矩阵的特征值

0
x2
0
1 的一个基础解系为 3 1
3 6 3 x3 0
1
因此，A对应于3 2的全部特征向量为c 3 ( c 0 ) 12
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例4.求三阶方阵
a
A
a
a
的特征值及特征向量.
解 (1)先求特征根
a
A
a
( a)3 0
2)当 2 3 3 时,齐次线性方程组 (3 A)x o ,即
2
3
2
2 2 2
2 x1 0
1
x2
0
2 x3 0
的一个基础解系为
2
1
2
,
1
则对应于 2 3 3 的全部特征向量为c22 (c2 0).
8
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4 6 0 例3求 三 阶 方 阵A 3 5 0的 特 征 值 及 特 征 向 量 。
第四章 矩阵的特征值
矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究 及其他学科中都有广泛的应用。
特征值
方阵 相似于
对角形 元素
转化矩阵
对角形(或 约当形)
特征向量
本章要点：1.特征值与特征向量及其求法
2.矩阵的相似
3.实对称矩阵的相似
1
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第一节 矩阵的特征值与特征向量
3
3
6 6
0
0
x1 x2
0
0
的一个基础解系为
1
2
1 ,2
0 0
3 6 0 x3 0
0
1
因此，A对应于1 2 1的全部特征向量为
c11 c22(c1, c2不全为零) 2) 对于3 2, 齐次线性方程组(2I A)x 0，即
6 6
3
3
0 x1 0
一. 矩阵的特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量的概念
定义4.1 设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在非零列向量 x,使得
Ax x
(1)
则称 λ为 A 的一个特征值， 非零向量 x 称为矩阵 A 的 对应于特征值λ的特征向量，简称为 A 的特征向量。
例.
求方阵
A
1 4
1
1
1
,
1
2
,
1
1,
5.举例
1 2 2
例1.求三阶方阵
A
3
1
1
的特征值及特征向量.
解 (1)先求特征根 2 2 1
矩阵A的特征多项式为
1 2 2
1 2 2
A 3 1 1 ( 3) 1 1 1
2 2 1
1 2 1
1 2 2
30 3 1 ( 3)2( 3)
0 0 3
3 6 1
解
4 6 0
I A 3 5 0 ( 1)( 4)( 5) 18
3 6 1
( 1)(2 2) ( 1)2( 2) 0
A的特征值为1 2 1，3 2.
11
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1) 对于1 2 1, 齐次线性方程组(I A)x 0，即
由 A 0 得A的特征根 1 3, 2 3 3.
7
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1 3, 2 3 3
1)当 1 3 时,齐次线性方程组 (3 A)x o ,即
4
3
2
2 4 2
2 x1 0
1
x2
0
4 x3 0
的一个基础解系为1
1
1
,
1
则对应于 1 3 的全部特征向量为 c11(c1 0).
定理4.1 n阶方阵 A与它的转置矩阵 AT 有相同的特征值.
证明 考察它们的特征多项式
AT AT A .
这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.
注: A与AT有没有相同的特征向量呢? 看下面的例子:
设
1
A
0
1 1
，1
2
1是特征值， 10
是其特征向量，
AT
1 0
a
得A的特征根 1 2 3 a.
13
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(2)再求特征向量
1 2 3 a.
当 1 2 3 a 时,齐次线性方程组 ( A)x o ,即 ox o
所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系,
取三维初始单位向量组 1
0
0
1
0
,
2
1
,
2
第三步:基础解系的非零线性组合为A对应于
的全部特征向量.
4
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3. 其它相关的概念
定义4.2 设A为阶方阵, 特征矩阵
A 0
( A)x o
A
特征多项式
行列式 A (λ的 n 次多项式)
特征方程 特征根
A 0
特征方程的根λ
特征向量
对应的x
5
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1 1
0 1
1 0
1
1
1 0
结论: A与AT特征向量不一定相同的. 17 山财大数学与数量经济学院杨素香
线 性 代 数 讲义
定理4.2 设A (aij )是n阶方阵，如果
n
(1) aij 1 j 1
(i 1, 2,L , n)
1
2
2
, 2
3,
由于
A1
1 4
1
1
1 2
来自百度文库
1 2
1 2
1
,
所以1 1 是A的一个特征值，而
1
1 2
是A的属于1
1
的特征向量
1 1 1 3 1 所以 2 3 是A的一个特征值，而
A2
4
1
2
6
3
2
32 ,
2
1 2
是A的属于
2
3
的特征向量
2
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Ax x
(1)
2.求法
整理（1）式,得 ( A)x o
(2)
x 特征向量 可看成方程组(2)的非零解.
特征向量
转 化
方程组(2)的非零解.
存在条件
特征值
确 定
A 0
3
总结求矩阵特征值与特征向量的方法:
第一步:令
A 0 求特征值 .
第二步:对于每一个 , 求 A x o 基础解系,
0
作为其基础解系.
0
0
1
则对应于 1 2 3 a 的全部特征向量为
c11 c2 2 c3 3 (c1 , c2 , c3 不全为零)
14
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例5. 证明：三角形矩阵的特征值是主对角线上的n个元素.
证明:
不妨设
a11
A
0 K
a12 a22 K
K K K
0
0K
a1n
a2 K
n
,
ann
a11 a12 K
0 I A
K
a22 K KK
0
0K
a1n
a2n a11 a22 L ann 0
K
ann
得A的全部特征值 1 a11 , 2 a22 , L , n ann .
15
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二. 特征值与特征向量的基本性质