据正方形的性质得OB=OD，AD∥BC，根据三角形相似的性质和判定得：1=3BE EFED AE=，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴△BEF∽△DEA，∴BE EF ED AE=，∵E是OB的中点，∴13 BEED=，∴13 EFAE=，∴13BEFAEBS EFS AE∆∆==，∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3，∵13 BEED=，∴13AEBAEDSS∆∆=，∴△AED的面积为9，故答案为：9．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．16.完全相同的3个小球上面分别标有数－2、－1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是________．【答案】2 3【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到能两次摸到的球上数之和是负数的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果，所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为62 93 ，故答案为23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三．解答题（共12小题）17.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使//PQ l.作法：如图，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于,A B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ 就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接,PB QB ，∵PA QB =，∴»PA=__________. ∴PBA QPB ∠=∠（______________）（填推理的依据）.∴//PQ l （_____________）（填推理的依据）.【答案】（1）补全的图形如图所示见解析；（2）QB ，等弧所对的圆周角相等内错角相等，两直线平行.【解析】【分析】()1根据要求作图即可；()2根据圆的有关性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：()1如图所示：()2证明：连接PB 、QB ．PA QB =Q ，PA QB ∴=n n．(PBA QPB ∴∠=∠等弧所对圆周角相等)．//(PQ l ∴内错角相等，两直线平行)．故答案为QB n ，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定．18.计算：()02cos3023π++-o ．【答案】2+【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式化简，零指数幂和绝对值化简即可求出答案.【详解】原式213=+2=．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、二次根式化简，零指数幂和绝对值化简，熟练掌握这些运算法则是解题关键. 19.解不等式组：()311342x x x ⎧-+⎪⎨-≥-⎪⎩＜ 【答案】﹣5≤x ＜2．【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可.【详解】解：()311342x x x ⎧-+⎪⎨-≥-⎪⎩＜①② 解不等式①，得 x ＜2，解不等式②，得x ≥﹣5，∴原不等式组的解集为﹣5≤x ＜2．【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的解法.20.若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a ≤174；（2）x =1或x =2 【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得. 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174； （2）由（1）可知a ≤174， ∴a 的最大整数值为4， 此时方程为x 2﹣3x +2=0， 解得x =1或x =2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若AB ＝5，BD ＝2，求OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）先判断出OAB DCA ∠=∠，进而判断出DAC DAC ∠=∠，得出CD AD AB ==，即可得出结论； （2）先判断出OE OA OC ==，再求出1OB =，利用勾股定理求出OA ，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ， ∴∠OAB ＝∠DCA ， ∵AC 为∠DAB 的平分线， ∴∠OAB ＝∠DAC ，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝12BD＝1，在Rt△AOB中，ABOB＝1，∴OA2，∴OE＝OA＝2．【点睛】一般情况下，平行，角平分线，等腰三角形三者往往相伴出现，我们简称为“知二得一”，即三者只要有二者出现，一般会得到第三个结论，这是几何中一种常见模型.22.为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在7080x≤<这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c ．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n 的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是_____________校的学生（填“甲”或“乙”），理由是__________； （3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）72.5；（2）甲，理由见解析；（3）320名. 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】(1)这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数， 所以中位数727372.52n +==； (2)甲；这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．(3)在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14216+=．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为1680032040⨯= ． 【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用是解题关键．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与函数(0)ky k x=≠的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1,)a ．（1）求k 的值；（2）已知点(,0)P m ，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =+于点C ，交函数(0)ky k x=≠的图象于点D ．①当2m =时，求线段CD 的长；②若PC PD >，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）3k =；（2）①52CD =；②3m <-或1m > 【解析】 【分析】（1）先把点A 代入一次函数得到a 的值，再把点A 代入反比例函数，即可求出k ； （2）①根据题意，先求出m 的值，然后求出点C 、D 的坐标，即可求出CD 的长度；②根据题意，当PC=PD 时，点C 、D 恰好与点A 、B 重合，然后求出点B 的坐标，结合函数图像，即可得到m 的取值范围.【详解】解：（1）把(1,)A a 代入2y x =+，得3a =， ∴点A 为（1，3）， 把(1,3)A 代入ky x=，得3k =； （2）当2m =时，点P 为（2，0），如图：把2x =代入直线2y x =+，得：224y =+=， ∴点C 坐标为（2，4）， 把2x =代入3y x =，得：32y =， ∴35422CD =-=； ②根据题意，当PC=PD 时，点C 、D 恰好与点A 、B 重合，如图，∵23y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：31x y =-⎧⎨=-⎩或13x y =⎧⎨=⎩（即点A ）， ∴点B 的坐标为（31--，）， 由图像可知，当PC PD >时，有点P 在3x =-的左边，或点P 在1x =的右边取到， ∴3m <-或1m >.【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的联系，熟练利用数形结合的思想进行解题.24.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与 图形G 有且只有一个交点？请说明理由． 【答案】（1）补全图形见解析;AD=95；（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与图形G(⊙O)有且只有一个交点.证明见解析. 【解析】 【分析】(1)由勾股定理易求得AB 的长;可连接CD ，由圆周角定理知CD ⊥AB,易知ACD ABC ~V V ,可得关于AC. AD.AB 的比例关系式，即可求出AD 的长度；(2)当ED 与O e 相切时，由切线长定理知EC=ED,则∠ECD=∠EDC,那么∠A 和∠DEC 就是等角的余角，由此可证得AE=DE,即E 是AC 的中点、在证明时，可连接OD,证OD ⊥DE 即可. 【详解】（1）依题意画出⊙O ，如图所示. 在Rt △ACB 中，∵AC =3，BC =4，∠ACB =90°， ∴AB =5.连接CD ，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°. ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB . ∴AC ADAB AC= .∴295AC AD AB == .（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与图形G(⊙O)有且只有一个交点. 证明：连接OD ，∵DE 是Rt △ADC 斜边上的中线, ∴ED=EC. ∴∠EDC=∠ECD. ∵OC=OD ， ∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°. ∴ED ⊥OD. ∴ED 与⊙O 相切.∴直线ED 与图形G(⊙O)有且只有一个交点.【点睛】本题考查的是直线与园的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.25.如图，C 是¼AmB 的一定点，D 是弦AB 上的一定点，P 是弦CB 上的一动点.连接DP ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90︒得到线段PD '.射线PD '与¼AmB 交于点Q.已知6cm BC =，设P ，C 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离1cm y ，P ，Q 两点的距离为2cm y .小石根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y ，与x 的几组对应值： x/cm0 1 2 3 4 5 6 1y /cm4.293.331.651.221.502.242y /cm0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点1(,)x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为_____cm.（结果保留一位小数）【答案】（1）2.36；（2）见解析；（3）1.26或5.84 【解析】 【分析】（1）测量出PC=2cm 时，PD 的值，填入表格即可即可； （2）根据表格数据描点，圆平滑曲线连接即可；（3）由△DPQ 是等腰三角形可得PD=PQ ，即y 1=y 2，根据图象找出两个图象的交点，即可得x 的值，即PC 的大约长度.【详解】（1）经过测量，当PC=2cm 时，PD=2.36cm ， 故答案为：2.36（2）函数y 1、y 2的图象如图所示：。