立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几何垂直证明题常

见模型及方法

Revised as of 23 November 2020

立体几何垂直证明题常见模型及方法

证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；

基础篇

类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以

下几种模型）

○

1 等腰（等边）三角形中的中线

○

2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥

（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥

变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

证明：AD PB ⊥；

变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A .

求证:'A D EF ⊥；

变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC

类型二：线面垂直证明

方法○1 利用线面垂直的判断定理

例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：

1A O BDE ⊥平面

B

E

'A

D

F

G

P

B

A

D

E

变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1

1AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠

ACB =90.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；

变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2, 2.CA CB CD BD AB AD ======

求证：AO ⊥平面BCD ；

变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，

AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC =

()1求证：BD ⊥平面PAC

○

2 利用面面垂直的性质定理 D

A

C

O

B

E

例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，

BC PAC ⊥求证：面。

方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。

变式1, 在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面 变式2：

类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)

例1 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.

(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；

例

2 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

A

B

C

D

E

F

60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；

变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，︒=∠60ABC ，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ； 举一反三

1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①

M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭

⎬⎫

⊥b a M a //b ⊥M .

其中正确的命题是 ( )

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( )

A

B

C

D

P

E

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )

⊥平面PEF ⊥平面PEF ⊥平面DEF ⊥平面DEF

4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有 ( )

A.α⊥γ且l⊥m

B.α⊥γ且m∥β∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ

是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若

BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )

B.2

C.

55

2 D.

55

3

7.有三个命题：

第3题图