微积分PPT数列的极限

列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}. 例如 (1) 1 ,4,6,,2n, { 2 n }
34 n1 n 1
(2) 12,14,18,,21n,
1 {2 n }
(3)
2,1,4,,n(1)n1,
23
n
n (1)n1
{
}
n
(4) 1,1,1,,(1)n1,
{(1)n1 }
(5) 2,4,8,,2n,
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第
一天
截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与 任 意 给 定 的有 正关 数.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
{2 n }
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
x3 x1 x2 x4 xn
2.数列是整数下标函数 xnf(n).
三、数列的极限
(1) 1 ,4,6,,2n, 34 n1
x1 x2 x3
0
1
xn 2
111 1 (2) , , ,, ,
2 4 8 2n
即， n无 当 限,增 xn1 大 (1 n )n 时 1无限1 接 . 近
此时称该数列（3）的极限为1 ,
记作
n(1)n1
lim
1
n
n
或
n(1)n1 1
n
(n)
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 给出数列极限的精确的定义呢？
讨论数列（3）
xn1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
证 任给 0,
ln i m xna, 对于给 1 定 a的 0,
N 使n 得 N 时 当恒 x n a有 1,
从而有 xn a
x n a xn a 1
数列极限的描述性定义：
给定数列 xn ，当 n 无限增大时， xn 无限的接近
a ，则称 a 为 n 趋于无穷时数列的极限。记做：
lnim xn a 或 xn a(n )
能否给出数列（3）收敛的描述性的定义？
对于数3列 ）（ ，其通 xn 项 n(n 1)n1，从数 轴上看，1无 它限 和接近，接近 越的 来程 越度 小
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
即n 1,
就有 n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
n
n
n
例2 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
在平面上 ,当 nN时 ,所有x的 n都点 落 (a在 ,
a)带形内 区， 域只有 (至有 多限 N 只 个 )个 有 落在.其外
xnf(n).
a
a
a
a a
O 1 23
N1
N
n
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
N定义 : ln i m xna 0,N0,使 nN 时 ,恒xn 有 a.
其中 : 每一个或任给的 ，:至少有一个或存在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
从数轴 n N 时 上 ,所看 有 x n 都 ， 的 (落 a 当 点 ,a 在 ) 内，只 (至有 多 N 个 )有 落 只限 在 有 . 个 其外
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn都 落 在 闭 区 间
[M ,M ]上 .
定理1 收敛的数列必定有界.
证 设 ln i m xna, 由定义, 取1, 则 N ,使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有 即 a 1 有 x n a 1 .
第一章函数与极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正 62n1边形的面积A n
A 1,A 2,A 3, ,A n, S
2、截丈问题：
0 x4 x3 x2
x1
(3) 2,1,4,,n(1)n1,
23
n
0 x 2 x 4 1 x nx 3 x 1
数列(1)(2)(3) 有一个共性？
2 当n无限增大
时, x与n 常数
a无限接近,尽 0
管接近的方式 不同。
1
我们研究数列就是研究它在自变量 n 的动态变
化过程中， xn 能否渐趋稳定，或是说，能否无限的 接近某一定数 a ？如果能，a 就叫 xn 的极限。
由
1 n
1, 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
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只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
xn a
a
a
故 ln i m xn a.
四、数列极限的性质
1.有界性
定 义 : 对 数 列 xn, 若 存 在 正 数 M, 使 得 一 切 自 然 数 n, 恒 有xn M成 立 , 则 称 数 列 xn有 界 ,
否 则 , 称 为 无 界 .
例如,
数列 xn
n; n1
有界
数x 列 n2n.无界