单纯形法习题详解-单纯形法练习题(骄阳书苑)

单纯形法例题讲解

例1max z=2x1+3x2〔标准形式即所有的变量均为负、所有约束条件为等式、所有的右端项系数非负〕a=(2,3)A2=NULL b2=NULLb3=NULL n.iter=n+2*m maxi=TRUE● simplex(a=a,A1=A1,b1=b1,maxi=TRUE)： m1=3,m2=0,m3=0 m=3,n=2 a.o=a=(2,3)if(maxi)a=-a(-2,-3) if(m2+m3==0) a=(-2,-3,0,0,0) b=(80,160,120) init=(0,0,0,80,160,120)eps=1e-10out1<-simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps)⏹ simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps):N=5,M=3 nonbasic=(1,2)if(stage==2) obfun=(-2,-3)it=1◆ while(!all(obfun > -eps) && (it <= n.iter))循环 pcol=3if(stage==2) neg=(1,3) ratios=(40,30) prow=3➢ pivot(tableau,prow,pcol) 换基迭代 pv=tableau[3,3]=-4pcv=tableau[,3]=(-2,0,-4,-3)tableau[3, ] = tableau[3, ]/(-pv)=(30,0,-1)tableau[3,3]=1/pv=-1/4tableau[-3, 3]=pcv[-3]/(-4)if(stage==1) else temp=basic[3]=5 basic[3]=nonbasic[2]=2 nonbasic[2]=5 obfun =tableau[4, -1L]=(-2,3/4) it=it+1=2至此进展了一次换基迭代(basic=(3,4,2) nonbasic=(1,5)) 再从while 循环头部开场，判断循环条件是否满足 pcol=2if(stage==2) neg=(1,2) ratios=(20,40) prow=1➢ pivot(tableau,prow,pcol) 换基迭代 pv=tableau[1,2]=-1pcv=tableau[,2]=(-1,-4,0,-2)tableau[-1, ] = tableau[-1, ] - (tableau[-1, 2]/pv) %o% tableau[1,] tableau[1, ] = tableau[1, ]/(-pv)=(20,-1,0)tableau[1,2]=1/pv=-1/1tableau[-1,2]=pcv[-1]/(-1)if(stage==1) else temp=basic[1]=3 basic[1]=nonbasic[1]=1 nonbasic[21=3 obfun =tableau[4, -1L]=(2,-1/4) it=it+1=3至此进展了两次换基迭代(basic=(1,4,2) nonbasic=(3,5)) 再从while 循环头部开场，判断循环条件是否满足 pcol=3if(stage==2) neg=(2,3) ratios=(40,120) prow=2➢ pivot(tableau,prow,pcol) 换基迭代pv=tableau[2,3]=-2pcv=tableau[,3]=(1/2,-2,-1/4,-1/4)tableau[-2, ] = tableau[-2, ] - (tableau[-2, 3]/pv) %o% tableau[2,] tableau[2, ] = tableau[2, ]/(-pv)=(40,2,-1)tableau[2,3]=1/pv=-1/2tableau[-2,3]=pcv[-2]/(-2)if(stage==1) else temp=basic[2]=4 basic[2]=nonbasic[2]=5 nonbasic[21=4 obfun =tableau[4, -1L]=(3/2,1/8)it=it+1=4至此进展了三次换基迭代(basic=(1,5,2) nonbasic=(3,4))再从while循环头部开场，判断循环条件是否满足，发现!all(obfun > -eps)为false，那么跳出循环，循环完毕。

单纯形法例题讲解

基可行解单纯形法是针对标准形式的线性规划问题进行演算的，任何线性规划问题都可以化为标准形式。

min cx f = （1） s.t b Ax = （2）0≥x （3）其中Tm mn m m n n T n n b b b b a a a a a a a a a A x x x x c c c c )...,(,..................,),...,,(),,...,(212122221112112121=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=== 假设1≥≥m n ，并设系数矩阵A 的秩为m ，即设约束方程（2）中没有多余的方程，用jp 表示A 的第j 列，于是（2可写成bp xmk j j=∑=1（4）矩阵A 的任意一个m 阶非奇异子方阵为LP 的一个基（或基阵），若),...,(21jm j j p p p B = （5）是一个基，则对应变量jm j j x x x ,...,,21，称关于B 的基变量，其余变量成为关于B 的非基变量，若令非基变量都取零值，则（4）变为bp xmk jk jk=∑=1（6）由于此方程组的系数矩阵B 是满秩方阵，故知（6）有唯一解，记为Tjn j j x x x ),...,,()0()0(2)0(1于是按分量{}{}),...,,\,...2,1(0),....3,2,1(21)0(m j jk jk j j j n j x m k x x ∈===所构成的向量)0(x 是约束方程组b Ax =的一个解，称此)0(x为LP 的对应于基B 的基解（或基本解），也可称为方程组b Ax =的一个基解，如果)0(x为一基解，且满足0)0(≥x即它的所有分量都非负，则称此)0(x 是LP 的一个基可行解，基可行解对应的基称为可行基。

设对应基阵),...,(21m p p p B =，即mx x x ,..,,21为基变量，n m m x x x ,...,,21++ 是非基变量，记),...,,(),...,,(),...,,(212121n m m Tn m m n Tm B p p p N x x x x x x x x ++++===从而A=（B,N ）,相应地分划),(N B c c c =,约束方程（2）可以写成b x x N B n B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛),( 即b Nx Bx N B =+由此解得N B Nx B b B x 11---= （7）这是用非基变量表达基变量的公式在（7）中令 0=N x 而知()Tm Bx x xx b B ),...,,()0()0(2)0(101==-求解线性规划问题 min 4212x x x f +-=t s .223531=++x x x22432=+-x x x 5532=++x x x)5,4,3,2,1(0=≥j x j 已知初始可行基=0B于是可列出0B 对应的单纯形表)(0B T ,如表所示从表可以看出，检验数中仅有02≥ λ，故取2x 为进基变量，由于最小比值12200min 2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>i i b b b i在第32行取得，故取第2行对应的基变量4x为离基变量，于是元素122=b 是上表的枢元为求出新基()3211p p p B =对应的单纯形表，对)(0B T 作初等形变换，使2x 对应的列变为单位列向量。

单纯形法习题详解-单纯形法练习题

单纯形法应用实例
某工厂生产I，II两种商品，已知生产单位商品所需要的设备台时，A、B两种原材料的消耗、设备使用台时限额以及原材料的限额如下表所示。

该工厂生产一件商品I可获利3元，每生产一件商品II可获利4元。

写出使该工厂所获利润最大的线性规划模型，并用单纯型法求解。

用单纯形法求解该线性规划问题
122121212
max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨
+≤⎪⎪≥⎩
首先列出表格，先确定正检验数最大值所在列为主列，然后用b除以主列上对应的同行数字。

除出来所得值最小的那一行为主行，根据主行和主列可以确定主元（交点）。

接着把主元化为1并把X4换成X1.
这时进行初等行列变换，把主列换单位向量，主元为1。

也就是X5所在行减去X1所在行。

并且重新计算检验数。

再次确定主元。

为4/6。

然后把X5换成X2。

并且把主元化成1。

然后再用X1行减去2/6倍的X2行，X3行减去5倍的X2行。

并且重新计算检验数。

最后得到的表格中检验数这一行无正数则所得解为最优解。

本题最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0)
目标函数值Z=8.5。

单纯形法例题

单纯形法例题单纯形法例题1、例1、目标函数 max z=2x 1+3x 2约束条件：{ x 1+2x 2≤84x 1≤164x 2≤12x 1，x 1≥0}解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量，x 3，x 4，x 5，并且它们都大于等于0.得到的标准形式为：maxz=2x 1+3x 2+0x 3+0x 4+0x 5 {x 1+2x 2+x 3＝84x 1+x 4=164x 2+x 5＝12x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}然后要将其初始的单纯形表画出来：c j 2 3 0 0 0 θi C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 50 x 3812 1 0 0 4 0 x 4 16 4 0 0 1 0 - 0x 5 12 0 [4] 00 1 3 c j −z j23由初始单纯形表可以看出，x 2为换入变量，而x 5为换出变量；然后根据： a ij ={a ij −a lja lk∗a ik (i ≠l )a lj a lk(i =l ) }b i ={b i −a ika lk∗b l (i ≠l )b l a lk (i =l )}(也就是如果与主元素同行，则用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值，否则，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。

例如：上面的第一行所对应的b 值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。

而θi 则是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然后用b 的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到θi 列的值。

c j 230 00 θiC B X B b x 1 x 2 x 3 x 4x 5 0 x 3 2 [1] 0 1 0 -1/2 20 x 4 16 40 0 1 0 4 3x 2311/4-c j−z j 2 0 0 0 -3/4由于在检验数中仍然存在大于等于0的数，而且P1，P5的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。

【精品】最优化单纯形法例题讲解

【精品】最优化单纯形法例题讲解最优化单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法。

它通过不断迭代调整基变量的取值来寻找使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。

下面我们通过一个例题来详细讲解最优化单纯形法的求解过程。

例题：假设有如下线性规划问题：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0首先，我们将原问题转化为标准型，即将约束条件全部转化为等式，并引入松弛变量。

将原问题转化为如下形式：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 + x3 = 8 x1 + 2x2 + x4 = 6 x1, x2, x3, x4 ≥ 0接下来，我们构造初始单纯形表。

单纯形表由目标函数系数矩阵、约束条件系数矩阵和右端常数向量组成。

目标函数系数矩阵： 3 4 0 0约束条件系数矩阵： 2 1 1 0 1 2 0 1右端常数向量： 8 6再构造一个松弛变量的列向量，也就是单位矩阵的第一列。

接下来，我们要选择一个入基变量和一个出基变量，通过迭代调整基变量的取值来逼近最优解。

选择入基变量：我们要选择一个非基变量进入基变量集合，使得目标函数系数矩阵中的相应列元素最大（如果是最小化问题，则选择最小的）。

选择出基变量：我们要选择一个基变量出基变量集合，使得约束条件系数矩阵中相应列元素最小的行对应的非基变量列元素大于等于0。

在初始单纯形表中，目标函数系数矩阵中3和4是最大的，所以我们选择x1和x2作为入基变量。

在约束条件系数矩阵中，对于x1，第一行的1最小，所以我们选择第一行的x4作为出基变量；对于x2，第二行的1最小，所以我们选择第二行的x3作为出基变量。

接下来，我们通过计算新的单纯形表来更新基变量的取值。

首先，我们计算新的基变量x1的系数矩阵。

将x1的列除以相应的出基变量的系数（即1），得到新的系数矩阵：1 0 1/2 0 0 1 -1/2 1然后，我们计算新的基变量x2的系数矩阵。

线性规划单纯形法例题

《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》【8页1.4(1)】分别用图解法和单纯形法求解线性规划问题。

max z = 2x1 x23x1 5x2 _15(s.t) 6x「2x2 - 24 [x「X2 HO在上述线性规划问题中，分别加入松驰变量x3,x4,得到该线性规划问题的标准型max z = 2x-| x2 0x3 0x4"3X! +5x2 +x3=15（s.tp6x^2x^ x4 =24X!,X2,X3,X4 KO选择x3, x4为初始基变量,f =2 -（0 3 0 6）=2二2 =1 -（0 5 0 2）=1二3 =0 -（0 1 0 0）=0二4=0一（0 0 0 1）^0所以选择为为进基变量，x4为出基变量G =2 -(0 0 2 1) =0c 2 =1—(0 4 2 1/3) =1/3二3 = 0 - (0 1 2 0) = 0二4 =0 -(0 -1/2 2 1/6) = -1/3G =2(1 0 2 1)二0二2=1(1 1 2 0)0二3=0(1 1/4 2 -1/12)-1/12二4=0(1 -1/8 2 5/24)- -7/24所以，最优解为X = (x2, x1 )T = (^5 , —)T ,4 4 故有：max = 2x1 x2 =2 15 3=奚4 4 4【8页1.4(2)】分别用图解法和单纯形法求解线性规划问题。

max z = 2x1 5x2x^122x2兰12(st)3x「2x2 <18X i, X2 -0在上述线性规划问题中，分别加入松驰变量x3,x4,x5,得到该线性规划问题的标准型max z = 2x-i x2 0x3 0x4 0x5X + x3=42x2十x4=24(s.tH 2 43x<i +2x2+ x5 =18X i,X2,X3,X4,X5J =2(0 1 0 0 0 3) = 2「2=5(0 0 0 2 0 2)56 =0(0 1 0 0 0 0)0「4=0(0 0 0 1 0 0) = 0；「5=0 -(0 1 0 0 0 0) =0所以选择X2为进基变量，X4为出基变量0 1 5 0 0 3= 2 「2=5 -(0 0 5 1 0 0) = 0「3=0 -(0 1 5 0 0 0) = 0；「4 (0 0 5 1/2 0決—1) = 一5/2；「5 = 0 --0 1 5 0 0 1) = 0所以捲为进基变量，X5为出基变量；「2 -(0 0 5 0 2 1) 0"2 =5 -(0 0 5 1 2 0) 0= 0 -(0 1 5 0 2 0) 0-4 =0 -(0 1/35 1/2 2 -1/3 口T1/6-0 —0 -1/3 5 0 2 1/3)「2/3单纯形表得计算结果表明：X* = (2,6,2,0Q T为最优解maxz =2 2 5 6 = 34。

【精品】最优化单纯形法例题讲解

例1用单纯形法解下列问题:min x1 - Ix2 + x3sJ. x1 + x2 - 2X3 + x4 = 10, 2工1一工2+4工3 ≤8,-x1+2X2-4X3≤4, X7≥ 0,7 = 1,—,4.解：将原问题化成标准形：max -x l+2X2-X3sJ. x1+ ‰ - 2X3 + x4= 10,2x x-X2+4X3+X5=8,-X1 + Ix2 - 4X3+ x6 = 4,X/ ≥0,∕ = l, (6)Xl与添加的松弛变量有，益在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为¥= （0,0,0,10, 8,4） T列出初始单纯形表，见表1。

由于只有6> 0∙说明表中基可行解不是最优解，所以确定应为换入非基变量：以不的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。

〃=min（一, ） = 2 = 一1 ɔ 2因此确定2为主元素（表1中以防括号口括起），意味着将以非基变量与去置换基变量与，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换,将4的系数列（1, “，2）τ变换成益的系数列（O,O,l）τ,变换之后重新计算检验数。

变换结果见表2。

表检验数6=3>0,当前基可行解仍然不是最优解。

继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量与置换基变量与。

变换结果见表，表3此时，3个非基变量的检验数都小于O∙ e=∙9∕4, σs=∙3∕2, σ5= -7/4,表明已求得最优解：M= (0,12,5,8,0,0)，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：X'=(0,12,5,8)T,最小值为J9例2用大M 法求解下列问题： min x 1 +x 2 -3x 3 sJ. x 1 - 2X 2 + x 3 ≤ ɪ ζ 2x 1+ x 2 β 4巧 ≥ 3, K -2七=1, x y ≥ 0√ = l,∙..,3.解引进松弛变量X4、、剩余变量XS 和人工变量*6、X7,解下列问题： minx 1 +x 2 -3x 3 +O A 4 +0X 5 + M (X 6 +X 7) sJ. x 1 -2X 2 ÷X 3 +X 4 = 112x 1 +X 2 -4X 3 -X 5 +X 6=3 玉 -2X 3+x 7 =1Xj≥0,j = l,2,…,7 用单纯形法计算如下：由于0,说明表中基可行解不是最优解，所以确定为为换入非基变量：以为的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。

单纯形法选择题

当然，我可以为您提供关于单纯形法选择题的解答。

为了给您提供最全面的答案，我会按照题目类型和可能的解答方式进行说明。

请注意，以下回答基于一些假设和简化，实际情况可能会有所不同。

问题类型：单纯形法基础概念选择题问题：1. 在单纯形法中，以下哪个选项描述正确地描述了基本可行解的概念？A. 基本可行解是线性规划问题的唯一解。

B. 基本可行解是线性规划问题的初始解。

C. 基本可行解是最优解的一种可能状态。

D. 基本可行解是在最优解不存在时的解。

解答：基本可行解是线性规划问题的初始解，即在单纯形法中，初始时选择的基向量，对应的非基变量值被设置为零，其他变量在可行域内选择最优值。

基本可行解是线性规划问题的初始状态，但不是唯一解，因为可能存在多种不同的基向量选择。

2. 当使用单纯形法求解线性规划问题时，以下哪个选项描述正确地描述了最优解的存在性？A. 在任何情况下，最优解都是存在的。

B. 在大多数情况下，最优解都是存在的。

C. 在某些情况下，最优解不存在。

D. 在某些情况下，最优解存在但不可计算。

解答：最优解的存在性取决于线性规划问题的具体约束条件和目标函数。

一般来说，当线性规划问题有可行解时，最优解是存在的。

然而，在某些特殊情况下，最优解可能不存在或不可计算。

因此，正确答案是C. 在某些情况下，最优解不存在。

3. 当使用单纯形法时，以下哪个选项描述正确地描述了基本调优步骤的作用？A. 基本调优步骤是为了找到基本可行解。

B. 基本调优步骤是为了使基本可行解更接近最优解。

C. 基本调优步骤是为了找到一个基向量，使得目标函数值最小化。

D. 基本调优步骤是为了确保问题能够被成功求解。

解答：基本调优步骤是为了确保问题能够被成功求解。

通过选择一个更好的基向量（通常是使目标函数值更小的基向量），可以确保问题有更好的初始状态，从而增加了找到最优解的可能性。

因此，正确答案是D. 基本调优步骤是为了确保问题能够被成功求解。

总结：以上是对单纯形法基础概念的一些选择题解答。

单纯形表例题详解易懂

单纯形法（Simplex Method）是线性规划问题的一种求解方法。

下面我将以一个简单的线性规划问题为例，详细解释如何使用单纯形法求解。

例题：假设我们有一个简单的线性规划问题，目标是最小化目标函数 z = 3x + 2y，约束条件是 x + y <= 10, x >= 0, y >= 0。

首先，我们需要构建问题的数学模型。

数学模型可以表示为以下形式：z = 3x + 2yx + y <= 10x >= 0y >= 0然后，我们可以将这个线性规划问题表示为一个单纯形表。

单纯形表的形式如下：| c | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||x | y | z | u | v | w | x1 | x2 | x3 | ... | xn | s.x | s.y | s.z | c.val | b.x | b.y | b.z | dual.val | dual.x1 | dual.x2 | ... | dual.xn ||在这个表中，c 是目标函数的系数，b 是约束条件的系数，s 是松弛变量的系数，dual 是对偶问题的系数，c.val 是当前解的目标函数值，b.x, b.y, b.z 是约束条件的边界值，s.x, s.y, s.z 是松弛变量的值。

现在，我们可以将例题中的数据填入单纯形表：c = [3, 2, 1]b = [1, 0, -10]s = [1, 1, 0]dual = []然后，我们可以开始迭代求解。

在每一次迭代中，我们首先找到进入变量和离开变量，然后更新单纯形表中的数据。

单纯形法原理及例题

单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。

用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。

例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。

由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。

单纯形法例题

单纯形法例题1、例1、目标函数 max z=2x 1+3x 2约束条件：{ x 1+2x 2≤84x 1≤164x 2≤12x 1，x 1≥0}解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量，x 3，x 4，x 5，并且它们都大于等于0.得到的标准形式为：max z=2x 1+3x 2+ 0x 3+0x 4+0x 5 {x 1+2x 2+x 3＝84x 1+x 4=164x 2+x 5＝12x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}25a ij ={a ij −alj alk ∗a ik (i ≠l )a lj alk(i =l ) }b i ={b i −aik a lk∗b l (i ≠l )b l alk(i =l ) }(也就是如果与主元素同行，那么用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值，否那么，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。

例如：上面的第一行所对应的b 值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。

而θi 那么是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然后用b 的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到θi 列的值。

由于在检验数中仍然存在大于等于0的数，而且P1，P5的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。

通过观察可以看出主元素为1，换入变量为x 1，换出〔4,2,0,0,4〕，故目标函数值z=2*4+2*3=142、合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m ，和1.5m 的钢各一根，原料长7.4m ，问应如何下料，使用的原材料最省；解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。

我们分析一下问题，做100套钢架，需要2.9m 长的钢100根，2.1m 的钢100根，1.5m 的钢100根。

而方案，使得剩余的总长度最少。

由此，我们可以将目标函数和约束条件表述出来：目标函数：min z=0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5约束条件{ x 1+x 2+2x 3=1002x 2+x 4+2x 5=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}首先可以写出线性方程组的矩阵形式：[11200020*******]发现不存在单位矩阵，所以要采用人造基的方式，也就是要添加人工变量：x 6，x 7，x 8，那么线性方程组可以表示为：{ x 1+x 2+2x 3+x 6=1002x 2+x 4+2x 5+x 7=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5+x 8=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8≥0} ，目标函数可以表示为：min z=0x 1+0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5+M x 6+Mx 7+Mx 8转换为求目标最大化max Z=−0x 1−0.3x 2−0.1x 3−0.8x 4−0.2x 5−M x 6−Mx 7−Mx 8然后列出初始单纯形表：(注意，参加人工变量之后，它所对应的系数为-M ，而非换入变量为x，换出变量为x，得到的单纯形表为：方案下料30根，第二种方案下料50根，按照第三种方案下料10根。

单纯形法求解全过程详解共9页

（7）接下来，我们的任务就是找另一个基可行解。即转回到步骤（5）。
选择进基变量： max⎨⎧σ1 ⎩
=
5⎫
3
⎬ ⎭
=σk
= σ1 ，即
x1 进基成为基变量。
出基变量：
min
⎧
⎨ ⎩
b1 a11
,
b2 a21
⎫
⎬ ⎭
=
min⎨⎧30 × ⎩
3 5
= 18,10 × 3 = 30⎬⎫ ⎭
=
b1 a11
，即第
3
3
1
0
−
5
5
1
2
1
−
5
5
这时，我们可以得到基 B3 = [P1, P2 ] 对应的基可行解。
即令非基变量 x3 = 0, x4 = 0 ，根据表中的约束条件可得 x1 = 18, x2 = 4 （这两个值正好是表中基变量对应的资源向量 b 对应的分量）那么，第 3 个基可行解为 X 3 = [18,4,0,0]T 。（8）找到了第 3 个基可行解，接下来的任务就是判断该基可行解是否为最优解，检验其是否为最优解的标准前面已经详细讲述，这里就不啰唆了。即转回到步骤（4）。
1
0
1
10 × 3 = 30
3
σ
(2) j
=
cj
−
CB
⋅
Pj
5
0
0
−4
3
3
3
x1
1
0
4
x2
0
1
σ
(3) j
=cj
− CB
⋅ Pj
5
1
先来看主元 a11 所在的行。行的系数表示的是约束条件： 30 = 3 x1 + x3 − 3 x4 ①’。

min单纯形法简单例题详解

min单纯形法简单例题详解假设有一家工厂生产两种产品 A 和 B，目标是最大化利润。

已知每单位产品 A 的生产时间为 2 小时，产品 B 的生产时间为 3 小时。

每天工厂的总生产时间为 24 小时。

每单位产品 A的利润为 10 美元，产品 B 的利润为 8 美元。

现在要确定工厂每天应该生产多少单位的产品 A 和 B，以最大化总利润。

首先我们需要定义两个变量：x 和 y。

其中，x 表示每天生产的单位数目 A，y 表示每天生产的单位数目 B。

根据问题的要求，我们可以得到两个约束条件：1. 生产时间约束：2x + 3y <= 24（每天生产时间最大为 24 小时）2. 非负约束：x >= 0，y >= 0（生产单位数目不能为负）现在我们可以根据最大化利润的目标函数进行建模。

目标函数为：10x + 8y。

接下来，我们可以使用单纯形法来解决这个问题。

首先，我们将这个问题转化为标准形式。

通过引入两个松弛变量 s1 和 s2，我们可以将不等式约束转化为等式约束：2x + 3y + s1 = 24x + s2 = 0接下来，我们将目标函数进行转化。

由于目标是最大化，我们可以引入一个辅助变量 z，并将目标函数写为：z = -10x - 8y现在，我们可以构建一张初始单纯形表。

表格的第一行包含变量和约束条件的系数以及目标函数的系数。

第一列列出变量和约束条件的名字。

变量 |x |y |s1 |s2 |b |--------|----|----|----|----|----|z |-10 |-8 |0 |0 |0 |s1 |2 |3 |1 |0 |24 |s2 |1 |0 |0 |1 |0 |接下来，我们需要根据单纯形法的规则来迭代计算。

首先，选择一个入基变量和一个出基变量。

根据最大增益准则，我们找到目标函数中系数最小的变量，即 x。

然后，我们需要根据最小比率准则来选择出基变量。

计算每个约束条件右侧与对应入基变量系数的比率，并选择最小的非负比率对应的出基变量。

单纯形法及例题解析

= a11a22-a12a21
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-
a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
练习
14 3 -5 2 1 36 1
10 0 -5 2 3 33 5
x4
x5
0
x3
2
[1]
0
1
0
-1/2
1
0
x4
16
4
0
0
1
0
4
3
x2
3
0
1
0
0
1/4
-
Cj-Zj
2
0
0
0
-3/4
Cj
CB
XB
b
2
x1
2
0
x4
8
3
x2
3
Cj-Zj
单纯形表
2
3
0
x1
x2
x3
1
0
1
0
0
-4
0
1
0
0
0
-2
0
0
θ
x4
x5
0
-1/2
-
1
[2]
4
0
1/4
12
0
1/4
单纯形表
Cj
2
3
0
0
0
θ
CB
矩阵的乘法
A =（aij）m s B =（bij）s n C =AB =（cij）m n
cij = ai1b1j+ai2b2j+ … +aisbsj

单纯形法例题

单纯形法例题1、例1、目标函数 maxz=2+3约束条件：解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量，.得到的标准形式为：maxz=2+3+0+0+0然后要将其初始的单纯形表画出来：2 3 0 0 0b0 8 1 2 1 0 0 40 16 4 0 0 1 0 -0 12 0 0 0 1 32 3 0 0 0由初始单纯形表可以看出，为换入变量，而为换出变量；然后根据：=(也就是如果与主元素同行，则用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值，否则，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。

例如：上面的第一行所对应的b值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。

而则是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然后用b的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到列的值。

2 3 0 0 0b0 2 0 1 0 -1/2 20 16 4 0 0 1 0 43 3 0 1 0 0 1/4 -2 0 0 0 -3/4由于在检验数中仍然存在大于等于0的数，而且P1，P5的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。

通过观察可以看出主元素为1，换入变量为，换出变量为，故得到的单纯形表如下：2 3 0 0 0b2 2 1 0 1 0 -1/2 -0 8 0 0 -4 1 43 3 0 1 0 0 1/4 120 0 -2 0 1/4由于检验数中存在正数，且P5和P3中有正分量存在，所以需要继续迭代(换入变量为，换出变量为：得到单纯形表如下：2 3 0 0 0b2 4 1 0 0 1/4 00 4 0 0 -2 1/2 13 2 0 1 1/2 -1/8 00 0 -3/2 -1/8 0此时可以发现检验数中没有大于0的数，表明已经得到了最优解，所以最优解是：（4,2,0,0,4），故目标函数值z=2*4+2*3=142、合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m，和1.5m的钢各一根，已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省；解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。

单纯形法例题

单纯形法例题1、例1、目标函数 maxz=2+3约束条件：解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量，.得到的标准形式为：maxz=2+3+0+0+0然后要将其初始的单纯形表画出来：2 3 0 0 0b0 8 1 2 1 0 0 40 16 4 0 0 1 0 -0 12 0 0 0 1 32 3 0 0 0由初始单纯形表可以看出，为换入变量，而为换出变量；然后根据：=(也就是如果与主元素同行，则用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值，否则，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。

例如：上面的第一行所对应的b值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。

而则是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然后用b的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到列的值。

2 3 0 0 0b0 2 0 1 0 -1/2 20 16 4 0 0 1 0 43 3 0 1 0 0 1/4 -2 0 0 0 -3/4由于在检验数中仍然存在大于等于0的数，而且P1，P5的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。

通过观察可以看出主元素为1，换入变量为，换出变量为，故得到的单纯形表如下：2 3 0 0 0b2 2 1 0 1 0 -1/2 -0 8 0 0 -4 1 43 3 0 1 0 0 1/4 120 0 -2 0 1/4由于检验数中存在正数，且P5和P3中有正分量存在，所以需要继续迭代(换入变量为，换出变量为：得到单纯形表如下：2 3 0 0 0b2 4 1 0 0 1/4 00 4 0 0 -2 1/2 13 2 0 1 1/2 -1/8 00 0 -3/2 -1/8 0此时可以发现检验数中没有大于0的数，表明已经得到了最优解，所以最优解是：（4,2,0,0,4），故目标函数值z=2*4+2*3=142、合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m，和1.5m的钢各一根，已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省；解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。

运筹学单纯形法的例题

x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5 =9
x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
基是谁? x3,x5 x5的检验数为0
请它出基,逼它取值为0.
13
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17.10.2020
练习㈡. 单纯形表
两行，几列? 少一列?
填入第一个约束的数据.
14
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x3
x4
bi
比
00
1 0 77 0 1 9 9/4
000
00
x3
x4
bi
比
00
1 -0.25 4.75
0 0.25 2.25
019
0 -1 17.10.2020
练习㈡用图解法和单纯形法求
如下线性规划问题的最优解：
Max s.t.
4zxxx1=11+4+, x321xxx2+22≤≥≥x2790
可行域在直线 x1+3x2=7之下__
Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9
基再是引谁进?一这理x个1个?, “x“2 人,-”x如工3 ,何变x4处, x5≥ 0
量”1x2 5
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17.10.2020
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5
改CB列,__0_换为_4__.
8
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