数学建模期末作业

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昆明理工大学计算机科学与技术专业2013级131 班1. 姓名陈艺谋学号201310405125 课程成绩：2. 姓名李甘树学号201310405112 课程成绩：3. 姓名李东山学号201310405109 课程成绩：日期： 2014 年 6 月 8 日计划生育对人口数的影响本文在年龄和性别分布基本均匀，寿命为75岁的前提下，研究了人口增长分别与晚育、少生、时间间隔的关系。

基于人口和性别比例均匀分布的前提下，忽略其它年龄段意外死亡的情况，自然死亡年龄为75岁，死亡率为1/75。

要解决人口增长与晚育的关系，我建立宋健人口模型，引进了有关生育模式的函数(1)1(1)()()r rr r eh rθθ--∂-∂-=Γ∂，r>r1，此函数中取2,2nθ=∂=，由于增加n就意味着晚育，因此对于第一个问题我们以n为变量，然后固定了其它变量，再通过MATLAB编写程序得以解决人口增长与晚育的关系。

对于第二个问题我们考虑育龄妇女一生只生一胎，一胎一个来解决。

基于前两个问题，对于第三个问题，我们通过结果和图形的分析，可以很好的解决人口增长与时间间隔的关系。

最后，应用前三个问题中我们假设的数据对20年后我国的人口数进行预测。

得出当单位时间内平均每个育龄女性的生育数为0.2时，我国20年后人口总数为14.8653亿，达到控制在15亿内的要求。

可见我们的假设具有一定的合理性。

关键词：人口模型生育模式人口增长一、问题的重述计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。

从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。

该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。

但另一方面，其负面影响也开始显现。

如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。

党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。

政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。

人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。

这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。

这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。

研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。

请收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，并针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

二、问题的分析现在我们从宏观人口看，引起人口增长率变动的原因有三个基本因素，即出生率、死亡率和迁移率（在本题可看作迁出率等于迁入率）。

依据这一基本出发点，就为人口增长率变动关系的数学模型提供了基本思路。

由公式：人口自然增长率＝（本年出生人数－本年死亡人数）／年平均人数×1000‰＝人口出生率－人口死亡率可分别对问题（一）到（四）进行建模求解。

面对以上四个问题我们在建立模型时，不可能全面考虑到影响人口增长率的种种因素，所以在建立以下数学模型中，我们将人口当作一个整体，当作一个系统来考虑，并将人口增长率的变化主要取决于生育率、死亡率的变化。

针对问题（一），我们固定单位时间内平均每个育龄女性的生育数()t β，男女性别比例(,)k r t ，死亡率()u s 和人口的密度函数(,)p r t 建立起宋健人口模型，对人口增长数量与晚育之间的关系进行解决。

针对问题（二），我们以()t β为变量，其他值固定，运用MATLAB 编程建立少生概率模型，很好的解决了人口增长数量与少生之间的关系。

针对问题（三），我们针对问题（四），我们将()t β（单位时间内平均每个育龄女性的生育数）固定并假设中年人的死亡率为u(s)=0, 生育人数(,)p r t 定为一个常数. 运用人口自然增长率公式进行建模解决问题。

三、基本假设（1）、把研究的社会人口当作一个整体，当作一个系统考虑； （2）、所有表征和影响人口变化的因素都是在整个社会人口平均意义下确定的； （3）、在短期内没有外来物种对人类的生存造成影响； （4）、医疗水平，科学技术在未来相当长的时间内不会对人的死亡率造成影响； （5）、假设每年人口的出生人数、死亡人数都是在年末某个时间点发生，而不考虑时间段，则死亡率为1/75。

； （6）、假设在预测期内无战争或自然灾害等引起的大规模伤亡或迁移，即国内人口变化主要取决于生育率、死亡率；注：这里提出的均为全局意义上的假设，针对每个模型的假设条件文中将在每个模型之前另外列出；四、符号说明()z t ……………………………………………………我国人口的自然增长率函数。

()f t …………………………………………………………………婴儿出生率函数。

()t β ……………………………………………时间内平均每个育龄女性的生育数(,)h r t …………………………………………为r 女性的生育加权因子，称生育式。

(,)k r t ………………………………………………………………女性性别比函数。

(,)p r t …………………………………………………………………人口密度函数。

()u s ……………………………………………………………人口的死亡率函数。

1,2[]r r ……………………………………………………………………性育龄区间。

五、模型的建立与求解1、针对问题（一），我们建立了模型一： （1）、模型一的基本假设：①、平均每个女性一生的总和生育数为1.5个，且每胎婴儿数为1。

②、由题目中总假设我国人口现今13亿，年龄和性别分布基本均匀，寿命为75岁，在这可设男生比例为1：1，人口密度函数为1375，死亡率为175。

（2）、模型的建立和求解：人口模型的建立： 首先我们对我国人口的死亡率数据进行统计，运用加权算术平均数法的预测模型求出未来的平均死亡率()u s 为175。

因为人们主要关注和可以用作控制手段的就是婴儿的出生率()f t ，所以接着我们建立了人口模型对问题（一）人口增长与晚育的关系进行建模预测。

21()(,)(,)(,)r r f t b r t k r t p r t dr =⎰ (1)再将b （r ，t ）定义为(,)b r t =()(,)t h r t β…………………………………………（2） 其中h （r ，t ）满足21(,)1r r h r t dr =⎰ (3)于是21()(,)r r t b r t dr β=⎰ (4)21()()(,)(,)(,)r r f t t h r t k r t p r t dr β=⎰ (5)其中21(,)1r r h r t dr =⎰，由（4）式可以看出，()t β的直接含义是时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育数，如果所有育龄女性在她育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么()t β也表示平均每个女性一生的总和生育数，所以()t β称为总和生育率（简称生育率）或是生育胎次。

由基本假设可得()t β=0.3。

即时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育数为0.3。

(,)k r t 为女性性别比函数，其中(,)k r t =1。

(,)p r t 人口密度函数，因为中年人的死亡率很低可看作为了0，则中年人的人口密度函数(,)p r t =1375。

(,)h r t 在稳定环境下可以近似地认为它与t 无关，即(,)h r t =()h r 。

其中()h r 表示了在哪些年龄生育率高，哪些年龄生育率低。

由人口统计资料可以知道当前实际的(,)h r t 。

然而理论时人们采用的()h r 的一种形式是借用概率论中的Γ分布为：(1)1(1)()()r r r r e h r θθ--∂-∂-=Γ∂，r>r1………………………………………………………（6） 并取2,2nθ=∂=。

根据方程（1）——（6）和人口自然增长率公式，我们可以得出人口增长数量与晚育的关系式：()z t =()f t -()u s =0.32(1)1221213(1)752()2r r n r nr r r edr n----Γ⎰-175……………………………（7） (1)0()xt e t dt -∂-Γ∂=⎰ (8)其中，人口自然增长率＝（本年出生人数－本年死亡人数）／年平均人数×1000‰＝人口出生率－人口死亡率。

（3）、模型的求解：当取2,2nθ=∂=这时有12c n r r =+-，可以看出，提高1r 意味着晚婚，而增加n 意味着晚育。

这样就求出在单位时间内人口增长数量和晚婚晚育之间的关系。

即，晚婚晚育在一定程度上可控制人口的增长速度。

把变量晚婚1r 固定在18岁，此时只有一个变量为晚育n ，利用（7）式，由人口总数乘以人口自然增长率得出人口增长数量。

（人口增长数量=人口自然增长率⨯人口总数） （4）、模型检验： ①、当1,2[]r r 取区间[18，50]时，用MATLAB 编程，作出()h r 与育龄女性年龄的关系图。

00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1图1②、把变量晚婚1r 固定在18岁，用MATLAB 得到晚育变量与人口增长数量之间的关系图：图2（4）、结果分析：①、12c n r r =+-，n 取10，r1取18，可得c r =26，符合图1中，c r r ==26岁附近时，生育率最高。

生育率高低与女性育龄年龄的关系如图1所示。

②、由图2可得，随着n 的增加，人口增长率越来越小，人口增长数量越来越少。

由此说明，育龄女性晚育可以降低我国的人口增长数量。

具体结果见图2和附录中的程序2中的结果。

（5）、模型评价：本模型运用了宋健的人口预测模型，模型中固定了()t β，(,)k r t ，()u s ，(,)p r t 这几个函数值，大大的减低了模型的难度，但也因此模型的准确性不是很高。