中考冲刺模拟考试《数学试题》带答案解析
2023初中数学中考真题模拟冲刺卷(含解析)
2023初中数学中考真题模拟冲刺卷（含解析）一、单选题1．用配方法解一元二次方程2640x x -+=，配方正确的是（）A ．()235x +=-B ．()2313x -=C ．()235x +=D ．()235x -=2．若关于x 的一元二次方程20x x n -+=有两个相等的实数根，则实数n 的值为（）A ．4B ．14C ．14-D ．－43．已知公式180n rl π=用,l r 表示n ，正确的是（）A ．180lr n π=B ．180n l rπ=C ．180r n lπ=D ．180l n rπ=4．下列运算中，正确的是（）A ．3x ÷x=4x B ．236()x x =C ．3x －2x=1D ．222()a b a b -=-5．不等式组2131532123(1)152(1)x x x x x -+⎧-≤-⎪⎨⎪-+>--⎩的解集为（）A ．102x -<<B ．12x -<≤C ．12x -≤<D ．12x -≤≤6．若y 与x 成反比例，且x=3时，y=7，则比例系数是（）A ．3B ．7C ．21D ．207．如图，四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=︒，4AB =，扇形BEF 的半径为4，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是（）A ．8433π-B ．8233π-C ．243π-D ．223π-8．如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A 、B 、C 、D 分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD 为正方形．若圆的半径为r ，组合烟花的高为h ，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计)．．二、填空题11．在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为______．12．如图，ABC 的顶点均在坐标轴上，AE BC ⊥于点E ，交y 轴于点D ，已知点B ，C 的坐标分别为()0,6B ，()2,0C ，若AD BC =，则AOD △的面积为_______．13．如图，双骄制衣厂在厂房O 的周围租了三幢楼A 、B 、C 作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O 与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC AC AB >>．已知厂房O 到每条公路的距离相等．（1）则点O 为ABC 三条_____的交点（填写：角平分线或中线或高线）；（2）如图，设BC a =，AC b =，AB c =，OA x =，OB y =，OC z =，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是_____．14．如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧 ABC 上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ，若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是_____．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC═12，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，F 为AC 中点，连接BF 、DE ，当BE 2﹣DE 2最大时，则DE 长为_______．三、解答题19．甲、乙两人相约一起去登山，乙两人距地面的高度y（米）与登山时间据图象所提供的信息解答下列问题：参考答案与解析有三条路线可走：1d x c a =+++在BC 上截取BE BA =，连接OE ∵点O 为ABC 三条角平分线的交点，∴ABO OBE ∠=∠，在ABO 和EBO 中，AB BE ABO OBE BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABO EBO ≌，∴1252ADC AOP∠=∠=︒，故答案为：25︒CD如图所示：(2)线段'(3)将线段B C'绕C点旋转180︒(2)()()150********x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩(3)甲、乙相遇后，甲再经过1.5分或10.5分与乙相距30米．【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度⨯时间即可算出乙在A 地时距地面的高度b 的值；（2）分02x ≤≤和2x >两种情况，根据高度=初始高度+速度⨯时间即可得出y 关于x 的函数关系；（3）先求出甲、乙相遇时所用时间，在路程之间的关系列出方程求解即可．【详解】（1）解：()3001002010-÷=（米/分钟），151230b =÷⨯=．故答案为：10；30；（2）解：当02x ≤≤时15y x =；当2x >时，()3010323030y x x =+⨯-=-．当3030300y x =-=时，11x =．∴乙登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式为()()150********x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩；（3）解：甲登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式为()10100011y x x =+≤≤．当101003030+=-x x 时，解得： 6.5x =；∴()()30 6.510 6.530x x ---=，解得8x =，∴ 6.5 1.5x -=；当甲距离山顶30米时，此时203 6.510.5--=（分），18【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含30°直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题．23．（1）y＝5x+30；（2）第23天去掉捐款后的利润是6235元；（3）W＝﹣5（x﹣30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b（k≠0），从表中取两个点（1，35），（3，45），把两点坐标代入函数解析式中，求得k、b即可解决；（2）设第x天去掉捐款后的利润为6235元，根据等量关系：一件的利润×销量=总利润，列出方程，解方程即可；（3）根据：总利润=一件的利润×销量，即可得出W与x之间的二次函数关系式，然后求出此二次函数最大值即可．【详解】（1）设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（1，35），（3，45）分别代入y＝kx+b中，得：35453k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：530 kb=⎧⎨=⎩，∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；（2）设第x天去掉捐款后的利润为6235元根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，整理得：x2﹣60x+851＝0，解得：x＝23或x＝37（舍），∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；（3）由题意得：W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝﹣5x2+300x+1980即W与x之间的函数关系式为W＝﹣5x2+300x+1980∵W＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5（x﹣30）2+6480，且a＝﹣5＜0，∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．【点睛】本题是函数与方程的综合性问题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，求二次函数的最值等知识，本题首先要正确理解题意，熟悉售价、进价、利润三者间的关系，其次要求有较好的运算能力．。
【中考冲刺】2023年湖北省黄冈市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年湖北省黄冈市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．34-的倒数是（ ）A ．34-B ．43C ．43-D ．342．已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形第三边的长可能是（ ） A ．4B ．5C ．10D ．113．如图，CD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AC ，DC 的中点，1EF =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．()236x x =C ．632x x x ÷=D ．222()a b a b +=+5．若,a b 方程2230x x --=的两个根，则a b +=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-6．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数7．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（ ） A ．3.2米B ．4.8米C ．5.2米D ．5.6米8．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，P 为正方形内一点，且△PBC 为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：①P AD 为等腰三角形；①PBC①22AP =①PBD ．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题 9．若分式1xx -有意义，则x 的取值范围是________． 10．201(2022)π-+-=_________．11．为了解晋州市文苑社区20~60岁居民最常用的支付方式，嘉嘉和淇淇对该社区相应年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答，在参与调查的居民中，处于41－60岁且最常用微信支付的人数为___________人．12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分①BAC 交BC 于点D ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN ，交AD 于点E ，则DE 的长为 _____.13．不等式组5741423x x x x >+⎧⎪-+⎨≤⎪⎩的最小整数解是____．14．如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为1:2.4i =，它把物品从地面A 送到离地面5米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为______．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 为等腰三角形，5AC AB ==，8BC =，点A 与坐标原点重合，点C 在x 轴正半轴上，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度后得到11A B C ，使得点B 对应点1B 在x 轴上，记为第一次旋转，再将11A B C 绕点1B 顺时针旋转一定的角度后得到211A B C ，使得点1A 对应点2A 在x 轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为___________．16．矩形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒1个单位的速度向B 点运动，至B 点停止；同时点Q 也从A 点出发，以同样的速度沿A -D -C -B 的路径运动，至B 点停止，在此过程中①APQ 的面积y 与运动时间t 的函数关系图象如图所示，则m 的值为________三、解答题17．先化简，再求值：()()2262234a ab a ab --+，其中1,2a b ==-．18．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A ，B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A 种树苗8棵，B 种树苗3棵，要950元若购买A 种树苗5棵，B 种树苗6棵，则需要800元．(1)求购买A ，B 两种树苗每棵各需多少元(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A 种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？ 19．两个可以自由转动的转盘A 、B 都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．(1)试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平． 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与函数(0)ky k x=>的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(,1)a -．(1)求a ，k 的值；(2)已知点(,0)P m ，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =+于点C ，交函数(0)ky k x=>的图象于点D ． ①当2m =时，求线段CD 的长；①若PC PD >，通过探究函数的图象，直接写出m 的取值范围．21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，E 是BC 的中点，以AC 为直径的O 与AB 边交于点D ，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若53cm cm 3CD DE ==，，求O 直径的长．22．某水果经销商以19元/千克的价格新进一批芒果进行销售，因为芒果不耐储存，在运输储存过程损耗率为5%．为了得到日销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)这批芒果的实际成本为 元千克；[实际成本＝进价÷（1﹣损耗率）](2)①请你根据表中的数据直接出写出y 与x 之间的函数表达式，标出x 的取值范围； ①该水果经销商应该如何确定这批芒果的销售价格，才能使日销售利润W 1最大？ (3)该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克芒果需支出a 元（a ＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤29，该水果经销商日获利W2的最大值为2090元，求a 的值．23．（1）如图1，O是等边①ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；①线段OD的长；①求①BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角①ABC（①ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，①ODC＝90°？请给出证明．24．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且①DQE＝2①ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．C 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：34-的倒数是43-．故选：C ． 【点睛】本题考查了倒数．倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，注意：零没有倒数．解题的关键是掌握倒数的定义． 2．C 【解析】 【分析】根据三角形的三边的关系逐个判断三角形的三边看是否符合三角形的三边关系即可． 【详解】根据三角形的三边关系可得三角形的第三边大于835-=，小于3811+=，因此可得10符合三边关系，故C 正确． 故选Ｃ． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，关键在于理解三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．B 【解析】 【分析】先利用中位线性质求得AD ，再由中线知BD =AD 即可解答． 【详解】解：①点E 、F 分别是AC 、DC 的中点， ①EF 是①ACD 的中位线， ①AD =2EF =2，①CD是①ABC的中线，①BD=AD=2故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握中位线的性质是解答的关键．4．B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 235a a a⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B. ()236x x=，故该选项正确，符合题意；C. 633x x x÷=，故该选项不正确，不符合题意；D. 222()2a b a ab b+=++，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握幂的运算法则与完全平方公式是解题的关键．5．A【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=ba-可以直接求得x1+x2的值，即本题中a b+的值【详解】解：①一元二次方程x2-2x-3=0的二次项系数是1，一次项系数-2，①由韦达定理，得x1+x2=2．即a b+=2故选：A．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．D【解析】【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选D.7．B【解析】【详解】试题分析：同一时刻，物体长度与影长成比例，所以是=，解得旗杆的高为4.8米.故选B.考点：比例的应用.8．C【解析】【分析】过点P作EF AD⊥，交AD于点E，交BC于点F，根据正方形的性质与等边三角形的性质，逐项分析计算判断即可．【详解】解：如图，过点P作EF AD⊥，交AD于点E，交BC于点F，四边形ABCD 是正方形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，AB BC CD AD ===∴四边形ABFE 是矩形1EF AB ∴==PBC 是等边三角形，60BPC CPB PCB ∴∠=∠=∠=︒，PB PC BC == 906030ABP PCD ∴∠=∠=︒-︒=︒EF BC ⊥BF FC =∴12AE ED ∴==PB PA PC PD ===()118030752BAP CDP ∴∠=∠=︒-︒=︒ 15PAD PDA ∴∠=∠=︒ ∴APD △是等腰三角形故①正确60,30PBF BPF ∠=︒∠=︒PF ∴==11122PBCSBC PE ∴=⋅⋅=⨯=故①不正确1EP EF PF ∴=-= 12AE AD =12=2222113112444AP AE EP ⎛∴=+=+=++= ⎝⎭故①正确PDB ADB EPD ABPE S S S S =--梯形111111*********⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故①正确故选C【点睛】本题考查了正方形与等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键．9．1x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x 的范围．【详解】解：根据题意得：x-1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．【点睛】本题考查了分式的意义．要使分式有意义，必须满足分母不等于0．10．2【解析】【分析】根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则，即可求得其结果．【详解】解：201(2022)π-+-=1+1=2故答案为：2【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．11．80【解析】【分析】由C的人数与占比求得总人数，根据总人数乘以45%即可求得B组的人数，进而即可求解．【详解】解：总人数为1050400 15%+=人，使用微信支付的人有40045%180⨯=人，∴处于41－60岁且最常用微信支付的人数为18010080-=人．故答案为：80．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计信息关联，根据统计图获取信息是解题的关键．12．74##314##1.75【解析】【分析】连接CE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，再利用等腰三角形的性质得到AD①BC，BD=CD=6，则利用勾股定理可计算出AD=8，设DE=x，则AE=CE=8-x，在Rt△DEC中利用勾股定理得到x2+62=（8-x）2，然后解方程即可．【详解】解：连接CE，如图，由作法得MN垂直平分AC，①EA=EC，①AB=AC=10，AD平分①BAC交BC于点D，①AD①BC，BD=CD=12BC=6，在Rt△ACD中，AD，设DE=x，则AE=CE=8-x，在Rt△DEC中，x2+62=（8-x）2，解得x=74，即DE的长为74．故答案为：74．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．13．8【解析】【分析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，从中找出最小整数解．【详解】解：5741423x xx x>+⎧⎪⎨-+≤⎪⎩①②，解①，得x>7，解①，得x≤11，①不等式组的解集为，7＜x≤11，①不等式组的整数解为，8,9,10,11，①不等式组的最小整数解为8．故答案为8．【点睛】本题考查了不等式组的最小整数解，熟练掌握解不等式组的一般方法是解决此类问题的关键．14．13m##13米【解析】【分析】根据坡度的概念求出AF ，然后根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，过B 作BF ①AF 于F ，由题意得，BF ＝5米，①斜坡的坡度i ＝1①2.4， ①BF AF ＝12.4，即512.4AF =， 解得：AF ＝12（米），由勾股定理得，AB 13（米）．故答案是：13米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角三角形的问题成为解答本题的关键．15．(12141,3)【解析】【分析】过点A 作AD ①BC 于点D ，根据AB =AC =5，BC =8，得到BD =CD =12BC =4，推出3AD ==，根据1(9,3)A ，()218,0A ，3(18,0)A ，4(27,3)A ，5(36,0)A ，6(36,0)A ，()745,3A ,…，得到每3次是一个循环组，根据202336741÷=⋅⋅⋅，得到2023A 在竖直方向的位置与1A 的位置相同，纵坐标为3，第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为67418912141⨯+=，得到第2023次旋转后钝角顶点坐标为(12141,3)．【详解】过点A 作AD ①BC 于点D ，①AB =AC =5，BC =8,①BD =CD =12BC =4，①3AD ==，由题意1(9,3)A ，()218,0A ，3(18,0)A ，4(27,3)A ，5(36,0)A ，6(36,0)A ，()745,3A ,…， 每3次是一个循环组，202336741÷=⋅⋅⋅，①2023A 在竖直方向的位置与1A 的位置相同，纵坐标为3，①第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为67418912141⨯+=，①第2023次旋转后钝角顶点坐标为(12141,3)．故答案为（12141，3）【点睛】本题主要考查了等腰三角形在坐标轴上无滑动的滚动，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练运用旋转性质探究滚动的循环组的规律，运用得到的规律解答．16．24【解析】【分析】根据①APQ 的面积y 与运动时间t 的函数关系图象先算出矩形ABCD 中AD 边的长，然后根据最后运动时间为20s 时，①APQ 的面积为0，得出此时点Q 运动到了点B 上，得出20AD DC CB ++=，从而求出DC 的长度，即可求出m 的值．【详解】当点Q 在AD 上时，①APQ 的面积y 与运动时间t 的函数关系式为：212y t =， 根据函数图象可知，当点Q 运动到D 上时，18y =，即21182t =， 解得1=6t ，26t =-（不合题意舍去）①6AD =，①根据函数图象可知，Q 点运动到B 点用的时间为20s ，①20AD DC CB ++=，①20668DC =--=，①点P 从A 点运动到B 点用的时间为：()881s =， ①8b =，①此时APQ 的面积为：186242⨯⨯=，即24m =．故答案为：24．【点睛】本题主要考查了动点图象问题，涉及矩形的性质，三角形面积的计算，解决本题的关键是弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系．17．10ab -，20【解析】【分析】根据整式的加减运算法则进行计算，然后将a 、b 的值代入即可求出答案．【详解】 ()()2262234a ab a ab --+226268a ab a ab =---10ab =-．当1,2a b ==-时，原式101(2)20=-⨯⨯-=．【点睛】本题考查整式的加减运算，解题关键是熟练运用整式的加减运算法则．18．(1)A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元(2)①进A 种树苗52棵，种树苗48棵；①购进A 种树苗53棵，种树苗47棵【解析】【分析】（1）设A 种树苗每棵x 元，B 种树苗每棵y 元，根据“购买A 种树苗8棵，B 种树苗3棵，要950元若购买A 种树苗5棵，B 种树苗6棵，则需要800元”列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗()100m -棵，根据“A 种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列出相应的一元一次不等式组，从而可以解答本题．(1)解：设A 种树苗每棵x 元，B 种树苗每棵y 元，根据题意，得：8395056800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：10050x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元；(2)设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗()100m -棵，根据题意，得：()521000100501007650m m m m ⎧≥⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，解得：5253m ≤≤，所以购买的方案有：①进A 种树苗52棵，种树苗48棵；①购进A 种树苗53棵，种树苗47棵．【点睛】本题考察一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程组或不等式组．19．(1)5 9(2)不公平，见解析【解析】【分析】（1）选择列表或画树状图法，计算概率即可；（2）先计算规则下的各自得分概率，比较概率大小，相等，则判定游戏公平．(1)利用表格或树状图列出所有可能出现的结果：总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．(2)这个游戏对双方不公平．理由如下：①数字之积为5的倍数的有3种，其概率为31 93 =，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．①5323 99⨯≠⨯，①游戏对双方不公平．修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分，若数字之积为5的倍数时，小芸得5分．【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表或画树状图法求概率是解题的关键．20．(1)3a =-，3k = (2)①12；①1m 或3m <- 【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入直线解析式可求出a 的值，再将点A 坐标代入反比例函数解析式可求k 的值；（2）①将点P 坐标分别代入直线解析式和反比例函数解析式，可求出点C ，点D 的坐标，即可求出CD 的长；①根据图象即可求解．(1)将A （a ，-1）代入y =x +2中，得：a =-3，①点A 坐标为（-3，-1），将A （-3，-1）代入(0)k y k x =>，得： k =3，①反比例函数解析式为：3y x =，故答案为：a =-3，k =3；(2)①将x =2代入y =x +2，得：y =4，①点C 坐标为（2，4），将x =2代入3y x =，得：32y =， ①点D 坐标为（2，32）， ①CD 的长为：4-32=52， ①如图，①直线y =x +2与反比例函数3y x=的图象交于A ，B 两点，①点A 坐标为（-3，-1），点B 坐标为（1，3），①当m ＞1或m ＜-3时，PC ＞PD ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是解题的关键．21．(1)见解析【解析】【分析】（1）连接OD ，先证明①BDC =90°，ODC OCD ∠=∠，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出EDC ECD ∠=∠，从而推出90ODE ∠=︒，即可证明结论；（2）先求出BC 的长，从而求出BD 的长，然后证明①ABC ①①CBD 得到AC BC CD BD=，据此求解即可．(1)解：连接OD ，AC 为圆O 的直径，90ADC ∴∠=︒，①①BDC =90°，OD OC =，ODC OCD ∴∠=∠，在Rt BCD 中，E 为BC 中点，12DE BC CE ∴==， EDC ECD ∴∠=∠，90ODC EDC OCD ECD ∴∠+∠=∠+=︒，即90ODE ∠=︒，OD DE ∴⊥，DE ∴是圆O 的切线；(2)解：在Rt BCD 中，E 为BC 中点，102cm 3BC DE ∴==， 3cm CD =，BD ∴==， AC 为直径，90ADC ACB BDC ∴∠=∠=∠=︒，又B B ∠∠=，ABC CBD ∴∽△△，AC BC CD BD∴=，103AC ∴=AC ∴=． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，直径所对的圆周角是直角等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．22．(1)20；(2)①20800(2040)y x x =-+≤≤；①这批芒果的价格为30元时，才能使日销售利润最大；(3)0.5a =【解析】【分析】（1）根据芒果进价19元/千克，在运输过程中损耗率为5%，芒果的实际进价为：1910.05-，得出结论； （2）①根据表中数据可得日销售量y 与销售价格x 满足一次函数，设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可；①根据日销售利润＝（销售单价﹣实际成本）×日销售量列出二次函数关系式，根据函数的性质以及x 的取值范围求函数最值；（3）根据日获利＝日销售利润﹣日支出费用列出二次函数关系式，然后根据函数的性质当x ＝29时，函数取得最大值，解方程求出a 的值．(1) 解：由题意知：这批芒果的实际成本为：1910.05=-20（元/千克）． 故答案为：20．(2)解：①根据表中数据可以发现，销售价格每增加5元，日销售量减少100千克， ①日销售量y 与销售价格x 满足一次函数，设y 与x 的函数关系为y ＝kx +b ，把（20，400）与（25，300）代入解析式得： 2040025300k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：20800k b =-⎧⎨=⎩， ①y 与x 之间的函数表达式y ＝﹣20x +800（20≤x ≤40），①W 1＝（x ﹣20）（﹣20x +800）＝﹣20x 2+1200x ﹣16000＝﹣20（x 2﹣60x +900﹣900）﹣16000＝﹣20（x ﹣30）2+2000，①a ＝﹣20＜0，①抛物线开口向下，又①20≤x ≤40，对称轴x ＝30，①当x＝30时，W1最大＝2000（元），答：这批芒果的价格为30元时，才能使日销售利润最大．(3)W2＝（x﹣19）（﹣20x+800）﹣a（﹣20x+800）＝﹣20x2+（1180+20a）x﹣15200﹣800a，对称轴：x11802040a+=-=29.5+0.5a，又①a＞0，①x＝29.5+0.5a＞29.5，又①抛物线开口向下，25≤x≤29，①当x＝29时，W2最大＝2090，即：﹣20×292+（1180+20a）×29﹣15200﹣800a＝2090，解得：a＝0.5，答：a的值为0.5．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及解一元一次方程，关键是根据日获利＝日销售利润﹣日支出费用列出函数关系式．23．（1）①60°；①4；①150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，①ODC＝90°，见解析【解析】【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，①ABC＝60°，再根据旋转的性质得①OBD＝①ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；①由旋转的性质得BO＝BD，加上①OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD ＝OB＝4；①由△BOD为等边三角形得到①BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，①ODC＝90°，所以①BDC＝①BDO＋①ODC ＝150°；（2）根据旋转的性质得①OBD＝①ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD，然后根据勾股定理的逆定理，当222CD OD OC＋＝时，△OCD为直角三角形，①ODC＝90°．【详解】解：（1）①①①ABC为等边三角形，①BA＝BC，①ABC＝60°，①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①①OBD＝①ABC＝60°，①旋转角的度数为60°；①①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①BO＝BD，而①OBD＝60°，①①OBD为等边三角形；①OD＝OB＝4；①①①BOD为等边三角形，①①BDO＝60°，①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①CD＝AO＝3，在①OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，①32+42＝52，①CD2+OD2＝OC2，①①OCD为直角三角形，①ODC＝90°，①①BDC＝①BDO+①ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，①ODC＝90°．理由如下：①①BAO绕点B顺时针旋转后得到①BCD，①①OBD＝①ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，①①OBD为等腰直角三角形，①OD，①当CD2+OD2＝OC2时，①OCD为直角三角形，①ODC＝90°，①OA2+2OB2＝OC2，①当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，①ODC＝90°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．24．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4）(2)平行四边形，理由见解析(3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0，258）【解析】【分析】（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解；（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；（3）当①DQE＝2①ODQ，则①HQA＝①HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．(1)解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，①x1＝4，x2＝1，①点A（1，0），点B（4，0），令x＝0，则y＝4，①点C（0，4）；(2)解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：①点B的坐标为（4，0），点C（0，4），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则404k bb+=⎧⎨=⎩，解得14kb=-⎧⎨=⎩，①直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，①﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，①PQ＝CO，PQ OC，①四边形OCPQ为平行四边形；(3)解：①D是OC的中点，点C（0，4），①点D（0，2），由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，①Q（2，﹣2），由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，过点Q作QH①x轴于点H，则QH CO，故①AQH＝①ODQ，而①DQE＝2①ODQ.①①HQA ＝①HQE ，则直线AQ 和直线QE 关于直线QH 对称，①设直线QE 的表达式为y ＝2x +r ，将点Q 的坐标代入上式并解得r ＝﹣6，①直线QE 的表达式为y ＝2x ﹣6，联立y ＝x 2﹣5x +4得，22654y x y x x =-⎧⎨=-+⎩解得54x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩（不合题意，舍去）， ①点E 的坐标为（5，4），设点F 的坐标为（0，m ），①BE 2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，BF 2＝m 2+42＝m 2+16，EF 2＝（m ﹣4）2+52，当BE ＝BF 时，即16+m 2＝17，解得m ＝±1；当BE ＝EF 时，即25+（m ﹣4）2＝17，方程无解；当BF ＝EF 时，即16+m 2＝25+（m ﹣4）2，解得m ＝258 ； 故点F 的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，258）. 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．。
2023年初中数学中考冲刺模拟卷一(含解析)
2023年初中数学中考冲刺模拟卷（含解析）一、单选题1．下列四个数中，最大的数是().A ．0B ．2C ．3-D ．42．技术融合打破时空限制，2020服贸会全面上“云”,据悉本届服贸会共有境内外5372家企业搭建了线上电子展台，共举办32场纯线上会议和173场线上直播会议，线上发布项目1870个，发起在线洽谈550000次，将550000用科学记数法表示为（）A ．45510⨯B ．55.510⨯C ．65.510⨯D ．60.5510⨯3．如图，在O 中，弦,AB CD 相交于点P ，若48,80A APD ∠=︒∠=︒，则B ∠的大小为（）A ．32︒B ．42︒C ．52︒D ．62︒4．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，是红球的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系中，若抛物线2211y x =-+（）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为（）A ．2243y x =+（-）B ．2242y x =++（）C ．2242y x =+（-）D ．2241y x =+（）-6．如图，正方形ABCDAC 和BD 交于点E ，点F 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ，连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ，CH ＝y ，则y 与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果3P点运动一周时，点Q运动的总路程是（）A．3B．6C．3D．88．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是()A．B．C．D．二、填空题9．因式分解：22ab ac -=_______________10．小华家客厅有一张直径为1.2,m 高为0.8m 的圆桌,AB 有一盏灯E 到地面垂直距离EF 为2,m 圆桌的影子为,2CD FC =，则点D 到点F 的距离为_______．11．不等式组240431x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是______．12．把多项式2x 3﹣8x 分解因式的结果是_____．13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是DE 延长线上的一点，若∠AFC ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，则DF 的长为________．14．在平面直角坐标系中，ABC 和111A B C △的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为()2,4，则其对应点1A 的坐标是________．15．如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AB ＝4，P 是BC 边上的动点（不与B ，C 重合），点P 关于直线AB ，AC 的对称点分别为M ，N ，则线段MN 长的取值范围是_____．16．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AB AC =，3BC =，点E 是AB 上的点，将ACE △沿CE 翻折，得到'A CE ，过点B 作BF AC ∥交BAC ∠的平分线于点F ，连接'A F ，则'A F 长度的最小值为______．三、解答题17．化简或化简求值:212(1)211a a a a +÷+-+-，其中3a =18．如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝BC ，点D 为BC 的中点．（1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：①过点B 作AC 的平行线BP ；②过点D 作BP 的垂线，分别交AC ，BP ，BQ 于点E ，F ，G ．（2）在（1）所作的图中，连接BE ，CF ．求证：四边形BFCE 是平行四边形．19．为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业．张大爷计划明年承租村民部分土地种植某种经济作物，考虑各种因素，预计明年种植该作物的总成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且部分数据如下：种植面积x （亩）4060种植该作物的总成本y （元）880012800(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果张大爷计划种植该作物120亩，请你帮张大爷计算一下种植该作物的总成本是多少？20．计算：()()3425284+-⨯--÷．21．如图，直线y x b =-+与反比例函数3y x=-的图象相交于点(),3A a ，且与x 轴相交于点B ．（1）求a 、b 的值；（2）若点P 在x 轴上，且AOP 的面积是AOB 的面积的12，求点P的坐标．22．（1）化简求值：222442111x x x x x x++++÷+--，其中x 是一元二次方程x （x ﹣1）=2x ﹣2的解．（2）解不等式组：23(3)9212135x x x x --≥⎧⎪⎨+-->-⎪⎩①②，并求其整数解的和．23．先化简，再求值：23193m m m ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中4m =-．24．如图，拋物线2y x bx c =-++交y 轴于点(02)A ，，交x 轴于点(40)B ，、C 两点，点D为线段OB 上的一个动点（不与O B 、重合)，过点D 作DM x ⊥轴，交AB 于点M ，交抛物线于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AN 和BN ，当ABN 的面积最大时，求出点D 的坐标及ABN 的最大面积；(3)在平面内是否存在一点P ，使得以点A ，M ，N ，P 为顶点，以AM 为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2223y x bx =+-的图像与x 轴交于点()3,0A ，B （点B 在点A 左侧），与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，作直线AD ．(1)填空：b =______；(2)将AOC 平移到EFG （点E ，F ，G 依次与A ，O ，C 对应），若点E 落在抛物线上且点G 落在直线AD 上，求点E 的坐标；(3)设点P 是第四象限抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交AC 于点T ．若180CPT DAC ∠+∠=︒，求AHT △与CPT △的面积之比．参考答案与解析1．D【详解】试题分析：根据正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，给出的数中，最大的数是4，故选D.考点：有理数比较大小.2．B【分析】将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a ，数出整数的整数位数，减去1确定n ，写成10n a ⨯即可【详解】∵550000=55.510⨯，故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值大于10的大数的科学记数法，将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a ，数出整数的整数位数，减去1确定n ，是解题的关键．3．A【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得32C ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】C A APD ∠+∠=∠ ，48,80A APD ∠=︒∠=︒，32C ∴∠=︒32B C ∴∠=∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．4．C【详解】试题分析：根据概率公式可得，摸到红球的概率为，故答案选C.考点：概率公式.5．A【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线2211y x =-+（）的顶点坐标为(1,1)，再利用点平移的规律得到点(1,1)平移后所得对应点的坐标为43（，），然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式．【详解】解：∵抛物线2211y x =-+（）的顶点坐标为(1,1)，∴把点(1,1)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为43（，），∴所得到的抛物线的解析式为2243y x =+（-）；故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．A【分析】证明△BEF ∽△CFH ，可得BF BECH CF=，由此构建函数关系式即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBF ＝∠ECG ＝45°，AC ⊥BD ，EB ＝EC ，∵EF ⊥EG ，∴∠BEC ＝∠FEG ＝90°，∴∠BEF ＝∠CEG ，∴△BEF ≌△CEG （ASA ），∴EF ＝EG ，∴∠EFG ＝45°，∵∠EFC ＝45°+∠CFH ＝45°+∠BEF ，∴∠CFH ＝∠BEF ，∴△BEF ∽△CFH ，∴BF BECH CF =，∴x y=∴y ＝2(0x x -+<<，故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．D【详解】在Rt △AOB 中，∵∠ABO=30°，AO=2，∴AB=4，BO=①当点P 从O→B 时，点Q 刚好从原位置移动到点O 处，如图2所示，此时点Q 运动的路程为PQ=②如图3所示，作QC ⊥AB ，则∠ACQ=90°，即PQ 运动到与AB 垂直时，垂足为P ，当点P 从B→C 运动到P 与C 重合时，∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°，∴cos30°=CQAQ，∴AQ=4cos 30CQ，∴OQ=4﹣2=2，∴此时点Q 运动的路程为QO=2，③当点P 从C→A 运动到点P 与点A 重合时，如图3所示，点Q 运动的路程为QQ′=4﹣④当点P 从A→O 运动到P 与点O 重合时，点Q 运动的路程为AO=2，∴点Q 运动的总路程为：﹣．故选D ．8．A【详解】解：分析题中所给函数图像，O E -段，AP 随x 的增大而增大，长度与点P 的运动时间成正比．E F -段，AP 逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除C 、D 选项，F G -段，AP 逐渐减小直至为0，排除B 选项．故选A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．9．()()a b c b c +-##()()a b c b c -+【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22ab ac -＝22()a b c -＝()()a b c b c +-，故答案为：()()a b c b c +-.【点睛】本题主要考查因式分解——提公因式法与公式法的综合运用，找准公因式是解题的关键．10．4【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴AB CD =20.82-.∵AB=1.2，∴CD=2.又∵FC=2,∴DF=CD+FC=2+2=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．12x ≤<【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解的公共部分，即可求解．【详解】解：240431x x -<⎧⎨-≤⎩①②，由①得：x ＜2，由②得：x≥1，∴不等式组的解：12x ≤<．故答案是：12x ≤<．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．12．2x （x +2）（x ﹣2）【分析】先提取公因式2x ，再运用平方差公式分解因式即可．【详解】解：原式＝2x （x 2﹣4）＝2x （x +2）（x ﹣2），故答案为：2x （x +2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查分解因式，能够熟练应用乘法公式进行分解因式是解决本题的关键．13．8【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF ，根据三角形中位线定理求得DE ，则DF =DE +EF ．【详解】解：在直角△AEC 中，EF 是斜边AC 上的中线，AC =6，则EF =12AC =3．在△ABC 中，DE 是中位线，BC =10，则DE =12BC =5．则DF =DE +EF =3+5=8．故答案是：8．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（4，8）或（﹣4，﹣8）【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ，即可求得答案．【详解】解：在同一象限内，∵ ABC 与111A B C △是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比等于12，A 坐标为（2，4），∴则点1A 的坐标为：（4，8），不在同一象限内，∵ ABC 与111A B C △是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比等于12，A 坐标为（2，4），∴则点1A 的坐标为：（﹣4，﹣8），故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）．【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．15．≤MN ＜【详解】连接AM 、AN 、AP ，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，如图所示．∵点P 关于直线AB ，AC 的对称点分别为M ，N ，∴AM=AP=AN ，∠MAB=∠PAB ，∠NAC=∠PAC ，∴△MAN 等腰直角三角形，∴∠AMD=45°，∴AD=MD=2AM ，AM ．∵AB=4，∠B=60°，∴，∵AM=AP ，∴故答案为≤MN ＜．【点睛】连接AM 、AN 、AP ，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，由对称性可知AM=AP=AN 、△MAN 等腰直角三角形，进而即可得出AP ，再根据AP 的取值范围即可得出线段MN 长的取值范围．16【分析】先求出ACAB =AB =BF =由勾股定理可求CF 的长，由点A '在以点C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点A '在FC 上时，A 'F 有最小值，即可求解．【详解】解：如图，90ACB ∠=︒ ，2AB AC =，1cos 2AC CAB AB ∴∠==，60CAB ∴∠=︒，tan BC CAB AC∴∠==AC ∴=AB ∴=，AF 平分BAC ∠，30BAF CAF ∴∠=∠=︒，//BF AC ，30BFA FAC ∴∠=∠=︒，90FBC BCA ∠=∠=︒，AB BF ∴==FC ∴===将ACE △沿CE 翻折，得到'A CE ，'AC A C ∴==∴点'A 在以点C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点'A 在FC 上时，'A F 有最小值，'A F ∴，．【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF 的长是本题的关键．17．11a -，12．【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式=()21111a a a a ++÷--=()21111a a a a +-⋅+-=11a -，当a=3时，原式=131-=12．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．18．（1）作图见解析；（2）证明见解析．【详解】试题分析：（1）①作∠CBQ 的平分线BP ；②过点D 作BP 的垂线；由BP//CE ，可得∠ECD=∠FBD ，∠CED=∠BFD ，又CD=BD ，从而△CDE ≌△BDF ，可得CE=BF ，从而可得BF//CE ，BF=CE ，判定出四边形BFCE 是平行四边形．试题解析：（1）①作∠CBQ 的平分线BP ；②过点D 作BP 的垂线；（2）∵BP//CE ，∴∠ECD=∠FBD ，∠CED=∠BFD ，∵点D 是BC 的中点，∴CD=BD ，∴△CDE ≌△BDF ，∴CE=BF ，∵BF//CE ，BF=CE ，∴四边形BFCE 是平行四边形．考点：1．尺规作图；2．平行四边形的判定．19．(1)200800y x =+(2)张大爷种植该作物的总成本是24800元【分析】（1）根据题意设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，利用待定系数法即可求得函数关系式．（2）将120x =代入函数关系式即可解出．(1)设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，依题意得：880040,1280060,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得200,800.k b =⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数关系式为200800y x =+．(2)当120x =时，20080020012080024800y x =+=⨯+=，∴张大爷种植该作物的总成本是24800元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．20．29-【分析】根据有理数的运算法则计算即可，注意运算顺序．【详解】()()3425284+-⨯--÷485(7)=-⨯--1140=-29=-【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．21．（1）a=﹣1，b=2；（2）P 的坐标为（1，0）或（﹣1，0）．【分析】（1）直接利用待定系数法把A （a ，3）代入反比例函数3y x=-中即可求出a 的值，然后把A 的坐标代入y=-x+b 即可求得b 的值；（2）根据直线解析式求得B 的坐标，然后根据题意即可求得P 的坐标．【详解】（1）∵直线y=-x+b 与反比例函数3y x =-的图象相交于点A （a ，3），∴3=-3a ，∴a=-1．∴A （-1，3）．把A 的坐标代入y=-x+b 得，3=1+b ，∴b=2；（2）直线y=-x+2与x 轴相交于点B ．∴B （2，0），∵点P 在x 轴上，△AOP 的面积是△AOB 的面积的12，∴OB=2PO ，∴P 的坐标为（1，0）或（-1，0）．22．（1）﹣23；（2）﹣6．【分析】（1）原式利用除法法则变形，计算得到最简结果，求出方程的解得到x 的值，代入计算即可求出值；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出解集，即可求出整数和．【详解】（1）原式=()()()2221•1112x x x x x x +--++-+=2211x x x +-++=1x x -+，已知方程整理得：（x-2）（x-1）=0，解得：x=2或x=1（舍去），当x=2时，原式=-23；（2）由①得：x≤0，由②得：x ＞-267，∴不等式组的解集为-267＜x≤0，即整数解为-3，-2，-1，0，之和为-6．【点睛】此题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．13m +，1-【分析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入4m =-求出答案即可．【详解】解：23193m m m ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭233933m m m m m -⎛⎫=÷+ ⎪---⎝⎭293m m m m =÷--()()333m m m m m -=⋅+-13m =+当4m =-时代入得，原式1143==--+．【点睛】本题考查分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．24．(1)2722y x x =-++；(2)当2t =时，ABN 有最大值，最大值为8，此时D (2)0，；(3)P 3(0)4+，或(6)2，．【分析】（1）将A ，B 的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；（2）设D (0)(04)t t <<，，根据坐标的特点，可得出点M ，N 的坐标，再根据三角形的面积公式可表达ABN 的面积，根据二次函数的性质可得出结论；（3）根据题意，易证AEM AOB ∽，由此得出AE 和AM 的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当AM MN =时，②当AM AN =时，分别求解即可．【详解】（1）解：将点(02)A ，，点(40)B ，代入抛物线2y x bx c =-++，∴21640c b c =⎧⎨-++=⎩，∴722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为：2722y x x =-++；（2）解：∵点(02)A ，，点(40)B ，，∴直线AB 的解析式为：122y x =-+；设D (0)(04)t t <<，，∵DM x ⊥轴，点M 在直线AB 上，点N 在抛物线上，∴217(t,t 2),N(t,t 2)22M t -+-++，∴2271t 2(t 2)t 422MN t t =-++--+=-+，∴ABN 的面积2211()(4)42(2)822B A MN x x t t t =⋅⋅-=⋅-+⋅=--+，∵2004t -<<<，，∴当2t =时，ABN 有最大值，最大值为8，此时D (2)0，；（3）解：存在，如图，过点M 作ME y ⊥轴于点E ，∴ME OB ∥，∴90AEM AOB AME ABO ∠=∠=︒∠=∠，，∴AEM AOB ∽，∴:::AE AO AM AB ME OB ==，Rt AOB ∆中，24OA OB ==，，∴AB =∴24AE t ==，∴12AE t AM ==，．根据题意，需要分两种情况讨论：①AM MN =时，如图，24(04)t t t =-+<<，解得82t =或t =0（舍），∴54AM =，∴54AP AM ==，∵AP MN ∥，∴点P 在y 轴上，∴53244OP =+=，∴P (0；②当AM AN =时，如图，此时AP 与MN 互相垂直平分，设AP 与MN 交于点F ，∴211(4)22MF MN t t ==-+，∵12MF AE t ==，∴211(4)22t t t -+=，解得3t =或0=t （舍），∴26AP t ==，∴P (6)2，．综上，存在点P ，使得以点A ，M ，N ，P 为顶点，以AM 为边的四边形是菱形，此时P 3(0)4，或(6)2，．【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．25．(1)43b =-(2)()3,8E -，104,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)8147【分析】（1）由题意，将点(3,0)A 代入2223y x bx =+-中，即可解得b 的值；（2）令0x =，可求得点C 的坐标，再由点D 与点C 关于x 轴对称可求得D 的坐标，求出直线AD 的表达式，由于EFG 是由AOC 平移得到，若设224(,2)33E m m m --，则224(3,4)33G m m m ---，将点G 代入直线AD 的表达式中，即可求得m ，从而得E 的坐标；（3）过C 作CK AD ⊥于K ，作CQ PH ⊥于Q ，先由勾股定理求出AD 的长，再利用等面积法求出CK 的长，再用勾股定理求AK 的长，由180CPT DAC ∠+∠=︒可得CPQ DAC ∠=∠，故tan CK CQ DAC AK PQ ∠==，设出点224(,2)33P n n n --，则可利用上式求出n 的值，由此可进一步计算出PT 与HT 的值，求出两个三角形的面积之比．(1)解： 二次函数2223y x bx =+-的图像经过点(3,0)A ，∴2203323b =⨯+-，解得43b =-．故答案是：43-；(2)解：如图1，对于二次函数224233y x x =--，当0x =时，=2y -．∴()0,2C -．点D 与点C 关于x 轴对称，∴()0,2D ．设直线AD 的函数表达式是2y kx =+．()3,0A ，∴320k +=．解得23k =-．∴直线AD 的函数表达式为223y x =-+．设点224(,2)33E m m m --，则点224(3,4)33G m m m ---．点G 在直线223y x =-+上，∴22424(3)2333m m m --=--+，整理得2120m m --=，解得13m =-，24m =．∴()3,8E -，10(4,3E ．(3)解：如图2，过点C 作CK AD ⊥，垂足为K ．2OD =，3OA =，∴AD =AO CD AD CK ⋅=⋅，∴13CK =．∴13DK =．∴13AK AD DK =-=．∴12tan 5CK CAK AK ∠==．过点C 作CQ PH ⊥，垂足为Q ．180CPT DAC ∠+∠=︒，∴CPQ CAK ∠=∠．∴125CQ PQ =．设点224(,2)33P n n n --，则22433PQ n n =-，CQ n =．∴25241233n n n =-．解得218n =，∴2129(,)832P -．∴218CQ =，213388AH =-=． 2tan 3TH OC OAC AH OA ∠===，∴22313384TH AH ==⨯=，∴2912132432TP PH TH =-=-=．∴13118284211212114722328AHT CPT AH TH S S TP CQ ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯△△．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、一次函数表达式的求法、三角函数的性质与应用、相似三角形的性质与判定（本题答案中应用三角函数的步骤也可以改用相似三角形的知识解答）、勾股定理的应用，解决本题的关键在于将各模块知识点融会贯通，并作出正确的辅助线．。
【精品】中考冲刺模拟考试《数学试卷》附答案解析
中考仿真模拟测试数学试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1.若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是()A. a﹣b＝0B. a+b＝0C. ab＝1D. ab＝﹣12.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3.2018年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年农村贫困人口脱贫6800万，脱贫攻坚取得阶段性胜利，6800万用科学记数法表示为（）A. 6800×104B. 6.8×104C. 6.8×107D. 0.68×1084.下列关于x的一元二次方程有实数根的是A. 2x10--= += B. 2x x10-+= D. 2x x10++= C. 2x x105.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 平分一组对角6.一次函数y＝3x﹣2的图象上有两点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系为（）A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1＝y2D. 不能确定7.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A . 222123S S S +=B. 123S S S +＞C. 123S S S +＜D. 123S S S += 8.某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )A. ()()2120%1x 115%-+=+B. ()2115%(1x)120%++=- C. ()()2115%1x 120%++=- D. ()2120%(1x)115%-+=+ 9.如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A. ﹣1B. ﹣3C. ﹣5D. ﹣710.如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+AP 的最小值为（ ）A. 2 3C. 4 311.已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n ），则下列结论：①4a +2b ＜0； ②﹣1≤a ≤23-； ③对于任意实数m ，a +b ≥am 2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为()A. 8B. 10C. 13D. 14二、填空题13.把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____14.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为_______．15.如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝_____．16.如图，正五边形ABCDE边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则»BF 的长为_____．17.已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=2x的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为_____．18.如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝32，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为_____．三、解答题19.（1）解方程：x21 x1x-= -（2）化简求值：82(2)224x xxx x+-+÷--，其中12x=-.20.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，合肥市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）请把折线统计图补充完整；（2）求扇形统计图中，网络文明部分对应圆心角的度数；（3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．21.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分FAB∠交⊙O于点C，过点C作CE DF⊥，垂足为点E（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若1,2AE CE ==，求⊙O 的半径．22.某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y （人/月）与旅游报价x （元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间． （1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；（3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润；最大利润是多少．23.如图，AD 是ABC V 的边BC 的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC P ，交BE 的延长线于点F ，连接CF ，BF 交AC 于G ．（1）若四边形ADCF 是菱形，试证明ABC V 是直角三角形；（2）求证：2CG AG =．24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．点M 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过点M 且与边AB 交于点N ，连接MN ．（1）当点M 是边BC 的中点时．①求反比例函数的表达式；②求△OMN 的面积；（2）在点M 的运动过程中，试证明：MB NB是一个定值．25.如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题1.若实数a 、b 互为相反数，则下列等式中成立的是( )A. a ﹣b ＝0B. a +b ＝0C. ab ＝1D. ab ＝﹣1【答案】B【解析】∵a b 、互为相反数，∴0a b +=.故选B.2.下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 3.2018年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年农村贫困人口脱贫6800万，脱贫攻坚取得阶段性胜利，6800万用科学记数法表示为（ ）A. 6800×104 B. 6.8×104 C. 6.8×107 D. 0.68×108 【答案】C【详解】解：6800万用科学记数法表示为6.8×107．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．4.下列关于x的一元二次方程有实数根的是A. 2x10-+= D. 2x x10--=++= C. 2x x10+= B. 2x x10【答案】D【解析】【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．【详解】A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2-4ac=-4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=-1，c=1，∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=-1，c=-1，∵△=b2-4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D．5.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 平分一组对角【答案】A【解析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分．【详解】因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有一个共同的性质，这条性质是对角线互相平分．故选A ．【点睛】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质．用到的知识点：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．6.一次函数y ＝3x ﹣2的图象上有两点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2），则y 1与y 2的大小关系为（ ） A. y 1＜y 2B. y 1＞y 2C. y 1＝y 2D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由-1＞-2即可得出结论．【详解】∵一次函数y=3x-2中，k=3＞0，∴y 随x 的增大而增大．∵-1＞-2，∴y 1＞y 2．故选B ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是（ ）A. 222123S S S +=B. 123S S S +＞C. 123S S S +＜D. 123S S S +=【答案】D【解析】【分析】 根据等边三角形的性质,知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍,结合勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.【详解】解:设直角三角形的三边从小到大是a,b,c. 则214S a =，224S b =，234S c =， 又222a b c +=，则123S S S +=，故选D .【点睛】熟悉等边三角形的面积公式,熟练运用勾股定理.熟记结论:以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.8.某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )A. ()()2120%1x 115%-+=+B. ()2115%(1x)120%++=-C. ()()2115%1x 120%++=-D. ()2120%(1x)115%-+=+ 【答案】D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）.【详解】设一月份的产量为a ，由题意可得， ()()2a 120%(1x)a 115%-+=+，则()2120%(1x)115%-+=+，故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用.9.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A. ﹣1B. ﹣3C. ﹣5D. ﹣7【答案】C【解析】【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A 和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．【详解】根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），故点M的横坐标的最小值为﹣5．故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．10.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）A. 2B. 23C. 4D. 43【答案】B【解析】【详解】解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为3∴AB=BC=4，3∴3，在Rt△BCE′中，224(23)=2-，∵BE=EA=2，∴E与E′重合，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长3故选B．11.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤23-；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a ，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-3c ，再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-23，结论②正确； ③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．【详解】：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ），∴-2b a=1， ∴b=-2a ，∴4a+2b=0，结论①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0），∴a -b+c=3a+c=0，∴a=-3c ． 又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴-1≤a≤-23，结论②正确； ③∵a＜0，顶点坐标为（1，n ），∴n=a+b+c，且n≥ax 2+bx+c ，∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，又∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．12.如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为( )A. 8B. 10C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．【详解】连接PE、PF、PG，AP，由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，∴S△PBC＝12BC•PE＝12×4×2＝4，∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，∴由切线长定理可知：S△APG＝12S四边形AFPG＝132，∴132＝12×AG•PG，∴AG＝132，由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE＝AC+AB+CF+BG＝AF+AG＝2AG＝13，故选C．【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．二、填空题13.把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____【答案】x（x+5）（x﹣5）．【解析】分析：首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．详解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）．故答案为x（x+5）（x-5）．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为_______．【答案】12【解析】【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEF：S△BCF=（DEBC）2，又∵E是AD中点，∴DE=12AD=12BC，∴DE：BC=DF：BF=1：2，∴S△DEF：S△BCF=1：4，∴S△BCF=4，又∵DF：BF=1：2，∴S△DCF=2，∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．故答案为12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF 的面积．15.如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝_____．【答案】5 12【解析】【分析】结合勾股定理，计算BC的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可．【详解】解：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝＝12，∴tan ∠ADC ＝tanB ＝＝， 故答案为:．【点睛】考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出tan tan ADC B ∠=，计算结果，即可，难度中等．16.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，则»BF的长为_____．【答案】815π 【解析】试题解析：连接CF ，DF ，则△CFD 是等边三角形，∴∠FCD=60°， ∵在正五边形ABCDE 中，∠BCD=108°， ∴∠BCF=48°， ∴»BF的长=482818015ππ⨯⨯=， 故答案为815π．17.已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=2x的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为_____．【答案】（1，2）或（-2，-1）【解析】【详解】分析：由三角形三边关系知|PA﹣PB|≥AB知直线AB与双曲线y=2x的交点即为所求点P，据此先求出直线AB解析式，继而联立反比例函数解析式求得点P的坐标．详解：如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，1）、B（-1，0）代入，得：1-0 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：11 kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y=x﹣1，直线AB与双曲线y=2x的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|=AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，由+12y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩可得12xy=⎧⎨=⎩或-2-1xy=⎧⎨=⎩，∴点P的坐标为（1，2）或（-2，-1），点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．18.如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝32，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为_____．【答案】201212【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC 的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE 的长，再利用锐角三角函数的关系得出12EI PF KI EF ＝＝，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可． 【详解】∵在Rt △ABC 中，2，∴∠B=∠C=45°，22AB AC 6，∵在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；∴EF=EC=DG=BD ， ∴DE=13BC ∴DE=2，∵取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去， ∴12EI PF KI EF ＝＝， ∴EI=12KI=12HI ， ∵DH=EI ，∴HI=12DE=(12)2−1×2， 则第n 个内接正方形的边长为：2×(12)n−1， ∴则第2014个内接正方形边长为2×(12)2014−1=2×201312=201212．故答案为201212．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．三、解答题19.（1）解方程：x 21x 1x-=- （2）化简求值：82(2)224x x x x x +-+÷--，其中12x =-. 【答案】(1) x ＝2;(2)3.【解析】【分析】 （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x 的值，再把x 的值代入公分母进行检验；（2）先根据分式混合运算的法则把原式化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】（1）去分母得：x 2﹣2x+2＝x 2﹣x ，解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，方程左右两边相等，所以x ＝2是原方程的解；（2）原式＝24482(2)()222x x x x x x x -+-+⋅--+ ＝2(+2)2x x -2(2)2x x -⋅+ ＝2（x+2）＝2x+4， 当12x =-时，原式＝2×（﹣12）+4＝﹣1+4＝3． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值及解分式方程，在解分式方程时要注意验根．20.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，合肥市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）请把折线统计图补充完整；（2）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；（3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．【答案】（1）该班全部人数48人，社区服务的人数为24人，补全折线统计如图所示见解析；（2）网络文明部分对应的圆心角的度数为45°；（3）他们参加同一服务活动的概率为14．【解析】【分析】（1）根据参加生态环保的人数以及百分比求得总人数；（2）用总人数乘以“社区服务”百分比求得其人数，再补全折线统计图即可.（3）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与他们参加同一服务活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：(1)该班全部人数：12÷25%＝48.(2)48×50%＝24，补全折线统计图如图所示：(3)分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：小明小丽1 2 3 41 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 3(1，3) (2，3) (3，3) (4，3) 4(1，4) (2，4) (3，4) (4，4)则所有等可能的情况有16种，其中他们参加同一活动的情况有4种即(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)， ∴他们参加同一服务活动的概率为41.164P == 【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.21.如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线的一点，AC 平分FAB ∠交⊙O 于点C ，过点C 作CE DF ⊥，垂足为点E（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若1,2AE CE ==，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）2.5【解析】【分析】（1）连接CO ，易得∠OCA=∠OAC ，由AC 平分∠FAB ，得∠CAE=∠OAC ，从而得∠OCA=∠CAE ，，进而即可得OC ∥FD ，即可得到结论；（2）连接BC ，由勾股定理得5ABC ∽△ACE ，从而得CA AE AB AC=，进而即可求解． 【详解】（1）连接CO ，∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ，∵AC 平分∠FAB ，∴∠CAE=∠OAC ，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥FD，∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）连接BC，Rt△ACE中，AC=2222215AE EC+=+=，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠BCA=∠CEA，∵∠CAE=∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴CA AE AB AC=，∴55 AB=，∴AB=5，∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质定理，掌握添加常见辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．22.某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y（人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；（3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润；最大利润是多少．【答案】（1）取值范围为1100元/人～1200元/人之间；（2）50000；（3）x=900时，w 最大=160000【解析】【分析】（1）根据题意列不等式求解可；（2）根据报价减去成本可得到函数的解析式，根据一次函数的图像求解即可；（3）根据利润等于人次乘以价格即可得到函数的解析式，然后根据二次函数的最值求解即可．【详解】解：（1）∵由题意得200y <时，即1300200x -+<，∴解得1100x >即要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，该旅游线路报价的取值范围为1100元/人至1200元/人之间；（2）500z y =，1300y x =-+，∴500(1300)500650000z x x =-+=-+∵5000-<，∴当1200x =时，z 最低，即50000z =；（3）利润22(500)1800650000(900)160000w x y x x x =-=-+-=--+当900x =时，160000w =最大．23.如图，AD 是ABC V 的边BC 的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC P ，交BE 的延长线于点F ，连接CF ，BF 交AC 于G ．（1）若四边形ADCF 是菱形，试证明ABC V 是直角三角形；（2）求证：2CG AG =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由菱形定义及AD 是△ABC 的中线知AD ＝DC ＝BD ，从而得∠DBA ＝∠DAB ，∠DAC ＝∠DCA ，根据∠DBA ＋∠DAC ＋∠DAB ＋∠DCA ＝180°可得答案；（2）作DM ∥EG 交AC 于点M ，分别证DM 是△BCG 的中位线和EG 是△ADM 的中位线得AG ＝GM ＝CM ，从而得出答案．【详解】解：（1）Q四边形ADCF是菱形，AD是ABCV的中线，AD DC BD∴==，,DBA DAB DAC DCA∴∠=∠∠=∠，180DBA DAC DAB DCA∠+∠+∠+∠=︒Q，90BAC BAD DAC∴∠=∠+∠=︒，ABC∴V是直角三角形；（2）过点D作DM EG∥交AC于点M，AD Q是ABC V的边BC的中线，BD DC∴=，DM EG Q∥，DM∴是BCG V的中位线，M∴是CG的中点，CM MG∴=，DM EG Q∥，E是AD的中点，EG∴是ADM V的中位线，G∴是AM的中点，AG MG∴=，2CG AG∴=.【点睛】本题主要考查菱形的性质，直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用各性质进行推理．24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．（1）当点M是边BC的中点时．①求反比例函数的表达式；②求△OMN的面积；（2）在点M的运动过程中，试证明：MBNB是一个定值．【答案】（1）4yx；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质及M是BC中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式；②先求出点N的坐标，从而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根据S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN 计算可得．（2）设M（a，2），据此知反比例函数解析式为y＝2ax，求出N（4，2a），从而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣2a，再代入计算可得．【详解】(1)①∵点B(4，2)，且四边形OABC是矩形，∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，∵点M是BC中点，∴CM＝2，则点M(2，2)，∴反比例函数解析式为y＝4x；②当x＝4时，y＝4x＝1，∴N(4，1)，则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN＝4×2﹣12×4×1﹣12×2×2﹣12×2×1＝3；(2)设M(a，2)，则k＝2a，∴反比例函数解析式为y ＝2a x ， 当x ＝4时，y ＝2a ， ∴N(4，2a )， 则BM ＝4﹣a ，BN ＝2﹣2a ， ∴MB NB ＝422a a --＝442a a --＝2． 【点睛】本题是反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、割补法求三角形的面积．25.如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 抛物线的解析式为y=13x 2-2x+1，(2) 四边形AECP 的面积的最大值是814，点P （92，﹣54）；(3) Q （4,1）或（-3，1）.【解析】【分析】 (1)把点A ，B 的坐标代入抛物线的解析式中，求b ，c ；(2)设P (m ，13m 2−2m ＋1)，根据S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ，把S 四边形AECP 用含m 式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q (t ，1)，分别求出点A ，B ，C ，P 的坐标，求出AB ，BC ，CA ；用含t 的式子表示出PQ ，CQ ，判断出∠BAC ＝∠PCA ＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t .【详解】解：(1)将A (0，1)，B (9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b ＋c ＝10，c ＝1，解得b ＝−2，c ＝1， 所以抛物线的解析式y ＝13x 2−2x ＋1； (2)∵AC ∥x 轴，A (0，1)， ∴13x 2−2x ＋1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，即C 点坐标为(6，1)， ∵点A (0，1)，点B (9，10)， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1，设P (m ，13m 2−2m ＋1)，∴E (m ，m ＋1)， ∴PE ＝m ＋1−(13m 2−2m ＋1)＝−13m 2＋3m . ∵AC ⊥PE ，AC ＝6， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ⋅EF ＋12AC ⋅PF ＝12AC ⋅(EF ＋PF )＝12AC ⋅EP ＝12×6(−13m 2＋3m )＝−m 2＋9m. ∵0<m <6，∴当m ＝92时，四边形AECP 的面积最大值是814，此时P (9524 ，)； (3)∵y ＝13x 2−2x ＋1＝13(x −3)2−2， P (3，−2)，PF ＝y F −y p ＝3，CF ＝x F −x C ＝3，∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45∘，同理可得∠EAF ＝45∘，∴∠PCF ＝∠EAF ，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q ，设Q (t ，1)且AB ＝，AC ＝6，CP ＝∵以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，①当△CPQ ∽△ABC 时，CQ :AC ＝CP :AB ，(6−t):6＝t ＝4，所以Q (4，1)；②当△CQP ∽△ABC 时，CQ :AB ＝CP :AC ，(6−t)6，解得t ＝−3，所以Q (−3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．。
精品中考冲刺模拟检测《数学试题》含答案解析
中考数学仿真模拟测试题一、选择题(本大题共10小题，共40分)1. 下列运算正确的是( )A. 2a3•a4=2a7B. a3+a4=a7C. (2a4)3=8a7D. a3÷a4=a2. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为( )A. B.C. D.3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×10104. 若代数式12x在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( )A. x=﹣2B. x＞﹣2C. x≠0D. x≠﹣25. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A. 1.70，1.65B. 1.70，1.70C. 1.65，1.70D. 3，46. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=( )A. 1：4B. 1：3C. 1：2D. 1：17. 如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是()A. 100°B. 80°C. 60°D. 50°8. 一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x=≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为(－2，0)．则下列结论中，正确的是【 】A. b 2a k =+B. a b k =+C. a b 0>>D. a k 0>>9. 阅读理解： 如图1，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对(θ，m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为( )A. (60°，4)B. (45°，4)C. (60°，2D. (50°，2)10. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，动点P 从点B 出发，沿着B ﹣A ﹣D 在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P ′是点P 关于BD 的对称点，PP ′交BD 于点M ，若BM ＝x ，△OPP ′的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共6小题，共30分)11. 分解因式：2x 2-8x+8=__________.12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x <，则1y 2y .(填”>”，”<”或”=”)13. 如图，直线l 与⊙相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB 的正切值为______．14. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 顺时针旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，若BC ＝1，则点B 旋转到B′所经过的路线长为______．15. 如图，菱形ABCD 内两点M 、N ，满足MB ⊥BC ，MD ⊥DC ，NB ⊥BA ，ND ⊥DA ，若四边形BMDN 面积是菱形ABCD 面积的15，则cosA=_____．16. 如图，将二次函数y =x 2-m (其中m ＞0)的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y 1，另有一次函数y =x +b 的图象记为y 2，则以下说法：①当m =1，且y 1与y 2恰好有三个交点时b 有唯一值为1；②当b =2，且y 1与y 2恰有两个交点时，m ＞4或0＜m ＜74； ③当m =-b 时，y 1与y 2一定有交点；④当m =b 时，y 1与y 2至少有2个交点，且其中一个为(0，m )．其中正确说法的序号为 ______ ． 三、解答题(本大题共8小题，共72分)17. 计算：cos 245°+cos30 2sin601︒︒+-3•tan30° 18. 如图，已知反比例函数y 1＝1k x 与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A (1，8)，B (﹣4，m )两点． (1)求k 1，k 2，b 的值；(2)求△AOB 的面积；(3)请直接写出不等式1k x≤2k x+b 的解．19. 2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数是______ ；扇形统计图中的圆心角α等于______ ；补全统计直方图；(2)被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．20. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离.(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)21. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F 是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE(1)求证：DE是⊙O切线；(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．22. 有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)，最大利润是多少？23. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；(2)如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线(要求：保留作图痕迹)；(3)在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．24. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，点D为AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP，DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．(1)当t=2时，求PD的长；(2)如图2，当点Q 运动至点B 时，连结DE ，求证：DE∥AP.(3)如图3，连结CD ．①当点E 恰好落在△ACD 的边上时，求所有满足要求的t 值；②记运动过程中▱PEQD 的面积为S ，▱PEQD 与△ACD 的重叠部分面积为S 1，当1S S ＜13时，请直接写出t 的取值范围是 ______ ．答案与解析一、选择题(本大题共10小题，共40分)1. 下列运算正确的是( )A. 2a3•a4=2a7B. a3+a4=a7C. (2a4)3=8a7D. a3÷a4=a【答案】A【解析】选项A，2a3•a4=2a7，本选项正确；选项B，a3和a4不是同类项不能合并，本选项错误；选项C，(2a4)3=8a12，本选项错误；选项D，a3÷a4=a-1，本选项错误；故选A．点睛：本题考查了合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力．2. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可．【详解】A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.故选C．3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×1010【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：4 400 000 000=4.4×109，故选C．4. 若代数式12x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )A.x=﹣2B. x＞﹣2C. x≠0D. x≠﹣2 【答案】D 【解析】试题分析：根据分式有意义的条件，分母不等于0，即x+2≠0，解得x≠-2. 故选：D. 5. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A. 1.70，1.65 B. 1.70，1.70 C. 1.65，1.70 D. 3，4 【答案】A 【解析】在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.70，所以中位数是1.70；在这一组数据中1.65是出现次数最多的，所以众数是1.65．∴这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.70，1.65．故选A．6. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=( )A. 1：4B. 1：3C. 1：2D. 1：1【答案】C【解析】【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理.【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD, ∴1,,,,,3DE DF DE DF DEF BEA OB BD OE DE BE AB BE AB ~∴===∴==∴ 1.2DF FC = 故选C.7. 如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是( )A. 100°B. 80°C. 60°D. 50°【答案】B【解析】 试题分析：如图，翻折△ACD，点A 落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B =80°. 故选：B8. 一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x =≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为(－2，0)．则下列结论中，正确的是【 】A. b 2a k =+B. a b k =+C. a b 0>>D. a k 0>>【答案】D【解析】 将A(－2，0)代入y ax b =+，得b 2a =．∴二次函数()222y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-．∴二次函数的顶点坐标为(－1，－a)．当x=－1时，反比例函数k k y k x 1===--． 由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方，∴a k 0-<-<，即a k 0>>．故选D ．(实际上应用排它法，由b 2a 0=>，k 0≠也可得ABC 三选项错误)9. 阅读理解：如图1，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对(θ，m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为( )A. (60°，4)B. (45°，4)C. (60°，2D. (50°，2)【答案】A【解析】 试题分析：如图，设正六边形的中心为D ，连接AD ，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°，4)．故选A．考点：1.正多边形和圆；2.坐标确定位置．10. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D 在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM＝x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，①当BM ≤4时，∵点P′与点P 关于BD 对称，∴P′P ⊥BD ，∴P′P ∥AC ，∴△P′BP ∽△CBA ， ∴=PP BM AC OB '，即=64PP x '， ∴PP′=32x ， ∵OM =4-x ，∴△OP P′的面积y =12PP′•OM =12×233(4)324x x x x -=-+； ∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0，0)和(4，0)；②当BM ≥4时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4，0)和(8，0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．二、填空题(本大题共6小题，共30分)11. 分解因式：2x 2-8x+8=__________.【答案】2(x-2)2【解析】【分析】先运用提公因式法，再运用完全平方公式.【详解】：2x 2-8x+8=()()2224422x x x -+=-. 故答案为2(x-2)2.【点睛】本题考核知识点：因式分解.解题关键点：熟练掌握分解因式的基本方法.12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x <，则1y 2y .(填”>”，”<”或”=”)【答案】<.【解析】试题分析：一次函数y kx+b =的增减性有两种情况：①当k 0>时，函数y kx+b =的值随x 的值增大而增大；②当k 0<时，函数y kx+b = y 的值随x 的值增大而减小.由题意得，函数21y x =+的k 0>，故y 的值随x 的值增大而增大.∵12x x <，∴12y y <.考点：一次函数图象与系数的关系.13. 如图，直线l 与⊙相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB 的正切值为______．【答案】75【解析】 试题分析：连接OD ，则OD⊥BD，过E 作EH⊥BC 于H ，则四边形EODH 是正方形，可得EH=5，BH=7，易求tan∠BEH=BH EH=75，再由∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，证明∠ACB=∠BEH 即可得到tan ∠ACB=75． 故答案为：75.14. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 顺时针旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，若BC ＝1，则点B 旋转到B′所经过的路线长为______．【答案】53π【解析】已知将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，可得点B 旋转到B′所经过的路线是以点A为圆心，AB为半径所得扇形BA B′的弧长，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2，所以点B旋转到B′所经过的路线长为150251803ππ⋅⨯= .15. 如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN 的面积是菱形ABCD面积的15，则cosA=_____．【答案】23【解析】试题分析：如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，易知四边形BMDN是菱形，设S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a，因为四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的15，所以S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出OB2=OA•ON=5k2，推出OB=5k，AB=AD=22OA OB+=30k，由12AD•BH=12BD•AO，推出BH=AO BDAD⋅=563，再利用勾股定理求出AH即可得22AH AB BH=-=2303，即cosA=AHAB=230330kk=23．点睛：本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．16. 如图，将二次函数y=x2-m(其中m＞0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+b的图象记为y2，则以下说法：①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜74；③当m=-b时，y1与y2一定有交点；④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为(0，m)．其中正确说法的序号为______．【答案】②④【解析】试题分析：(1)当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时，b有唯一值为1，b=54，故(1)错误；(2)当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜74，故(2)正确；(3)当m=-b时，y1与y2没有交点，故(3)错误；(4)当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为(0，m)故(4)正确；故答案为(2)，(3)．三、解答题(本大题共8小题，共72分)17. 计算：cos245°+cos302sin601︒︒+313-【解析】试题分析：根据特殊角的锐角三角函数值直接代入求解即可.试题解析：原式22+32321⨯+3×3=12+334--1=134-． 18. 如图，已知反比例函数y 1＝1k x 与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A (1，8)，B (﹣4，m )两点． (1)求k 1，k 2，b 的值；(2)求△AOB 的面积；(3)请直接写出不等式1k x≤2k x+b 的解．【答案】(1)k 1=8，k 2=2，b=6；(2)15；(3)-4≤x ＜0或x≥1【解析】【分析】(1)将A 点的坐标代入反比例函数的解析式，可得出反比例函数解析式，再结合点B 的横坐标即可得出点B 的坐标，根据点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；(2)先求出一次函数图像与y 轴的交点坐标，再将△AOB 的面积分成两个小三角形面积分别求解即可；(3)根据两函数图像的上下位置关系即可得出不等式的解集.【详解】解：(1)∵反比例函数y=1k x 与一次函数y=k 2x+b 的图象交于点A (1，8)、B (-4，m )， ∴k 1=1×8=8，m=8÷(-4)=-2，∴点B 的坐标为(-4，-2)．将A (1，8)、B (-4，-2)代入y 2=k 2x+b 中， 22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：226k b =⎧⎨=⎩． ∴k 1=8，k 2=2，b=6．(2)当x=0时，y 2=2x+6=6，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为(0，6)．∴S △AOB =12×6×4+12×6×1=15．(3)观察函数图象可知：当-4＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式12k k x≤x+b 的解为-4≤x ＜0或x≥1． 19. 2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数是 ______ ；扇形统计图中的圆心角α等于 ______ ；补全统计直方图；(2)被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．【答案】(1)30；144︒；(2)2()5P A =． 【解析】【分析】(1)根据题意列式求值，根据相应数据画图即可；(2)根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可．【详解】解：(1)6÷20%=30，(30﹣3﹣7﹣6﹣2)÷30×360=12÷30×26=144°，答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°；故答案为30，144°；补全统计图如图所示：(2)根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，∴82 ()205P A==．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率．20. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离.(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)【答案】(1)15cm ；(2)点E 到AB 的距离为58.2cm【解析】分析：(1)根据勾股定理求出AD 的长；(2)作EH ⊥AB 于H ，求出AE 的长，根据正弦的概念求出点E 到车架AB 的距离．详解：(1)在Rt △ADF 中，由勾股定理得， AD=2222=2520=15AF FD --(cm)．(2)AE=AD+CD+EC=15+30+15=60(cm)．过点E 作EH ⊥AB 于H ，在Rt △AEH 中，sin ∠EAH=EH AE ， ∴EH=AE•sin ∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2(cm)．答：点E 到AB 的距离为58.2 cm ．点睛：本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 21. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分的面积为8833π-．【解析】【分析】(1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：(1)连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；(2)在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=4342⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影3﹣83π，∴阴影部分的面积为383π．22. 有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)，最大利润是多少？【答案】(1)p=30+x(2)当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元【解析】(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.(3)设总利润为L=Q－30000－400x=－10x2+500x=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.23. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；(2)如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线(要求：保留作图痕迹)；(3)在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．【答案】(1)108°，72°，108°，72°．(2)图形见解析(3)∠BAD的度数为80°．【解析】试题分析：(1)先由对角线AC是黄金线，可知△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：①AB=BC；②AC=BC.根据黄金四边形的定义和四边形的内角和求解即可；(2)①以A为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D1，②以C为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D2，③连接AD1，CD1，AD2，CD2.(3)先根据∠BAC=30°，算得∠ABC=120°，再分情况讨论：i：当AC为黄金线，则AD=CD，或AD=AC，根据等腰三角形及黄金四边形进行计算即可；ii：当BD为黄金线时，分三种情况：①当AB=A D时，②当AB=B D时，③当AD=dD时．试题解析：(1)∵在四边形ABCD中，对角线AC是黄金线，∴△ABC是等腰三角形，∵AB＜AC，∴AB=BC或AC=BC，①当AB=BC时，∵AB=AD=DC，∴AB=BC=AD=DC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，此种情况不符合黄金四边形定义，②AC=BC，同理，BD=BC，∴AC=BD=BC，易证得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，且∠DCA＜∠DCB，∴∠DAC＜∠CAB又由黄金四边形定义知：∠CAB=2∠DAC，设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∴∠DAB=∠ADC=3x°，而四边形的内角和为360°，∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，答：四边形ABCD各个内角的度数分别为108°，72°，108°，72°．(2)由题意作图为：(3)∵AB=BC，∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，ⅰ)当AC黄金线时，∴△ACD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，AC＞BC，∴AD=CD或AD=AC，当AD=CD时，则AB=BC=CD=AD，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，如图3，此种情况不符合黄金四边形定义，∴AD≠CD ，当AD=AC 时，由黄金四边形定义知，∠ACD=∠D=15°或60°，此时∠BAD=180°(不合题意，舍去)或90°(不合题意，舍去)；ⅱ)当BD 为黄金线时，∴△ABD 是等腰三角形，∵AB=BC=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，①当AB=AD 时，△BCD≌△BAD，此种情况不符合黄金四边形定义；②当AB=BD 时，AB=BD=BC=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°，∴∠A=30°或120°(不合题意，舍去)，∴∠ABC=180°(不合题意，舍去)，此种情况也不符合黄金四边形定义；③当AD=BD 时，设∠CBD=∠CDB=y °，则∠ABD=∠BAD=(2y )°或2y ⎛⎫︒⎪⎝⎭， ∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，当∠ABD=2y °时，y =40，∴∠BAD=2y =80°； 当2y ABD ⎛⎫∠=︒⎪⎝⎭时，y =80°， ∴402y BAD ∠==︒； 由于∠ADB=180°-40°-40°=100°，∠BDC=80°，∴∠ADB+∠BDC=180°，∴此种情况不能构成四边形，综上所述：∠BAD 的度数为80°．24. 如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，点D 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向以每秒1个单位的速度向终点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度先沿CB 方向运动到点B ，再沿BA 方向向终点A 运动，以DP ，DQ 为邻边构造▱PEQD ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当t=2时，求PD 的长；(2)如图2，当点Q 运动至点B 时，连结DE ，求证：DE∥AP.(3)如图3，连结CD ．①当点E 恰好落在△ACD 的边上时，求所有满足要求的t 值；②记运动过程中▱PEQD 的面积为S ，▱PEQD 与△ACD 的重叠部分面积为S 1，当1S S ＜13时，请直接写出t 的取值范围是 ______ ．【答案】(1)13(2)证明见解析(3)①分三种情况讨论：满足要求的t 的值为32或2411或4811．②当1S S ＜13时， t 的取值范围是7225＜t ＜5617． 【解析】(1)如图1中，作DF⊥CA 于F ，当t =2时，AP=2，DF=AD•sin A=5×35=3，∵AF=AD•cos A=5×45=4，∴PF=4-2=2，∴PD=22DF PF +=2232+=13．(2)如图2中，在平行四边形PEQD 中，∵PE ∥DQ ，∴PE ∥AD ，∵AD=DQ ．PE=DQ ，∴PE=AD ，∴四边形APED 是平行四边形，∴DE ∥AP ．(3)①分三种情况讨论：Ⅰ．当点E 在CA 上时，DQ⊥CB (如图3所示)，∵∠ACB=R t ∠，CD 是中线，∴CD=BD，∴CQ=12CB=3即：t =32Ⅱ．当点E 在CD 上，且点Q 在CB 上时 (如图4所示)，过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，易证R t△PGE≌R t△PHQ，∴PG=DH=4，∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC∴在R t△CEG中，tan∠ECG=GE CG=234tt--=34，∴t=2411Ⅲ．当点E在CD上，且点Q在AB上时(如图5所示)，过点E作EF⊥CA于点F，∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，∴PF=12PC=82t-，PE=DQ=11-2t，∴在R t△PEF中，cos∠EPF=PFPE=82112Tt--=45∴t=4811综上所述，满足要求的t的值为32或2411或4811．②如图6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．当△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13时，PE′：EE′=2：1，由(Ⅱ)可知CG=4-t，GE=2t-3，∴PG=8-t-(4-t)=4，∵E′G′∥EG，∴'PGPG=''E GEG='PEPE=23，∴PG′=83，E′G′=23(2t-3)，CG′=8-t-83=163-t，∵tan∠ECG='''E GCG=()223331643tt-=-，解得t=72 25．如图7中，当点Q在AB上时，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．∵△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13，∴PE′：EE′=2：1，由Ⅲ可知，PG′=12PC=4-12t，PE′=23DQ=23(11-2t)，∵cos∠E′PG′=''PGPE=45，∴()1442251123t t -=-， 解得t =5617， 综上所述，当1S S ＜13时，请直接写出t 的取值范围是7225＜t ＜5617．。
【中考冲刺】2023年湖南省长沙市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年湖南省长沙市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数y ＝12x-自变量x 的取值范围是（ ） A ．全体实数 B ．x ≠0 C ．x ＜2 D ．x ≠2 3．如图，AB ∥CD ，且被直线l 所截，若∥1=54°，则∥2的度数是（ ）A ．154°B ．126°C ．116°D ．54° 4．下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b -=-B ．()232622ab a b =C ．235ab ab ab +=D ．248a a a ⋅= 5．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示:则这15名运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）A ．4.65,4.70 B ．4.65,4.75 C ．4.70,4.70， D ．4.70,4.75 6．如图，在Rt∥ABC 中，∥ACB=90°，∥A=α，将∥ABC 绕点C 按顺时针方向旋转后得到∥DEC ，此时点E 在AB 边上，则旋转角的大小为（ ）A．αB．2αC．90α︒-D．1802α︒-7．在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是13，则黄球的个数为（）A．2B．3C．4D．68．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2﹣2D．y＝（x+1）2+29．如图，在∥ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若CF：BC=3：5，AB=15，则BD=（）A．6B．9C．10D．1210．已知二次函数2y-x+x6=+，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线y x m=+与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A．2524m-≤<-B．2534m-≤<-C．62m-≤≤-D．73m-≤≤-二、填空题11．“学中共党史，庆建党百年”，截至4月26日，某市党员群众参与答题次数达8420000次，掀起了党史学习竞赛的热潮，数据“8420000”用科学记数法可表示为___． 12．因式分解2242x x -+=______．13．如图，∥ABC 中，AB =5，AC =4，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于D 和E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于二分之一DE 为半径作弧，两弧交于点F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，GH ∥AC 于H ，GH =2，则∥ABG 的面积为________．14．一个扇形的圆心角为150°，弧长20cm π，则此扇形的半径是________cm .15．如图，CD 是∥O 的直径，弦AB ∥CD 于点H ，若∥D =30°，AD =，则AB =________cm ．16．如图，直线CE 是平行四边形ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E ．连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论： ∥四边形ACBE 是菱形； ∥∥ACD=∠BAE ； ∥AF ：FC=1：2；其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．计算：1024cos 45(2022)π-︒+-18．先化简22213111-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭x x x x ，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x 的值代入求值．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数152y x=+和2y x=-的图象相交于点A，反比例函数kyx=的图象经过点A.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x=+的图象与反比例函数kyx=的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO∆的面积.20．某市教育局实施对口帮扶活动中，准备为部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外读物阅读的喜好情况，现对该市农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他”类统计，图（1）与图（2）是整理后绘制的两幅不完整的统计图．(1)本次调查抽取的人数是________人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为________度．(2)本次调查中喜欢“小说”的人数是________人；若该市农村小学有25000名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有________人．(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本但小丽和小芳都想要，于是她们设计了一种游戏，规则是：现有4张卡片上分别写有7，8，9，10四个整数，先让小丽随机抽取一张后不放回．．．，再由小芳随机抽取一张，若抽取的两张卡片上的数字之和是2的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书．用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？AC ，连接AE 交OD 于点F ，连接OE 、CE ．(1)求证：四边形OCED 为矩形；(2)已知AB =2，DE =1，求OD 的长．22．甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲比乙每小时少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等．(1)甲、乙两人每小时各加工多少个零件？(2)现有一批这种零件需要加工，已知由甲单独完成比由乙单独完成多花费2个小时，这批零件共有多少个？23．已知，如图，AB 是∥O 的直径，点C 为∥O 上一点，作弦BD ∥OC 于点F ，交AC 于点G ．过点B 作直线交OC 的延长线于点E ，且∥OEB =∥AC D ．(1)求证：BE 是∥O 的切线；(2)求证：2CD CG CA =⋅；24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若点M 的横坐标与纵坐标之和等于点N 的横坐标与纵坐标之和，则称M ，N 两点同为“郡系点”．(1)己知点A 的坐标为（2，6），B 是反比例函数16y x=图象上的一点，且A ，B 两点同为“郡系点”，求点B 的坐标；(2)若点C （2-，1y ），D （4，2y ）在直线3y kx =-（0k ≠）上，且C ，D 两点同为“郡系点”，求k 的值；(3)若点E 是直线132y x =-+上第一象限内的一点，若在抛物线212y x x c =++（1322x -≤≤）上总存在点F ，使得E ，F 两点同为“郡系点”，求c 的取值范围． 25．如图，CD 与∥O 相切于点D ，CB 与∥O 相交于A 、B 两点，且圆心O 在AB 上．(1)若1tan2C∠=，OD=2．求CD的长；(2)若点E在∥O上运动，连接DE，当弦DE平分∥ADB且与AB交于点F时：∥若AF=7，EF=13，求此时∥O的直径；∥设DE长为x，直径AB长为t（0t>，t为常数），求∥ABD的面积S关于x的函数解析式（不要求写x的取值范围）．参考答案：1．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项不符合；B 、是轴对称图形，故本选项符合；C 、不是轴对称图形，故本选项不符合；D 、不是轴对称图形，故本选项不符合．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．D【解析】【分析】函数右边为分式，分式有意义的条件是分母不等于零，由此进行计算即可得到正确答案．【详解】解：∥当20x -≠时，分式12x -有意义 ∥函数y ＝12x-自变量x 的取值范围是：2x ≠ 故选：D【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．3．B【解析】【分析】由平行线的性质得到∥2与∥3的关系，再根据对顶角的性质得到∥1与∥3的关系，最后求出∥2．解：∥AB∥CD，∥∥2+∥3=180°．∥∥3=∥1=54°，∥∥2=180°-∥3=180°-54°=126°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“对顶角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．4．C【解析】【分析】根据展开式是三项不是两项，2平方是4不是2，合并同类项、同底数幂乘法法则计算即可判断．【详解】A、∥()222a b a ab b-=-+，此选项错误，不符合题意；2B、∥()2326=，此选项错误，不符合题意；24ab a bC、∥2ab+3ab=5ab，此选项正确，符合题意；D、∥246⋅=，此选项错误，不符合题意．a a a故选：C．【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式计算、积的乘方法则、合并同类项、同底数幂乘法法则计算．5．D【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题．【详解】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．故选D．【点睛】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题. 6．B【解析】【分析】先根据互余得到∥B=90°-α，再根据旋转的性质得CB=CE，∥BCE等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得∥CEB=∥B=90°-α，然后根据三角形的内角和定理计算出∥BCE=180°-2∥B=2α，于是得到旋转角为2α．【详解】∥∥ACB=90°，∥A=α，∥∥B=90°-α，∥∥ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，∥CB=CE，∥BCE等于旋转角，∥∥CEB=∥B=90°-α，∥∥BCE=180°-2∥B=2α，∥旋转角为2α．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，等腰三角形的性质．7．C【解析】【详解】试题分析：设黄球的个数为x个，根据题意得：1212x+=13，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；∥黄球的个数为24．故选C．考点：概率公式．8．A【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线2y x向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是()212y x=-+．故选：A．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．9．B【解析】【分析】先证明CEF CAB∆∆，由相似三角形的性质求出EF=9，再证明四边形BFED是平行四边形即可得到结论．【详解】解：∥EF //AB，∥CEF CAB∆∆，∥EF CF AB CB=，∥3155CFABCB==，∥3, 155 EF=∥9,EF=∥DE∥BC，EF∥AB，∥四边形BFED是平行四边形，∥9,BD EF ==故选B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，求出EF =9是解答本题的关键．10．D【解析】【分析】解方程-x 2+x +6=0得A (-2，0)，B (3，0)，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y =(x +2)(x -3)，即y =x 2-x -6(-2≤x ≤3)，然后求出直线y =x +m 经过点B (3，0)时m 的值和当直线y =x +m 与抛物线y =x 2-x -6(-2≤x ≤3)有唯一公共点时m 的值，从而得到当直线y =x +m 与新图象有3个或4个交点时，m 的取值范围．【详解】解：如图，当0y =时，260x x -++=，解得122,3x x =-=，∥A (-2，0)，B (3，0)，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，则下方对应的解析式为2(2)(3)6(23)=+-=---≤≤y x x x x x ，∥y=x 为第一、三象限的角平分线，直线y =x +m 可以看成是y=x 上下平移m 个单位得到， ∥当直线y =x +m 刚好经过B 点时，此时新函数图像与y =x +m 恰好有3个交点，如上图中的 直线y =x +m 1所示，∥10=3+m ，解得13m =-；当直线y =x +m 刚好经过C 点时，此时新函数图像与y =x +m 恰好有3个交点，如上图中的 直线y =x +m 2所示，∥联立方程组226⎧=--⎨=+⎩y x x y x m ，整理得到：22260---=x x m ， ∥直线y =x +m 2和y =x 2-x -6(-2≤x ≤3)有唯一公共点C ，∥方程22260---=x x m 有两个相等的实数根，∥22=444(6)0∆-=-⨯--=b ac m ，解得：27m =-，当新函数图像与y =x +m 有4个交点时，73m -<<-，综上所述：直线y =x +m 与新图象有3个或4个交点时，m 的取值范围是73m -≤≤-．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法及二次函数的图像和性质，考查了二次函数图像的坐标变化，本题的关键是求出2y -x +x 6=+沿x 轴翻折后对应的解析式．11．68.4210⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯ 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数【详解】解：8420000=68.4210⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12．22(1)x -．【解析】【详解】解：2242x x -+=22(21)x x -+=22(1)x -，故答案为22(1)x -．13．5【解析】【分析】根据ADF AEF ≌，得出AG 为BAC ∠的角平分线，得到GM =GH 即可求出∥ABG 的面积．【详解】连接DF 、EF ，过点F 作GM ∥AB ，交AB 于点M∥在以A为圆心的圆中，AD=AE，以D、E为圆心的半径DF=EF∥AD AE DF EF AF AF=⎧⎪=⎨⎪=⎩∥ADF AEF≌∥DAF FAE∠=∠∥ AG为BAC∠的角平分线∥ GM∥AB，GH∥AC∥ GM=GH=2∥1152522ABGAB GM=⨯=⨯⨯=△S故答案为：5．【点睛】本题考查全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的相关知识．14．24【解析】【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．【详解】解：设扇形的半径是R，则15020 180Rππ=解得：R=24．故答案为24．【点睛】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键．15．【解析】【分析】根据∥D=30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB=2AH计算出AB．【详解】在Rt AHD中，∥D=30°∥2AD AH=∥AH∥弦AB∥CD∥2==AB AH故答案为：【点睛】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．16．∥∥∥【解析】【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．【详解】∥四边形ABCD是平行四边形，∥AB CD∥，AB=CD，∥EC垂直平分AB，∥OA=OB=12AB=12DC，CD∥CE，∥OA CD∥，∥EA EO OAED EC CD===12，∥AE=AD，OE=OC，∥OA=OB，OE=OC，∥四边形ACBE是平行四边形，∥AB∥EC，∥四边形ACBE是菱形，故∥正确，∥∥DCE=90°，DA=AE，∥AC=AD=AE，∥∥ACD=∥ADC=∥BAE，故∥正确，∥OA CD ∥， ∥12AF OA CF CD ==，故∥正确， 故答案是：∥∥∥．【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．32【解析】【分析】直接利用负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和零指数幂分别计算，然后根据实数的混合运算法则计算即可求解．【详解】解：原式1412=+ 32=+32=． 【点睛】本题主要考查负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和零指数幂，熟记相关运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．18．12x x --，2． 【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可．【详解】解：原式=2(1)13()(1)(1)11x x x x x x -+÷-+-++ =1211x x x x --÷++=1112x x x x -+⋅+- =12x x -- ， ∥x≠±1且x≠2，∥x=3，则原式=3132--=2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．19．（1）反比例函数的表达式为8y x-=；（2）ABO ∆的面积为15. 【解析】【分析】（1）联立两一次函数解出A 点坐标，再代入反比例函数即可求解；（2）联立一次函数与反比例函数求出B 点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.【详解】 （1）由题意：联立直线方程1522y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，可得24x y =-⎧⎨=⎩，故A 点坐标为（-2,4） 将A （-2,4）代入反比例函数表达式k y x=，有42k =-，∥8k =- 故反比例函数的表达式为8y x =-（2）联立直线152y x =+与反比例函数8y x=-， 1528x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得122,8x x =-=-，当8x =-时，1y =，故B （-8,1）如图，过A ，B 两点分别作x 轴的垂线，交x 轴于M 、N 两点，由模型可知S 梯形AMNB =S △AOB ，∥S 梯形AMNB =S △AOB =12121()()2y y x x +-⨯=1(14)[(2)(8)]2+⨯---⨯=156152⨯⨯= 【点睛】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.20．(1)300、72(2)120、7500(3)公平，理由见解析【解析】【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘360°即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数； （2）先求出“科普常识”人数，再用本次调查抽取的人数减去“漫画”“科普常识”“其他”的人数，即可求出本次调查中喜欢“小说”的人数；用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生，估计喜爱“科普常识”的小学生人数；（3）画出树状图，根据树状图求出所有情况，找到符合抽得的数字之和是2的倍数的情况数、是3的倍数的情况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是2的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，即可判断是否公平．(1)解：30÷10％=300（人）60÷300×360°=72°故答案为：300，72(2)解：300×30%=90（人）300－90－60－30=120（人）25000×30%=7500（人）故答案为：120，7500(3)解：树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中，抽得的数字之和是2的倍数的有4种，是3的倍数的有4种；则书给小丽的概率是41123=，给小亮的概率是41123= 答：这种方法是公平的．【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．21．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质先证，即有DE ＝OC ，即有四边形OCED 都是平行四边形，再结合AC ∥BD ，即可证明四边形OCED 是矩形；（2）在Rt ∥OCD 中利用勾股定理即可求出OD ．(1)证明∥四边形ABCD 是菱形，∥OA ＝OC 12AC =，AC ∥BD∥DE AC ∥且DE 12AC =， ∥DE ＝OC ，又DE AC ∥，∥四边形OCED 都是平行四边形，∥AC ∥BD ，∥四边形OCED 是矩形；(2)∥四边形OCED 为矩形，DE ＝1，∥OC ＝DE ＝1，∥COD ＝90°，又∥四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∥CD ＝AB ＝2，又∥∥COD ＝90°，∥在Rt ∥OCD 中，∥OD【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．22．(1)甲每小时分别加工24个零件，乙每小时分别加工30个零件；(2)这批零件共有240个【解析】【分析】（1）设甲每小时加工x 个零件，则乙每小时加工()6x +个零件，根据题意列出分式方程，解方程即可解答；（2）设这批零件共有y 个，根据题意列出关于y 的一元一次方程，解方程即可解答(1)解：设甲每小时加工x 个零件，则乙每小时加工()6x +个零件，由题意得：2403006x x =+， 解得：24x =，检验：24x =是方程的解，且符合题意，630x +=，答：甲每小时分别加工24个零件，乙每小时分别加工30个零件．(2)设这批零件共有y 个，由题意得：22430y y -=， 解得：240y =，答：这批零件共有240个．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意正确列出方程，熟练掌握分式方程和一元一次方程的解法．23．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据BD∥OC，可得∥OBF+∥BOF＝90°，又根据∥OEB＝∥ACD，∥ACD=∥ABD，即有∥OEB＝∥ABD，则∥OEB+∥BOF＝90°，即OB∥BE问题得证；（2）连接AD，证明出∥DCG∥∥ACD即可．(1)证明：∥BD∥OC，∥∥OBF+∥BOF＝90°，又∥∥OEB＝∥ACD，∥ACD=∥ABD，∥∥OEB＝∥ABD，∥∥OEB+∥BOF＝90°，∥∥OBE＝90°，即OB∥BE，∥OB是∥O的半径，∥BE是∥O的切线；(2)证明：连接AD，如图，∥OC是∥O的半径，BD∥OC，∥CD BC=，∥∥DAC＝∥BDC，∥∥DCA＝∥DCA，∥∥DCG∥∥ACD，∥CG CD CD CA=．∥ 2•CD CG CA＝．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．24．(1)（4，4）(2)1k=-(3)1531 88c≤≤【解析】【分析】（1）设点B的坐标为（b，16b），由A，B两点同为“郡系点”得1626bb+=+，解分式方程即可；（2）根据一次函数图象上点的坐标的特征求出1y，2y，利用C，D两点横坐标与纵坐标之和相等列方程即可求解；（3）先根据点E在直线132y x=-+上第一象限内，求出点E的横、纵坐标之和N的取值范围，再根据二次函数图象的性质求出点F的横、纵坐标之和M的取值范围，N的取值范围在M的取值范围之内，列一元一次不等式组，即可求解．(1)解：∥点B是反比例函数16yx=图象上的一点，∥设点B的坐标为（b，16b），∥点A的坐标为（2，6），A，B两点同为“郡系点”，∥16 26bb+=+，整理得28160b b-+=，解得4b =，经验证4b =是分式方程1626b b+=+的解， ∥164b =， ∥点B 的坐标为（4，4）．(2)解：∥点C （2-，1y ），D （4，2y ）在直线3y kx =-（0k ≠）上，∥123y k =--，243y k =-，∥C ，D 两点同为“郡系点”，∥223443k k ---=+-，整理得66k =-，∥1k =-．(3) 解：对于一次函数图象132y x =-+， 令0x =，得3y =；令0y =，得6x =．∥点E 是直线132y x =-+上第一象限内的一点， ∥设点E 的坐标为（n ，132n -+），其中06n <<，∥点E 的横、纵坐标之和为：113322N n n n =-+=+，∥06n <<，N 随n 的增大而增大， ∥11036322N ⨯+<<⨯+，即36N <<．∥点F 在抛物线212y x x c =++（1322x -≤≤）上， ∥设点F 的坐标为（m ，212m m c ++），其中1322m -≤≤， ∥点F 的横、纵坐标之和为：2211222M m m m c m m c =+++=++， ∥二次函数2122M m m c =++的图象开口向上，对称轴为22122m -==-⨯， ∥当1322m -≤≤时，M 随m 的增大而增大，∥2211113322222222c M c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+<<⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即73388c M c -+<<+， ∥抛物线212y x x c =++（1322x -≤≤）上总存在点F ，使得E ，F 两点同为“郡系点”， ∥7383368c c ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩， 解得153188c ≤≤． 【点睛】本题借新定义考查一次函数、二次函数图象的性质，解一元一次不等式组等知识点，第3问有一定难度，求出点E 及点F 的横、纵坐标之和的取值范围是解题的关键． 25．(1)4(2)∥24；∥221124S x t =- 【解析】【分析】（1）连接OD ，在Rt COD 中，利用tan OD C CD∠=即可求得 （2）∥将EBD △绕E 点逆时针旋转，至EB 与EA 重合，易知AEB △和D ED '△等腰直角三角形，且AFD EFB ∽△△，设AD a =，BD b =，OB r =，由Rt ADB 和相似三角形得对应边成比例，列三个等式，解三个未知数，即可算出r∥设AD a =，BD b =，OB r =，由Rt ADB 和等腰直角三角形D ED '△，列出两个关于a ，b ，r 的等式，得到ab 的表达式，即可(1)连接OD∥CD 为切线∥90CDO ∠=︒在Rt COD 中：1tan 2OD C CD ∠== 解得：4CD =(2)∥连接AE ，BE∥AB 为直径∥90AEB =︒∠∥DE 平分ADB ∠，90ADB ∠=︒∥45ADE BDE ∠=∠=︒∥AE BE =，AE BE =∥AEB △是等腰直角三角形将EBD △绕E 点逆时针旋转，至EB 与EA 重合，D 点对应点为D∥180DBE DAE ∠+∠=︒，DBE D AE '∠=∠∥180D AE DAE '∠+∠=︒即D ，A ，D 三点共线∥90DEB AED ∠+∠=︒，DEB D EA '∠=∠∥90D EA AED '∠+∠=︒又∥D E DE '=∥D ED '△是等腰直角三角形设AD a =，BD b =，OB r =则BE =，DD a b '=+，)2DE a b =+ ∥ADE ABE ∠=∠，AFD EFB ∠=∠，∥AFD EFB ∽△△ ∥AD AF DF BE EF BF== 即： 222(2)a b r +=①713== 将∥式拆成两个：713713=④ 由∥得：a =将a =代入∥式得：b =将a =，b =代入∥式 解得：24r =∥设AD a =，BD b =，由∥知：222a b a b t ⎧+⎪⎨+=⎪⎩①② 2-①②化简得：2212ab x r =- 2211112224ABD S AD BD ab x t =⋅==-△ 【点睛】本题是几何综合题，考查了圆的基本性质，相似三角形，旋转，特殊直角三角形三边关系．第一小问注意利用切线的特点做辅助线构造直角三角形，第二小问∥旋转构造等腰直角三角形是难点，相似是重点，第二小问∥注意利用方程组算出目标代数式即可．。
精品中考冲刺模拟测试《数学试题》带答案解析
中 考 全 真 模 拟 测 试数 学 试 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.213-⎛⎫- ⎪⎝⎭的相反数是：（ ） A. 9B. 9-C.19D. 19-2.随着经济社会发展和物质消费水平的大幅提高，我国生活垃圾产生量迅速增长，环境隐患已经成为新型城镇化发展的制约因素．中央文件下发以来，全国各级各地均投入了一定的人力物力，以期逐步实现生活垃圾分类．2019年1月，H 市共印发了5050万张宣传单，对生活垃圾分类作了广泛的宣传．这里的5050万用科学记数法表示为：（ ） A. 85.0510⨯B. 550510⨯C. 35.0510⨯D. 75.0510⨯3.下列几何体中，左视图是三角形的是：（ ） A. B. C. D.4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）.A.10B.5C.3D.25.对下列各整式因式分解正确的是：（ ） A. 221(21)1-+=-+x x x x B. 2221(1)--=-x x x C. 32244(2)++==+y y y y yD. 26(2)(3)--=-+x x x x6.不等式组213351x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B.C.D.7.一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是：（ ） A. 2，1，2 B. 3，2，0.2C. 2，1，0.4D. 2，2，0.48.如图，Oe 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O e 上任意一点，过点P 作PM AB⊥于点M ，PN CD ⊥于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周旋转60︒时Q 点所经过的路线长为：（ ）A .16π B.14π C.13π D. π9.如图，矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将PCD ∆沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作BPF ∠的角平分线交AB 于点E ．设BP x =，BE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是：（ ）A. B. C.D.10.在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，12CE =，9BF =，则ABC ∆面积的最大值是：（ ） A. 72B. 108C. 120D. 无最大值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.方程(3)x x x -=的解是______________．12.H 市某区为了推进义务教育均衡发展，计划利用四年大力加强学校标准化建设，已知2016年区政府已向某校投资500万元人民币，若每年投资的增长率相同，2018年投资720万元人民币，则2016年至2019年共向该校投资____________万元．13.如图，在x 轴的上方，直角BOA ∠绕原点O 按顺时针方向旋转．若BOA ∠的两边分别与函数1y x=-、2y x=的图象交于B 、A 两点，则cos OAB ∠的值为___________．14.在平面直角坐标系中，直线364y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外），在x 轴上方存在点N ，使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，则ON 的长度为____________．三、简答题15.先化简22211111x x x x x x -+-⎛⎫÷-+ ⎪-+⎝⎭，5x 5x 的值代入求值．16.如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，点D 是弧BC 中点，DE AC ⊥，垂足为E ，F 是CA 延长线上一点，且AFAB =．求证：点E 是FC 的中点．17.如图，A B C '''∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形．（1）写出A B C '''∆是ABC ∆经过怎样变换得到的，如果ABC ∆中有一点P 的坐标为(),2a ，那么变换后它的对应点Q 的坐标为____；（2）画出将ABC ∆绕点()0,1顺时针旋转90︒得到的DEF ∆．18.观察下列算式：334287-=⨯，3362826-=⨯，3384856-=⨯…… （1）请你再写出一个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性．19.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC =1：10（即EF ：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE=35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tanα=37，升旗台高AF=1m ，小明身高CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．20.现有一笔直的公路连接M 、N 两地，甲车从M 地驶往N 地，速度为每小时60千米，同时乙车从N 地驶往M 地，速度为每小时80千米．途中甲车发生故障，于是停车修理了2．5小时，修好后立即开车驶往N 地．设甲车行驶的时间为()t h ，两车之间的距离为()s km ．已知s 与t 的函数关系的部分图像如图所示．（1）直接写出B 点的实际意义． （2）问：甲车出发几小时后发生故障？（3）将s 与t 的函数图象补充完整．（请对画出的图象用数据作适当的标注）21.若一个三位数两个数位上数字的和等于另一个数位上的数字，则称这个三位数为“均衡三位数”．现从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个数字，组成无重复数字且百位数字、十位数字、个位数字依次增大的三位数．（1）请列举出所有可能得到的三位数；（2）小明和小亮玩一个游戏，游戏规则如下：若（1）中组成的三位数是“均衡三位数”，则小明胜；否则小亮胜．这个游戏公平吗？说明理由．22.已知抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()30A -,和()10B ,两点（点A 在点B 的左边），点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式； （2）画出此二次函数的大致图像；（3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，求当矩形PQMN 的周长最大时点M 的横坐标．23.如图①，以ABC ∆的两边AB ，AC 分别向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，BE 与DC 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）证明：60∠=︒DPB ； （2）求边BE的长；（3）如图②，若点Q 、R 分别是等边ABD ∆和等边ACE ∆的中心，连接AQ 、AR 、QR ，求QR 的长答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.213-⎛⎫- ⎪⎝⎭的相反数是：（ ） A. 9B. 9-C.19D. 19-【答案】B 【解析】 【分析】先求出原数，根据相反数的定义即可求解.【详解】2913-⎛⎫- ⎪⎭=⎝，9的相反数为-9； 故选;B【点睛】本题考查了相反数的定义和负整指数幂的计算，解题的关键是求得原数的值.2.随着经济社会发展和物质消费水平的大幅提高，我国生活垃圾产生量迅速增长，环境隐患已经成为新型城镇化发展的制约因素．中央文件下发以来，全国各级各地均投入了一定的人力物力，以期逐步实现生活垃圾分类．2019年1月，H 市共印发了5050万张宣传单，对生活垃圾分类作了广泛的宣传．这里的5050万用科学记数法表示为：（ ） A. 85.0510⨯ B. 550510⨯C. 35.0510⨯D. 75.0510⨯【答案】D 【解析】 【分析】将5050万根据科学记数法的定义表示出来即可． 【详解】5050万750500000 5.0510==⨯ 故选:D ．【点睛】本题考查了科学记数法的定义，解题的关键是掌握科学计数法的表示方法． 3.下列几何体中，左视图是三角形的是：（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】左视图是从物体左面看到的图形，进而分析即可. 【详解】A.左视图为三角形； B. 左视图为圆； C. 左视图为圆； D ．左视图为长方形. 故选：A【点睛】本题考查了几何体的三种视图，解题的关键是掌握左视图的是从左边看到的图形. 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）.A. 10B.5 C.3D.2【答案】B 【解析】 【分析】只要判定出2＜p ＜3，由此即可解决问题． 【详解】由图象可知，2＜p ＜3．5≈2.236，∴数轴上点P 5 故选B ．【点睛】本题考查了实数与数轴，理解数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键，学会估计无理数的近似值，属于中考常考题型．5.对下列各整式因式分解正确的是：（ ） A. 221(21)1-+=-+x x x xB. 2221(1)--=-x x xC. 32244(2)++==+y y y y yD. 26(2)(3)--=-+x x x x【答案】C 【解析】 【分析】原式各项分解得到结果，即可判断． 【详解】A. 221x x -+不能分解，故错误； B. 221x x --不能分解，故错误； C. 32244(2)y y y y y ++=+，正确； D. 26(3)(2)x x x x --=-+，故错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的相关方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．6.不等式组213351x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集再求出其公共解集． 【详解】该不等式组的解集为1＜x≤2， 故选C ．【点睛】考查了不等式组解集表示．按照不等式的表示方法1＜x≤2在数轴上表示如选项C 所示，解答这类题时常常因表示解集时不注意数轴上圆圈和黑点所表示意义的区别而误选D ． 7.一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是：（ ） A. 2，1，2 B. 3，2，0.2C. 2，1，0.4D. 2，2，0.4【答案】D【解析】 【分析】根据众数，中位数，方差的定义计算即可.【详解】将这组数据重新由小到大排列为：12223、、、、 平均数为：1222325++++=2出现的次数最多，众数为：2 中位数为：2方差为：()()()()()22222212222222320.45s -+-+-+-=+-=故选：D【点睛】本题考查了确定数据众数，中位数，方差的能力，解题的关键是熟悉它们的定义和计算方法. 8.如图，O e 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O e 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN CD ⊥于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周旋转60︒时Q 点所经过的路线长为：（ ）A. 16πB.14π C. 13πD. π【答案】C 【解析】 【分析】OP 的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再代入弧长公式计算即可． 【详解】连接PQ ，如图所示：∵PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，∴四边形ONPM 是矩形，∴OP=MN ，又∵点Q 为MN 的中点，∴点Q 为OP 的中点，∴O 、P 、Q 三点共线 则112OQ OP == 点Q 走过的路径长6011803ππ⨯== 故选C ． 【点睛】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q 运动轨迹的半径．9.如图，矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将PCD ∆沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作BPF ∠的角平分线交AB 于点E ．设BP x =，BE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是：（ ）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】证明△BPE ∽△CDP ，根据相似三角形的对应边的比相等求得y 与x 的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．【详解】解：∵∠CPD=∠FPD ，∠BPE=∠FPE ，又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，∴∠CPD+∠BPE=90°，又∵直角△BPE 中，∠BPE+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠CPD ，又∵∠B=∠C ，∴△BPE ∽△CDP ， ∴BP BE CD PC =,即35x y x=- 则21533y x x =-+ ，y 是x 的二次函数，且开口向下. 故选：C【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y 的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE ∽△CDP 是关键．10.在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，12CE =，9BF =，则ABC ∆面积的最大值是：（ ） A. 72B. 108C. 120D. 无最大值【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线定理，连接EF ，过点F 作//FD CE 交BC 的延长线于点D ，当BF CE ⊥时，ABC V 的面积最大，可得2ABC BCF S S =V V ，即可求解.【详解】如图，连接EF ，过点F 作//FD CE 交BC 的延长线于点D∵E 、F 分别是AB 、AC 边的中点 ∴1//,2EF BC EF BC = ∴四边形CDEF 是平行四边形∴,12FE CD DF CE ===当BF CE ⊥时，ABC V 的面积最大，此时1912542BDF S =⨯⨯=V ∵2BC CD = ∴254363BCF S =⨯=V ∴272ABC BCF S S ==V V故选：A【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的面积，解题的关键是通过中位线构造平行四边形，进而求出关键线段的长度关系.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.方程(3)x x x -=的解是______________．【答案】14x =,20x =【解析】【分析】根据题意先移项，再提取公因式，求出x 的值即可．【详解】解：移项得，x （x-3）-x=0，提取公因式得，x （x-3-1）=0，即x （x-4）=0，解得14x =,20x =．故答案为：14x =,20x =．【点睛】本题考查的是解一元二次方程-因式分解法，熟练利用因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．12.H 市某区为了推进义务教育均衡发展，计划利用四年大力加强学校标准化建设，已知2016年区政府已向某校投资500万元人民币，若每年投资的增长率相同，2018年投资720万元人民币，则2016年至2019年共向该校投资____________万元．【答案】2684【解析】【分析】根据2016年和2018年的投资金额求出增长率，再分别求出每年的投资金额相加即为最终答案．【详解】设每年投资的额增长率为x ，根据题意得：()25001720x +=解得120.2, 2.2x x ==-（不合题意）∴每年的增长率为20%，∴2017年投资()500120%600+=（万元）∴2018年投资()600120%720+=（万元）∴2019年投资()720120%864+=（万元）∴2016年至2019年共向该校投资5006007208642684+++=（万元）故答案为：2684．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是求出增长率．13.如图，在x 轴的上方，直角BOA ∠绕原点O 按顺时针方向旋转．若BOA ∠的两边分别与函数1y x =-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则cos OAB ∠的值为___________．【答案】63【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BOM ∽△OAN ，得到BM OM ON AN =，设点B 1,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭A 2,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭；则12,,,BM AN OM m ON n m n ==== 进而得到2,2mn mn mn==，此为解决问题的关键性结论. 【详解】如图，分别过点A 、B 作AN ⊥x 轴、BM ⊥x 轴；∵∠AOB=90°，∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，∴∠BOM=∠OAN ，∵∠BMO=∠ANO=90°，∴△BOM ∽△OAN ，∴BM OM ON AN= 设点B 1,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ A 2,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ；则12,,,BM AN OM m ON n m n ==== 2,2mn mn mn∴==90AOB ︒∠=Q tan OB OAB OA∴∠=① ~BOM OAN QV V12OB BM OA ON mn ∴=== ∴由①②可知2tan 2OAB ∠=设2,2,6OB x OA x AB x ===6cos 3OAB ∴∠=故答案为：63【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．14.在平面直角坐标系中，直线364y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外），在x 轴上方存在点N ，使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，则ON 的长度为____________．【答案】5或9.6【解析】【分析】 分两种情形讨论①OB 为边，②OB 为对角线，分别求出点N 坐标即可求出ON 的长度．【详解】如图，当OB 为边时，四边形OBNM 是菱形，连接ON 交AB 于H ，延长NM 交OA 于E,1122OA OB OH AB ⨯=⋅Q 2418,55OH BH HM ∴=== 1425AM AB BH ∴=-= 由EM //OB 得到EM AM AE OB AB AO== 4256,2525EM AE ∴== 14425OE ∴= ∴点N 坐标144192,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则2214419225259.6ON ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=+=⎭⎝如图当OB 为对角线时，易知点N 坐标（-4，3）．∴()22534ON=-+=综上所述以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，ON的长度为9.6或4.【点睛】本题考查一次函数图象上的点坐标特征，菱形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．三、简答题15.先化简22211111x x xxx x-+-⎛⎫÷-+⎪-+⎝⎭，5x5x的值代入求值．【答案】1x-,x=-2时,原式=12【解析】分析：先把22211x xx-+-的分子、分母分解因式，把1x11xx--++通分，然后把除法转化为乘法约分化简，从5x3中取一个使分式有意义的数代入到化简后的式子中计算即可.详解：22211x111x x xx x-+-÷-+-+，=()()()()()1?111111x x x xx x x----+÷+-+，=()()()21?11111x xx x x x-++---+n，=()()()()1?1111x xx x x x-++--n，=1x -.当x=-2时，原式=1122 -=-.点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键，本题也考查了分式有意义的条件，取值时不能取-1,0，1三个数.16.如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，点D 是弧BC 中点，DE AC ⊥，垂足为E ，F 是CA 延长线上一点，且AF AB =．求证：点E 是FC 的中点．【答案】见解析【解析】【分析】连接BD ，可证()≌∆∆DAF DAB SAS ,根据全等的性质可得DFC △是等腰三角形，即可求证.【详解】证明：连接BD ，如图：∵点D 是弧BC 中点，∴DB DC = DBC DCB ∠=∠又∵180∠+∠=︒DAF DAC ，DAC DBC ∠=∠∴180∠+∠=︒DAF DCB∵四边形ABCD 是O e 内接四边形，∴180DAB DCB ∠+∠=︒∴∠=∠DAF DAB ，又∵AB AF =，AD AD =在DAF △和DAB V 中DA DA DAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()≌∆∆DAF DAB SAS∴DF DB =，又∵DB DC =∴DF DC =∴DFC △是等腰三角形又∵DE AC ⊥，∴EF EC =∴点E 是FC 的中点【点睛】本题考查了主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是连接BD ，得到DAF DAB ∆∆≌，从而解决问题.17.如图，A B C '''∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形．（1）写出A B C '''∆是ABC ∆经过怎样变换得到，如果ABC ∆中有一点P 的坐标为(),2a ，那么变换后它的对应点Q 的坐标为____；（2）画出将ABC ∆绕点()0,1顺时针旋转90︒得到的DEF ∆．【答案】（1）()5,2Q a +-；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据对应点A 、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q 的坐标即可． （2）做出图形即可.【详解】解：（1）由图可知，A （-4，3），A′（1，-1），所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，∵P （a ，2），∴对应点Q 的坐标为（a+5，-2）．故答案为：（a+5，-2）（2）如图所示：DEF ∆即为所求.【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移和旋转，观察图形得到变化规律是解题的关键．18.观察下列算式：334287-=⨯，3362826-=⨯，3384856-=⨯……（1）请你再写出一个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．【答案】3382863-=⨯；（2）两个正偶数的立方差是8的倍数；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据已知数据之间的变化规律得出答案；（2）根据（1）中规律得出一般规律；（3）利用整式的运算证明即可.【详解】解：（1）3382863-=⨯（2）两个正偶数的立方差是8的倍数．（3）设,m n 为正整数，则()3333(2)(2)8-=-m n m n【点睛】本题考查了数字的变化规律，整式的混合运算，解题的关键是得出一般规律求解.19.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC =1：10（即EF ：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE=35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tanα=37，升旗台高AF=1m ，小明身高CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．【答案】12.1m ．【解析】【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，分别解可得BG 与EF 的大小，进而求得BE 、AE 的大小，再利用AB=BE-AE 可求出答案． 【详解】解：作DG ⊥AE 于G ，则∠BDG=α，易知四边形DCEG 为矩形．∴DG=CE=35m ，EG=DC=1.6m在直角三角形BDG 中，BG=DG•×tanα=35×37=15m ， ∴BE=15+1.6=16.6m ． ∵斜坡FC 的坡比为i FC =1：10，CE=35m ，∴EF=35×110=3.5， ∵AF=1，∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5，∴AB=BE-AE=16.6-4.5=12.1m ．答：旗杆AB 的高度为12.1m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．20.现有一笔直的公路连接M 、N 两地，甲车从M 地驶往N 地，速度为每小时60千米，同时乙车从N 地驶往M 地，速度为每小时80千米．途中甲车发生故障，于是停车修理了2．5小时，修好后立即开车驶往N 地．设甲车行驶的时间为()t h ，两车之间的距离为()s km ．已知s 与t 的函数关系的部分图像如图所示．（1）直接写出B 点的实际意义．（2）问：甲车出发几小时后发生故障？（3）将s 与t 的函数图象补充完整．（请对画出的图象用数据作适当的标注）【答案】（1）是甲车故障开始修理了，乙车还在继续行驶；（2）1小时；（3）见解析【解析】【分析】（1）B 点开始两车距离变化变慢，说明甲车故障开始修理了；（2）根据图象，3小时时两车相遇，再求出相遇时甲车行驶的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）根据两车行驶的情况分类讨论.【详解】解：（1）点B的实际意义是甲车故障开始修理了，乙车还在继续行驶；（2）t=3时，两车距离为0km，两车相遇，∵80×3=240km，∴发生故障前甲车行驶路程为300-240=60km，时间位：60÷60=1小时；∴甲车出发1小时后发生故障.（3）甲车再次行驶时，t=1+2.5=3.5h，乙车到达N地时，t=300÷80=3.75h，甲车到达M地时，t=300÷60+2.5=7.5h，所以，3＜t≤3.5时，s=80（t-3）=80t-240，t=3.5时，80t-240=80×3.5-240=40km，3.5＜t≤3.75时，s=80（t-3）+60（t-3.5）=140t-450，t=3.75时，140t-450=140×3.75-450=75km，3.75＜t≤7.5时，s=60（t-3.75）+75=60t-150补全图形如图所示．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，判断出点C为两车相遇是解题的关键，难点在于（3）根据两车的行驶情况分情况讨论．21.若一个三位数两个数位上数字的和等于另一个数位上的数字，则称这个三位数为“均衡三位数”．现从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个数字，组成无重复数字且百位数字、十位数字、个位数字依次增大的三位数．（1）请列举出所有可能得到的三位数；（2）小明和小亮玩一个游戏，游戏规则如下：若（1）中组成的三位数是“均衡三位数”，则小明胜；否则小亮胜．这个游戏公平吗？说明理由．【答案】（1）123，124，125，134，135，145，234，235，245，345；（2）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题目要求列出所有数字即可；（2）根据（1）中的数据判断“均衡三位数”的个数，比较概率即可.【详解】解：（1）123，124，125，134，135，145，234，235，245，345（2）这个游戏不公平．理由：由（1）可知共有10种结果，每种结果出现的可能性相同，其中“均衡三位数”有123，134，145，235四种，∴P （小明胜）42105==，P （小亮胜）23155=-= ∴P （小明胜）P <（小亮胜），所以该游戏不公平．【点睛】本题是阅读类型的题目，考查了概率问题；解题的关键是弄清楚“均衡三位数”的定义，据此解题.22.已知抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()30A -,和()10B ,两点（点A 在点B 的左边），点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）画出此二次函数的大致图像； （3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，求当矩形PQMN 的周长最大时点M 的横坐标． 【答案】（1）223y x x =--+；（2）见解析；（3）－2 【解析】 【分析】 （1）把A,B 两点坐标分别代入解析式即可求解； （2）求出对称轴，与坐标轴的交点可画出大致图像； （3）设点M 的横坐标为m ，则PM 和MN 的长度可以用m 表示，从而得出矩形的周长与m 的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解. 【详解】解：（1）把()30A -,、()10B ,两点坐标分别代入2y x bx c =-++()2203301b c b c ⎧=---+⎪⎨=-++⎪⎩解得2b =-，3c =，∴223y x x =--+（2）函数与x 轴的交点为(3,0);(1,0)A B - ；与y 轴的交点坐标()0,3C ；顶点坐标()1,4D - ;函数图像如图所示：（3）由抛物线223y x x =--+可知，对称轴为直线1x =-，设M 点的横坐标为m ()31m -<<- ，则223PM m m =--+，(1)222MN m m =--⨯=--， ∴矩形PMNQ 的周长()2222()232222822(2)10=+=--+--⨯=--+=-++PM MN m m m m m m ，∴当2m =-时矩形的周长最大．即M 的横坐标为-2.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式和关键点的坐标.23.如图①，以ABC ∆的两边AB ，AC 分别向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，BE 与DC 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）证明：60∠=︒DPB ；（2）求边BE 的长；（3）如图②，若点Q 、R 分别是等边ABD ∆和等边ACE ∆的中心，连接AQ 、AR 、QR ，求QR 的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12；（3）3QR =【解析】【分析】（1）根据题目信息可证()ABE ADC SAS ∆≅∆，通过8字模型可求证60∠=︒DPB ；（2）通过证明()E S PC AS A FC ∆∆≅，将BE 的长度转为PB PF FE ++，从而可求解；（3）证明ABE AQR ∆∆:，根据对应边成比例和BE 的长可求得QR 的长.【详解】解：（1）∵ABD ∆和ACE ∆是等边三角形∴,,60AD AB AC AE DAB CAE ====o ∠∠∵BAE BAC CAE =+∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠∠∠∴DAC BAE ∠=∠∴()ABE ADC SAS ∆≅∆∴ADC ABE ∠=∠∴60∠=∠=︒DPB DAB（2）在PE 上取点F ，使60∠=︒PCF ，如图所示：∵,60PFC =o o ∠FPC=∠DPB=60∠∴PFC △为等边三角形∴,60,PC FC PCF ACE AC EC ====o ∠∠∵,PCF ACF FCE ACE ACF -=-∠PCA=∠∠∠∠∠∴FCE ∠PCA=∠∴()E S PC AS A FC ∆∆≅，60∠=∠=︒EPC EAC ，∴3==EF AP ，∴45312=++=++=BE PB PF FE（3）过点Q 作⊥QG AD 于G ，设QG x =，∵点Q 、R 分别是等边ABD ∆和等边ACE ∆的中心∴2=AQ x ，3AG x =，3=AD x ， 则2332AB x AQ x==，同理可得：3AE AR =∵60QAB BAC CAR BAC ++=+o ∠QAR=∠∠∠∠60BAC EAC BAC +=+o ∠BAE=∠∠∠∴∠QAR=∠BAEABE AQR ∆∆:（两边对应成比例且夹角相等），∴QR AQ BE AB ===∵12BE =∴QR =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；解题的关键在于根据全等和相似实现边角转换，从而达到解题的目的。
【中考冲刺】2023年浙江省杭州市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年浙江省杭州市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形2．下面运算正确的是（ ） A ．234a a a += B ．541a a -=C ．325x y xy +=D ．()222581016xy x xy x --=-+3．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 的取值范围是（ ）． A ．2x >B ．2x ≥C ．2x <D ．2x ≤5．点P 的坐标为()6,2，A 是x 轴正半轴上一点，O 为原点，则tan AOP ∠的值为（ ）A ．3B C D ．136．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，AC ＝l ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ，则AD 的长为( )A ．l.5 BC ．2D 7．多顶式x 2+kx +25是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A 10B 10C ±10D ±58．一次函数y 1＝x ＋4的图象与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象的交点不可能．．．在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．小明､小亮参加学校运动会800米赛跑；小明前半程的速度为2x 米/秒，后半程的速度为x 米/秒，小亮则用一米32x/秒的速度跑完全程，结果是（ ） A ．小明先到终点B ．小亮先到终点C ．同时到达D ．不能确定10．如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，延长BA ，BC ，使AF ＝CE ＝b ，以BE 为边长在正方形ABCD 外围作正方形BFGE ，以点E 为圆心，EG 为半径画弧交BE 的延长线于点H ，连接DH ，交GE 于点M ，延长AD 交GE 于点K ，交圆弧于点J ，连接GJ ，记∠GKJ 的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2． 当F ，D ，H 三点共线时，12S S 的值为（ ）AB ．12CD二、填空题11．因式分解：24x -=__________．12．已知一个圆锥的底面半径为3cm ，母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积为____________.13．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需_______分钟． 14．已知点()1,A m y ，()22,B m y +且0m >，在反比例函数22k y x+=的图像上，则1y _______2y （填><、）．15．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝80°，∠B ＝120°，∠B 与∠ADC 互为补角，点E 在直线BC 上，将∠DCE 沿DE 翻折，得到△DC E '，若AB ∥C E '，则∠CDE 的度数为_______°．16．如图，是一个“摩天轮”蛋糕架，圆周上均匀分布了8个蛋糕篮悬挂点，圆O 半径为20cm ，O 到MN 的距离为32cm ，A ，B 两个悬挂点之间间隔了一个悬挂点． （1）A 、B 两个悬挂点之间的高度差最大可达到__________cm ．（2）当A 在B 的上方且两个悬挂点的高度差为4cm 时，A 到MN 的距离为________________cm ．三、解答题17．计算：1013920222sin603-⎛⎫-⨯+++︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组50,31212x x x +≤⎧⎪⎨-≥+⎪⎩．19．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BE ∠AC ， DF ∠A C ，求证：AE ＝CF ．20．“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 度，图中m 的值为 ； （2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A 等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A 等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．21．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线21144:1233C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线223:2C y ax x c =++运动．(1)当小雅滑到离A 处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为172米．求出a ，c 的值；(2)小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于103米，请求出a 的取值范围． 22．如图，AB 是∠O 的直径，AC 是弦，P 为AB 延长线上一点，∠BCP ＝∠BAC ，∠ACB 的平分线交∠O 于点D ，交AB 于点E ，(1)求证：PC 是∠O 的切线； (2)若AC ＋BC ＝2时，求CD 的长． 23．我们定义：当m ，n 是正实数．．．，且满足1mm n =-时，就称P ,m m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭为“完美点”． (1)m =3时，则n = ，P 点的坐标为 ．(2)已知点A （0，5）与点B 都在直线y ＝－x ＋b 上，且B 是“完美点”，若C 也是“完美点”且BC ，求点C 的坐标．(3)正方形A 1B 1C 1D 1一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，且点E （1，t ）是此正方形对角线的交点，若正方形A 1B 1C 1D 1边上存在“完美点”，求t 的取值范围． 24．如图，在矩形ABCD 中，已知AD =6，CD =8，点H 是直线AB 上一点，连接CH ，过顶点A 作AG ⊥CH 于G ，AG 交直线CB 于点E ．(1)如图，当点E 在CB 边上时， ∠求证：∠CGE ~∠ABE ； ∠连接BG ，求tan∠AGB ；(2)作点B 关于直线CH 的对称点F ，连接FG ．当直线FG 截∠ADC 所得的三角形是等腰三角形时，求BH 的长．参考答案：1．D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．D 【解析】 【分析】根据同类项的定义及合并同类项的方法逐项分析即可． 【详解】解：A.34a a a +=，故原式不正确； B.54a a a -=，故原式不正确；C.3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原式不正确；D.()222581016xy x xy x --=-+，正确；故选D ． 【点睛】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 3．B【解析】【分析】首先从正面看几何体得到的平面图形是几个正方形的组合图形；然后再分别得到的图形的列数和每列小正方形的个数，由此可得出答案.【详解】解：根据主视图可知有上下两行，上面一行有1个正方形且在最后边，下面一行有3个正方形，故选B.【点睛】本题主要考查的是简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解题的关键. 4．B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，x-2≥0，解得x≥2．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．D【解析】【分析】过点P作PB∠x轴于点B，根据点P的坐标可得PB=2，OB=6，利用勾股定理求出OP，然后根据三角函数的概念进行计算．【详解】解：过点P作PB∠x轴于点B，如图所示：∠点P的坐标为（6，2），∠PB=2，OB=6，∠1tan3BPAOPOB∠==，故D正确．故选：D．【点睛】题主要考查了求一个角的正切值，根据正切的定义，将∠AOP放在相应的直角三角形中是解题的关键．6．C【解析】【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长．【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB，∠∠DAB＝∠B＝15°，∠∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2．故选C．【点睛】本题考查作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了线段垂直平分线的性质．7．C【分析】根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：多顶式x 2+kx +25是一个完全平方式， 则2510kx x x =±⨯=±， ∠10k =±， 故选：C 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点． 8．D 【解析】 【分析】由图象可知一次函数y 1=x+4的图象在第一，二，三象限上；根据一次函数的图象和性质，可知与一次函数y 2=-x+b 的图象的交点不可能在第几象限上. 【详解】因为一次函数y 1=x+4的图象在第一，二，三象限上， 所以与一次函数y 2=-x+b 的图象的交点不可能在第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质. 9．B 【解析】根据题意分别求解出两人跑完全程所用的时间，然后利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意，小明的总用时为：14004002004006002t x x x x x=+=+=秒， 小亮的总用时为：23160080023x t x=÷=秒， 则126001600180016002003333t t x x x x x-=-=-=， ∠由题意可知，0x >，∠120t t ->，12t t >，即：小亮用时更少，先到达终点， 故选：B ． 【点睛】本题考查列分式表示实际问题，并比较大小，理解题意，准确列出分式，掌握比较分式大小的方法是解题关键． 10．D 【解析】 【分析】利用F ，D ，H 三点共线，即有tan∠FDA ＝tan∠DHC ，即可求得a ＝2b ，连接EJ ，在Rt ∠KJE 中求出KJ ，则S 1可求，再证∠DKM ∠∠HEM ，即有ME HEMK DK=，进而求出ME ，则S 2可求，则问题得解． 【详解】根据题意可知AB ＝CD ＝AD ＝a ，AF ＝GK ＝DK ＝CE ＝b ， 即EH ＝a ＋b ，CH =CE +EH =b +a +b ，∠F ，D ，H 三点共线，在正方形ABCD 中，AD BC ∥， ∠∠FDA ＝∠DHC ， ∠tan∠FDA ＝tan∠DHC ， ∠AF DC AD CH=，即b aa b a b =++，∠2220a ab b --=，即()(2)0a b a b +-=， 显然0a b +≠， ∠20a b -=，如图，连接EJ ，则有EJ =EH =EG =a +b ，∠在Rt ∠KJE 中，KJ，∠S 1＝12b ⨯2， ∠AD BC ∥，∠∠DKM ∠∠HEM ， ∠ME HE MK DK =，即ME HE EK ME DK =-， ∠ME a b a ME b+=-， ∠ME ＝2a b a a b +⨯+＝2222b b b b b +⨯+＝32b ， ∠S 2＝13(2)322b b b b b ⨯+⨯+⨯＝2194b ， ∠12S S2÷（2194b故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用F ，D ，H 三点共线可求得a ＝2b ，是解答本题的关键．11．(x+2)(x-2)【解析】【详解】解：24x -=222x -=(2)(2)x x +-；故答案为(2)(2)x x +-12．30πcm 2.【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可．【详解】这个圆锥的侧面积=π×3×10=30πcm 2.故答案为30πcm 2.【点睛】考点: 圆锥的计算.13．40．【解析】【详解】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟，依题意得：3555{4985x y x y +=+=①②， 由∠+∠，得：7x+14y=140，所以x+2y=20，则2x+4y=40，所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．故答案为40．考点：二元一次方程组的应用．14．>【解析】【分析】先根据反比例函数中22k +＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】∠22k +＞0∠反比例函数22k y x+=的图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∠()1,A m y ，()22,B m y +且0m >，∠12y y >故答案为：>．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．20【解析】【分析】根据补角性质即可求得ADC ∠，利用四边形内角和可求得C ∠，再根据翻折及平行线的性质即可求得答案．【详解】∠B ＝120°，∠B 与∠ADC 互为补角，18012060ADC ∴∠=︒-︒=︒，又80A ∠=︒，360100C A B ADC ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，又//'AB C E ，'120CEC B ∴∠=∠=︒，将△DCE 沿DE 翻折，得到△DC E '，1''602CED C ED CEC ∴∠=∠=∠=︒， 18020CDE C CED ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：20．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行线的性质、多边形内角和定理及补角性质，熟练掌握翻折变换的性质及平行线的性质是解题的关键．16． 44或48或20或16【解析】【分析】（1）90AOB ∠=︒，勾股定理求得AB =A 、B 两点在同一竖直线上时，A 、B之间高度差达到最大值（2）A 、B 两个悬挂点的高度差为4cm ，需分为两类情况：A 比B 高4cm （情形∠、∠）B 比A 高4cm （情形∠、∠），如图，过点O 作MN 的平行线，过A 、B 分别向该平行线作垂线，垂足记为F 、E ，证明BOE ∆∠AOF ∆．设Rt AOF ∆较短直角边为x （cm ），则较长直角边为（x +4）cm ，勾股定理建立方程，解方程求解，根据O 到MN 的距离为32cm ，结合图形分情况即可求解．【详解】（1）圆周上均匀分布了8个蛋糕篮悬挂点，A ，B 两个悬挂点之间间隔了一个悬挂点． ∴90AOB ∠=︒，如图，连接AB ，圆O 半径为20cm ，∴AB =，当A 、B 两点在同一竖直线上时，A 、B之间高度差达到最大值故答案为：（2）A 、B 两个悬挂点的高度差为4cm ，需分为两类情况：A 比B 高4cm （情形∠、∠）B 比A 高4cm （情形∠、∠）．如图，过点O 作MN 的平行线，过A 、B 分别向该平行线作垂线，垂足记为F 、E ， 则9090BOE B AOF OAF ∠=︒-∠=︒-∠=∠，在BOE ∆与AOF ∆中，BOE OAF E FOA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BOE ∆∠AOF ∆．设Rt AOF ∆较短直角边为x （cm ），则较长直角边为（x +4）cm ，在Rt AOF ∆中，由勾股定理可得：()222420x x ++=，解得1212,16x x ==-（舍去）． 情形∠、∠中，AF =12cm ，情形∠、∠中，AF =16cm ．O 到MN 的距离为32cm ，四个情形中，A 到MN 的距离分别为32+12=44，32+16=48，32-12=20，32-16=16． 故答案为：44或48或20或16∠ ∠∠【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．17．1【解析】【分析】先化简再计算即可．【详解】原式=339121-⨯++= 【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数幂、实数绝对值、0指数幂、特殊角度三角函数值进行化简．18．5x ≤-【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可．【详解】解：解不等式50x +≤得5x ≤-． 解不等式31212x x -≥+得3x ≤-． ∠不等式组的解集为5x ≤-．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是解题关键．19．见解析【解析】【分析】 可证明ABE ≌CDF ，即可得到结论．【详解】证明：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AB =CD ，AB ∥CD∠∠BAC =∠DCA∠BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F∠∠AEB =∠DFC =90°在ABE 和CDF 中 ，BAE DCF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABE ≌CDF （AAS ）∠AE =CF【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．20．（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）23．【解析】【分析】（1）根据等级为A 的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D 级的人数求得D 等级扇形圆心角的度数和m 的值；（2）求出等级B 的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），表示“D 等级”的扇形的圆心角为420×360°=72°； C 级所占的百分比为820×100%=40%，故m=40， 故答案为20，72，40．（2）故等级B 的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），补全统计图，如图所示；（3）列表如下：所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P （恰好是一名男生和一名女生）=46=23． 考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．21．(1)18a =-，4c = (2)3032a -≤< 【解析】【分析】（1）根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为（6，172），设C 2的解析式为：()21762y a x =-+，代入0,4x y ==，即可求解； （2）求出山坡的顶点坐标为（8，203），根据题意列出不等式，解不等式即可求得a 的取值范围．(1)解：根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为（6，172）， 设C 2：()21762y a x =-+，代入0,4x y ==，得173642a +=， 解得18a =-， ∴()2117682y x =--+213482x x =-++， 18a ∴=-，4c =； (2)解：抛物线C 1：()2214412081233123y x x x =-++=--+， 因此抛物线C 1的顶点坐标为（8，203）， 即当x =8时，运动员到达坡顶， 此时238842a ⨯+⨯+≥103+203， 解得332a ≥-， 根据实际情况，0a <，3032a ∴-≤<． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．22．(1)见解析【解析】【分析】（1）连接OC ，根据AB 为直径，得出∠ACB =90°，则∠ACO +∠OCB =90°，从而得出∠BCP +∠OCB =90°，即∠OCP =90°，即可得出结论；（2）连接BD ，作DM AC DN CB ⊥⊥，，垂足为M ，N ，根据CD 平分ACB ∠，DM AC ⊥，DN CB ⊥，得出DM DN AD BD ==，，推出AD BD =，再利用HL 证明AMD BND ≌，得出四边形CMDN 为矩形，再推出矩形CMDN 为正方形，则CN =，即可得出答案 (1)连接OC ，∠AB 为直径，∠∠ACB =90°，∠∠ACO +∠OCB =90°，∠OA =OC ，∠∠BAC =∠ACO ，∠∠BCP ＝∠BAC ，∠∠BCP =∠ACO∠∠BCP +∠OCB =90°，即∠OCP =90°，∠PC 是∠O 的切线；(2)连接BD ，作DM AC DN CB ⊥⊥，，垂足为M ，N ，∠CD 平分ACB ∠，DM AC ⊥，DN CB ⊥， ∠DM DN AD BD ==，，∠AD BD =，∠90AMD BND ∠∠==︒，∠AMD BND HL ≌（）， ∠90DMC MCN CND ∠∠∠===︒，∠四边形CMDN 为矩形，∠DM DN =，∠矩形CMDN 为正方形，∠CN =， ∠2AC BC CM AM CB CN +=++=，∠AC BC +=，∠2AC BC +=，∠CD =【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．23．(1)32，（3，2） (2)点C 的坐标（2，1）或（4，3）(3)-1＜t ≤2【解析】【分析】（1）根据“完美点”的定义即可求解；（2）先根据A 点坐标求出直线解析式，根据B 点在直线5y x -＝＋上，设B 点坐标为(,5)-+a a ，再根据B 点是“完美点”，即可求出B 点坐标，设“完美点”C 点坐标为00(,)x y ，即有001y x =-，再利用勾股定理有：22200(3)(2)BC x y =-+-，即可求解出C 点坐标；（3）设正方形1111D C B A 的四个顶点的坐标为1(0,)A p 、1(,)B w p 、1(,)C w q 、1(0,)D q ，即有11111111A B C D A D B C ===，即q p w -=，再根据正方形1111D C B A 对角线交点E 的坐标为(1,)t ，利用中点坐标公式可得到112q t p t w =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则可用t 表示出1(0,1)A t -、1(2,1)B t -、1(2,1)C t +、1(0,1)D t +，根据题意设“完美点”的坐标为(,)m P m n ，即有1m m n =-，再根据m 、n 时正实数，可知m n也为正实数，即1m ＞，再分当“完美点”P 点在边长11A D 上时、当“完美点”P 点在边长11A B 上时、当“完美点”P 点在边长11B C 上时、当“完美点”P 点在边长11C D 上时四种情况讨论，即可求出t 的取值范围．(1)∠m =3， ∠1312m m n =-=-=，即P 点坐标为(3,2)， ∠32n=， ∠32n =， 故答案为：32，(3,2)； (2)∠A (0,5)在直线5y x -＝＋上，∠5b ＝，即直线的解析式为：5y x -＝＋，∠B 点在直线5y x -＝＋上，∠设B 点坐标为(,5)-+a a ，∠B 点是“完美点”，∠51a a -+=-，解得a =3，∠B 点坐标为(3,2)，设C 点坐标为00(,)x y∠C 点是“完美点”，∠001y x =-，∠BC ，∠利用勾股定理有：22200(3)(2)BC x y =-+-，∠代入001y x =-有：2200(3)(12)2x x -+--=，解得02x =或者04x =，∠01y =或者03y =，∠C 点坐标为：(2,1)或(4,3)；(3)按题意作图如下，∠四边形1111D C B A 是正方形，则设1(0,)A p 、1(,)B w p 、1(,)C w q 、1(0,)D q ，即有11111111A B C D A D B C ===，即q p w -=，∠正方形1111D C B A 对角线交点E 的坐标为(1,)t ，∠根据中点坐标公式有：0122w p q t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∠22w p q t =⎧⎨+=⎩， ∠q p w -=，∠2q p -=，∠联立22q p p q t -=⎧⎨+=⎩，即得：11q t p t =+⎧⎨=-⎩， ∠1(0,1)A t -、1(2,1)B t -、1(2,1)C t +、1(0,1)D t +，根据题意设“完美点”的坐标为(,)m P m n， ∠1m m n =-， ∠m 、n 时正实数， ∠m n也为正实数，∠10m m n=-＞，即1m ＞， 当“完美点”P 点在边长11A D 上时，即有m =0，此时不满足1m ＞，故“完美点”P 点不可能在边长11A D 上；当“完美点”P 点在边长11A B 上时即有02m ≤≤，11m m t n =-=-， 即有m =t ，∠1m ＞，∠此时2m ≤1＜，∠12t ＜≤；当“完美点”P 点在边长11B C 上时，即有2m =，11m t t n -≤≤+， ∠1m m n =-， ∠1211m m n=-=-=， ∠111t t -≤≤+，即有：02t ≤≤；当“完美点”P 点在边长11C D 上时即有02m ≤≤，11m m t n=-=+， 即有m =t +2，∠1m ＞，∠此时2m ≤1＜，∠22t +≤1＜；∠0t ≤-1＜，综上所述：t 的取值范围：2t ≤-1＜．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、正方形的性质、中点坐标公式等知识，利用E 点坐标表示出正方形1111D C B A 四个顶点的坐标是解答本题的关键．24．(1)∠见解析；∠43(2)74，2，8，42 【解析】【分析】（1）∠根据对顶角相等可得CEG AEB ∠=∠，根据,90AG CH ABC ⊥∠=︒，可得BAE GCE ∠=∠，即可得证；∠由90ABC AGC ∠=∠=︒得,,,A B G C 四点共圆，则AGB ACB ∠=∠，即可求解．（2）根据题意画出图形建立平面直角坐标系，分4种情况讨论求解即可．(1)∠证明：,90AG CH ABC ⊥∠=︒，CEG AEB ∠=∠，∠BAE AEB GCE CEG ∠+∠=∠+，即BAE GCE ∠=∠∠∠CGE ~∠ABE ；∠∠90ABC AGC ∠=∠=︒，∠,,,A B G C 四点共圆，∠AGB ACB ∠=∠在矩形ABCD 中，已知AD =6，CD =8，6,8BC AD AB CD ∴====，∴tan tan AGB ACB ∠=∠8463AB BC ===； (2)解：如图1所示，以B 为原点，以BC 所在的直线为y 轴，以AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点H 的坐标为（m ，0），由（1）∠可知∠ABE =∠CBH =90°，∠BAE =∠BCH ，∠∠BAE ∠∠BCH ， ∠AB BC BE BH =，即86BE m=， ∠43BE m =，∠点E 的坐标为（0，43m ）， 设直线AE 的解析式为y kx b =+， ∠8043k b b m -+=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∠66m k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∠直线AE 的解析式为463m y x m =+， 同理可以求出直线CH 的解析式为66y x m =-+， 联立46366m y x m y x m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得22223683664836m m x m m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， ∠点G 的坐标为22223686483636m m m m m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，； 过点F 作FT ∠x 轴于T ，设BL FL n ==（轴对称的性质），∠AG ∠CH ，BF ∠CH ，∠AG BF ∥，∠∠BAE =∠LBH ，∠ABE ∠∠BTF ， ∠8643BT AB FT BE mm ===， ∠∠ABE =∠BLH =90°（轴对称的性质∠BLH =90°），∠∠ABE ∠∠BLH ， ∠BE HL AB BL =，即438m HL n=， ∠6mn HL =， 又∠1122BHF S BH FT OF HL =⋅=⋅△，∠112226mn m FT n ⋅=⋅⋅， ∠213FT n =， ∠222BH BL HL =+， ∠222236m n m n =+， ∠2223636m n m =+， ∠221236m FT m =+， ∠267236m BT FT m m ==+， ∠点F 的坐标为（27236m m +，221236m m +）， 设直线FG 的解析式为11y k x b =+， ∠22112221122368648363672123636m m m m k b m m m m k b m m ⎧-++=⎪⎪++⎨⎪+=⎪++⎩， 解得113244182429m k m m b m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∠直线FG 的解析式为3242441829m m y x m m -=+++， 设直线FG 与y 轴交于K ，与AC 交于点M ，与BC 交于点N ，∠点K 的坐标为24029m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，， ∠24629m CK m =-+， 当6y =时，32424641829m m x m m -=+++， ∠24418629324m m x m m +⎛⎫=-⋅ ⎪+-⎝⎭， ∠24418629243m m CN m m +⎛⎫=-⋅ ⎪+-⎝⎭， 当MN =MC ，即∠MNC =∠MCN 时，如图1所示，∠∠NCK =∠ADC =90°，∠∠ADC ∠∠KCN ，∠43 CN CDCK AD==，∠244186429243243629m mm mmm+⎛⎫-⋅⎪+-⎝⎭=-+，∠12549612m m+=-，解得74m=，∠74 BH=；当CN=CM时，如图2所示，过点M作MQ∠CD于Q，则MQ AD∥，∠CQM CDA△∽△，∠10AC==，∠CM QM CQAC AD CD==，即1068CM QM CQ==，∠4355CQ CM QM CM ==，，∠15NQ CM=，∠13 NQQM=，同理可证NMQ NKC△∽△，∠13 NC NQNK CK==，∠244186129243243629m mm mmm+⎛⎫-⋅⎪+-⎝⎭=-+，∠1254243m m+=-，解得2m=-，即此时的情形如图3所示，∠2BH=；如图4所示，当H运动到与点A重合时，此时，G、H、M三点都与点A重合，由轴对称的性质可知∠F AC=∠BAC，又∠AB CD∥，∠∠ACD=∠BAC，∠∠NAC=∠BCA，∠NA=NC，即∠NAC为等腰三角形，∠当H为点A重合时满足题意，∠此时BH=8；如图5所示，当点H 在A 点左侧时，设直线FG 与x 轴交于J ，与y 轴交于Z ， 同理可以求出直线FG 的解析式为3242441829m m y x m m -=+++， ∠∠DMN 是等腰三角形，且∠D =90°，∠∠DMN 是等腰直角三角形，∠∠DNM =45°，∠==45ZJB DNM ︒∠∠，∠∠BZJ =∠BJZ =45°，∠BJ =BZ ，设直线JZ 的解析式为22y k x b =+，∠点Z 的坐标为（0，2b ），点J 的坐标为（22b k -，0）， ∠222b BJ BZ b k ===， ∠21k =， ∠3241418m m -=+， ∠324418m m -=+，∠42m =-，∠42BH =，综上所述，当直线FG 截∠ADC 所得的三角形是等腰三角形时，74BH =或2或8或42．【点睛】本题考查了求正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，一次函数与综合等等，利用分类讨论和属性结合的思想求解是解题的关键．答案第26页，共26页。
陕西省西安市陕西西安高新第二校2024届中考冲刺卷数学试题含解析
陕西省西安市陕西西安高新第二校2024届中考冲刺卷数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，△ABC 中，∠B ＝70°，则∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△EDC ．当点B 的对应点D 恰好落在AC 上时，∠CAE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．43．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI ，交FG 于点Q ，则QI=（ ）A ．1B ．616C ．666D ．434．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为倒数的点是（ ）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点B 与点D D ．点B 与点C5．6的相反数为( )A．-6 B．6 C．16-D．166．估计8-1的值在（）A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3至4之间7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若AC＝CD＝DB，则cos∠CAD ＝（）A．13B．22C．12D．328．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN∥AB，则点O是△ABC的( )A．外心B．内心C．三条中线的交点D．三条高的交点9．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且BC，CD，DE所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（）A．甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m C．甲车从F口出，乙车从G口出D．立交桥总长为150m10．如图，以O为圆心的圆与直线y x3=-交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）A．23πB．πC．23πD．13π二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．12．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．13．如果将“概率”的英文单词probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b的概率是________．14．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是_____．16．因式分解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2＝_____．17．关于x的分式方程3111mx x+=--的解为正数，则m的取值范围是___________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，顶点为C 的抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C 作CE ⊥OB ，垂足为E ，点P 为y 轴上的动点，若以O 、C 、P 为顶点的三角形与△AOE 相似，求点P 的坐标；（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A 、E′B ，求E′A+12E′B 的最小值．19．（5分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字1，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x ，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y ，以此确定点M 的坐标（x ，y ）．请你用画树状图或列表的方法，写出点M 所有可能的坐标；求点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的概率．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 和点 C 分别在x 轴和 y 轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以 OA ，OC 为邻边作矩形 OABC ， 动点 M ，N 以每秒 1 个单位长度的速度分别从点 A 、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作NP ⊥BC ，交 OB 于点 P ，连接 MP ．（1）直接写出点 B 的坐标为 ，直线 OB 的函数表达式为 ;（2）记△OMP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式()06t <<；并求 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值．21．（10分）如图，点D 是AB 上一点，E 是AC 的中点，连接DE 并延长到F ，使得DE=EF ，连接CF ． 求证：FC ∥AB ．22．（10分）某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩（满分30分），随机抽查了40名学生的成绩（单位：分），得到如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图中m的值为_______________.（2）求这40个样本数据的平均数、众数和中位数：（3）根据样本数据，估计该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名学生。
【中考冲刺】2023年山东省东营市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年山东省东营市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列计算中，正确的是（ ） A ．448a a a += B ．444•2a a a = C ．()43214a a a ⋅=D ．()3232326x y x y x y ÷=2．下列各式中正确的是（ ）A2=±B 3=-C 2=D =3．如图，射线OA 的方向是北偏东30°，若∠AOB =90°，则射线OB 的方向是（ ）A ．北偏西30B ．北偏西60︒C ．东偏北30D ．东偏北60︒4．互联网微商经营已成为大众创业新途径。
某微信平台上一件商品标价为220元，按标价的五折销售，仍可获利10%，则这件商品的进价为（ ） A ．120元B ．100元C ．80元D ．60元5．对于任意有理数a ，b ，现用“∠”定义一种运算：a ∠b =a 2﹣b 2，根据这个定义，代数式（x +y ）∠y 可以化简为（ ） A ．xy +y 2B ．xy ﹣y 2C ．x 2+2xyD ．x 26．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ） A ．49B ．29C ．23D ．137．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高8AO =米，底面半径6OB =米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留π）． （ ）A ．60πB ．50πC ．47.5πD ．45.5π8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =+和反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图所示，ABC ∆与'''A B C ∆关于点O 成中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．点A 与点'A 是对称点B ．'BO B O =C ．'''ACB C A B ∠=∠D ．//''AB A B10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，1BE =，45DAM ∠=︒，点F在射线AM 上，且AF =F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、.EF 下列结论：∠ECF 的面积为172；∠AEG 的周长为8；∠222.EG DG BE =+其中正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠二、填空题11．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________________. 12．因式分解：8a 3﹣2ab 2=_____．13．（2017江苏省苏州市）某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，11名成员射击成绩的中位数是______环．14．不等式组2132432x xx x +⎧>⎪⎨⎪≤+⎩的解集是______ ．15．如图，等边三角形ABC 内接于O ，点,D E 是O 上两点，且120DOE ∠=︒，若2OD =，则图中阴影部分的面积为_____．16．如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么设小道进出口的宽度为x 米，列方程是_____________；17．如图，正方形纸片ABCD 的边长为4，E 是边CD 的中点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，则GE 的长为_____．18．在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形n 1n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、…在直线1上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点n B 的坐标是________．三、解答题19．（1）计算：(113tan3023-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）化简求值：352242a a a a -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭的值，其中tan606sin30a =︒-︒． 20．某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查了多少名学生？（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕,,,A B C D 表示）21．如图，ABC 内接于O ，AB 为直径，作⊥OD AB 交AC 于点D ，延长BC ，OD 交于点F ，过点C 作O 的切线CE ，交OF 于点E（1）求证：EC ED =；（2）如果4OA =，3EF =，求弦AC 的长．22．为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x (单位:万元)成一次函数关系. (1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?23．如图，我国某海域有A ，B 两个港口，相距80海里，港口B 在港口A 的东北方向，点C 处有一艘货船，该货船在港口A 的北偏西30°方向，在港口B 的北偏西75°方向，求货船与港口A 之间的距离．（结果保留根号）24．如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A (12，52)和B (4，n )，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ∠x 轴于点D ，交抛物线于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．25．如图1矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的动点(点E 不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 延长线于点F ，连接EF ，点G 为EF 的中点，连接BG ．(1)求证：ADE ∠ABF ；(2)若20AB =，10AD =设DE x =点G 到直线BC 的距离为y ．∠求y与x的函数关系式；∠当2413ECBG=时，x的值为______；(3)如图2，若AB BC=，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为1S当11 4S S=时，DE：DC的值为______．参考答案：1．C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A 、4442a a a +=，故此选项错误； B 、448•a a a =，故此选项错误； C 、()43214a a a ⋅=，正确；D 、()323263323426863x y x y x y x y x y ÷=÷=，故此选项错误； 故选C ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．D 【解析】 【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简，利用二次根式加减法则计算即可判断． 【详解】解：A 2=，故选项A 不合题意；3，故选项B 不合题意；2，故选项C 不合题意；D 符合题意． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的加减，熟练掌握算术平方根和立方根的性质和二次根式的加减法则是解答本题的关键． 3．B 【解析】【分析】利用已知得出∠1的度数，进而得出OB的方向角．【详解】解：如图所示：∠OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB=90°，∠∠1=90°-30°=60°，∠OB的方向角是北偏西60°．故选：B．【点睛】此题主要考查了方向角，正确利用互余的性质得出∠1度数是解题关键．4．B【解析】【分析】设这件商品的进价为x元/件，根据“利润=标价×折扣-进价”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】设这件商品的进价为x元，根据题意得：10%x=220×50%-x，0.1x=110-x，1.1x=110，x=100，答：这件商品的进价为100元．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“利润=标价×折扣-进价”，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．5．C【解析】【详解】根据题目中给出的运算方法，可得（x+y）∠y=（x+y）2-y2=x2+2xy+y2-y2=x2+2xy．故选C．点睛：本题主要考查了完全平方公式，根据题意掌握新运算的规律是解题的关键．6．A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∠两次都摸到白球的概率为49．故选A．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．A【解析】【分析】根据勾股定理求得AB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=12lr，求得答案即可．【详解】解：∠AO=8米，OB=6米，∠AB=10米，∠圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，∠S 扇形=12lr=12×12π×10=60π（米2）． 故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，熟知圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 8．D【解析】【分析】根据二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，得出a ＞0，与y 轴交点在y 轴的正半轴，得出c ＞0，利用对称轴2b x a =-＞0，得出b ＜0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，得出a ＞0，与y 轴交点在y 轴的正半轴，得出c ＞0，利用对称轴2b x a =-＞0，得出b ＜0， 所以一次函数y =ax +b 经过一、三、四象限，反比例函数c y x=经过一、三象限． 故选：D ．【点睛】 本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a ＞0、b ＜0、c ＞0是解题的关键．9．C【解析】【分析】根据中心对称的性质即可判断．【详解】解：点A 与点'A 是对称点，A 正确；对应点的连线被对称中心平分，B 正确；成中心对称图形的两个图形对应边互相平行或在同一直线上，D正确．故选：C．【点睛】本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等形．10．C【解析】【分析】先判断出∠H=90°，进而求出AH=HF=1=BE．进而判断出∠EHF∠∠CBE (SAS)，得出EF=EC，∠HEF=∠BCE，判断出∠CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2=17，即可得出∠正确；先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形APFH是正方形，得出AP=PF=AH=1，同理：四边形.ABQP是矩形，得出PQ=4，BQ=1，FQ=5，CQ=3，再判断出∠FPG∠∠FQC，得出FP PGFQ CQ=，求出PG=35．再根据勾股定理求得EG=175，即AEG△的周长为8，判断出∠正确；先求出DG=125，进而求出2216925DG BE+=，再求出22891692525EG=≠，判断出∠错误，即可得出结论．【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD∠BC，AB=BC=AD=4，∠B=∠BAD=90°，∠∠HAD=90°，∠HF∠AD，∠∠H=90°，∠∠HAF=90°-∠DAM，∠∠AFH=∠HAF，∠AF，∠AH=HF=1=BE，∠EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC，∠∠EHF∠∠CBE (SAS)，∠EF=EC，∠HEF=∠BCE，∠∠BCE+∠BEC=90°，∠∠HEF+∠BEC=90°，∠∠FEC =90°，∠∠CEF 是等腰直角三角形，在Rt ∠CBE 中，BE =1，BC =4，∠22217EC BE BC =+=， ∠21117222ECF S EF EC EC =⋅==△， 故∠正确；如图，过点F 作FQ ∠BC 于Q ，交AD 于P ，∠∠APF =90°=∠H =∠HAD ，∠四边形APFH 是矩形，∠AH =HF ，∠矩形APFH 是正方形，∠AP =PF =AH =1，同理可证四边形ABQP 是矩形，∠PQ =AB =4，BQ =AP =1，FQ =FP +PQ =5，CQ =BC -BQ =3，∠AD ∠BC ，∠∠FPG ∠∠FQC ， ∠FP PG FQ CQ=， 1=53PG 即：， ∠35PG =，∠DG=312355-=，221441691 2525DG BE+=+=∠8=5 AG AP PG=+，在Rt∠EAG中，根据勾股定理得：175 EG=，∠8173855AEG AG EG AE++=++=△的周长为：，故∠正确；∠2217289169==52525 EG⎛⎫⎪⎝⎭≠，∠222EG DG BE+≠，故∠错误．∠其中正确是：∠∠．故选：C．【点睛】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AG是解本题的关键.11．2.5×10-6【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000025=2.5×10-6，故答案为：2.5×10-6．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．2a（2a+b）（2a﹣b）．【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：8a3-2ab2=2a（4a2-b2）=2a（2a+b）（2a-b）．故答案为2a（2a+b）（2a-b）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．13．8【解析】【详解】解：∠按大小排列在中间的射击成绩为8环，则中位数为8．故答案为8．14．22x-<≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：2132 432x xx x+⎧>⎪⎨⎪≤+⎩①②解不等式∠得：2x>-解不等式∠得：2x≤∴不等式组的解集是：22x-<≤故答案为：22x-<≤【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．15．4 3π【解析】连接OB ，OC ，过点O 作OH∠BC 于点H ，易得：扇形OBD 与扇形OCE 全等，∆OBM≅ ∆OCN ，进而得到：阴影部分的面积=弓形BEC 的面积，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解.【详解】连接OB ，OC ，过点O 作OH∠BC 于点H ，如图，∠等边三角形ABC 内接于O ，点,D E 是O 上两点，∠∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∠OBC=∠OCB=30°，∠OH=1121,22OB BH =⨯===，， ∠120DOE ∠=︒，∠∠BOC-∠BOE=∠DOE-∠BOE ，即：∠BOD=∠COE ，∠扇形OBD 与扇形OCE 全等，在∆OBM 和∆OCN 中，∠30BOD COE OBM OCN OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠∆OBM≅ ∆OCN(AAS)，∠阴影部分的面积=弓形BEC 的面积=2120236034ππ⨯⨯=故答案是：43π 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，根据圆的旋转不变性，把阴影部分面积化为弓形的面积，是解题的关键.16．(30﹣2x )(20﹣x )＝532【解析】【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程即可．【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得:（30-2x）（20-x）=532，故答案为：（30-2x）（20-x）=532．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．17【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据∠ABM~∠ADE，求出AM的长，从而得出AG继而得出GE的长．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠D =90°，∠∠BAM+∠FAM=90°，又∠E是边CD的中点，∠DE=2，在Rt△ADE中，=∠由折叠的性质可得△ABF≅△GBF，∠AB=BG，∠FBA=∠FBG∠BF垂直平分AG，∠AM=MG，∠AMB=90°，∠∠BAM+∠ABM=90°，∠∠ABM=∠FAM∠△ABM~△ADE ， ∠AM DE =AB AE， ∠2AM ，，∠GE=AE-AG =． 【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．18．()12,21n n --【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标，同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”，依此规律即可得出结论．【详解】解：当y =0时，有x -1=0，解得：x =1，∠点A 1的坐标为（1，0）．∠四边形A 1B 1C 1O 为正方形，∠点B 1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），…，∠B 2（2，3），B 3（4，7），B 4（8，15），B 5（16，31），…，∠Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数），故答案为：()12,21n n --本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．19．（1）2；（2）126a -+，【解析】【分析】（1）根据零次幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可；（2）先根据分式的加减化简括号内的，再将除法转化为乘法，根据分式的性质化简，再根据特殊角的三角函数值求得a 的值，并代入化简结果计算即可．【详解】解：（1）原式133(21322=---=--+=（2）原式()()()()()()5223321222223326a a a a a a a a a a a --+---=÷=-⋅=----+-+，当tan606sin303a =︒-︒=时，原式== 【点睛】 本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握是分式的化简，零次幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值是解题的关键．20．（1）200（人）；（2）详见解析；（3）16【解析】【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．解：（1）本次随机调查的学生人数为3015%200÷=（人）；（2）书画的人数为20025%50⨯=（人），戏曲的人数为200(508030)40-++=（人）， 补全图形如下：（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为401200240200⨯=（人）； （4）列表得：∠共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，∠恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为21126= 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．解题关键在于注意概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（1）见解析；（2）AC =【解析】【分析】（1）连接OC ，由切线的性质可证得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE ，则结论得证；（2）先根据勾股定理求出OE ，OD ，AD 的长，证明Rt △AOD∠Rt △ACB ，得出比例线段即可求出AC 的长．【详解】（1）证明：连接OC ，∠CE 与O 相切，OC 是O 的半径，∠OC CE ⊥，∠90OCA ACE ︒∠+∠=.∠OA OC =，∠A OCA ∠=∠，∠90ACE A ︒∠+∠=.∠⊥OD AB ，∠90ODA A ︒∠+∠=.∠CDE ACE ∠=∠，∠EC ED =.（2）∠AB 为直径，∠90ACB ∠=.在Rt DCF ∆中，90DCE ECF ︒∠+∠=，又DCE CDE ∠=∠，∠90CDE ECF ︒∠+∠=，又∠90CDE F ︒∠+∠=，∠ECF F ∠=∠，∠EC EF =.∠3EF =，∠3EC DE ==.在Rt OCE ∆中，4OC =，3CE =，∠5OE =.∠2OD OE DE =-=.在Rt OAD ∆中，AD ==在Rt AOD ∆和Rt ACB ∆中，∠A A ∠=∠，∠Rt AOD Rt ACB ∆∆∽，∠AO AD AC AB =，即4AC =，∠AC =【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 22．（1）101000y x =-+；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元.【解析】【详解】分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．详解：（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y =kx +b （k ≠0），将（40，600）、（45，550）代入y =kx +b ，得：4060045550k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：101000k b =-⎧⎨=⎩，∠年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y =﹣10x +1000．（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +1000）台，根据题意得：（x ﹣30）（﹣10x +1000）=10000，整理，得：x 2﹣130x +4000=0，解得：x 1=50，x 2=80．∠此设备的销售单价不得高于70万元，∠x =50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．货船与港口A 之间的距离是【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于D ，先求出60ABC ∠=︒，在Rt ABD ∆中，30DAB ∠=︒，由三角函数定义求出AD ，求出45DAC CAB DAB ∠=∠-∠=︒，则ADC ∆是等腰直角三角形，得出AC =【详解】解：过点A 作AD BC ⊥于点D根据题意，得180754560ABC ∠=︒-︒-︒=︒∠AD BC ⊥∠90ADB ∠=︒∠180180906030DAB ADB ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒在Rt ABD ∆中∠80AB =，60ABD ∠=︒∠sin 80sin 60AD AB ABD =⋅∠=⋅︒=∠304575CAB ∠=+=︒︒︒∠753045DAC CAB DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒在Rt ACD ∆中∠AD =45DAC ∠=︒∠cos AD AC DAC===∠答：货船与港口A 之间的距离是【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．24．（1）y =2x 2﹣8x +6；（2）当n =94时，线段PC 有最大值498． 【解析】【分析】（1）已知B （4，m ）在直线y =x +2上，可求得m 的值，抛物线图象上的A 、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC 的长，实际是直线AB 与抛物线函数值的差．可设出P 点横坐标，根据直线AB 和抛物线的解析式表示出P 、C 的纵坐标，进而得到关于PC 与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC 的最大值．【详解】解：(1)∠B (4，m )在直线y ＝x ＋2上，∠m ＝4＋2＝6，∠B (4，6)，∠A(12，52)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上，∠2511()6 22261646a ba b=++=+⎧⎨+⎩解得2 {8 ab==-∠抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6(2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则C点的坐标为(n，2n2－8n＋6)，∠PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－94)2＋498，∠20 a=-<，∠当n＝94时，线段PC最大为498【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.25．(1)见解析(2)∠110(020)2y x x=-+<<，∠22029或2019【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）∠如图，作GH∠BF于H，利用三角形的中位线定理，推出EC=2y，再根据DE+EC=20，即可解决问题；∠由2413ECBG=，可以设24EC k=，13BG k=，利用相似三角形的性质构建方程求出k，即可解决问题．（3）如图，连接BE，设DE = a，CD=BC=b，构建一元二次方程，即可解决问题．(1)证明：AE AF⊥，90EAF∴∠=︒，四边形ABC都是矩形，90BAD ABC ABF D ∴∠=∠=∠=∠=︒，EAF BAD ∴∠=∠，FAB DAE ∴∠=∠，90ABF D ∠=∠=︒，ADE ∴∠ ABF ．(2)∠如图，作GH BF ⊥于H ．90GHF C ∠=∠=︒，//GH EC ∴，FG GE =，FH HC ∴=，22EC GH y ∴==，20DE EC CD AB +===，220x y ∴+=，110(020)2y x x ∴=-+<<． ∠∠2413EC BG =，∠可以设24EC k =，13BG k =，∠2EC GH =，∠12GH k =，∠BH∠∠.510FH CH k ==+，∠1010FB k =+， ∠1102y x =-+，∠2024x k =-，∠∠ADE ∠∠ABF ， ∠AD AB DE BF=， 即：102020241010k k =-+， 解得：1529k =， ∠22029x =； ∠. ()()1111242EBG ECB BFE ECB S S S S S a b a b b a =+=+=-+-△△△△，1010FB k =-， 可得：102020241010k k=--， 解得：1519k =， ∠2019x =． 综上所述，220202919x =或． (3) 如图，连接BE ，设DE =a ，CD=BC =b ，易证ADE ABF ≌，可得：==BF DE a ，∠)2222220a a b b a ab b b b DE DC ⎛⎫=-+-=+= ⎪⎝⎭=舍，∠2S b =，14S S =，∠2222b b a ab =--，∠220a ab b +-=， ∠210a a b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：)a b =舍，∠DE DC =． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
数学中考冲刺模拟测试题(含答案解析)
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分：120分测试时间：120分钟一．选择题(共10小题,满分40分)1．在实数﹣2,,3,中,最小的实数是()A．﹣2 B．C．3 D．2．估算﹣2的值在()A．﹣1到0之间B．0到1之间C．1到2之间D．2到3之间3．下列计算正确的是()A．x2+x4＝x6B．2x+3y＝5xy C．x6÷x2＝x3D．(x2)3＝x64．如图所示的几何体,其左视图是()A．B．C．D．5．某工厂计划生产5000件T恤衫,由于更新了机器设备,实际每天生产T恤衫的数量是原计划的2倍,因此提前5天完成任务,设原计划每天生产T恤衫x件,根据题意,所列方程正确的是()A．﹣＝5 B．﹣＝5C．﹣＝5 D．﹣＝56．如图,已知△ABC中,AB＝AC,点D,E是射线AB上的两个动点(点D在点E的右侧),且CE＝DE,连接CD,若∠ACE＝x°,∠BCD＝y°,则y关于x的函数关系式是()A．y＝90﹣x(0＜x＜180°) B．y＝x(0＜x＜180°)C．y＝90﹣x(0＜x＜180°) D．y＝x(0＜x＜180°)7．在平面直角坐标系中,点A(1,0)第一次向左跳动至A1(﹣1,1),第二次向右跳至A2(2,1),第三次向左跳至A3(﹣2,2),第四次向右跳至A4(3,2),…,按照此规律,点A第2021次跳动至A2021的坐标是()A．(﹣1011,1011) B．(1011,1010)C．(﹣1010,1010) D．(1010,1009)8．如图1是传统的手工磨豆腐设备,根据它的原理设计了图2的机械设备,磨盘半径OM＝20cm,把手MQ＝15cm,点O,M,Q在同一直线,用长为135cm的连杆将点Q与动力装置P相连(∠PQM大小可变),点P在轨道AB上来回滑动并带动磨盘绕点O转动,OA⊥AB,OA＝80cm．若磨盘转动1周,则点P在轨道AB上滑过的路径长为()A．90cm B．150cm C．180cm D．70πcm9．如图,半圆O的直径AB长为4,C是弧AB的中点,连接CO、CA、CB,点P从A出发沿A→O→C运动至C 停止,过点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F．设点P运动的路程为x,则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为()A．B．C．D．10．如图,E是正方形ABCD外一点,DE＝AD,连接AE,CE过D作DH⊥CE于H,交AE于F,连接BF,交CD于G．①∠AFD＝45°;②BF⊥DH;③AE＝BF;④当F是DH中点,CH＝3时,AE＝9,以上结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)11．把多项式4a2﹣16b2分解因式结果是．12．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是．13．如图,点A是反比例函数y＝的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点C为y轴上的一点,连接AC,BC．若△ABC的面积为2,则k的值是．14．如图,已知△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,AC,BC边上的点,∠EDF＝120°,设．(1)若n＝1,则＝;(2)若,则n＝．三．解答题(共9小题,15、16、17、18每题8分,19、20每题10分,21、22每题12分,23题14分,合计90分) 15．计算：．16．解方程：+＝4．17．如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别是A(﹣2,﹣1),B(﹣4,﹣4),C(﹣1,﹣3)．(1)把△ABC向右平移4个单位后得到对应的△A1B1C1,请画出平移后的△A1B1C1;(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2,请画出旋转后的△A2B2C2;(3)观察图形可知,△A1B1C1与△A2B2C2关于点(,)成中心对称．18．观察下列等式：①12﹣4×12＝﹣3; ②32﹣4×22＝﹣7; ③52﹣4×32＝﹣11;……根据上述各题的规律,解决下列问题：(1)完成第⑤个等式：92﹣4×2＝;(2)请你猜想第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性．19．如图,某电影院的观众席成“阶梯状”,每一级台阶的水平宽度都为1m,垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°,测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．(参考数据：sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.7,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.9)20．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC于点E,∠BAD的角平分线交DE于点O,以点O为圆心,OD为半径的圆经过点C ,交BC 于另一点F ． (1)求证：AB 与⊙O 相切;(2)若CF ＝24,OE ＝5,求CD 的长．21．我县某中学就同学们对“道州历史文化”的了解程度进行随机抽样调查,将调查结果绘制成两幅统计图．根据统计图的信息,解答下列问题：(1)本次共调查 名学生,条形统计图中m ＝ ;(2)若该校共有学生2400名,则该校约有多少名学生不了解“道州历史文化”;(3)调查结果中,该校九年级(1)班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试,发现其中有四名同学相当优秀,他们是三名男生、一名女生,现准备从这四名同学中随机抽取两人去县里参加“道州历史文化”知识竞赛,用树状图或列表法,求恰好抽中一男生一女生的概率．22．某超市经销A 、B 两种商品．商品A 每千克成本为20元,经试销发现,该种商品每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)满足一次函数关系,其每天销售单价、销售量的对应值如表所示： 销售单价x (元/千克) 25303540销售量y (千克)50403020商品B 的成本为6元/克,销售单价为10元/克,但每天供货总量只有60千克,且能当天销售完为了让利消费者,超市开展了“买一送一“活动,即买1千克的商品A ,免费送1千克的商品B ．(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式;(2)设这两种商品的每天销售总利润为w元,求出w(元)与x的函数关系式;(3)若商品A的售价不低于成本,不高于成本的180%,当销售单价定为多少时,才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？(总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的成本)23．已知△ABC,点D在边BC上(不与点B,C重合),点E是△ABC内部一点．给出如下定义：若∠AEB＝∠AEC,∠DEB＝∠DEC,则称点E是点D的“等角点”．(1)如图1,若点E是点D的“等角点”,则∠AEB+∠DEC＝°;(2)如图2,若AB＝AC,点D是边BC的中点,点E是中线AD上任意一点(不与点A,D重合),求证：点E是点D的“等角点”;(3)如图3,若∠ACB＝90°,且∠BAD＞∠CAD,△ABC内是否存在点E是点D的“等角点”？若存在,请作出点E(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);若不存在,请说明理由．参考答案一．选择题(共10小题,满分40分)1．在实数﹣2,,3,中,最小的实数是()A．﹣2 B．C．3 D．【分析】先估计的大小,再比较．【解答】解：∵2＜＜3．∴﹣2＜＜＜3．故选：A．【点评】本题考查实数大小的比较,估计的范围是求解本题的关键．2．估算﹣2的值在()A．﹣1到0之间B．0到1之间C．1到2之间D．2到3之间【分析】根据1＜＜2即可得解．【解答】解：∵1＜＜2,∴1﹣2＜﹣2＜2﹣2,∴﹣1＜﹣2＜0,故选：A．【点评】此题考查了无理数的估算,正确估算出1＜＜2是解题的关键．3．下列计算正确的是()A．x2+x4＝x6B．2x+3y＝5xy C．x6÷x2＝x3D．(x2)3＝x6【分析】分别根据合并同类项法则,同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A、x2与x4不是同类项,属于不能合并,故本选项不合题意;B、2x与3y不是同类项,属于不能合并,故本选项不合题意;C、x6÷x2＝x4,故本选项不合题意;D、(x2)3＝x6,故本选项符合题意;故选：D．【点评】本题考查了合并同类项,同底数幂的除法以及幂的乘方,熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．如图所示的几何体,其左视图是()A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案．【解答】解：从左边看,底层是两个小正方形,上层的左边是一个小正方形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图．5．某工厂计划生产5000件T恤衫,由于更新了机器设备,实际每天生产T恤衫的数量是原计划的2倍,因此提前5天完成任务,设原计划每天生产T恤衫x件,根据题意,所列方程正确的是()A．﹣＝5 B．﹣＝5C．﹣＝5 D．﹣＝5【分析】设原计划每天生产T恤衫x件,则实际每天生产T恤衫2x件,根据工作时间＝工作总量÷工作效率,结合实际比原计划提前5天完成任务,即可得出关于x的分式方程,此题得解．【解答】解：设原计划每天生产T恤衫x件,则实际每天生产T恤衫2x件,依题意得：﹣＝5．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键．6．如图,已知△ABC中,AB＝AC,点D,E是射线AB上的两个动点(点D在点E的右侧),且CE＝DE,连接CD,若∠ACE＝x°,∠BCD＝y°,则y关于x的函数关系式是()A．y＝90﹣x(0＜x＜180°) B．y＝x(0＜x＜180°)C．y＝90﹣x(0＜x＜180°) D．y＝x(0＜x＜180°)【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠ABC＝x°+∠BCE和∠ADC＝∠DCE＝y°+∠BCE,由三角形外角的性质得出∠ABC＝∠ADC+∠BCD,即x°+∠BCE＝y°+∠BCE+y°,即x＝2y,可得y关于x 的函数关系式．【解答】解：在△ABC中,AB＝AC,∴∠ACB＝∠ABC＝x°+∠BCE,∵CE＝DE,∴∠ADC＝∠DCE＝y°+∠BCE,∵∠ABC＝∠ADC+∠BCD,即x°+∠BCE＝y°+∠BCE+y°,即x＝2y,∴y关于x的函数关系式为y＝x(0＜x＜180°)．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形外角的性质,三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和,熟练掌握性质定理是解题的关键．7．在平面直角坐标系中,点A(1,0)第一次向左跳动至A1(﹣1,1),第二次向右跳至A2(2,1),第三次向左跳至A3(﹣2,2),第四次向右跳至A4(3,2),…,按照此规律,点A第2021次跳动至A2021的坐标是()A．(﹣1011,1011) B．(1011,1010)C．(﹣1010,1010) D．(1010,1009)【分析】根据图形观察发现,第偶数次跳动至点的坐标,横坐标是次数的一半加上1,纵坐标是次数的一半,奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1,纵坐标相同,然后写出即可．【解答】解：如图,观察发现,第2次跳动至点的坐标是(2,1),第4次跳动至点的坐标是(3,2),第6次跳动至点的坐标是(4,3),第8次跳动至点的坐标是(5,4),…第2n次跳动至点的坐标是(n+1,n),则第2020次跳动至点的坐标是(1011,1010),第2021次跳动至点A2021的坐标是(﹣1011,1011)．故选：A．【点评】本题考查了规律型：点的坐标,坐标与图形的性,结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．8．如图1是传统的手工磨豆腐设备,根据它的原理设计了图2的机械设备,磨盘半径OM＝20cm,把手MQ＝15cm,点O,M,Q在同一直线,用长为135cm的连杆将点Q与动力装置P相连(∠PQM大小可变),点P在轨道AB上来回滑动并带动磨盘绕点O转动,OA⊥AB,OA＝80cm．若磨盘转动1周,则点P在轨道AB上滑过的路径长为()A．90cm B．150cm C．180cm D．70πcm【分析】连接OP,求出OP的取值范围,再求出PA的取值范围,即可得结论．【解答】解：由题意可知OQ＝OM+MQ＝35cm,PQ＝135cm,当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时,OP取得最小值,此时OP＝PQ﹣MQ﹣OM＝135﹣15﹣20＝100cm;当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时,OP取得最大值,此时OP＝PQ+MQ+OM＝135+15+20＝170cm．∵OA⊥AP,OA＝80cm,∴①当OP＝170cm时,AP＝＝150(cm);②当OP＝100cm时,AP＝＝60(cm)．∵每转一周,AP从最小值到最大值再到最小值,∴点P的运动路径长为：(150﹣60)×2＝180(cm)．故选：C．【点评】本题考查点的运动轨迹,勾股定理,找出AP的最小值和最大值是解题的关键．9．如图,半圆O的直径AB长为4,C是弧AB的中点,连接CO、CA、CB,点P从A出发沿A→O→C运动至C 停止,过点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F．设点P运动的路程为x,则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为()A．B．C．D．【分析】根据Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,可得AB＝4,根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2,CD平分角ACB,点P从点A出发,沿A→D→C的路径运动,运动到点C停止,分两种情况讨论：根据PE⊥AC,PF⊥BC,可得四边形CEPF是矩形和正方形,设点P运动的路程为x,四边形CEPF的面积为y,进而可得能反映y与x之间函数关系式,从而可以得函数的图象．【解答】解：∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝,∴AB＝4,∠A＝45°,∵CD⊥AB于点D,∴AD＝BD＝2,∵PE⊥AC,PF⊥BC,∴四边形CEPF是矩形,∴CE＝PF,PE＝CF,∵点P运动的路程为x,∴当点P从点A出发,沿A→D路径运动时,即0＜x＜2时,AP＝x,则AE＝PE＝x•sin45°＝,∴CE＝AC﹣AE＝,∵四边形CEPF的面积为y,∴y＝PE•CE＝＝﹣＝,∴当0＜x＜2时,抛物线开口向下;当点P沿D→C路径运动时,即2≤x＜4时,∵CD是∠ACB的平分线,∴PE＝PF,∴四边形CEPF是正方形,∵AD＝2,PD＝x﹣2,∴CP＝4﹣x,∴y＝,∴当2≤x＜4时,抛物线开口向上,综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象,解决本题的关键是掌握二次函数的性质．10．如图,E是正方形ABCD外一点,DE＝AD,连接AE,CE过D作DH⊥CE于H,交AE于F,连接BF,交CD于G．①∠AFD＝45°;②BF⊥DH;③AE＝BF;④当F是DH中点,CH＝3时,AE＝9,以上结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由正方形的性质和等腰三角形的性质可证∠DAE＝∠DCF,可得点A,点D,点F,点C四点共圆,即可求得∠AFD＝∠ACD＝45°;②通过证明点A,点B,点C,点F四点共圆,可得∠AFB＝∠ACB＝45°,可证BF⊥DH;③通过证明△BCF∽△ACE,可求得AE＝BF;④由勾股定理可求AE＝AF+EF＝9．【解答】解：如图,连接AC,CF,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACD＝∠ACB＝45°,AD＝CD＝BC,AC＝BC,∵DE＝AD,∴∠DAE＝∠DEA,DC＝DE,∴∠DCE＝∠DEC,又∵DH⊥CE,∴DH是CE的垂直平分线,∴FC＝EF,∴∠FCE＝∠FEC,∴∠DEF＝∠DCF,∴∠DAE＝∠DCF,∴点A,点D,点F,点C四点共圆,∴∠AFD＝∠ACD＝45°,∠ADC＝∠AFC＝90°,故①正确;∵∠ABC＝∠AFC＝90°,∴点A,点B,点C,点F四点共圆,∴∠AFB＝∠ACB＝45°,∠CBF＝∠CAF,∠BFC＝∠BAC＝45°,∴∠DFB＝90°,∴BF⊥DH,故②正确;∵∠AFC＝∠FEC+∠FCE,∴∠FEC＝∠FCE＝45°,∴∠FEC＝∠BFC,又∵∠CBF＝∠CAF,∴△BCF∽△ACE,∴,∴AE＝BF,故③错误;∵∠CFE＝90°,CF＝EF,FH⊥CE,∴FH＝CH＝EH＝3,∴EF＝3＝FC,∵F是DH中点,∴DH＝2FH＝6,∴DC＝＝＝3,∴AC＝DC＝3,∴AF＝＝＝6,∴AE＝AF+EF＝9,故④错误,故选：B．【点评】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,圆的有关知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．二．填空题(共4小题)11．把多项式4a2﹣16b2分解因式结果是4(a+2b)(a﹣2b)．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：4a2﹣16b2＝4(a+2b)(a﹣2b),故答案为：4(a+2b)(a﹣2b)．【点评】本题考查提公因式法、平方差公式进行因式分解,掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．12．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是k＞﹣．【分析】利用判别式的意义得到△＝32﹣4(﹣k)＞0,然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝32﹣4(﹣k)＞0,解得k＞﹣．故答案为k＞﹣．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△＝0时,方程有两个相等的两个实数根;当△＜0时,方程无实数根．13．如图,点A是反比例函数y＝的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点C为y轴上的一点,连接AC,BC．若△ABC的面积为2,则k的值是4．【分析】连接AO,将△ABC的面积转化为△ABO的面积,通过反比例函数系数k的几何意义求解．【解答】解：连接AO,∵AB⊥x轴,∴AB∥y轴,∴S△ABC＝S△ABO＝＝2,∴k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义,解题关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．14．如图,已知△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,AC,BC边上的点,∠EDF＝120°,设．(1)若n＝1,则＝1;(2)若,则n＝或．【分析】(1)作DG∥BC交AC于G,得出△ADG是等边三角形,得到AD＝DG,再结合已知得出∠BDF＝∠EDG,利用AAS得出△DBF≌△DGE,即可得出结论;(2)同(1)中方法得出AD＝DG和∠BDF＝∠EDG,从而得到△DBF～△DGE,得到＝n,再根据∵列出方程n+＝3,解方程即可．【解答】解：(1)作DG∥BC交AC于G,∵△ABC是等边三角形,∴∠A＝∠B＝∠C＝60°,∵DG∥BC,∴∠B＝∠ADG＝∠C＝∠AGD＝60°,∠BDG＝120°,∴△ADG是等边三角形,∴AD＝DG,∵,n＝1,∴DB＝AD,∴DB＝DG,∵∠BGD＝120°,∠EDF＝120°,∴∠BDF+∠GDF＝∠EDG+∠GDF＝120°, ∴∠BDF＝∠EDG,∵∠B＝∠AGD＝60°,∴△DBF≌△DGE(ASA),∴DE＝DF,∴＝1,故答案为：1;(2)同(1)中方法得△ADG是等边三角形,∴AD＝DG,∵∠BGD＝120°,∠EDF＝120°,∴∠BDF+∠GDF＝∠EDG+∠GDF＝120°, ∴∠BDF＝∠EDG,∵∠B＝∠AGD＝60°,∴△DBF～△DGE,∴,∴＝n,∵,∴n+＝3,化简得,n2﹣n+1＝0,∴n1＝,n2＝,经检验n1＝,n2＝是原方程的解, ∴n＝或．故答案为：或．【点评】本题是三角形综合题目,考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．三．解答题(共9小题)15．计算：．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、乘方和开方,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝﹣1+6×﹣2+1＝﹣1+3﹣2+1＝．【点评】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16．解方程：+＝4．【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：7﹣x＝4x﹣8,解得：x＝3,检验：当x＝3时,x﹣2≠0,∴x＝3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验．17．如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别是A(﹣2,﹣1),B(﹣4,﹣4),C(﹣1,﹣3)．(1)把△ABC向右平移4个单位后得到对应的△A1B1C1,请画出平移后的△A1B1C1;(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2,请画出旋转后的△A2B2C2;(3)观察图形可知,△A1B1C1与△A2B2C2关于点(2,0)成中心对称．【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可．(2)分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可．(3)对应点连线的交点即为对称中心．【解答】解：(1)如图,△A1B1C1即为所求作．(2)如图,△A2B2C2即为所求作．(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点(2,0),故答案为：2,0．【点评】本题考查作图﹣旋转变换,平移变换,中心对称等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．18．观察下列等式：①12﹣4×12＝﹣3; ②32﹣4×22＝﹣7; ③52﹣4×32＝﹣11;……根据上述各题的规律,解决下列问题：(1)完成第⑤个等式：92﹣4×52＝﹣19;(2)请你猜想第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性．【分析】(1)根据题目提供的算式直接写出答案即可;(2)写出第n个算式然后展开验证即可．【解答】解：(1)第⑤个等式：92﹣4×52＝﹣19;故答案为：5,﹣19;(2)猜想：第n个等式为：(2n﹣1)2﹣4n2＝﹣4n+1,验证：左边＝4n2﹣4n+1﹣4n2＝﹣4n+1,右边＝﹣4n+1,所以左边＝右边,所以：(2n﹣1)2﹣4n2＝﹣4n+1．【点评】本题主要考查了数字变化规律,根据已知数字得出数字之间的变与不变是解题关键．19．如图,某电影院的观众席成“阶梯状”,每一级台阶的水平宽度都为1m,垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°,测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．(参考数据：sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.7,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.9)【分析】延长CE、DF交AB于H、G,在Rt△AGD中,由三角函数的定义用AG表示出即DG,在Rt△ACH 中,由三角函数的定义用AG表示出即CH,根据DG﹣CH＝1得到关于AG的方程,解方程求出AG即可求出AB．【解答】解：延长CE、DF交AB于H、G,由题意知,∠AGD＝∠AHC＝90°,在Rt△AGD中,∠ADG＝35°,∴tan35°＝,即DG＝,在Rt△ACH中,∠ACH＝42°,∴tan42°＝,即CH＝,∵AH＝AG+GH,GH＝0.3,∴CH＝,∵DG﹣CH＝1,∴﹣＝1,∴﹣＝1解得：AG≈4.2,∴AB＝AG+GH+BH＝4.2+0.3+0.3＝5.1．答：银幕AB的高度约为5.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用,仰角的定义,以及三角函数,熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键．20．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC于点E,∠BAD的角平分线交DE于点O,以点O为圆心,OD为半径的圆经过点C,交BC于另一点F．(1)求证：AB与⊙O相切;(2)若CF＝24,OE＝5,求CD的长．【分析】(1)过点O作AB的垂线,证明出OG＝OD即可;(2)利用勾股定理求出半径,再利用勾股定理求出CD即可．【解答】解：(1)过点O作OG⊥AB,垂足为G,∵AD∥BC,DE⊥BC,∴DE⊥AD,又∵∠BAD的角平分线交DE于点O,∴OG＝OD,又∵OG⊥AB,∴AB与⊙O相切;(2)连接OC．∵DE⊥CF,∴,在Rt△OEC中,＝OD,∴DE＝OD+OE＝13+5＝18,在Rt△DEC中,．【点评】本题考查切线的性质和判定,直角三角形的边角关系,以及垂径定理,掌握切线的判断方法和直角三角形的边角关系是解决问题的前提．21．我县某中学就同学们对“道州历史文化”的了解程度进行随机抽样调查,将调查结果绘制成两幅统计图．根据统计图的信息,解答下列问题：(1)本次共调查60名学生,条形统计图中m＝18;(2)若该校共有学生2400名,则该校约有多少名学生不了解“道州历史文化”;(3)调查结果中,该校九年级(1)班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试,发现其中有四名同学相当优秀,他们是三名男生、一名女生,现准备从这四名同学中随机抽取两人去县里参加“道州历史文化”知识竞赛,用树状图或列表法,求恰好抽中一男生一女生的概率．【分析】(1)根据了解很少的有24人,占40%,即可求得总人数;利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值;(2)利用2400乘以不了解“道州历史文化”的人所占的比例即可求解;(3)列出表格即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．【解答】解：(1)由题目图表提供的信息可知总人数为24÷40%＝60(名),m＝60﹣12﹣24﹣6＝18,故答案为：60,18;(2)2400×＝480(名),所以该校约有480名学生不了解“道州历史文化”;(3)列表如下：男男男女男(男,男) (男,男) (男,女)男(男,男) (男,男) (男,女)男(男,男) (男,男) (男,女)女(女,男) (女,男) (女,男)由上表可知,共12种可能,其中一男一女的可能性有6种,∴恰好抽中一男生一女生的概率为＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为20元,经试销发现,该种商品每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：25303540销售单价x(元/千克)销售量y(千克)50403020商品B的成本为6元/克,销售单价为10元/克,但每天供货总量只有60千克,且能当天销售完为了让利消费者,超市开展了“买一送一“活动,即买1千克的商品A,免费送1千克的商品B．(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式;(2)设这两种商品的每天销售总利润为w元,求出w(元)与x的函数关系式;(3)若商品A的售价不低于成本,不高于成本的180%,当销售单价定为多少时,才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？(总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的成本)【分析】(1)利用待定系数法可求出一次函数的解析式;(2)利用每件的利润×销售量＝总利润,即可求出w(元)与x的函数关系式;(3)先根据已知求出x的取值范围,再将(2)的解析式化为配方式,然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【解答】解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b(k≠0),将表中数据(30,40)、(40,20)代入得：,解得：,∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+100;(2)设当天的销售利润为w元,则：w＝(x﹣20)(﹣2x+100)+(10﹣6)[60﹣(﹣2x+100]＝﹣2x2+148x﹣360;(3)20×180%＝36,由题意知20≤x≤36,w＝﹣2x2+148x﹣360＝﹣2(x﹣37)2+2378,∵﹣2＜0,∴x＜37时,w随x的增大而增大,∴x＝36时,w的最大值＝﹣2×(36﹣37)2+2378＝2376,答：当销售单价定为36元时,才能使当天的销售总利润最大,最大利润是2376元．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用,理清题中的数量关系是解题的关键．23．已知△ABC,点D在边BC上(不与点B,C重合),点E是△ABC内部一点．给出如下定义：若∠AEB＝∠AEC,∠DEB＝∠DEC,则称点E是点D的“等角点”．(1)如图1,若点E是点D的“等角点”,则∠AEB+∠DEC＝180°;(2)如图2,若AB＝AC,点D是边BC的中点,点E是中线AD上任意一点(不与点A,D重合),求证：点E是点D的“等角点”;(3)如图3,若∠ACB＝90°,且∠BAD＞∠CAD,△ABC内是否存在点E是点D的“等角点”？若存在,请作出点E(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);若不存在,请说明理由．【分析】(1)由“等角点”可得∠AEB＝∠AEC,∠DEB＝∠DEC,由周角的定义可求解;(2)由等腰三角形的性质可得AD是BC的中垂线,可得BE＝CE,由“等角点”的定义可证点E是点D的“等角点”;(3)如图3,过点B作AD的BF⊥AD,交AD的延长线于F,在线段BF的延长线上截取FH＝BF,连接AH,CH,延长HC交AD于E,连接BE,即点E为所求,由作图可得AD是BC的中垂线,可得BE＝CE,由“等角点”的定义可证点E是点D的“等角点”．【解答】解：(1)∵点E是点D的“等角点”,∴∠AEB＝∠AEC,∠DEB＝∠DEC,∵∠AEB+∠AEC+∠DEB+∠DEC＝360°,∴∠AEB+∠DEC＝180°,故答案为180;(2)如图,连接BE,CE,∵AB＝AC,点D是边BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD是BC的中垂线,∴BE＝CE,又∵DE⊥BC,∴∠BED＝∠CED,∴∠AEB＝∠AEC,∴点E是点D的“等角点”;(3)如图3,过点B作AD的BF⊥AD,交AD的延长线于F,在线段BF的延长线上截取FH＝BF,连接AH,CH,延长HC交AD于E,连接BE,即点E为所求,∵BF＝FH,BF⊥AF,∴BE＝EH,AB＝AH,又∵EF⊥BH,∴∠BED＝∠CED,∴∠AEB＝∠AEC,∴点E是点D的“等角点”．【点评】本题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,理解“等角点”的定义并运用是本题的关键．。
深圳市福田区达标名校2023-2024学年中考数学考试模拟冲刺卷含解析
2024年中考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数3y=x的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y32．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2-2B．32C．3-1D．13．如图是婴儿车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．102°4．(3分)如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是()A．10B41C．2D515．下列运算结果正确的是()A．x2+2x2＝3x4B．(﹣2x2)3＝8x6C．x2•(﹣x3)＝﹣x5D．2x2÷x2＝x6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）A．1 B．616C．666D．438．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）A．16B．13C．12D．239．下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1≤a≤-；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，任意抽取一个数，这个数恰好是合数的概率是__________． 12．将数字37000000用科学记数法表示为_____．13．对于二次函数y ＝x 2﹣4x+4，当自变量x 满足a≤x≤3时，函数值y 的取值范围为0≤y≤1，则a 的取值范围为__． 14．如图，Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D,AB′与边BC 交于点E ．若△DEB′为直角三角形，则BD 的长是_______．15．已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________． 16．如图，已知，第一象限内的点A 在反比例函数y ＝2x的图象上，第四象限内的点B 在反比例函数y ＝k x 的图象上．且OA ⊥OB ，∠OAB ＝60°，则k 的值为_________．17．已知一组数据3-，x ，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为____． 三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A ，B 两种不同款型，其中A 型车单价400元，B 型车单价320元．今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A ，B 两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A 型车与B 型车各多少辆？试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A ，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A 型车与B 型车各多少辆？19．（5分）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =O 的半径.20．（8分）在下列的网格图中.每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；(2)若点B的坐标为(-3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；(3)根据(2)中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标.21．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O 重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．（1）求四边形OEBF的面积；（2）求证：OG•BD=EF2；（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB2，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．23．（12分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：①该产品90天售量(n件)与时间(第x天)满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天） 1 2 3 10 …日销售量（n件）198 196 194 ? …②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜50 50≤x≤90销售价格（元/件）x+60 100(1)求出第10天日销售量；(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品的销售利润最大?最大利润是多少?（提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格－每件成本)）(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果.24．（14分）计算：sin30°4+（π﹣4）0+|﹣12|．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】作出反比例函数3y=x的图象（如图），即可作出判断：∵－3＜1，∴反比例函数3y=x的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x＜1时，y＞1；当x＞1时，y＜1．∴当x1＜x2＜1＜x3时，y3＜y1＜y2．故选A．2、C【解析】延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.【详解】解：延长BC′交AB′于D，连接BB＇，如图，在Rt△AC′B′中，2，∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=12AB=1，∵BD为等边三角形△ABB′的高，∴33∴BC′=BD-3．故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键. 3、A 【解析】分析：根据平行线性质求出∠A ，根据三角形内角和定理得出∠2=180°-∠1−∠A ，代入求出即可． 详解：∵AB ∥CD. ∴∠A =∠3=40°， ∵∠1=60°，∴∠2=180°-∠1−∠A =80°，故选：A.点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.三角形内角和定理：三角形内角和为180°. 4、B 【解析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数. 【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n 行第一个数的通用公式是()112n n -+，所以，第9行从左至右第5个数是()9911(51)2-++-=41.故选B 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力． 5、C 【解析】直接利用整式的除法运算以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】A 选项：x 2+2x 2=3x 2，故此选项错误；B 选项：（﹣2x 2）3=﹣8x 6，故此选项错误；C 选项：x 2•（﹣x 3）=﹣x 5，故此选项正确；D 选项：2x 2÷x 2=2，故此选项错误． 故选C ．【点睛】考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 6、B 【解析】分析：过点D 作DE ⊥AB 于E ，先求出CD 的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE =CD =2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 详解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AB =8，CD =2，∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ，∠=︒ ∴DE =CD =2， ∴△ABD 的面积11828.22AB DE =⋅=⨯⨯= 故选B.点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等. 7、D 【解析】解：∵△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI =AB =2，GI =BC =1，BI =2BC =2，∴AB BI =24=12BC AB ，=12，∴AB BI =BC AB ．∵∠ABI =∠ABC ，∴△ABI ∽△CBA ，∴AC AI =ABBI．∵AB =AC ，∴AI =BI =2．∵∠ACB =∠FGE ，∴AC ∥FG ，∴QI AI =GI CI =13，∴QI =13AI =43．故选D ．点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DE ∥FG 是解题的关键． 8、B 【解析】 考点：概率公式． 专题：计算题．分析：根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，故概率为2/ 6 ="1/" 3 ．故选B．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）="m" /n ．9、B【解析】试题分析：根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，故选B．考点：简单几何体的三视图10、D【解析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、38．【解析】根据合数定义，用合数的个数除以数的总数即为所求的概率．【详解】∵在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，合数有4、6、8这3个，∴这个数恰好是合数的概率是38．故答案为：38．【点睛】本题考查了概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn；找到合数的个数是解题的关键．12、3.7×107【解析】根据科学记数法即可得到答案.【详解】数字37000000用科学记数法表示为3.7×107.【点睛】本题主要考查了科学记数法的基本概念，解本题的要点在于熟知科学记数法的相关知识.13、1≤a≤1【解析】根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围．【详解】解：∵二次函数y＝x1﹣4x+4＝（x﹣1）1，∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x＝﹣42 22ba-=-=，把y＝0代入解析式可得：x＝1，把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x1＝1，所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，故可得：1≤a≤1，故答案为：1≤a≤1．【点睛】此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．14、5或1．【解析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=5，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【详解】∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=5，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=5．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′5=AF5+FB′5，即（6+x）5+（8-x）5=55．解得：x1=5，x5=0（舍去）．∴BD=5．如图5所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=5，AC=6，∴B′E=5．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′5=DE5+B′E5，即x5=（8-x）5+55．解得：x=1．∴BD=1．综上所述，BD的长为5或1．15、6.【解析】分析: 设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可. 详解: 设扇形的半径为r，根据题意得：，解得：r=6故答案为6.点睛: 此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.16、-6【解析】如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△ACO∽△ODB，∴OA OC AC OB BD OD==，∵∠OAB=60°，∴33 OAOB=，设A（x，2x ），∴BD=3OC=3x，OD=3AC=23x，∴B（3x，-23x），把点B代入y=kx得，-23x=3kx，解得k=-6，故答案为-6.17、3【解析】试题分析：∵数据﹣3，x，﹣3，3，3，6的中位数为3，∴112x+=，解得x=3，∴数据的平均数=16（﹣3﹣3+3+3+3+6）=3，∴方差=16[（﹣3﹣3）3+（﹣3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（6﹣3）3]=3．故答案为3．考点：3．方差；3．中位数．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）3辆；2辆【解析】分析：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得．详解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得：10040032036800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：6040x y =⎧⎨=⎩，答：本次试点投放的A 型车60辆、B 型车40辆； （2）由（1）知A 、B 型车辆的数量比为3：2，设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆、B 型车2a 辆， 根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000， 解得：a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A 型车至少3000辆、B 型车至少2000辆， 则城区10万人口平均每100人至少享有A 型车3000×100100000=3辆、至少享有B 型车2000×100100000=2辆．点睛：本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等（或不等）关系，并据此列出方程组． 19、4 【解析】已知△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，在Rt △OBH 中，用半径表示出OH 的长，即可用勾股定理求得半径的长．【详解】作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，2OH OA AH r =-=-，3BH =222OH BH OB +=，即()(22223r r -+=，4r =.【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.20、（1）作图见解析；(2)如图所示，点A 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(-3，1)；(3)如图所示，点B 2的坐标为(3，-5)，点C 2的坐标为(3，-1). 【解析】（1）分别作出点B 个点C 旋转后的点，然后顺次连接可以得到； （2）根据点B 的坐标画出平面直角坐标系；（3）分别作出点A 、点B 、点C 关于原点对称的点，然后顺次连接可以得到. 【详解】（1）△A 11B C 如图所示；（2）如图所示，A （0，1），C （﹣3，1）；（3）△222A B C 如图所示，2B （3，﹣5），（3，﹣1）．21、（1）14；（2）详见解析；（3）AE=14． 【解析】（1）由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF （ASA ），则可证得S 四边形OEBF =S △BOC =14S 正方形ABCD；（2）易证得△OEG ∽△OBE ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB =OE 2，再利用OB 与BD 的关系，OE 与EF 的关系，即可证得结论；（3）首先设AE=x ，则BE=CF=1﹣x ，BF=x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得AE 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，∴∠BOF+∠COF=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠BOF+∠COE=90°， ∴∠BOE=∠COF ， 在△BOE 和△COF 中，,BOE COF OB OCOBE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOE =S △BOE +S △COF =S △BOC =14S 正方形ABCD 111144=⨯⨯=；（2）证明：∵∠EOG=∠BOE ，∠OEG=∠OBE=45°， ∴△OEG ∽△OBE ， ∴OE ：OB=OG ：OE ， ∴OG•OB=OE 2，∵122OB BD OE EF ==，，∴OG•BD=EF 2；（3）如图，过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC=1， ∴1122OH BC ==， 设AE=x ，则BE=CF=1﹣x ，BF=x ，∴S △BEF +S △COF =12BE•BF+12CF•OH ()()21111911222432x x x x ⎛⎫=-+-⨯=--+ ⎪⎝⎭，∵102a =-<， ∴当14x =时，S △BEF +S △COF 最大； 即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，14AE =．【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键． 22、（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜22（1）m =6或m 17﹣1．【解析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （20）代入可得a =12-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题； （1）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题． 【详解】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （20）代入可得a =12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--， 由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解得2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22． （1）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m 17﹣117﹣1（舍弃），∴m 17﹣1时，四边形PMP ′N 是正方形． 情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m=6或m171时，四边形PMP′N是正方形．23、（1）1件；（2）第40天，利润最大7200元；（3）46天【解析】试题分析：（1）根据待定系数法解出一次函数解析式，然后把x=10代入即可；（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；（3）直接写出在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．试题解析：解：（1）∵n与x成一次函数，∴设n=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：198 3194k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以n关于x的一次函数表达式为n=-2x+200；当x=10时，n=-2×10+200=1．（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：221604000150120120005090y x x xy x x⎧=-++≤⎨=-+≤≤⎩（＜）（）当1≤x＜50时，y=-2x2+160x+4000=-2（x-40）2+7200，∵-2＜0，∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200；当50≤x≤90时，y=-120x+12000，∵-120＜0，∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；综上所述：当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；（3）在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．24、1.【解析】分析：原式利用特殊角角的三角函数值，平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．详解：原式=12﹣2+1+12=1．点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．。
【中考冲刺】2023年湖南省邵阳市中考模拟数学试卷(附答案)
2023年湖南省邵阳市中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．15-D．152．如图所示的一个圆柱体，下面关于它的主视图的说法，其中正确的是（）A．是中心对称图形，但不是轴对称图形B．是轴对称图形，但不是中心对称图形C．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形D．既是轴对称图形，又是中心对称图形3．某化学研究所检测一种材料分子的直径为0.000000509米．将0.000000509用科学记数法表示为10na⨯的形式，则n的值是（）A．—8B．—7C．8D．74．某校九年级一班学习委员小英统计2021年6～12月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图的折线统计图，下列说法不．正确的是（）A．这组数据的中位数是42B．这组数据的众数是58C．这组数据的平均数是53D．阅读数量最大的月份是12月51在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．不等式组1026xx+<⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，CF∥BA，若△ADE的面积为2，则四边形BCFD的面积为（）A．10B．8C．6D．48．学校与科技园两地相距24 km，小明8：00骑自行车从学校去科技园；小红8：30坐公交车从学校去科技园．在同一平面直角坐标系中，小明和小红离学校的距离y(km)与所用的时间x(h)的函数图象如图所示，根据图象信息，下列结论不．正确的是（）A ．小明比小红晚0.5小时到达科技园B ．小明骑自行车的平均速度是12km/hC ．小红到达科技园所用时间为1.5hD ．小红在距离学校12 km 处追上小明9．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AB ＞BC ，以点A 为圆心、AB 长为半径的弧BE 与DC 相交于点E ，点E 为DC 的中点，则由BC 、CE 和弧BE 围成的阴影部分图形的面积是（ ）A ．83π B ．83π C ．3π D ．3π10．如图，直线12y kx =+与双曲线28y x=在第一象限交于点P （2，m ），与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，则下列结论不．正确的是（ ）A ．k ＝1B ．m ＝4C ．当x ＞2时，y 2＞y 1D ．OA =OB二、填空题11．64的立方根是_______．12．因式分解：322882x x y xy -+=________________．13．如图，在Rt △ABC 中，△C ＝90°，AB =10，BC ＝8，将Rt △ABC 沿射线AB 的方向平移5个单位后，得到Rt △A 1B 1C 1，连接BC 1，则△A 1BC 1的周长为_______14．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中有x 户人家，则可以列得方程为_____．15．在－2，－1，2三个数中，随机选取两个数分别作为函数23y ax bx =++中a ，b 的值，则该二次函数图象开口向下的概率是______．16．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE 、BD ．若△BCD ＝115°，则△EBD 的大小为_______．17．如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，△A ＝30°，AB ＝6，按以下步骤作图： △以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ； △分别以E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；△作射线BP ，交边AC 于D 点． 则点D 到AB 的距离为_______．18．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x 的一元二次方程280x x m -+=的两个根，则m 的值为_______． 三、解答题19()012π-+-︒．20．先化简，再求值：224()xy x y xy x y x y x y-+-÷++，其中2x =2y = 21．如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，BE 交CD 于点F(1)求证：△BCF△△DEF．(2)若△ABD＝36°，求△BFC的大小．22．为进一步落实中小学生“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理工作，某学校以增强“体质”为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个排球和篮球，让学生利用课余时间参加排球、篮球等项目的训练活动．每个排球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍；用1800元单独购买排球或篮球，购买排球的数量比购买篮球的数量多10个．(1)每个排球的价格和每个篮球的价格分别是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买排球和篮球共300个，但要求排球和篮球的总费用不超过20000元，学校最多可以购买多少个篮球？23．某县为了解八年级学生视力健康状况，2022年初在全县随机抽取了500名八年级学生进行调查，按照《青少年视力健康标准》进行统计分析，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：青少年视力健康标准(1)求出被抽查的500名学生2022年初视力正常（类别A）的人数．(2)求出被抽查的500名学生2022年初重度视力不良（类别D）的扇形圆心角度数(3)若2022年初该县有八年级学生9000人，请估算该县八年级学生中度视力不良和重度视力不良的学生总人数(4)请结合上述统计数据，为该县做好近视防控、促进学生健康发展提出一条合理的建议．24．如图，是某市在城区河道上新建成的一座大桥．学校数学兴趣小组在一次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡BC长为50米，△CBE=30°，水平地面上的CD长为30米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为34°，求桥墩AB的高．（结果保留1位小数．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.68）25．如图，△O是△ABC的外接圆，OC△AB，△O的切线BD与OC的延长线相交于点D．(1)如图△，若BD△AC，求△ACO的大小；(2)如图△，若BD=3，CD=1，求AB的长．26．如图，直线l ：36y x =--与x 轴、y 轴分别相交于点A 、C ；经过点A 、C 的抛物线C ：212y x bx c =++与x 轴的另一个交点为点B ，其顶点为点D ，对称轴与x 轴相交于点E ．(1)求抛物线C 的对称轴． (2)将直线l 向右平移得到直线1l ．△如图△，直线1l 与抛物线C 的对称轴DE 相交于点P ，要使PB +PC 的值最小，求直线1l 的解析式．△如图△，直线1l 与直线BC 相交于点F ，直线1l 上是否存在点M ，使得以点A 、C 、F 、M 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A．2．D【解析】【分析】圆柱体的主视图是长方形，根据长方形的对称性解答．【详解】解：圆柱体的主视图是长方形，且长方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选：A．【点睛】本题考查简单几何体的主视图及轴对称图形和中心对称图形，掌握相关知识是解题关键．3．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000000509=5.09×10-7．故选：B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．A【解析】 【分析】根据折线统计图，将各选项进行计算即可得． 【详解】解：A 、将所给数据从小到大排列：32，36，42，58，58，70，75， 这组数据的中位数是58，选项说法错误，符合题意；B 、58出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是58，选项说法正确，不符合题意；C 、3236425851()03787557+++++=+⨯，则这组数据的平均数是53，选项说法正确，不符合题意；D 、从折现统计图得，阅读数量最大的月份是12月，选项说法正确，不符合题意； 故选A ． 【点睛】本题考查了折现统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是理解题意并能正确得出所给数据的中位数，众数，平均数． 5．B 【解析】 【分析】根据22212<<得011<<，即可得． 【详解】解：△22212<<，△12<<△011<， 故选：B ． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的大小比较． 6．A 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择． 【详解】解不等式x +1＜0，得x ＜-1， 解不等式-26x ≤，得3x ≥-，所以这个不等式组的解集为-3-x ≤<1，在数轴上表示如选项A 所示， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键． 7．B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，证明ADEABC ；根据相似三角形的性质计算（相似三角形的面积比等于相似比的平方），可求得S ABC 的面积；根据三角形全等的判定和性质定理，证明ADE ≌CFE ，可得S ADE =S CFE ，从而可得S四边形BCFD = S ABC 即可． 【详解】解：△D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点 △DE 是ABC 的中位线 △AE =CE ，DE ∥BC ，DE =12BC △ADEABC△S ADE =21()2ABCS△S ADE =2 △S ABC =8 又△CF ∥BA △∠A=∠FCE在ADE 和CFE 中，A FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△ADE ≌CFE （ASA ）△S ADE =S CFE△S ADE + S 四边形BCED =S CFE +S 四边形BCED△S 四边形BCFD = S ABC =8故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相以三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．C【解析】【分析】根据函数图象可知根据函数图象小明去科技园所用时间为10-8=2小时，进而得到小明骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到小红到科技园所用的时间，根据交点坐标确定小红追上小明所用时间，即可解答．【详解】解：A 、由图象可知，小明到达科技园是10：00，小红到达科技园是9：30，△小明比小红晚0.5小时到达科技园，该选项正确；B 、根据函数图象小明去科技园所用时间为10-8=2(h)，△小明骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h ），小明骑自行车的平均速度是12km/h ，该选项正确；C 、小红到达科技园所用时间为9.5-8.5=1(h)，该选项错误，符合题意；D 、由图象可知，当x =9时，小红追上小明，此时小明离学校的时间为9-8=1小时， △小明走的路程为：1×12=12km ，△小红在距离学校12 km 处追上小明，该选项正确；故选：C ．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．9．A【解析】【分析】根据矩形的性质得出AB =CD =AE =4，△ADC =90°，结合中点及特殊角的三角函数值与勾股定理得出△DAE =30°，AD△BAE =60°，结合图形得出ADE ABCD ABE S S S S =--阴影矩形扇形，代入求解即可．【详解】解：△四边形ABCD 为矩形，△AB =CD =AE =4，△ADC =90°△E 为CD 中点，△CE =DE =2，在Rt∆ADE 中，1sin 2DE DAE AE ∠==，△△DAE =30°，AD=△△BAE =60°，ADE ABCD ABE S S S S =--阴影矩形扇形21604··2360AB AD AD DE π⨯=-- 184223π=⨯⨯- 83π=， 故选：A ．【点睛】题目主要考查矩形的性质，特殊角的三角形函数值，勾股定理，求不规则图形的面积等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．10．C【解析】【分析】根据一次函数，反比例函数的性质进行计算即可得．解：将点P （2，m ）代入28y x =中，得2842y ==， 即m =4，则选项B ，说法正确，不符合题意；将点P （2，4）代入12y kx =+中，得 224k +=1k =，则选项A ，说法正确，不符合题意；由图像得，当x ＞2时，y 2<y 1，则选项C ，说法错误，符合题意；令12y x =+中的纵坐标为0，得20x +=解得，2x =-，则点A （-2，0），令12y x =+中的横坐标为0，得2y =，则点B （0，2），即OA =OB ，则选项D ，说法正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握相关概念与性质． 11．4【解析】【分析】根据立方根的定义即可求解.【详解】解：△43=64，△64的立方根是4，故答案为：4.此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.12．22(2)x x y -【解析】【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：原式=2x (4x 2−4xy +y 2)=2x (2x −y )2故答案为：2x (2x −y )2．【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．13．16【解析】【分析】由勾股定理求得AC 的长，由平移的性质可得A 1B 的长，据此判断点B 为A 1B 1的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到111152C B A B ==，据此解答． 【详解】 解：在Rt △ABC 中，△C ＝90°，AB =10，BC ＝8，6AC ∴=由题意得，AA 1=5，A 1B =AB - AA 1=5，BB 1=5即点B 是Rt △A 1B 1C 1中斜边A 1B 1的中点，111152C B A B ∴== 1111111161016A B BC AC AC A B AC AB ∴++=+=+=+=即△A 1BC 1的周长为16，故答案为：16．【点睛】本题考查直角三角形的性质，涉及勾股定理、斜边的中线等于斜边的一半等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．14．x+13x＝100【解析】【分析】设城中有x户人家，根据“今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】设城中有x户人家，依题意，得：x+13x＝100．故答案为：x+13x＝100．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．15．2 3【解析】【分析】画树状图，展示所有6种等可能的结果数，根据二次函数的性质，当a<0时，二次函数图象开口向下，然后找出满足a<0的结果数，利用简单概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果数△当a<0时，二次函数y=ax2+bx+3图象开口向下△满足条件的结果数为4△该二次函数图象开口向下的概率是42 63故答案为：23．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，列表法与树状图法，简单的概率计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．16．25°【解析】【分析】由圆的内接四边形的内对角和为180°解得65BAD ∠=︒，连接DE ，根据同弧所对的圆周角解得65BED ∠=︒，由直径所对的圆周角是90°解得25EBD ∠=︒【详解】 解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，△BCD ＝115°， 18011565BAD ∴∠=︒-︒=︒连接DE ，BD BD =65BED ∴∠=︒BE 是O 的直径，90BDE ∴∠=︒906525EBD ∴∠=︒-︒=︒故答案为：25︒．【点睛】本题考查圆的性质，涉及圆周角性质、直径所对的圆周角是90°、圆的内接四边形性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．17【解析】【分析】题目所描述的是角平分线的画法，过点D 作DH AB ⊥于H ，证明()BCD BHD AAS ≌△△，得DH CD =，在Rt BCD 中算出CD 即可．【详解】过点D 作DH AB ⊥于H由90BD BD HBD CBD BHD C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=︒⎩得：()BCD BHD AAS ≌△△△DH CD = △1302HBD CBD ABC ∠=∠=∠=︒ 在Rt ABC 中，132BC AB == 在Rt BCD中，CD ===【点睛】本题考查角平分线，特殊直角三角形；熟练掌握特殊直角三角形的三边关系是本题关键． 18．12或16【解析】【分析】分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当6为等腰三角形的腰长时，则关于x 的方程x2−8x+m=0的一个根x1=6代入方程得，36-48+m=0解得m=12则方程为x2−8x+12=0解方程，得另一个根为x2=2△等腰三角形的三边长分别为6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；（2）当6为等腰三角形的底边长时，则关于x的方程x2−8x+m=0 有两个相等的实数根△根的判别式246440=-=-=b ac m解得，m=16则方程为x2−8x+16=0解方程，得x1=x2=4△等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．综上，m的值为12或16．故答案为：12或16．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知识点．正确分两种情况讨论是解题关键．19．π【解析】【分析】根据算术平方根的定义、零指数幂的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、实数的运算等知识计算即可．【详解】解：原式=2-1+π=1+π-2+1=π【点睛】本题考查了算术平方根的定义、零指数幂的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、实数的运算等知识，关键是熟练掌握这些基础知识．20．x y xy-，【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可．【详解】 解：224xy x y xy x y x y x y ⎛⎫-+-÷ ⎪++⎝⎭ ()()24x y xy x y x y xy x y +-+=⨯+- ()()2x y x y x yxy x y -+=⨯+- x y xy-=当2x =2y =原式22-==【点睛】本题考查了分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式等知识点，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序和运算法则．21．(1)见解析(2)72°【解析】【分析】（1）根据翻折变换的性质和平行四边形的性质得出△C =△E ，BC =DE ，然后利用AAS 证明△BCF △△DEF 即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质求出△FBD =△FDB =△ABD = 36°，再根据三角形外角的性质求解即可．(1)证明：由翻折可知，△E =△A ，DE =DA ，由□ABCD 得，△C =△A ，BC =DA ，△△C =△E ，BC =DE ．△△BFC =△DFE ，△△BCF △△DEF （AAS ）；(2)由(1)中△BCF △△DEF ，得DF =BF ，△△FBD =△FDB ．由□ABCD 得，DC △AB ，△△FDB =△ABD ，△△ABD = 36°，△△FBD =△FDB =△ABD = 36°，△△BFC =△FDB +△FBD = 72°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理并能灵活运用是解题的关键．22．(1)每个排球60元，则每个篮球90元(2)最多可以购买66个篮球【解析】【分析】（1）设每个排球x 元，则每个篮球1.5x 元，得180********.5x x-=，进行计算即可得； （2）设最多可以购买m 个篮球，则60(300)9020000m m -+≤，进行计算即可得．(1)解：设每个排球x 元，则每个篮球1.5x 元， 180********.5x x-=， 解得60x =，经检验，60x=是原方程的解，且符合题意，1.5 1.56090x=⨯=，即每个排球60元，则每个篮球90元；(2)解：设可以购买m个篮球，60(300)9020000m m-+≤18000609020000m m-+≤解得2366m≤，即最多可以购买66个篮球．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握这些知识点．23．(1)200(2)43.2°(3)2700(4)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）根据扇形图，类别A所占比例为40％，即可求出（2）根据条形图，得到类别D的数量，用该数量除以总数算出所占百分比即可（3）先算出中度视力不良和重度视力不良的学生的频率，乘总体为9000即可（4）写改善，预防近视的建议，合理即可(1)500×40％=200（人）(2)60500×100％=12％360°×12％=43.2°(3)18129000()2700100100⨯+=(4)层次一：结合图表数据直接提出建议，如：加强科学用眼知识的宣传层次二：利用图表中的数据提出合理化建议如：该校学生近视程度为中度及以上占比30％，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校要加强电子产品进校园及使用的管控（只要合理即可）【点睛】本题考查扇形图和条形图，用样本估计总体；注意第三小问要用中度视力不良和重度视力不良两种情况加起来计算24．74.9米【解析】【分析】延长DC交AB于点F，则DF⊥AB，EB⊥AB，DF∥EB，根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），直角三角形性质（直角三角形30︒角所对应的直角边等于斜边的一半），余弦定义，正切定义等，结合图形计算，得到答案．【详解】解：如图，延长DC交AB于点F，则DF⊥AB，EB⊥AB，DF∥EB△△BCF=△CBE=30︒在RtΔBCF中△△BFC=90°，BC=50（米）△11502522BF BC==⨯=（米）cos30CF BC=⋅︒=在RtΔADF中，△△AFD=90︒，△ADF=34︒，DF=CD+CF=30+△AF=DF tan34°≈（30+25×1.73）×0.68≈49.91（米）△AB=BF+AF=25+49.91=74.91≈74.9（米）．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用—仰望坡角问题，仰角俯角问题．掌握仰角俯角定义，坡度坡角的定义，锐角三角函数的定义是解题的关键．25．(1)30°(2)325 AB=【解析】【分析】（1）根据切线的性质得OB△DB，根据OC△AB得OB△AC，则AE=CE，△AEB=△CEO=90°，根据OC△AB得△BAE=△OCE，利用ASA得△AEB△△CEO，得OE=BE=12OB=12OC，即可得；（2）连接BO，并延长BO交△O于点E，连接AE，根据切线的性质得OB△DB，即△DBO=90°，在RtΔDBO中根据勾股定理得，222DB OB DO+=，BD=3，CD=1，设OC的长为x，进行计算得4x=，根据OC△AB得△DOB=△ABO，根据BE是△O的直径得△BAE=90°，即可得△DBO△△EAB，根据相似三角形的性质得DO BOEB AB=，即可得．(1)解：如图所示，连接BO交AC于点E，△BD是△O的切线，△ OB△DB，又OC△AB，△OB△AC，△AE=CE，△AEB=△CEO=90°，△OC△AB，△△BAE =△OCE ，在AEB △和CEO 中，AEB CEO AE CEBAE OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△AEB △△CEO （ASA ），△OE =BE =12OB =12OC ， △△ACO =30°．(2)解：如图所示，连接BO ，并延长BO 交△O 于点E ，连接AE ，△BD 是△O 的切线，△OB △DB ，即△DBO =90°，在Rt ΔDBO 中，222DB OB DO +=，△BD =3，CD =1，设OC 的长为x ，△ OB =x ，DO =x +1即2223(1)x x +=+，△4x =，△OC △AB ，△△DOB =△ABO ，△BE 是△O 的直径，△△BAE =90°，又△DBO =90°，△△DBO =△BAE =90°，△△DBO △△EAB ，△DO BO EB AB=， 即548AB=， △325AB =． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．26．(1)对称轴为直线x =2(2)△y =-3x +2；△存在，M （6，—8）或点M 为（2，【解析】【分析】（1）先解得直线l ：36y x =--与x 轴、y 轴分别相交于点A 、C 的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）△由三角形三边关系可证明当点P 到达点Q 时，PB +PC =QB +QC =BC 的值最小，转化为解一元二次方程212602x x --=，得到点B 坐标为（6，0），再利用待定系数法求得直线的解析式，最后利用平移变换的性质解答；△分两种情况讨论，当AM 为边时，AM =AC 时，□ACFM 是菱形，或当AM 为对角线时，结合AC =AF 时，□ACMF 是菱形，再转化为解一元二次方程即可解答．(1)解：在36y x =--中，令y =0，即－3x －6=0，x =－2， 得A （－2，0）．令x =0，得y =－6，得C （0，－6）．将点A 、C 的坐标代入抛物线C 的表达式，得：，解得26b c =-⎧⎨=-⎩． 21262y x x =--，其对称轴为直线x =2． (2)△如图△，连接BC 交DE 于点Q ，则PB +PC ≥BC ． 当点P 到达点Q 时，PB +PC =QB +QC =BC 的值最小．令y =0，即212602x x --=， 解得 122,6x x =-=．△点B 坐标为（6，0）．设直线BC 的表达式为 y =kx +h ，则：606k h h +=⎧⎨=-⎩，解得16k h =⎧⎨=-⎩．△6y x =- 当x =2时，y =2－6=－4．△点Q 即点P 的坐标为（2，-4）．由将直线l ：y =-3x-6向右平移得到直线1l ，可设直线1l 的表达式为y =-3x +h 1．则 -4=-3×2+h 1，△h 1=2． 即y =-3x +2．△存在点M ，使得以点A 、C 、F 、M 为顶点的四边形是菱形．方法一：如图△，当AM 为边时，过点A 作AM //CB 交1l 于点M ．△FM //CA ，△当FM =CA 时，以点A 、C 、F 、M 为顶点的四边形ACFM 是平行四边形．当AM =AC 时，□ACFM 是菱形．由AM∠CB 和直线CB ：6y x =-，设直线AM 的表达式为y =x + n则 0=-2+n ．，即n =2．△y =x +2．设点M （m ，m+2），由AM =AC 得，()()22222226m m ⎡⎤--++=+⎣⎦，△12m =，22m =-（舍去）．△点M 为（2，．如图 ，若AM 为对角线时，连接AF ，过点C 作CM //AF 交1l 于点M ．△FM △AC ，△当FM =AC 时，以点A 、C 、F 、M 为顶点的四边形ACMF 是平行四边形 当AC =AF 时，□ACMF 是菱形． 由点F 在直线6y x =-上，可设点F （p ，p-6） 则()()22222626p p ++-=+，△14p =，20p =（舍去）△点F 的坐标为（4，-2），由将直线l 向右平移得到直线1l ，设直线1l （即FM 所在直线）的解析式为y =-3x + h △-2=-3×4+ h ，即h =10，△y =-3x + 10设点M （m ，-3m+10），由CM =AC 得，()()2222631026m m ⎡⎤+---+=+⎣⎦， △16m =，2185m =（舍去）． △点M 为（6，-8）．方法二：如图△，若AM 为边时，过点A 作AM∠CB 交1l 于点M ．△FM //CA ，△当FM =CA 时，以点A 、C 、F 、M 为顶点的四边形ACFM 是平行四边形．当CA =CF 时，□ACFM 是菱形．过点F 作FH △CO 于H ，则CH =()()66m m ---=．2222222CF CH FH m m m =+=+=，2222640CA =+=，△2240m =，△1m =2m =-，△F （6）．△FM //CA 且FM =CA ，△可将CA 先向右平移FM ，即可将点A （－2，0）先向右平移M ．故点M 的坐标为（，．若AM 为对角线时，连接AF ，过点C 作CM △AF 交1l 于点M ．△FM //AC ，△当FM =AC 时，以点A 、C 、F 、M 为顶点的四边形ACFM 是平行四边形．当AC =AF 时，□ACMF 是菱形．()()22226AF m m =++-，240CA =， ()()222640m m ++-=，△14m =，20m =（舍去），△点F 的坐标为（4，—2）△FM //AC 且FM =AC ，△可将AC 先向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到FM ，即可将点C （0，-6）先向右平移6单位、再向下平移2单位得到点M ．△点M 的坐标为（6，-8）．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、菱形的判定、二次函数与一元二次方程、三角形三边关系、函数图象的平移变换等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键．。
人教版中考冲刺模拟检测《数学试卷》含答案解析
人教版数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)1.若的相反数是3-，则的值为()A. 1B. 2C. 3D. -32.如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=25°，则∠2的度数为( )A. 50°B. 65°C. 55°D. 80°3.下列运算正确的是( )A. 3x2•2x=6x3B. 2a a= C. (3a)2=3a2 D. (a+b)2=a2+b2 4.如图，一个空心圆柱体，其左视图正确的是()A B. C. D.5.为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：周阅读用时数(小时) 4 5 8 12学生人数(人) 2 1 3 4则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是( )A. 中位数是6.5B. 众数是12C. 平均数是3.9D. 方差是66.如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AB=10，AE=2，则弦CD的长是()．A. 4B. 6C. 8D. 107.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为()A. 200(1－x)2＝162B. 200(1＋x)2＝162C. 162(1＋x)2＝200D. 162(1－x)2＝2008.在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则EFFC等于( )A. 13B.12C.23D.329.如图，边长为1正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是()A. 34B.212-C. 21- D. 12+10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0;②a－b＋c＜0;③2a＝b;④4a＋2b＋c＞0;⑤若点(－2，y1)和(－13，y2)在该图象上，则y1＞y2. 其中正确的结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11.截止到6月1日，全球新冠肺炎确诊病例逾6055000人，将6055000用科学记数法表示为________．=+中，自变量x的取值范围是___．12.在函数y2x113.在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色;…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．14.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了________米．15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于．16.如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D、E分别在BC，AC上，且∠ADE=∠B，若△ADE是等腰三角形，则BD的长为_________．17.甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需________分钟到达终点B．18.已知正方形ABCD 边长为4，点E 在AB 边上的中点，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点(均不与顶点重合)，则四边形AEPQ 的周长最小值是________．三、解答题(本大题共10小题，共66分．)19.计算：201()(2015)322sin 603π-+---+．20.先化简，再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中23a =+． 21.已知a 、b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，求a 2b+ab 2的值．22.如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离(结果精确到0.1米)．23. 如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，若EF=EC ，且EF ⊥EC ．(1)求证：AE=DC;(2)已知DC=2，求BE 的长．24.为了解我县中学生参加”新冠肺炎知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：A ：60≤x ＜70，B ：70≤x ＜80，C ：80≤x ＜90，D ：90≤x ≤100，并制作出如下的扇形统计图和直方图．请根据图表信息解答下列问题：(1)扇形统计图中的m ＝ ，并在图中补全频数分布直方图;(2)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数 ，据此推断他的成绩在 组;(3)4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A ，C 两组学生的概率是多少?请列表或画树状图说明;(4)若我县学生人数为18000人，请根据上述调查结果，估计我县学生成绩在C 、D 两组的共多少人． 25.如图，直线1y x =+和3y x =-+相交于点A ，且分别与x 轴交于B ，C 两点，过点A 的双曲线k y x=(0x >)与直线3y x =-+的另一交点为点D ．(1)求双曲线的解析式;(2)求△BCD 的面积．26.新型冠状病毒感染肺炎疫情牵动着全国人民的心，来自全国四面八方的救援物资快速向疫区汇聚．我省某食品公司向武汉捐献一批饮用水和蔬菜共320件，一件饮用水与一件蔬菜价格的比是2：5，饮用水总价4万元，蔬菜总价6万元．请解答下列问题：(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学．已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;(3)在(2)的条件下，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少?27.如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD ．(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线;(2)试猜想BC ，BD ，BE 三者之间的等量关系，并加以证明;(3)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 28.如图，已知抛物线2y x bx c =-++与直线AB 相交于A(﹣3，0)，B(0，3)两点．(1)求这条抛物线的解析式;(2)设C 是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C 的坐标;(3)探究在抛物线上是否存在点P ，使得△APB 面积等于3?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)1.若的相反数是3 ，则的值为()A. 1B. 2C. 3D. -3【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义可知，的相反数是-=-3即可得．【详解】∵的相反数是-，∴-=-3，∴=3，故选：C．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=25°，则∠2的度数为( )A. 50°B. 65°C. 55°D. 80°【答案】B【解析】【分析】根据对顶角的性质得出∠5=∠1=25°，求出∠2=∠3=∠4=90°-25°，即可得出答案．【详解】解：如图，∵∠5＝∠1＝25°，∴∠3＝∠4＝90°﹣25°＝65°，∴∠2＝∠3＝65°．故选B．【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，平行线的性质，对顶角的性质等知识点的理解和掌握，求出∠4的度数是解此题的关键．3.下列运算正确的是( )A. 3x 2•2x=6x 3B. 2a a =C. (3a )2=3a 2D. (a+b )2=a 2+b 2 【答案】A 【解析】【分析】根据整式乘法运算的法则，对照选项逐一分析判断即可．【详解】A ．23326x x x ⋅=，正确;B ．2a a =，选项错误;C ．22(3)9a a =，选项错误;D ．222()2a b a b ab +=++，选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了：1．同底数幂的乘法;2．幂的乘方与积的乘方;3．算数平方根的性质;4．完全平方公式．整式乘法的运算是解题的关键．4.如图，一个空心圆柱体，其左视图正确的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：一个空心圆柱体，其左视图为故选B ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图．5.为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是( )A. 中位数是6.5B. 众数是12C. 平均数是3.9D. 方差是6 【答案】B【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数以及方差的概念以及求解方法逐一求出进而进行判断即可.【详解】这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得4、4、5、8、8、8、12、12、12、12，∴这10名学生周阅读所用时间的中位数是：(8+8)÷2=16÷2=8，∴选项A不正确;∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是12小时，∴这10名学生周阅读所用时间的众数是12，∴选项B正确;∵(4×2+5×1+8×3+12×4)÷10=85÷10=8.5，∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是8.5，∴选项C不正确;∵110×[2×(4-8.5)2+1×(5-8.5)2+3×(8-8.5)2+4×(12-8.5)2]=10.25，∴这10名学生周阅读所用时间的方差是10.25，∴选项B正确，故选B．【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数、方差等，熟练掌握相关概念以及求解方法是解题的关键.6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AB=10，AE=2，则弦CD的长是()．A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．【详解】连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD=2CE，∠OEC=90°，∵AB=10，AE=2，∴OC=5，OE=5-2=3，在Rt△CEO中，CE=2222-=-=，534OC OE∴CD=2CE=8，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．7.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为()A. 200(1－x)2＝162B. 200(1＋x)2＝162C. 162(1＋x)2＝200D. 162(1－x)2＝200【答案】A【解析】【详解】解：因为销售单价原来为200元，而平均每次降价的百分率为x，所以降一次后的售价为200(1-x)元，降两次后的售价为200(1-x)2元，所以可列方程200(1﹣x)2=162，故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．8.在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则EFFC等于( )A. 13B.12C.23D.32【答案】A 【解析】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴EF DE FC CB=，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴EFFC=3kk=13，故选A．考点：1．相似三角形的判定与性质;2．平行四边形的性质．9.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是()A. 34B.212C. 21D. 12【答案】C【解析】【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D 、C 1三点共线，在Rt △C 1D 1A 中，由勾股定理求出AC 1，进而求出DC 1=OD ，根据三角形的面积计算即可．【详解】连接AC 1，∵四边形AB 1C 1D 1是正方形，∴∠C 1AB 1=12×90°=45°=∠AC 1B 1， ∵边长为1正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，∴∠B 1AB=45°，∴∠DAB 1=90°-45°=45°，∴AC 1过D 点，即A 、D 、C 1三点共线，∵正方形ABCD 的边长是1，∴四边形AB 1C 1D 1的边长是1，在Rt △C 1D 1A 中，由勾股定理得：AC 122121=+，则DC 12，∵∠AC 1B 1=45°，∠C 1DO=90°，∴∠C 1OD=45°=∠DC 1O ， ∴DC 12-1，∴S △ADO =12×OD•AD=212， ∴四边形AB 1OD 的面积是=2×21-2-1， 故选C ． 10.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①abc ＞0;②a －b ＋c ＜0;③2a ＝b ;④4a ＋2b ＋c ＞0;⑤若点(－2，y 1)和(－13，y 2)在该图象上，则y 1＞y 2. 其中正确的结论个数是 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，∴c>0，∵对称轴x=-2b a >0， ∴b>0，∴abc ＜0，故①不正确;∵对称轴x=-2b a =1， ∴b=−2a ，∴令x=−1时，此时y=a−b+c ，由图象可知a−b+c<0，∴a+2a+c=3a+c<0，故②正确，③错误;∵抛物线的对称轴为x=1，∴−1与3关于x=1对称，0与2关于x=1对称，令x=2时，此时y=4a+2b+c>0，故④正确;当x<1时，y 随着x 的增大而增大，∴−2<−13， ∴y<y ，故⑤错误;故选B.【点睛】本题考查二次函数图形与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11.截止到6月1日，全球新冠肺炎确诊病例逾6055000人，将6055000用科学记数法表示为________ ．【答案】6.055 ×106【解析】【分析】根据大数的科学记数法的表示形式，10na⨯，其中1≤<10，n为正整数，把6055000表示出来即可．【详解】根据大数的科学记数法的表示形式，6055000=6.055 ×106，故答案为：6.055 ×106．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．．12.在函数y=x的取值范围是___．【答案】1 x2≥-【解析】【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负12x10x2+≥⇒≥-.13.在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色;…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．【答案】8【解析】试题分析：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，∴442x+=40%，解得：x=3，∴黑色小球的数目是3个．故答案为3．考点：利用频率估计概率．14.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了________米．【答案】1000【解析】试题分析：过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=200米，∠A=30°，求出BC的长度即可．过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×=1000 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于．【答案】2π．【解析】分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解．【详解】正方形的边长AB=2，则半径是2×222，则面积是22（）=2π．故答案为2π．考点：正多边形和圆．16.如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D、E分别在BC，AC上，且∠ADE=∠B，若△ADE是等腰三角形，则BD的长为_________．【答案】2或3.5【解析】【分析】根据等腰三角形的判定与性质，可得∠ADC 与∠DAC 的关系，根据三角形的外角的性质，可得∠AED =∠EDC +∠C =∠EDC +∠ADE ，再根据等腰三角形的性质，可得答案．详解】∵AB =AC =6，∴∠B =∠C =∠ADE ．当DA =DE 时，∴∠DAE =∠DEA ，∴∠AED =∠EDC +∠C =∠EDC +∠ADE ，∴∠DAC =∠ADC∴DC =AC =6，∴BD =2，当AE =DE 时，△ADE 是等腰三角形，即∠DAE =∠ADE =∠B =∠C∴△ADC ∽△BAC ， ∴AC CD BC AC=， ∴2AC CD BC =， ∴236 4.58AC CD BC ===， ∴ 3.5BD BC CD =-=;综上所述：当BD =2或3.5时，△ADE 是等腰三角形，故答案为：2或3.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了等腰三角形的判定与性质证明相似进行计算． 17.甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从B 地到A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y (千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需________分钟到达终点B．【答案】78．【解析】【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．【详解】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是1÷6=16千米/分钟，由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16×16=16，解得x=43千米/分钟，相遇后乙到达A站还需(16×16)÷43=2分钟，相遇后甲到达B站还需(10×43)÷16=80分钟，当乙到达终点A时，甲还需80-2=78分钟到达终点B，故答案为：78．【点睛】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．18.已知正方形ABCD边长为4，点E在AB边上的中点，点P，Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，则四边形AEPQ的周长最小值是________．【答案】12【解析】【分析】根据最短路径的求法，先确定点E 关于BC 的对称点E′，再确定点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′即可得出P ，Q 的位置;【详解】解：如图所示：作E 关于BC 的对称点E′，点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小， ∵AD=A′D=4，AE=BE=BE′=2，∴AA′=8，AE′=6．∴228610+=，∴四边形AEPQ 的周长最小值=2+10=12．故答案为：12.【点睛】此题考查轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P 、Q 的位置是解题关键．三、解答题(本大题共10小题，共66分．)19.计算：201()(2015)322sin 603π-+-+． 【答案】823+【解析】试题分析：利用负整数指数幂，零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的定义解答．试题解析：原式=91(222+--+⨯=8+ 考点：1．实数的运算;2．零指数幂;3．负整数指数幂;4．特殊角的三角函数值．20.先化简，再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中2a =+【答案】a-2．【解析】 【详解】解：原式222522(2)(2)(2)2222(2)22a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫-+++--+=+÷=⋅=- ⎪++++-⎝⎭当2a =+22==21.已知a 、b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，求a 2b+ab 2的值．【答案】-2．【解析】【分析】根据根与系数的关系可得a+b=2，ab=-1，根据方程解得定义可得a 2-2a=1，然后再把a 2b+ab 2变形为ab (a+b )，代入求值即可．【详解】∵x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． ∴由根与系数关系得到：a+b=2，ab=-1a 2b+ab 2 =ab (a+b )=-2故答案为-2.【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键是掌握计算公式.22.如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离(结果精确到0.1米)．【答案】教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94.6米．【解析】【分析】由已知可得△ABP 中∠A=60°∠B=45°且PC=60m ，要求AB 的长，可以先求出AC 和BC 的长就可转化为运用三角函数解直角三角形．【详解】由题意可知∠ACP=∠BCP= 90°，∠APC=30°，∠BPC=45°在Rt △BPC 中，∵∠BCP=90°，∠BPC ＝45°，∴60BC PC ==在Rt △ACP 中，∵∠ACP=90°，∠APC ＝30°， ∴•303060203AC PC tan tan =︒=︒⨯= ∴60203AB AC BC =+=+≈60+20×1.732 =94.64≈94.6(米)答：教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23. 如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，若EF=EC ，且EF⊥EC．(1)求证：AE=DC;(2)已知DC=2，求BE 的长．【答案】(1)证明见试题解析;(2)2．【解析】试题分析：(1)由矩形的性质及已知条件可得到△AEF ≌△DCE ，即可证明AE=DC;(2)由(1)得到AE=DC ，在Rt △ABE 中由勾股定理可求得BE 的长． 试题解析：(1)在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF ⊥EC ，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF 和△DCE 中，∵∠A=∠D ，∠1=∠3，EF=EC ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)，∴AE=DC;(2)由(1)得AE=DC ，∴AE=DC=2，在矩形ABCD 中，AB=CD=2，在R △ABE 中，222AB AE BE +=，即222(2)(2)BE +=，∴BE=2．考点：1．矩形的性质;2．全等三角形的判定与性质;3．勾股定理．24.为了解我县中学生参加”新冠肺炎知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：A ：60≤x ＜70，B ：70≤x ＜80，C ：80≤x ＜90，D ：90≤x ≤100，并制作出如下的扇形统计图和直方图．请根据图表信息解答下列问题：(1)扇形统计图中的m ＝ ，并在图中补全频数分布直方图;(2)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数 ，据此推断他的成绩在 组;(3)4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A ，C 两组学生的概率是多少?请列表或画树状图说明;(4)若我县学生人数为18000人，请根据上述调查结果，估计我县学生成绩在C 、D 两组的共多少人．【答案】(1)300，补图见解析;(2)144，C;(3)16;(4)1080．【解析】【分析】(1)先利用A组的频数与它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出C组人数，然后用360乘以C组所占的百分比得到m的值，最后补全频数统计图;(2)利用中位数的定义进行判断;(3)通过列表展示所有12种等可能结果，再找出抽到A、C组人的结果数，然后根据概率公式求解．(4)用C,D两组的所占百分比的和乘以18000即可求.【详解】(1)调查的总人数为30÷36360︒︒＝300(人)，C组人数为300﹣30﹣90﹣60＝120(人)，所以m＝360×120300＝144;补全图形如下：…(2)第150个数据和第151个数据在C组，所以数据的中位数在C组，所以他的成绩在C组故答案为144，C;(3)列表如下：由表可知共有12种等可能结果，抽到A 、C 组人的共有两种结果，∴P (AC )＝212＝16． (4)18000×(12060300300+)=1080 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图． 25.如图，直线1y x =+和3y x =-+相交于点A ，且分别与x 轴交于B ，C 两点，过点A 的双曲线k y x=(0x >)与直线3y x =-+的另一交点为点D ．(1)求双曲线的解析式;(2)求△BCD 的面积．【答案】(1)2y x =;(2)2． 【解析】试题分析：(1)解方程组1{3y x y x =+=-+，得A(1，2)，然后把A(1，2)代入k y x=中求出k 的值即可得到反比例函数解析式;(2)解方程组2{3yxy x==-+，得D(2，1)，再利用x轴上点的坐标特征确定B点和C点坐标，由三角形面积公式求解即可．试题解析：(1)解方程组1{3y xy x=+=-+，得：12xy=⎧⎨=⎩，则A(1，2)，把A(1，2)代入kyx=得k=1×2=2，所以反比例函数解析式为2 yx =;(2)解方程组2{3yxy x==-+，得12xy=⎧⎨=⎩或21xy=⎧⎨=⎩，则D(2，1)，当y=0时，x+1=0，解得x=﹣1，则B(﹣1，0);当y=0时，﹣x+3=0，解得x=3，则C(3，0)，所以△BCD的面积=12×(3+1)×1=2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．26.新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，来自全国四面八方的救援物资快速向疫区汇聚．我省某食品公司向武汉捐献一批饮用水和蔬菜共320件，一件饮用水与一件蔬菜价格的比是2：5，饮用水总价4万元，蔬菜总价6万元．请解答下列问题：(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学．已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;(3)在(2)的条件下，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少?【答案】(1)饮用水和蔬菜分别为200件和120件;(2)安排甲．乙两种型号的货车时有3种方案：方案①：甲车2辆，乙车6辆;方案②：甲车3辆，乙车5辆;方案③：甲车4辆，乙车4辆;(3)运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．【解析】【分析】(1) 设饮用水有x件,则蔬菜有(320-x)件.根据一件饮用水与一件蔬菜价格的比是2：5列出方程;(2) 设租用甲型货车n辆．则租用乙型货车(8 -n)辆．根据关系式为：40×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥200;10×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥120，列方程;(3)分别计算出相应方案，比较即可．【详解】(1)设饮用水有x件．依题意．得40000 x :60000320x-=2:5.解得x=200．经检验x=200是原分式方程的解．且符合题意．．320 - 200= 120(件)．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．(2)设租用甲型货车n辆．则租用乙型货车(8 -n)辆．依题意，得40?208200 10208120n nn n+-≥⎧⎨+-≥⎩（），（）．解这个不等式组，得2≤n≤4．∵n为整数，∴n=2或3或4．安排甲．乙两种型号的货车时有3种方案：∴方案①：甲车2辆，乙车6辆;方案②：甲车3辆，乙车5辆;方案③：甲车4辆，乙车4辆．(3) 3种方案的运费分别为：方案①：2×400+6×360=2960(元);方案②：3×400+5×360=3000(元);方案③：4×400+4×360=3040(元)．方案①运费最少，最少运费是2960元．答;运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元【点睛】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系式．27.如图，直线AB经过⊙O上点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．(1)求证：直线AB是⊙O的切线;(2)试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明;(3)若tan∠CED＝12，⊙O的半径为3，求OA的长．【答案】(1)见解析;(2)BC2＝BD•BE，证明见解析;(3)5【解析】【分析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质易得OC⊥AB;即可得到证明;(2)易得∠BCD＝∠E，又有∠CBD＝∠EBC，可得△BCD∽△BEC;故可得BC2＝BD•BE;(3)易得△BCD∽△BEC，BD＝x，由三角形的性质，易得BC2＝BD•BE，代入数据即可求出答案．【详解】(1)证明：如图，连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．(2)解：BC2＝BD•BE．证明：∵ED是直径，∴∠ECD＝90°，∴∠E+∠EDC＝90°．又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC(OC＝OD)，∴∠BCD＝∠E．又∵∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC．∴BC BD BE BC=．∴BC2＝BD•BE．(3)解：∵tan∠CED＝12，∴12 CDEC=．∵△BCD∽△BEC，∴12 BD CDBC EC==．设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD•BE，∴(2x )2＝x•(x+6)．∴x 1＝0，x 2＝2．∵BD ＝x ＞0，∴BD ＝2．∴OA ＝OB ＝BD+OD ＝3+2＝5．【点睛】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．28.如图，已知抛物线2y x bx c =-++与直线AB 相交于A(﹣3，0)，B(0，3)两点．(1)求这条抛物线的解析式;(2)设C 是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C 的坐标;(3)探究在抛物线上是否存在点P ，使得△APB 的面积等于3?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =--+;(2)C(﹣1，4);(3)(﹣1，4)或(﹣2，3)或317-+117-+)或317--117--)． 【解析】试题分析：(1)把点A ，B 两点坐标分别代入抛物线解析式，求出b 和c 的值即可;(2)过点B 作CB ⊥AB ，交抛物线的对称轴于点C ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为点E ，求出点C 的横坐标，再求出OE 的长，即可得到点C 的纵坐标;(3)假设在在抛物线上存在点P ，使得△APB 的面积等于3，连接PA ，PB ，过P 作PD ⊥AB 于点D ，作PF ∥y 轴交AB 于点F ，在Rt △OAB 中，易求AB=32P 的坐标为(m ，223m m --+)，设点F 的坐标为(m ，m+3)，再分两种情况讨论：①当点P 在直线AB 上方时，②当点P 在直线AB 下方时，分别求出符合条件点P 的坐标即可．试题解析：(1)把点A(﹣3，0)，B(0，3)代入2y x bx c =-++得：930{3b c c --+==，解得：2{3b c =-=，∴抛物线的解析式是223y x x =--+;(2)如图1：过点B 作CB ⊥AB ，交抛物线的对称轴于点C ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为点E ，∵223y x x =--+，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴CE=1，∵AO=BO=1，∴∠ABO=45°，∴∠CBE=45°，∴BE=CE=1，∴OE=OB+BE=4，∴点C 的坐标为(﹣1，4);(3)假设在在抛物线上存在点P ，使得△APB 的面积等于3，如图2：连接PA ，PB ，过P 作PD ⊥AB 于点D ，作PF ∥y 轴交AB 于点F ，在Rt △OAB 中，易求AB=22OB AO +=32，∵S △APB =3，∴PD=2，∵∠PFD=∠ABO=45°，∴PF=2，设点P 的坐标为(m ，223m m --+)，∵A(﹣3，0)，B(0，3)，∴直线AB 的解析式为3y x ，∴可设点F 的坐标为(m ，m+3)，①当点P 在直线AB 上方时，可得：22332m m m --+=++，解得：m=﹣1或﹣2，∴符合条件的点P 坐标为(﹣1，4)或(﹣2，3)，②当点P 在直线AB 下方时，可得：22332m m m --+=+-，解得：m=3172-+或3172--，∴符合条件的点P 坐标为(3172-+，1172-+)或(3172--，1172--); 综上可知符合条件的点P 有4个，坐标分别为：(﹣1，4)或(﹣2，3)或(3172-+，1172-+)或(3172--，1172--)．考点：1．二次函数综合题;2．动点型;3．存在型;4．分类讨论;5．压轴题．。
重庆市兼善中学2024届中考冲刺卷数学试题含解析
重庆市兼善中学2024届中考冲刺卷数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，半⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 直径AB 延长线上的一点，PT 切⊙O 于点T ，M 是OP 的中点，射线TM 与半⊙O 交于点C ．若∠P ＝20°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．1+3πB ．1+6πC ．2sin20°+29πD ．23π 2．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是( )A ．8，6B ．7，6C ．7，8D ．8，73．下列各数中，为无理数的是（ ）A ．38B ．4C ．13D ．24．如图，已知AE 垂直于ABC ∠的平分线于点D ，交BC 于点E ， 13CE BC =，若ABC ∆的面积为1，则CDE ∆的面积是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．110 52x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥0 C ．x≠0 D ．任意实数6．13-的绝对值是（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13- 7．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④2c –3b<0；⑤a+b>n （an+b ）（n≠1），其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，错误的结论是（ ）．A ．AD AE DB EC = B ．AB AC AD AE = C ．AC EC AB DB = D ．AD DE DB BC= 9．如图，双曲线y=k x（k ＞0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若四边形ODBC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6 10．化简221121211x x x x ÷+--++的结果是（ ） A ．1 B ．12 C ．11x x -+ D ．222(1)x x -+ 11．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）A ．3.386×108B ．0.3386×109C ．33.86×107D ．3.386×10912．如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点D 落在射线CA 上，DE 的延长线交BC 于F ，则∠CFD 的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．120°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．因式分解：9a 3b ﹣ab ＝_____．14．小明和小亮分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C ，小明先到达奶茶店C ，并在C 地休息了一小时，然后按原速度前往B 地，小亮从B 地直达A 地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y (千米)与小亮出发时间x (时)的函数的图象，请问当小明到达B 地时，小亮距离A 地_____千米．15．分式方程231x x =+的解为x=_____． 16．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有_____个．17．如图，已知直线m ∥n ，∠1＝100°，则∠2的度数为_____．18．已知线段4a =厘米，9b =厘米，线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，线段c 的长度等于________厘米．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）先化简，再求值：()2111x x ⎛⎫-÷- ⎪+⎝⎭，其中x 为方程2320x x ++=的根． 20．（6分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A ，B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°．开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A 地到B 地可以少走多少千米？(结果保留根号)21．（6分）在同一副扑克牌中取出6张扑克牌，分别是黑桃2、4、6，红心6、7、8.将扑克牌背面朝上分别放在甲、乙两张桌面上，先从甲桌面上任意摸出一张黑桃，再从乙桌面上任意摸出一张红心.表示出所有可能出现的结果；小黄和小石做游戏，制定了两个游戏规则：规则1：若两次摸出的扑克牌中，至少有一张是“6”，小黄赢；否则，小石赢.规则2：若摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时，小黄赢；否则，小石赢.小黄想要在游戏中获胜，会选择哪一条规则，并说明理由.22．（8分）灞桥区教育局为了了解七年级学生参加社会实践活动情况，随机抽取了铁一中滨河学部分七年级学生2016﹣2017学年第一学期参加实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：a= %，并补全条形图．在本次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？如果该区共有七年级学生约9000人，请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少？23．（8分）已知抛物线y=ax 2+bx+2过点A （5，0）和点B （﹣3，﹣4），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+2的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．25．（10分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？26．（12分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，求这个圆形截面的半径．27．（12分）在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=12,tanB=3,AB=10,求△ABC的面积.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、A【解题分析】连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论．【题目详解】连接OT、OC，∵PT切⊙O于点T，∴∠OTP=90°，∵∠P=20°，∴∠POT=70°，∵M是OP的中点，∴TM=OM=PM，∴∠MTO=∠POT=70°，∵OT=OC，∴∠MTO=∠OCT=70°，∴∠OCT=180°-2×70°=40°，∴∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=12OC=1，S 阴影=S △AOC +S 扇形OCB =12OA•CH+2302360π⨯=1+3π， 故选A.【题目点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．2、D【解题分析】试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8， 8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7，则这组数据的中位数是7考点：（1）众数；（2）中位数．3、D【解题分析】A ，是有理数；B =2，是有理数；C ．13，是有理数；D ，是无理数， 故选D.4、B【解题分析】先证明△ABD ≌△EBD ，从而可得AD=DE ，然后先求得△AEC 的面积，继而可得到△CDE 的面积.【题目详解】∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠EBD ，∵AE ⊥BD ，∴∠ADB=∠EDB=90°，又∵BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD ，∴AD=ED ， ∵1CE BC 3=，ΔABC 的面积为1， ∴S △AEC =13S △ABC=13， 又∵AD=ED ，∴S △CDE =12 S △AEC =16， 故选B. 【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积之比等于底边长度之比是解题的关键.5、C【解题分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答．【题目详解】解：依题意得：x 2≥1且x≠1．解得x≠1．故选C ．【题目点拨】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．解题时，注意分母不等于零且被开方数是非负数．6、C【解题分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可解决．【题目详解】 在数轴上，点13-到原点的距离是13， 所以，13-的绝对值是13， 故选C ．【题目点拨】错因分析 容易题，失分原因：未掌握绝对值的概念.7、B【解题分析】①观察图象可知a ＜0，b ＞0，c ＞0，由此即可判定①；②当x=﹣1时，y=a ﹣b+c 由此可判定②；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c ＞0，由此可判定③；④当x=3时函数值小于0，即y=9a+3b+c ＜0，且x=﹣2b a =1，可得a=﹣2b ，代入y=9a+3b+c ＜0即可判定④；⑤当x=1时，y 的值最大．此时，y=a+b+c ，当x=n 时，y=an 2+bn+c ，由此即可判定⑤.【题目详解】①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项错误；②当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，即b ＞a+c ，故此选项错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c ＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c ＜0，且x=﹣2b a =1即a=﹣2b ，代入得9（﹣2b ）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；⑤当x=1时，y 的值最大．此时，y=a+b+c ，而当x=n 时，y=an 2+bn+c ，所以a+b+c ＞an 2+bn+c ，故a+b ＞an 2+bn ，即a+b ＞n （an+b ），故此选项正确．∴③④⑤正确．故选B ．【题目点拨】本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题的关键．8、D【解题分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.【题目详解】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，并可得： AD AE DB EC =，AB AC AD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ．【题目点拨】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质．9、B【解题分析】先根据矩形的特点设出B 、C 的坐标，根据矩形的面积求出B 点横纵坐标的积，由D 为AB 的中点求出D 点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式.【题目详解】解：如图：连接OE ，设此反比例函数的解析式为y=k x （k ＞0），C （c ，0）， 则B （c ，b ），E （c ，b 2 ）， 设D （x ，y ），∵D 和E 都在反比例函数图象上，∴xy=k ，2bc k = 即122AOD OEC b S S c ∆∆==⨯⨯ ， ∵四边形ODBC 的面积为3， ∴1322b bc c -⨯⨯= ∴334bc = ∴bc=4∴1AOD OEC S S ==∵k ＞0 ∴112k = 解得k=2， 故答案为：B.【题目点拨】本题考查了反比例函数中比例系数k 的几何意义，涉及到矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式，难度适中.10、A【解题分析】原式=()()111x x +-•（x –1）2+21x +=11x x -++21x +=11x x ++=1，故选A ． 11、A科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108故选:A【题目点拨】本题考查科学记数法—表示较大的数．12、B【解题分析】根据旋转的性质得出全等，推出∠B=∠D，求出∠B+∠BEF=∠D+∠AED=90°，根据三角形外角性质得出∠CFD=∠B+∠BEF，代入求出即可．【题目详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∵∠CAB=∠BAD=90°，∠BEF=∠AED，∠B+∠BEF+∠BFE=180°，∠D+∠BAD+∠AED=180°，∴∠B+∠BEF=∠D+∠AED=180°﹣90°=90°，∴∠CFD=∠B+∠BEF=90°，故选：B．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，掌握旋转变换的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、ab（3a+1）（3a-1）．【解题分析】试题分析：原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．试题解析：原式=ab（9a2-1）=ab（3a+1）（3a-1）．考点: 提公因式法与公式法的综合运用．14、1根据题意设小明的速度为akm /h ，小亮的速度为bkm /h ，求出a,b 的值，再代入方程即可解答.【题目详解】设小明的速度为akm /h ，小亮的速度为bkm /h ，2 3.5 2.5(3.52)(3.5 2.5)210b a b a ⎧=-⎪⎨⎪-+-=⎩ ， 解得，12060a b =⎧⎨=⎩ ， 当小明到达B 地时，小亮距离A 地的距离是：120×(3.5﹣1)﹣60×3.5＝1(千米)， 故答案为1．【题目点拨】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.15、2【解题分析】根据分式方程的解法，先去分母化为整式方程为2（x+1）=3x ，解得x=2，检验可知x=2是原分式方程的解. 故答案为2.16、1【解题分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为0.3，然后根据概率公式计算这个口袋中黑球的数量，继而得出答案．【题目详解】因为共摸了200次球，发现有60次摸到黑球，所以估计摸到黑球的概率为0.3，所以估计这个口袋中黑球的数量为20×0.3=6（个），则红球大约有20-6=1个，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．17、80°．【解题分析】如图，已知m ∥n ，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再由平角的定义即可求得∠2的度数.如图，∵m∥n，∴∠1＝∠3，∵∠1＝100°，∴∠3＝100°，∴∠2＝180°﹣100°＝80°，故答案为80°．【题目点拨】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.18、1【解题分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【题目详解】∵线段c是线段a和线段b的比例中项，∴249c=⨯，c=±（线段是正数，负值舍去），解得6c=，∴6cm故答案为：1．【题目点拨】本题考查比例线段、比例中项等知识，比例中项的平方等于两条线段的乘积，熟练掌握基本概念是解题关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、1【解题分析】先将除式括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择合适的x值，代入求值．【题目详解】解：原式＝()()()21111111x x x x x x x --+-÷=-⋅=--+--． 解2320x x ++=得，122,?1x x =-=-，∵1x =-时，21x +无意义， ∴取2x =-．当2x =-时，原式＝()211---=．20、 (1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走)千米；(2)汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为千米．【解题分析】（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD ，进而解答即可；（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出BD ，再求出AD ，进而求出汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程．【题目详解】(1)过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ， ∵AB ⊥CD ，sin30°＝CD BC，BC ＝80千米， ∴CD ＝BC •sin30°＝80×12＝40(千米)，AC ＝CD sin 45︒=(千米)， AC +BC ＝80+1-8(千米)， 答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走(80+1-8)千米； (2)∵cos30°＝BD BC，BC ＝80(千米)，∴BD ＝BC •cos30°＝80×2千米)， ∵tan45°＝CD AD，CD ＝40(千米)， ∴AD ＝CD 40tan 45︒=(千米)，∴AB ＝AD +BD ＝40+403(千米)， ∴汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程为：AC +BC ﹣AB ＝80+1-8﹣40﹣403＝40+40(23)-(千米)． 答：汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为 [40+40(23)-]千米．【题目点拨】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．21、（1）：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（2）小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1，理由见解析【解题分析】（1）利用列举法，列举所有的可能情况即可； （2）分别求出至少有一张是“6”和摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时的概率，进行选择即可. 【题目详解】（1）所有可能出现的结果如下：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种； （1）摸牌的所有可能结果总数为9，至少有一张是6的有5种可能，∴在规划1中，P （小黄赢）59=； 红心牌点数是黑桃牌点数的整倍数有4种可能， ∴在规划2中，P （小黄赢）49=. ∵5499>，∴小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1. 【题目点拨】考查列举法以及概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.22、（1）10，补图见解析；（2）众数是5，中位数是1；（3）活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．【解题分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a 的值，用310°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；根据1天的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以8天的人数所占的百分比，即可补全统计图；（2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；（3）用总人数乘以活动时间不少于1天的人数所占的百分比即可求出答案．【题目详解】解：（1）扇形统计图中a=1﹣5%﹣40%﹣20%﹣25%=10%，该扇形所对圆心角的度数为310°×10%=31°，参加社会实践活动的天数为8天的人数是：2020%×10%=10（人），补图如下：故答案为10；（2）抽样调查中总人数为100人，结合条形统计图可得：众数是5，中位数是1．（3）根据题意得：9000×（25%+10%+5%+20%）=5400（人），活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．【题目点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23、（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．【解题分析】（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，即可求解；（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b即可求解；（3）①AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2即可求解；②考虑当P点在线段BC上时和在线段BE上时两种情况，利用PM′=PM即可求解．【题目详解】（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，解得：a=﹣，b=，故函数的表达式为y=﹣x2+x+2；（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b，解得：k=2，b=2，故：直线BC的函数表达式为y=2x+2，（3）①E是点B关于y轴的对称点，E坐标为（3，﹣4），则AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2，∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE而BP=AE，∴线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②设点P的横坐标为m，当P点在线段BC上时，P坐标为（m，2m+2），M坐标为（m，2），则PM=2m，直线MM′⊥BC，∴k MM′=﹣，直线MM′的方程为：y=﹣x+（2+m），则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），由题意得：PM′=PM=2m，PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，解得：m=﹣4±2，故点P的坐标为（﹣4±2，﹣8±4）；当P点在线段BE上时，点P坐标为（m，﹣4），点M坐标为（m，2），则PM=6，直线MM′的方程不变，为y=﹣x+（2+m），则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），PM′2=m2+（6+m）2=（2m）2，解得：m=0，或﹣；或PM′2=42+42=（6）2，无解；故点P的坐标为（0，﹣4）或（﹣，﹣4）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．【题目点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24、（1）y=﹣x2﹣2x+1；（2）（﹣32，154）【解题分析】（1）将A（-1，0），B（0，1），C（1，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+1，则可设P点的坐标为（x，-x2-2x+1），E点的坐标为（x，x+1），那么PE=（-x2-2x+1）-（x+1）=-（x+32）2+94，根据二次函数的性质可知当x=-32时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=-32代入-x2-2x+1，进而得到P点的坐标．【题目详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0），∴9a-3b+c=0 {c=3a+b+c=0，解得a=-1 {b=-2 c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1；（2）∵A（﹣1，0），B（0，1），∴OA=OB=1，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°．∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PE越大，△PDE的周长越大．设直线AB的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0 {b=3，解得k=1{b=3，即直线AB的解析式为y=x+1．设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+1），E点的坐标为（x，x+1），则PE=（﹣x2﹣2x+1）﹣（x+1）=﹣x2﹣1x=﹣（x+32）2+94，所以当x=﹣32时，PE最大，△PDE的周长也最大．当x=﹣32时，﹣x2﹣2x+1=﹣（﹣32）2﹣2×（﹣32）+1=154，即点P坐标为（﹣32，154）时，△PDE的周长最大．【题目点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中．25、（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【解题分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．【题目详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a ﹣1000）×5×400≥5000000， 解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.26、（1）详见解析；（2）这个圆形截面的半径是5 cm.【解题分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O 作半径CO AB ，交AB 于点D ，设半径为r ，得出AD 、OD 的长，在Rt AOD △中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.【题目详解】(1)如图，作线段AB 的垂直平分线l ，与弧AB 交于点C ，作线段AC 的垂直平分线l ′与直线l 交于点O ，点O 即为所求作的圆心．(2)如图，过圆心O 作半径CO ⊥AB ，交AB 于点D ，设半径为r ，则AD ＝AB ＝4，OD ＝r －2，在Rt △AOD 中，r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，答：这个圆形截面的半径是5 cm.【题目点拨】此题考查了垂径定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解.27、2532【解题分析】根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解．【题目详解】如图：由已知可得：∠A=30°，∠B=60°，∴△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，AB=10，∴BC=AB·sin30°=1012⨯=5，AC=AB·cos30°=10=∴S △ABC =1AC?BC 2=【题目点拨】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．。
人教版中考冲刺模拟测试《数学试卷》含答案解析
人教版数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题 1.-15的倒数是( ) A. 15 B. -15 C. -5 D. 52.下列”QQ 表情”中属于轴对称图形的是( )A. B. C. D.3. 下列计算正确的是A. 4312a a a ⋅=B. 93=C. ()02x 10+=D. 若x 2=x ，则x=1 4.将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果158∠=︒，那么2∠的度数为( ).A. 32︒B. 58︒C. 138︒D. 148︒5.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，∠ABC =25°，则∠CAD 的度数是( )A. 25°B. 60°C. 65°D. 75°6.某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：年龄(岁)18 19 20 21 22 人数2 4 4 5 1则这12名队员年龄的众数、中位数分别是()A. 5，20岁B. 5，21岁C. 20岁，20岁D. 21岁，20岁7.小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示.如果返回时，上下坡的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是().A. 8.6分钟B. 9分钟C. 12分钟D. 16分钟8.如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG;②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2;③∠ABC ＝∠ABF;④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二．填空题9.因式分解：xy3﹣x=_____．10.在函数y=3x+中，自变量x的取值范围是_____．11.新冠肺炎疫情发生以来，我国人民上下齐心，共同努力抗击疫情，逐渐取得了胜利．截止3月13日，我国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元，1169亿元用科学记数法表示为_____元．12.不等式组2340x xx+<⎧⎨-≤⎩解集为_____．13.如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是_____．14.甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次，两人的测试成绩如下：甲7 7 8 8 8 9 9 9 10 10乙7 7 7 8 8 9 9 10 10 10这两人10次射击命中的环数的平均数x甲＝x乙＝8.5，则测试成绩比较稳定的是．(填”甲”或”乙”)15.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平上)，某工程师乘坐热气球从B 地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观测C地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为__________m.16.如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=14OA=2，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为_____．三．解答题17.计算：13-﹣(3.14﹣π)0+(1﹣cos30°)×(12)﹣2．18.计算22a b11. ab a b-⎛⎫÷-⎪⎝⎭19.如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.20.某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：(说明：A 级：90分﹣100分;B级：75分﹣89分;C级：60分﹣74分;D级：60分以下)(1)求出D级学生的人数占全班总人数的百分比;(2)求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数;(3)该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内;(4)若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人?21.如图，已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AB＝5,BC＝3.(1) 求sin∠BAC的值;(2) 如果OE⊥AC, 垂足为E,求OE的长;(3) 求tan∠ADC的值.(结果保留根号)22.某地2015年为做好”精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年基础上增加投入资金1600万元．(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?23. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN;(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x值.24.平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为(0,3)、(-1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线解析式;(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长;(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时;△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标.答案与解析一．选择题 1.-15的倒数是( ) A. 15 B. -15 C. -5 D. 5【答案】C【解析】 试题分析：根据倒数的定义即若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可得出答案． 试题解析：-15的倒数是-5; 故选C ．考点：倒数．2.下列”QQ 表情”中属于轴对称图形的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，一一判断四个选项即可得到答案．【详解】解：A 、B 、D 都不关于某一条直线对称，故不是轴对称图形，C 关于直线对称，故是轴对称图形．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念(如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形)，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．3. 下列计算正确的是A. 4312a a a ⋅=93= C. ()02x 10+= D. 若x 2=x ，则x=1 【答案】B【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法，算术平方根，零指数幂运算法则和解一元二次方程逐一计算作出判断： A 、43437a a a a +⋅==，故本选项错误;B 29333===，故本选项正确;C 、∵x 2+1≠0，∴()02x 11+=，故本选项错误;D 、由题意知，x 2﹣x=x(x ﹣1)=0，则x=0或x=1．故本选项错误．故选B ．4.将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果158∠=︒，那么2∠的度数为( ).A. 32︒B. 58︒C. 138︒D. 148︒【答案】D【解析】【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．【详解】如图，由三角形的外角性质得：∠3=90°+∠1=90°+58°=148°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=148°．故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．5.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC =25°，则∠CAD 的度数是( )A. 25°B. 60°C. 65°D. 75°【答案】C【解析】【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理的推论可得∠D=∠ABC=25°，继而求得答案．【详解】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠ABC=25°，∴∠CAD=90°﹣∠D=65°．故选：C．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．6.某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：则这12名队员年龄的众数、中位数分别是()A. 5，20岁B. 5，21岁C. 20岁，20岁D. 21岁，20岁【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．【详解】这组数据中出现次数最多的是21，所以众数为21岁，第8、9个数据分别是20岁、20岁，所以这组数据的中位数为20220=20(岁)，故选：D．【点睛】本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数的求法是解答本题关键.7.小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示.如果返回时，上下坡的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是().A. 8.6分钟B. 9分钟C. 12分钟D. 16分钟【答案】C【解析】【分析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟;下坡路长是2千米，用4分钟，因而速度是0.5千米/分钟，由此即可求出答案．【详解】解：把上下坡的速度求出来是解题的关键，根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟;下坡路长是2千米，用4分钟，因而下坡速度是0.5千米/分钟，回家时下坡是1千米，上坡路程是2千米，所以他从学校回到家需要的时间是120.50.2=12分钟．故选C．【点睛】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．8.如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG;②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2;③∠ABC＝∠ABF;④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】试题解析：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG=90°， ∴∠CAD=∠AFG ，在△FGA 和△ACD 中，{G CAFG CAD AF AD∠∠∠∠＝＝＝，∴△FGA ≌△ACD(AAS)，∴AC=FG ，①正确;∵BC=AC ，∴FG=BC ，∵∠ACB=90°，FG ⊥CA ， ∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形，∴∠CBF=90°，S △FAB =12FB•FG=12S 四边形CBFG ，②正确; ∵CA=CB ，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确; ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC ，∠E=∠C=90°， ∴△ACD ∽△FEQ ，∴AC ：AD=FE ：FQ ，∴AD•FE=AD 2=FQ•AC ，④正确;故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质;熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．二．填空题9.因式分解：xy 3﹣x =_____．【答案】x (y +1)(y ﹣1)【解析】【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=x (y 2﹣1)=x (y +1)(y ﹣1)，故答案为：x (y +1)(y ﹣1) ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．10.在函数y x的取值范围是_____．【答案】x≥﹣3【解析】【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．【详解】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，解题的关键是掌握当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．11.新冠肺炎疫情发生以来，我国人民上下齐心，共同努力抗击疫情，逐渐取得了胜利．截止3月13日，我国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元，1169亿元用科学记数法表示为_____元．【答案】1.169×1011【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：1169亿=116900000000用科学记数法表示为：1.169×1011．故答案为：1.169×1011．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.不等式组2340x xx+<⎧⎨-≤⎩的解集为_____．【答案】1＜x≤4【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式x+2＜3x，得：x＞1，解不等式x﹣4≤0，得：x≤4，则不等式组的解集为：1＜x≤4，故答案为：1＜x≤4．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知”同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13.如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是_____．【答案】AC⊥BD【解析】【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形;所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【详解】解：如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12 AC，同理HG∥AC，HG=12 AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形;要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD;故答案为：AC⊥BD．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形;顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．14.甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次，两人的测试成绩如下：甲7 7 8 8 8 9 9 9 10 10乙7 7 7 8 8 9 9 10 10 10这两人10次射击命中的环数的平均数x甲＝x＝8.5，则测试成绩比较稳定的是．(填”甲”或”乙乙”)【答案】甲【解析】【分析】分别计算出两人的方差，方差较小的成绩比较稳定．=(7×2+9×3+10×2+3×8)÷10=8.5，【详解】解：x甲S2甲=[(7-8.5)2+(7-8.5)2+(8-8.5)2+(8-8.5)2+(8-8.5)2+(9-8.5)2+(9-8.5)2+(9-8.5)2+(10-8.5)2+(10-8.5)2]÷10=1.05，x=8.5，乙S2乙=[(7-8.5)2+(7-8.5)2+(7-8.5)2+(8-8.5)2+(8-8.5)2+(9-8.5)2+(9-8.5)2+(10-8.5)2+(10-8.5)2+(10-8.5)2]÷10=1.45，∵S2甲＜S2乙，∴甲组数据稳定．故答案为：甲．【点睛】此题主要考查了方差公式的应用，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．15.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平上)，某工程师乘坐热气球从B 地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观测C地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为__________m.【答案】3【解析】【分析】利用题意得到∠C=30°，AB=100，然后根据30°正切可计算出BC ．【详解】根据题意得∠C=30°，AB=100，∵tanC=AB BC ， ∴BC=0100tan 30=0100tan 30=100=100333=1003(m )． 故答案为1003．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角;俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．16.如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．OA ∥BC ，D 是BC 上一点，BD =14OA =2，AB =3，∠OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两个动点，且始终保持∠DEF =45°．设OE =x ，AF =y ，则y 与x 的函数关系式为_____．【答案】21233y x x =+ 【解析】【分析】 首先过B 作x 轴的垂线，设垂足为M ，由已知易求得OA 2，在Rt △ABM 中，已知∠OAB 的度数及AB 的长，即可求出AM 、BM 的长，进而可得到BC 、CD 的长，再连接OD ，证△ODE ∽△AEF ，通过得到的比例线段，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】解：过B 作BM ⊥x 轴于M ．在Rt △ABM 中，∵AB =3，∠BAM =45°，∴AM =BM 32，∵BD =14OA ，OA ∴=，∴BC =OA ﹣AM =CD =BC ﹣BD =2，∴D )，32OD ∴== ． 连接OD ，则点D 在∠COA 的平分线上，所以∠DOE =∠COD =45°．又∵在梯形DOAB 中，∠BAO =45°，∴由三角形外角定理得：∠ODE =∠DEA ﹣45°，又∠AEF =∠DEA ﹣45°，∴∠ODE=∠AEF ，∴△ODE ∽△AEF ，OE OD AF AE∴= 即x y =∴y 与x 解析式为：2133y x x =-+．故答案为：2133y x x =-+．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．三．解答题17.计算：13-﹣(3.14﹣π)0+(1﹣cos30°)×(12)﹣2．【答案】1023 3-【解析】【分析】分别计算绝对值、零指数幂，特殊角的三角形函数值，及负整数指数幂，然后得出各部分的最简值，继而合并可得出答案．【详解】解：13-﹣(3.14﹣π)0+(1﹣cos30°)×(12)﹣2=13114 3⎛-+⨯⎝⎭=11423 3-+-=1023 3-【点睛】本题主要考查了绝对值的计算、零指数幂，特殊角的三角形函数值、及负整数指数幂的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键．18.计算22a b11. ab a b-⎛⎫÷-⎪⎝⎭【答案】a b--．【解析】【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，约分即可得．【详解】解：原式()()a b a b b a ab ab+--=÷， ()()()a b a b ab ab a b +-=⋅--， ()a b =-+，a b =--．【点睛】考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．19.如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.(1)说明本次台风会影响B 市;(2)求这次台风影响B 市的时间.【答案】(1)会;(2)8小时【解析】分析】(1)作BH ⊥PQ 于点H ，在Rt △BHP 中，利用特殊角的三角函数值求出BH 的长与200千米相比较即可．(2)以B 为圆心，以200为半径作圆交PQ 于P 1、P 2两点，根据垂径定理即可求出P 1P 2的长，进而求出台风影响B 市的时间．【详解】(1)如图所示：∵台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，∴∠QPG=45°，∠NPB=75°，∠BPG=15°，∴∠BPQ=30°作BH ⊥PQ 于点H ，在Rt △BHP 中，由条件知，PB=320，得 BH=320sin30°=160＜200，∴本次台风会影响B市．(2)如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由(1)得BH=160，由条件得BP1=BP2=200，∴所以P1P2 = 222200160=240∴台风影响的时间t =24030= 8(小时).20.某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：(说明：A 级：90分﹣100分;B级：75分﹣89分;C级：60分﹣74分;D级：60分以下)(1)求出D级学生的人数占全班总人数的百分比;(2)求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数;(3)该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内;(4)若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人?【答案】(1)4%;(2)72°;(3)落在B等级内;(4)380人【解析】【分析】(1)先求出总人数，再求D成绩的人数占的比例;(2)C成绩的人数为10人，占的比例=10÷50=20%，表示C的扇形的圆心角=360°×20%=72°，(3)根据中位数的定义判断;(4)该班占全年级的比例=50÷500=10%，所以，这次考试中A级和B级的学生数=(13+25)÷10%=380人，【详解】(1)总人数为25÷50%=50人，D成绩的人数占的比例:2÷50=4%;(2)表示C的扇形的圆心角360°×(10÷50)=360°×20%=72°;(3)由于A成绩人数为13人，C成绩人数为10人，D成绩人数为2人，而B成绩人数为25人，故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内;(4)这次考试中A级和B级的学生数：(13+25)÷(50÷500)=(13+25)÷10%=380(人)．【点睛】本题主要考查统计图和用样本估计总体，提取统计图中的有效信息是解答此题的关键.21.如图，已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AB＝5,BC＝3.(1) 求sin∠BAC的值;(2) 如果OE⊥AC, 垂足为E,求OE的长;(3) 求tan∠ADC的值.(结果保留根号)【答案】(1)35(2)32(3)43【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可得到∠ACB是直角，再根据三角函数求解即可;(2)首先根据垂径定理得出E是AC中点．再根据中位线定理求解即可;(3)根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，在RtACB中求出tan∠ABC即可．【详解】解：(1)∵AB⊙O直径∴∠ACB=90°∵AB=5，BC=3∴sin∠BAC=＝35;(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心∴E是AC中点．又∵O是AB的中点．∴OE=12BC=32;(3)在RtACB中，∠ACB=90°∵AB=5，BC=3∴=4 ∵∠ADC=∠ABC∴tan∠ADC=tan∠ABC=43 ACBC=．【点睛】此题主要考查锐角三角函数的定义，综合运用了圆周角定理、中位线定理、勾股定理等知识点．求出OE是△ACB的中位线和得出tan∠ADC=tan∠ABC是解题的关键．22.某地2015年为做好”精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?【答案】(1)50%;(2)今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【解析】【分析】(1)设年平均增长率为x，根据”2015年投入资金×(1+增长率)2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可;(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据”前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．【详解】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280(1+x)2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.5(舍)，答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%;(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+(a﹣1000)×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．考点：一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.23.正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN;(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.BM=时，四边形ABCN面积最大为10;(3)当点M运动到BC的中点时，【答案】(1)证明见解析;(2)当2∽，此时2ABM AMNx=.【解析】试题分析：(1)、根据AM⊥MN得出∠CMN＋∠AMB= 90°，根据Rt△ABM得出∠CMN＝∠MAB，从而得出三角形相似;(2)、根据三角形相似得出CN与x的关系，然后根据梯形的面积计算法则得出函数解析式;(3)、根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出BM=CM，即M为BC的中点. 试题解析：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B=∠C =90°，∵AM⊥MN ∴∠AMN= 90°. ∴∠CMN＋∠AMB= 90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠CMN＝∠MAB．∴Rt△AMN∽Rt△MCN;(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴∴∴CN=∴y===当x=2时，y取最大值，最大值为10;故当点肘运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10;(3)∵∠B＝∠AMN= 90°，∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有由(1)知∴BM=MC∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x=2考点：(1)、相似三角形的应用;(2)、二次函数的应用24.平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为(0,3)、(-1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C 、A 、A′，求此抛物线的解析式;(2)求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D 的周长;(3)点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M 在何处时;△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M 的坐标.【答案】(1)y=-x 2+2x+3;(2)2101+;(3)当点M 的坐标为(32，154)时，△AMA′的面积有最大值，且最大值为278. 【解析】【分析】(1)根据旋转的性质，可得A′点，根据待定系数法，可得答案;(2)根据相似三角形的判定与性质，可得答案;(3)根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】解：(1)∵▱A′B′O′C′由▱ABOC 旋转得到，且A 的坐标为(0，3)，得点A′的坐标为(3，0)．设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，将A ，A′C 的坐标代入，得03930a b c c a b c -+⎧⎪⎨⎪++⎩＝＝＝，解得123a b c -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， 抛物线的解析式y=-x 2+2x+3;(2)∵AB ∥OC ，∴∠OAB=∠AOC=90°， ∴22=10OA AB +又∠OC′D=∠OCA=∠B ，∠C′OD=∠BOA ，∴△C′OD ∽△BOA ，又OC′=OC=1，∴1010C OD OCBOA OB''==的周长的周长，又△ABO的周长为4+10，∴△C′OD的周长为4+1010210=1+105（）．(3)作MN⊥x轴交AA′于N点，设M(m，-m2+2m+3)，AA′的解析式为y=-x+3，N点坐标为(m，-m+3)，MN的长为-m2+3m，S△AMA′=12MN•x A′=12(-m2+3m)×3=-32(m2-3m)=-32(m-32)2+278，∵0＜m＜3，∴当m=32时，-m2+2m+3=154，M(32，154)，△AMA′的面积有最大值278．点睛：本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法，解(2)的关键是利用相似三角形的判定与性质;解(3)的关键是利用面积的很差得出二次函数．。
精品中考冲刺模拟考试《数学试卷》附答案解析
数学中考模拟测试卷一、选择题1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ） A. 摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B. 摸出的三个球中至少有一个球是白球 C. 摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D. 摸出的三个球中至少有两个球是白球3. 一元二次方程210x x --=的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断 4. 如图，在O 中，AB 所对的圆周角050ACB ∠=，若P 为AB 上一点，055AOP ∠=，则POB ∠的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 55°D. 60°5. 用配方法解方程2890x x ++=，变形后结果正确的是( ) A. ()249x +=-B. ()247x +=-C. ()2425x +=D. ()247x +=6. 二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是（ ）A. 4a =B. 当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C. 当1x =-时，5b >-D. 当3x >时，y 随x 的增大而增大7. 如图，将OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，若40AOB ∠=，则AOD ∠=（ ）A. 45°B. 40°C. 35°D. 30°8. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,5,8OC cm CD cm ==,则AE =( )A. 8cmB. 5cmC. 3cmD. 2cm9. 国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ） A. ()9121x -=B. ()2911x -=C. ()9121x +=D. ()2911x +=10. 如图等边△ABC 边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 沿A ﹣B ﹣C 以2cm /s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停止运动，若△APQ 的面积为S （cm 2），点Q 的运动时间为t （s ），则下列最能反映S 与t 之间大致图象是（ ）A. B.C. D.二、填空题11. 编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是___． 12. 关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a 的值为_____．13. 若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 14. 如图，在矩形ABCD 中，1,30AB DBC =∠=︒. 若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点E 处，点D 经过的路径为DE ，则图中阴影部分的面积为______.15. 如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30后得到正方形BEFG ，EF 与AD 交于点H ，延长DA 交GF 于点K . 若正方形ABCD 边长为3，则AK 的长为______.16. 二次函数()2y ax bx c a 0=++≠中自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表:x…32- 1-12- 012 132 …y…54-2- 94-2-54- 074…则2ax bx c 0++=的解为________．三、解答题17. 解方程:3x （x ﹣2）=x ﹣2．18. 已知:在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(5,4)A ，(0,3)B ，(2,1)C ． （1）画出ABC ∆关于原点成中心对称的111A B C ∆，并写出点1C 的坐标； （2）画出将111A B C 绕点1C 按顺时针旋转90所得的221A B C ∆．19. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4.(1)一次性随机抽取2张卡片，求这两张卡片上的数字之和为奇数的概率；(2)随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率. 20. 将一块面积为2120m 的矩形菜地的长减少2m ，它就变成了正方形，求原菜地的长． 21. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于D ，点E 在线段AC 上，且ED EA =.(1)求证:ED 是O切线．(2)若3,60ED B =∠=︒，求O 的半径．22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映:如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？ 23. 如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （1522，）和B （4，6），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）当C 为抛物线顶点的时候，求BCE ∆的面积.（3）是否存在这样的点P ，使BCE ∆的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.答案与解析一、选择题1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义“是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合的图形”和轴对称图形的定义“是指平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形”逐项判断即可.【详解】A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项不符题意B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，此项符合题意C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此项不符题意D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项不符题意故选:B.【点睛】本题考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，这是常考点，熟记定义是解题关键.2.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A. 摸出的三个球中至少有一个球是黑球B. 摸出的三个球中至少有一个球是白球C. 摸出的三个球中至少有两个球是黑球D. 摸出的三个球中至少有两个球是白球【答案】A【解析】【分析】根据必然事件的概念:在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C 、是随机事件，选项错误；D 、是随机事件，选项错误． 故选A ．3. 一元二次方程210x x --=的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断【答案】A 【解析】 【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-，然后计算∆，最后根据计算结果判断方程根的情况.【详解】21,1,14145a b c b ac ==-=-∴∆-=+=∴方程有两个不相等的实数根.故选A.【点睛】本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-计算是解题的突破口. 4. 如图，在O 中，AB 所对的圆周角050ACB ∠=，若P 为AB 上一点，055AOP ∠=，则POB ∠的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 55°D. 60°【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB 的度数，进而由角的和差求得结果． 【详解】解:∵∠ACB=50°， ∴∠AOB=2∠ACB=100°， ∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°， 故选B ．【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．5. 用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A. ()249x +=- B. ()247x +=-C. ()2425x +=D. ()247x +=【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】2890x x ++=，289x x +=-， 2228494x x ++=-+，所以()247x +=， 故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 6. 二次函数2y x ax b=-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是（ ）A. 4a =B. 当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C. 当1x =-时，5b >-D. 当3x >时，y 随x 的增大而增大 【答案】C 【解析】【分析】根据对称轴公式2bx a=和二次函数的性质，结合选项即可得到答案. 【详解】解:∵二次函数2y x ax b =-+ ∴对称轴为直线22ax == ∴4a =，故A 选项正确；当4b =-时，2244(2)8y x x x =--=-- ∴顶点的坐标为(2,8)-，故B 选项正确； 当1x =-时，由图象知此时0y < 即140b ++<∴5b <-，故C 选项不正确； ∵对称轴为直线2x =且图象开口向上∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确； 故选C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.7. 如图，将OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，若40AOB ∠=，则AOD ∠=（ ）A. 45°B. 40°C. 35°D. 30°【答案】D 【解析】 【分析】首先根据旋转角定义可以知道70BOD ∠=，而40AOB ∠=，然后根据图形即可求出AOD ∠． 【详解】解:∵OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置， ∴70BOD ︒∠=，而40AOB ︒∠=，∴704030AOD ∠=-= 故选D ．【点睛】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 8. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,5,8OC cm CD cm ==,则AE =( )A. 8cmB. 5cmC. 3cmD. 2cm【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得出CE 的长度，在Rt △OCE 中，利用勾股定理可得出OE 的长度，再利用AE=AO+OE 即可得出AE 的长度．【详解】∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD=8cm ， ∴CE=12CD=4cm ． 在Rt △OCE 中，OC=5cm ，CE=4cm ， ∴22OC CE -=3cm ， ∴AE=AO+OE=5+3=8cm ． 故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE 的长度是解题的关键． 9. 国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ） A. ()9121x -= B. ()2911x -=C. ()9121x +=D. ()2911x +=【答案】B 【解析】 【分析】等量关系为:2016年贫困人口()212018⨯-=下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【详解】解:设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得:()2911x -=，故选B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键． 10. 如图等边△ABC 的边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 沿A ﹣B ﹣C 以2cm /s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停止运动，若△APQ 的面积为S （cm 2），点Q 的运动时间为t （s ），则下列最能反映S 与t 之间大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得，然后根据点P 的位置分类讨论，分别求出S 与t 的函数关系式即可得出结论．【详解】解:∵△ABC 为等边三角形∴∠A=∠C=60°，AB=BC=AC=4当点P 在AB 边运动时，根据题意可得AP=2t ，AQ=t∴△APQ 为直角三角形S＝12AQ×PQ＝12AQ×（AP·sinA）＝12×t×2t×32＝32t2，图象为开口向上的抛物线，当点P在BC边运动时，如下图，根据题意可得PC=2×4－2t=8－2t，AQ=tS＝12×AQ×PH＝12×AQ×（PC·sinC）＝12×t×（8﹣2t）×3＝3t（4﹣t）=-3t2+23t，图象为开口向下的抛物线；故选:C．【点睛】此题考查的是根据动点判定函数的图象，掌握三角形面积的求法、二次函数的图象及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．二、填空题11. 编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是___．【答案】35．【解析】【分析】直接利用概率公式求解可得．【详解】在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，所以编号是偶数的概率为35，故答案为35．【点睛】本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率()P A=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．【答案】-1.【解析】分析:先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．详解:把x=0代入方程得:|a|-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a=-1．故选A ．点睛:本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a 的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．13. 若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．【答案】150【解析】【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm ，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ， 65180n ππ⨯∴=， 解得:150n =故答案为150．【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积14. 如图，在矩形ABCD 中，1,30AB DBC =∠=︒. 若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点E 处，点D 经过的路径为DE ，则图中阴影部分的面积为______.【答案】33π【解析】【分析】先利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD 和BC 的长，再求出Rt BCD ∆和扇形BDE 的面积，两者作差即可得.【详解】由矩形的性质得:90,1BCD CD AB ∠=︒==30DBC ∠=︒ 2222,3BD CD BC BD CD ∴===-= Rt BCD ∴∆的面积为11331222BCD S BC CD ∆=⋅=⨯⨯= 扇形BDE 所对的圆心角为306DBC π∠=︒=，所在圆的半径为BD 则扇形BDE 的面积为2211226263BDE S BD πππ=⨯⋅=⨯⨯=扇形 所以图中阴影部分的面积为33BCD BDE S S S π∆=-=-阴影扇形 故答案为:33π-. 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、扇形的面积公式，这是一道基础类综合题，求出扇形BDE 的面积是解题关键.15. 如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30后得到正方形BEFG ，EF 与AD 交于点H ，延长DA 交GF 于点K . 若正方形ABCD 边长为3，则AK 的长为______.【答案】33【解析】【分析】如图（见解析），连接BH ，由三角形全等的判定定理可证Rt ABH Rt EBH ∆≅∆，再利用直角三角形的性质可得AH 和EH 的长，在Rt KFH ∆中，利用直角三角形的性质可得HK 的长，最后根据线段的和差即可求得AK 的长.【详解】如图，连接BH由旋转的性质、正方形的性质得:39030AB BE EFABC BAD EFEBC⎧===⎪∠=∠=∠=∠=︒⎨⎪∠=︒⎩903060ABE ABC EBC∴∠=∠-∠=︒-︒=︒360120AHE ABE BAD E∴∠=︒-∠-∠-∠=︒180********FHK AHE∴∠=︒-∠=︒-︒=︒90906030FKH FHK∴∠=︒-∠=︒-︒=︒又BH BH=()Rt ABH Rt EBH HL∴∆≅∆130,2ABH EBH ABE AH EH∴∠=∠=∠=︒=在Rt ABH∆中，222,,3BH AH AH BH AB AB==-=，则1AH=31FH EF EH EF AH∴=-=-=-Rt KFH∆中，22(31)232HK FH==-=-2321233AK HK AH∴=-=--=-故答案:233-.【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键.16. 二次函数()2y ax bx c a0=++≠中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x…32-1-12-012132…则2ax bx c 0++=的解为________．【答案】x 2=-或1【解析】【分析】由二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x 轴的另一个交点．继而求得答案.【详解】解:∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），∴此抛物线的对称轴为:直线x=-12， ∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x 轴的另一个交点为:（-2，0），∴ax 2+bx+c=0的解为:x=-2或1．故答案为x=-2或1. 【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键. 三、解答题17. 解方程:3x （x ﹣2）=x ﹣2．【答案】x 1=2或x 2=13 【解析】【分析】移项后提取公因式x ﹣2后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【详解】解:3x （x ﹣2）=x ﹣2，移项得:3x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）=0整理得:（x ﹣2）（3x ﹣1）=0x ﹣2=0或3x ﹣1=0解得:x 1=2或x 2=13. 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以x ﹣2，这样会漏根．18. 已知:在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(5,4)A ，(0,3)B ，(2,1)C ．（1）画出ABC ∆关于原点成中心对称的111A B C ∆，并写出点1C 的坐标；（2）画出将111A B C 绕点1C 按顺时针旋转90所得的221A B C ∆．【答案】（1）如图所示，111A B G ∆即为所求，见解析，点1C 的坐标为(2,1)--；（2）如图所示，221A B C ∆即为所求．见解析.【解析】【分析】()1分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；()2分别作出点1A 、1B 绕点1C 按顺时针旋转90所得的对应点，再顺次连接即可得．【详解】解:（1）如图所示，111A B G ∆即为所求，其中点1C 的坐标为(2,1)--．（2）如图所示，221A B C ∆即为所求．【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．19. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4.(1)一次性随机抽取2张卡片，求这两张卡片上的数字之和为奇数的概率；(2)随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率.【答案】(1)23P =；(2)316P =. 【解析】【分析】 （1）先列出一次性随机抽取2张卡片所有可能的结果，再找出两张卡片上的数字之和为奇数的结果，最后利用概率公式计算即可；（2）先列出两次抽取卡片的所有可能的结果，再找出两次取出的卡片上的数字之和等于4的结果，最后利用概率公式计算即可； 【详解】（1）由题意得:一次性随机抽取2张卡片的所有可能的结果有6种，即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，它们每一种出现的可能性相等从中可看出，两张卡片上的数字之和为奇数的结果有4种，即(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)故所求的概率为4263P ==； （2）两次抽取卡片的所有可能的结果有16种，列表如下:它们每一种出现的可能性相等从中可看出，两次取出的卡片上的数字之和等于4的结果有3种，即(3,1),(2,2),(1,3)故所求的概率为316P =. 【点睛】本题考查了用列举法求概率，依据题意正确列举出事件的所有可能的结果是解题关键.20. 将一块面积为2120m 的矩形菜地的长减少2m ，它就变成了正方形，求原菜地的长．【答案】原菜地长为12m .【解析】【分析】设原菜地的长为xm ，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.【详解】设原菜地的长为xm ，则原矩形菜地的宽(2)x m -由题意得:(2)120x x -=解得:112x =，210x =-(不合题意，舍去)答:原菜地的长为12m .【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.21. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于D ，点E 在线段AC 上，且ED EA =.(1)求证:ED 是O 的切线．(2)若3,60ED B =∠=︒，求O 的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)O 的半径为1. 【解析】【分析】（1）如图（见解析），连接OD ，先根据等边对等角求出,B DO ADE B A ∠=∠∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余得90A B ∠+∠=︒，从而可得90ADE BDO ∠+∠=︒，最后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）先根据圆的切线的判定定理得出CA 是O 的切线，再根据切线长定理可得EC ED =，从而可得AC 的长，最后在Rt ABC ∆中，利用直角三角形的性质即可得.【详解】如图，连接ODED EA =A ADE ∴∠=∠OB OD =B BDO ∴∠=∠又90C ∠=︒，则90A B ∠+∠=︒90ADE BDO A B ∴∠+∠=∠+∠=︒180()90ODE ADE BDO ∴∠=︒-∠+∠=︒OD ED ∴⊥，且OD 为O 的半径∴ED 是O 的切线；（2）90C ∠=︒，BC 是直径CA ∴是O 的切线由（1）知，ED 是O 的切线ED EC ∴= 3,ED ED EA ==3ED EC EA ∴===23AC EC EA ∴=+=在Rt ABC ∆中，60,90B C ∠=︒∠=︒，则9030A B ∠=︒-∠=︒2222,AB BC AB BC AC ∴==+2BC ∴=112OB BC ∴== 故O 的半径为1.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理，较难的是（2），利用切线长定理求出EC 的长是解题关键.22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映:如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？【答案】定价为57.5元时，所获利润最大，最大利润为6125元.【解析】【分析】设所获利润为y 元，每件降价x 元，先求出降价后的每件利润和销量，再根据“利润=每件利润⨯销量”列出等式，然后根据二次函数的性质求解即可.【详解】设所获利润为y 元，每件降价x 元则降价后的每件利润为(6040)(020)x x --≤≤元，每星期销量为(30020)x +件由利润公式得:(6040)(30020)y x x =--+整理得:220( 2.5)6125y x =--+由二次函数的性质可知，当0 2.5x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当2.520x <≤时，y 随x 的增大而减小 故当 2.5x =时，y 取得最大值，最大值6125元 即定价为:60 2.557.5-=元时，所获利润最大，最大利润为6125元.【点睛】本题考查了二次函数的应用，依据题意正确得出函数的关系式是解题关键.23. 如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （1522，）和B （4，6），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当C 为抛物线顶点的时候，求BCE ∆的面积.（3）是否存在这样的点P ，使BCE ∆的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2286y x x =-+；（2）18BCE S ∆=（3）存在，262712BCE S m m ∆=-+-（m 为点P 的横坐标）当m=94时，BCE S ∆=1478【解析】【分析】（1）把A 、B 坐标代入二次函数解析式，求出a 、b ，即可求得解析式；（2）根据第（1）问求出的函数解析式可得出C 点的坐标，根据C 、P 两点横坐标一样可得出P 点的坐标，将△BCE 的面积分成△PCE 与△PCB ，以PC 为底，即可求出△BCE 的面积.（3）设动点P 的坐标为（m ，m+2），点C 的坐标为（m ，2286m m -+），表示出PC 的长度，根据()ABC 132B A S PC x x PC =-=，构造二次函数，然后求出二次函数的最大值，并求出此时m 的值即可.【详解】解:(1)∵A(15,22)和B (4,6)在抛物线y=ax 2+bx+6上， ∴115642216466a b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩解得:28a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式2y 286x x =-+； （2）∵二次函数解析式为2y 286x x =-+， ∴顶点C 坐标为()22-，， ∵PC ⊥x ，点P 在直线y=x+2上，∴点P 的坐标为()24，， ∴PC=6；∵点E 为直线y=x+2与x 轴的交点，∴点E 的坐标为()2,0-∵ ()()BCE PCE PCB 1122C E B C SS S PC x x PC x x =+=-+-=()12B E PC x x - ∴BCE 166182S =⨯⨯=. （3）存在.设动点P 的坐标是(),2m m +，点C 的坐标为()2,286m m m -+， ∵()BCE 132B E S PC x x PC =-=()()22PC 2286294m m m m m =+--+=-+-∴22BCE 9147362724648S PC m m n ⎛⎫==-+-=--+ ⎪⎝⎭∵70 2-<,∴函数开口向下，有最大值∴当94m=时，△ABC的面积有最大值为1478.【点睛】本题考查二次函数的综合应用.（1）中考查利用待定系数发求函数解析式，注意求出函数解析式后要再验算一遍，因为第一问的结果涉及后面几问的计算，所以一定要保证正确；（2）中考查三角形面积的计算，坐标系中三角形面积要以坐标轴或者平行于坐标轴的边为底，如果没有的话要利用割补法进行计算；（3）在（2）的基础上，求动点形成的三角形面积的最值，要设动点的坐标，然后构造相应的函数解析式，再分析最值.。
2024届内蒙古昆都仑区重点名校中考冲刺卷数学试题含解析
2024届内蒙古昆都仑区重点名校中考冲刺卷数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．三菱柱B．三棱锥C．长方体D．圆柱体2．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣23．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y取最大值；③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c> ax2＋bx＋c时，x的取值范围是－4<x<0；其中推断正确的是（）A．①②B．①③C．①③④D．②③④4．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB32，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②2BF＝PB•EF；③PF•EF＝22AD；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．③④5．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）A．B．C．D．6．某班为奖励在学校运动会上取得好成绩的同学，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件．设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y件．依题意，可列方程组为（）A．204030650x yx y+=⎧⎨+=⎩B．204020650x yx y+=⎧⎨+=⎩C．203040650x yx y+=⎧⎨+=⎩D．704030650x yx y+=⎧⎨+=⎩7．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=12，那么sinB的值是（）A．32B．12C2D．228．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y=kx（k＜0）的图象经过点B，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣32 C．32 D．﹣369．如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（,1），下列结论：①ac＜1；②a+b=1；③4ac ﹣b2=4a；④a+b+c＜1．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=33，则AP的长为_____．12．在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____．13．如图，▱ABCD 中，AC ⊥CD ，以C 为圆心，CA 为半径作圆弧交BC 于E ，交CD 的延长线于点F ，以AC 上一点O 为圆心OA 为半径的圆与BC 相切于点M ，交AD 于点N ．若AC=9cm ，OA=3cm ，则图中阴影部分的面积为_____cm 1．14．分解因式：2x 2﹣8xy+8y 2= ．15．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是_____．16．如图，⊙O 的半径为1cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分面积为_____cm 1．（结果保留π）17．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m=0（m ＞0），当m=1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：112220182018111111...αβαβαβ++++++的值为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，交⊙O 于点P ，OA =5，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C . （1）求证：AB=AC ；（2）若25PC =O 的半径.19．（5分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：频数频率分布表成绩x（分）频数（人）频率50≤x＜60 10 0.0560≤x＜70 30 0.1570≤x＜80 40 n80≤x＜90 m 0.3590≤x≤10050 0.25根据所给信息，解答下列问题：（1）m=，n=；（2）补全频数分布直方图；（3）这200名学生成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？20．（8分）如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，△ABP的面积为8，求P点坐标．21．（10分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E. F．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．23．（12分）如图①，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ，则图中ADE ≌DFC △，可知ED FC =，求得DMC ∠=______．如图②，在矩形()ABCD AB BC >的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ．()1求证：ED FC =． ()2若20ADE ∠=，求DMC ∠的度数．24．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称P ，Q 两点为同族点．下图中的P ，Q 两点即为同族点．(1)已知点A 的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A 的同族点的是 ；②若点B 在x 轴上，且A ，B 两点为同族点，则点B 的坐标为 ； (2)直线l ：y=x ﹣3，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，①M 为线段CD 上一点，若在直线x=n 上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，求n 的取值范围；②M 为直线l 上的一个动点，若以(m ，0)2为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解题分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【题目详解】由于左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱．故选：B．【题目点拨】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．2、C【解题分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【题目详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得-2＜-1＜1＜1，∴在1、-1、1、-2这四个数中，最大的数是1．故选C．【题目点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．3、B【解题分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【题目详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x=-2时，y 取最大值，则由于点A 和点B 到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A 和点B 的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A 和D ； 剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y=kx+c （k≠0）经过点A ，C ，当kx+c ＞ax 2+bx+c 时，x 的取值范围是x ＜-4或x ＞0，从而④错误． 故选：B ． 【题目点拨】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题． 4、B 【解题分析】由条件设，AB=2x ，就可以表示出，，用三角函数值可以求出∠EBC 的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP ，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF 、EF 的值，从而可以求出结论． 【题目详解】解：设，AB=2x ∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC ，CD=AB ，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC ∥AB∴x ，CD=2x ∵CP ：BP=1：2∴CP=3x ，BP=3x∵E 为DC 的中点， ∴CE=12CD=x ，∴tan ∠CEP=PC EC =3，tan ∠EBC=EC BC =3∴∠CEP=30°，∠EBC=30° ∴∠CEB=60° ∴∠PEB=30° ∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，∴BE BP EF BF∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴2BF＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=433x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴3∴PF·EF=33322AD2=2×3x）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误. 在Rt△ECP中，∵∠CEP=30°，∴23x∵tan∠PAB=PBAB3∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，x，PO=3x∴4AO·2又EF·x=4x2∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．故选，B【题目点拨】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．5、D【解题分析】分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意; 故选D.点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．6、A【解题分析】根据题意设未知数,找到等量关系即可解题,见详解.【题目详解】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件．依题意，甲、乙两种奖品共20件,即x+y=20, 购买甲、乙两种奖品共花费了650元,即40x+30y=650,综上方程组为20 4030650x yx y+=⎧⎨+=⎩,故选A.【题目点拨】本题考查了二元一次方程组的列式,属于简单题,找到等量关系是解题关键.7、A【解题分析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=12，∴2=，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=2．故选A．8、B【解题分析】解：∵O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，∴OA=5，AB∥OC，∴点B的坐标为（8，﹣4），∵函数y=kx（k＜0）的图象经过点B，∴﹣4=k8，得k=﹣32.故选B.【题目点拨】本题主要考查菱形的性质和用待定系数法求反函数的系数，解此题的关键在于根据A点坐标求得OA的长，再根据菱形的性质求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的系数即可.9、A【解题分析】分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图．详解：该几何体的左视图是：故选A．点睛：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．10、C【解题分析】①根据图象知道：a＜1，c＞1，∴ac＜1，故①正确；②∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴x="-b/2a" ="1/2" ，∴a+b=1，故②正确；③根据图象知道：x=1时，y=a++b+c＞1，故③错误；④∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴=1，∴4ac-b2=4a，故④正确．其中正确的是①②④．故选C二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、33或63【解题分析】分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形，即可求得OA的长度，在直角△OBP 中利用勾股定理求得OP的长，则AP即可求得．【题目详解】设AC和BE相交于点O．当P 在OA 上时，∵AB=AD ，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=AB=9，OB=OD=12BD=92． 则AO=2222993=9-()22AB OB -=． 在直角△OBP 中，OP=2222933(33)()22PB OB -=-=． 则AP=OA-OP-93333322-=； 当P 在OC 上时，AP=OA+OP=93336322+=． 故答案是：33或63．【题目点拨】本题考查了菱形的性质，注意到P 在AC 上，应分两种情况进行讨论是解题的关键．12、494【解题分析】如图，设AH=x ，GB=y ，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x ，y 即可解决问题．【题目详解】解：如图，设AH ＝x ，GB ＝y ，∵EH ∥BC ，AH EH AC BC∴=， 135x x y∴=++① ∵FG ∥AC ，FG BG AC BC ∴= 135y x y=++②， 由①②可得x ＝12，y ＝2， ∴AC ＝72，BC ＝7， ∴S △ABC ＝494， 故答案为494． 【题目点拨】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．13、11π﹣6334． 【解题分析】阴影部分的面积=扇形ECF 的面积-△ACD 的面积-△OCM 的面积-扇形AOM 的面积-弓形AN 的面积．【题目详解】解：连接OM ，ON .∴OM =3，OC =6，∴30ACM ∠=，∴33CD AB ==，∴扇形ECF 的面积2120π927π360⋅==； △ACD 的面积322AC CD =⨯÷= 扇形AOM 的面积2120π33π360⋅==；弓形AN 的面积2120π31393333π360224⋅=-⨯⨯=-； △OCM 的面积19333322=⨯⨯=； ∴阴影部分的面积=扇形ECF 的面积−△ACD 的面积−△OCM 的面积−扇形AOM 的面积−弓形AN 的面积2633(21π)cm .4=- 故答案为63321π4-． 【题目点拨】考查不规则图形的面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.14、1（x ﹣1y ）1【解题分析】试题分析：1x 1﹣8xy+8y 1=1（x 1﹣4xy+4y 1）=1（x ﹣1y ）1．故答案为：1（x ﹣1y ）1．考点：提公因式法与公式法的综合运用15、35°【解题分析】分析：先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°-∠3代入数据进行计算即可得解． 详解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，∴∠3=∠1=25°，∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°．故答案为35°．点睛：本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键．16、6π【解题分析】试题分析：根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．试题解析：如图所示：连接BO，CO，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=1，∠ABC=110°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中{BWA OWC BAW OCW AB CO∠=∠∠=∠=，∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=26013606ππ⨯=．考点：正多边形和圆．17、4036 2019．【解题分析】利用根与系数的关系得到α1+β1=-2，α1β1=-1×2；α2+β2=-2，α2β2=-2×3；…α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×1．把原式变形，再代入，即可求出答案．【题目详解】∵x2+2x-m2-m=0，m=1，2，3， (2018)∴由根与系数的关系得：α1+β1=-2，α1β1=-1×2；α2+β2=-2，α2β2=-2×3；…α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×1．∴原式=3320182018112211223320182018αβαβαβαβαβαβαβαβ+++++++⋯+ =222212233420182019+++⋯+⨯⨯⨯⨯ =2×（111111112233420182019-+-+-+⋯+-） =2×（1-12019） =40362019， 故答案为40362019． 【题目点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明见解析；（2）1．【解题分析】（1）由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC ，由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，则∠ABP=∠ACB ，根据等角对等边得AB=AC ；（2）设⊙O 的半径为r ，分别在Rt △AOB 和Rt △ACP 中根据勾股定理列等式，并根据AB=AC 得52﹣r 2=（2﹣（5﹣r ）2，求出r 的值即可．【题目详解】解：（1）连接OB ，∵OB=OP ，∴∠OPB=∠OBP ，∵∠OPB=∠APC ，∴∠OBP=∠APC ，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AB ，∴∠ABO=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA ⊥AC ，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB ，∴AB=AC ；（2）设⊙O 的半径为r ，在Rt △AOB 中，AB 2=OA 2﹣OB 2=52﹣r 2，在Rt △ACP 中，AC 2=PC 2﹣PA 2，AC 2=（2﹣（5﹣r ）2，∵AB=AC ，∴52﹣r 2=（2﹣（5﹣r ）2，解得：r=1，则⊙O 的半径为1．【题目点拨】本题考查了圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径；并利用勾股定理列等式，求圆的半径；此类题的一般做法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；简记作：见切点，连半径，见垂直．19、（1）70，0.2；（2）补图见解析；（3）80≤x＜90；（4）750人.【解题分析】分析：（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m的值，用第三组频数除以数据总数可得n的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．详解：（1）本次调查的总人数为10÷0.05=200，则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2，（2）频数分布直方图如图所示，（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x＜90，∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．点睛：本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．20、（1）y=6x；（2）（4，0）或（0，0）【解题分析】(1)把x=1代入一次函数解析式求得A的坐标,利用待定系数法求得反比例函数解析式;(2)解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标，后利用△ABP的面积为8，可求P点坐标. 【题目详解】解：（1）把x=1代入y=2x﹣4，可得y=2×1﹣4=2，∴A（1，2），把（1，2）代入y=kx，可得k=1×2=6，∴反比例函数的解析式为y=6x；（2）根据题意可得：2x﹣4=，解得x1=1，x2=﹣1，把x2=﹣1，代入y=2x﹣4，可得y=﹣6，∴点B的坐标为（﹣1，﹣6）．设直线AB与x轴交于点C，y=2x﹣4中，令y=0，则x=2，即C（2，0），设P点坐标为（x，0），则×|x﹣2|×（2+6）=8，解得x=4或0，∴点P的坐标为（4，0）或（0，0）．【题目点拨】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，及一次函数与反比例函数交点的问题，联立两函数可求解。
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中考数学综合模拟测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题（共8小题）1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 圆锥C. 圆柱D. 三棱柱2.为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ） A. 611610⨯B. 711.610⨯C. 71.1610⨯D. 81.1610⨯3.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A. a ＞bB. a ＝b ＞0C. ac ＞0D. |a |＞|c |4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.5. 如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 6B. 11C. 12D. 186.如果2a b +=，那么代数式2b aa a ab ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是（ ）. A. 2B. 2-C.12D. 12-7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤o o ）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A. 18oB. 36oC. 41oD. 58o8.为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点A 的坐标为11-（，），表示点B 的坐标为32（，），则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A. C 10-（，）B. D 31-（，）C. E 25--（，）D. F 52（，）二．填空题（共8小题）9.若二次根式x 2-有意义，则x 的取值范围是___．10.如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC BCA ∠+∠=__________．11.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数x （单位：分）及方差S 2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．甲乙丙丁x 7 8 8 7s2 1 1.2 0.9 1.812.如图，AD为ABCV的外接圆Oe的直径，如果50BAD∠=︒，那么ACB=∠__________．13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_____．14.设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣2x图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是_____．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为____．16.完全相同的3个小球上面分别标有数－2、－1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是________．三．解答题（共12小题）17.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使//PQ l.作法：如图，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于,A B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接,PB QB，∵PA QB=，∴»PA=__________.∴PBA QPB∠=∠（______________）（填推理的依据）.∴//PQ l（_____________）（填推理依据）.18.计算：()02cos301223π++-o．19.解不等式组：()311342x xx⎧-+⎪⎨-≥-⎪⎩＜20.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．21.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝2，求OE的长．22.为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：成绩x 学校5060x≤<6070x≤<7080x≤<8090x≤<90100x≤<甲 4 11 13 10 2乙 6 3 15 14 2（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在7080x≤<这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2 n 85乙73.5 76 84根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是_____________校的学生（填“甲”或“乙”），理由是__________； （3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数． 23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与函数(0)ky k x=≠的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1,)a ．（1）求k 的值；（2）已知点(,0)P m ，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =+于点C ，交函数(0)ky k x=≠的图象于点D ．①当2m =时，求线段CD 的长；②若PC PD >，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．24.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与 图形G 有且只有一个交点？请说明理由． 25.如图，C 是¼AmB 的一定点，D 是弦AB 上的一定点，P 是弦CB 上的一动点.连接DP ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90︒得到线段PD '.射线PD '与¼AmB 交于点Q.已知6cm BC =，设P ，C 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离1cm y ，P ，Q 两点的距离为2cm y .小石根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y ，与x 的几组对应值： x/cm0 1 2 3 4 5 6 1y /cm 4.293.331.651.221.502.242y /cm0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点1(,)x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为_____cm.（结果保留一位小数）26.在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a=+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ． （1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27.已知△ABC 为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）．将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ．连结DE 、BE ．（1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系．（2）过点A 作AF ⊥EB 交EB 延长线于点F ．用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为r （r ＞0）．给出如下定义：若平面上一点P 到圆心O 的距离d ，满足1322r d r ≤≤，则称点P 为⊙O 的“随心点”．（1）当⊙O 的半径r =2时，A （3，0），B （0，4），C （32-，2），D （12，12-）中，⊙O 的“随心点”是 ； （2）若点E （4，3）是⊙O 的“随心点”，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）当⊙O 的半径r =2时，直线y=- x+b （b ≠0）与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在⊙O 的“随心点”，直接写出b 的取值范围 ．答案与解析一．选择题（共8小题）1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 圆锥C. 圆柱D. 三棱柱【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称． 【详解】俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱， 故选：D ．【点睛】考查简单几何体的三视图，画三视图注意“长对正，宽相等，高平齐”的原则，三视图实际上就是从三个方向的正投影所得到的图形．2.为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ） A. 611610⨯ B. 711.610⨯C. 71.1610⨯D. 81.1610⨯【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将116000000用科学记数法表示应为1.16×108． 故选：D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. a＞bB. a＝b＞0C. ac＞0D. |a|＞|c|【答案】D【解析】【分析】根据数轴的特点：判断a、b、c正负性，然后比较大小即可．【详解】根据数轴的性质可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|；所以a＞b，a＝b＞0，ac＞0错误；|a|＞|c|正确；故选D．【点睛】本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误，故选A.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.5. 如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A. 6B. 11C. 12D. 18【答案】C【解析】试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C．考点：多边形内角与外角．6.如果2a b +=，那么代数式2b a a a a b ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是（ ）. A. 2B. 2-C. 12D. 12- 【答案】A【解析】 【详解】（a －2b a）·a a b - =22a b a-·a a b - =a b a b a +-（）（）·a a b- =a +b =2.故选A.7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤o o ）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A. 18oB. 36oC. 41oD. 58o【答案】C【解析】【分析】 根据已知三点和近似满足函数关系y =ax 2+bx +c (a ≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃∴旋钮的旋转角度x 在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.故选C ，【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．8.为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点A 的坐标为11-（，），表示点B 的坐标为32（，），则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A. C 10-（，）B. D 31-（，）C. E 25--（，）D. F 52（，）【答案】B【解析】【分析】正确建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【详解】建立平面直角坐标系，如图：则00315252C D E F ----（，），（，），（，），（，）. 表示正确的点的坐标是点D.故选B.【点睛】本题主要考查坐标确定位置，确定坐标原点和x ，y 轴的位置及方向，正确建立平面直角坐标系是解题关键.二．填空题（共8小题）9.若二次根式x 2-有意义，则x 的取值范围是___．【答案】x 2≥【解析】【详解】试题分析：根据题意，使二次根式2x -有意义，即x ﹣2≥0，解得x≥2．故答案是x≥2．【点睛】考点：二次根式有意义的条件．10.如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC BCA ∠+∠=__________．【答案】45°．【解析】【分析】构建等腰直角三角形ABD ，根据三角形外角的性质可知，∠BAC+∠BCA=∠ABD ，可得结论．【详解】过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，则AD=BD ，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，∴∠BAC+∠BCA=∠ABD=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查网格型三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数x （单位：分）及方差S 2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．甲乙 丙 丁 x 78 8 7 s 21 1.2 0.9 1.8【答案】丙【解析】【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为丙．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．12.如图，AD 为ABC V 的外接圆O e 的直径，如果50BAD ∠=︒，那么ACB =∠__________．【答案】40°．【解析】【分析】连接BD ，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB 的度数．【详解】连接BD ，如图，∵AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆周角定理．熟练掌握并运用圆周角定理是解决本题的关键.13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____． 【答案】 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 【解析】【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于,x y的二元一次方程组，此题得解．【详解】设木条长x尺，绳子长y尺，依题意，得：4.5112 x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩故答案为4.5112x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14.设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣2x图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是_____．【答案】y2＞y1＞0【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣2x中，k＝﹣2＜0，∴函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴y2＞y1＞0．故答案为：y2＞y1＞0．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为____．【答案】9 【解析】【分析】根据正方形的性质得OB=OD，AD∥BC，根据三角形相似的性质和判定得：1=3BE EFED AE=，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴△BEF∽△DEA，∴BE EF ED AE=，∵E是OB的中点，∴13 BEED=，∴13 EFAE=，∴13BEFAEBS EFS AE∆∆==，∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3，∵13 BEED=，∴13AEBAEDSS∆∆=，∴△AED的面积为9，故答案为：9．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．16.完全相同的3个小球上面分别标有数－2、－1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是________．【答案】2 3【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到能两次摸到的球上数之和是负数的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果，所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为62 93 ，故答案为23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三．解答题（共12小题）17.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使//PQ l.作法：如图，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于,A B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ 就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接,PB QB ，∵PA QB =，∴»PA=__________. ∴PBA QPB ∠=∠（______________）（填推理的依据）.∴//PQ l （_____________）（填推理的依据）.【答案】（1）补全的图形如图所示见解析；（2）QB ，等弧所对的圆周角相等内错角相等，两直线平行.【解析】【分析】()1根据要求作图即可；()2根据圆的有关性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：()1如图所示：()2证明：连接PB 、QB ．PA QB =Q ，PA QB ∴=n n．(PBA QPB ∴∠=∠等弧所对圆周角相等)．//(PQ l ∴内错角相等，两直线平行)．故答案为QB n ，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定．18.计算：()02cos3023π++-o ．【答案】2+【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式化简，零指数幂和绝对值化简即可求出答案.【详解】原式213=+2=．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、二次根式化简，零指数幂和绝对值化简，熟练掌握这些运算法则是解题关键. 19.解不等式组：()311342x x x ⎧-+⎪⎨-≥-⎪⎩＜ 【答案】﹣5≤x ＜2．【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可.【详解】解：()311342x x x ⎧-+⎪⎨-≥-⎪⎩＜①② 解不等式①，得 x ＜2，解不等式②，得x ≥﹣5，∴原不等式组的解集为﹣5≤x ＜2．【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的解法.20.若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a ≤174；（2）x =1或x =2 【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得. 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174； （2）由（1）可知a ≤174， ∴a 的最大整数值为4， 此时方程为x 2﹣3x +2=0， 解得x =1或x =2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若AB ＝5，BD ＝2，求OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）先判断出OAB DCA ∠=∠，进而判断出DAC DAC ∠=∠，得出CD AD AB ==，即可得出结论； （2）先判断出OE OA OC ==，再求出1OB =，利用勾股定理求出OA ，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ， ∴∠OAB ＝∠DCA ， ∵AC 为∠DAB 的平分线， ∴∠OAB ＝∠DAC ，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝12BD＝1，在Rt△AOB中，ABOB＝1，∴OA2，∴OE＝OA＝2．【点睛】一般情况下，平行，角平分线，等腰三角形三者往往相伴出现，我们简称为“知二得一”，即三者只要有二者出现，一般会得到第三个结论，这是几何中一种常见模型.22.为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在7080x≤<这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c ．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n 的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是_____________校的学生（填“甲”或“乙”），理由是__________； （3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）72.5；（2）甲，理由见解析；（3）320名. 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】(1)这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数， 所以中位数727372.52n +==； (2)甲；这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．(3)在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14216+=．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为1680032040⨯= ． 【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用是解题关键．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与函数(0)ky k x=≠的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1,)a ．（1）求k 的值；（2）已知点(,0)P m ，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =+于点C ，交函数(0)ky k x=≠的图象于点D ．①当2m =时，求线段CD 的长；②若PC PD >，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）3k =；（2）①52CD =；②3m <-或1m > 【解析】 【分析】（1）先把点A 代入一次函数得到a 的值，再把点A 代入反比例函数，即可求出k ； （2）①根据题意，先求出m 的值，然后求出点C 、D 的坐标，即可求出CD 的长度；②根据题意，当PC=PD 时，点C 、D 恰好与点A 、B 重合，然后求出点B 的坐标，结合函数图像，即可得到m 的取值范围.【详解】解：（1）把(1,)A a 代入2y x =+，得3a =， ∴点A 为（1，3）， 把(1,3)A 代入ky x=，得3k =； （2）当2m =时，点P 为（2，0），如图：把2x =代入直线2y x =+，得：224y =+=， ∴点C 坐标为（2，4）， 把2x =代入3y x =，得：32y =， ∴35422CD =-=； ②根据题意，当PC=PD 时，点C 、D 恰好与点A 、B 重合，如图，∵23y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：31x y =-⎧⎨=-⎩或13x y =⎧⎨=⎩（即点A ）， ∴点B 的坐标为（31--，）， 由图像可知，当PC PD >时，有点P 在3x =-的左边，或点P 在1x =的右边取到， ∴3m <-或1m >.【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的联系，熟练利用数形结合的思想进行解题.24.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与 图形G 有且只有一个交点？请说明理由． 【答案】（1）补全图形见解析;AD=95；（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与图形G(⊙O)有且只有一个交点.证明见解析. 【解析】 【分析】(1)由勾股定理易求得AB 的长;可连接CD ，由圆周角定理知CD ⊥AB,易知ACD ABC ~V V ,可得关于AC. AD.AB 的比例关系式，即可求出AD 的长度；(2)当ED 与O e 相切时，由切线长定理知EC=ED,则∠ECD=∠EDC,那么∠A 和∠DEC 就是等角的余角，由此可证得AE=DE,即E 是AC 的中点、在证明时，可连接OD,证OD ⊥DE 即可. 【详解】（1）依题意画出⊙O ，如图所示. 在Rt △ACB 中，∵AC =3，BC =4，∠ACB =90°， ∴AB =5.连接CD ，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°. ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB . ∴AC ADAB AC= .∴295AC AD AB == .（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与图形G(⊙O)有且只有一个交点. 证明：连接OD ，∵DE 是Rt △ADC 斜边上的中线, ∴ED=EC. ∴∠EDC=∠ECD. ∵OC=OD ， ∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°. ∴ED ⊥OD. ∴ED 与⊙O 相切.∴直线ED 与图形G(⊙O)有且只有一个交点.【点睛】本题考查的是直线与园的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.25.如图，C 是¼AmB 的一定点，D 是弦AB 上的一定点，P 是弦CB 上的一动点.连接DP ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90︒得到线段PD '.射线PD '与¼AmB 交于点Q.已知6cm BC =，设P ，C 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离1cm y ，P ，Q 两点的距离为2cm y .小石根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y ，与x 的几组对应值： x/cm0 1 2 3 4 5 6 1y /cm4.293.331.651.221.502.242y /cm0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点1(,)x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为_____cm.（结果保留一位小数）【答案】（1）2.36；（2）见解析；（3）1.26或5.84 【解析】 【分析】（1）测量出PC=2cm 时，PD 的值，填入表格即可即可； （2）根据表格数据描点，圆平滑曲线连接即可；（3）由△DPQ 是等腰三角形可得PD=PQ ，即y 1=y 2，根据图象找出两个图象的交点，即可得x 的值，即PC 的大约长度.【详解】（1）经过测量，当PC=2cm 时，PD=2.36cm ， 故答案为：2.36（2）函数y 1、y 2的图象如图所示：。