导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题

含参数导数问题的分类讨论问题

1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2

131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间

)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x

a

x x f ln )2(2)(+--

=（a>0）求函数的单调区间 2

2

2)

)(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22

21

1

ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()

2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()

2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

（Ⅱ）由于0a ≠，所以()()

1

2)1(222+-+='x x a x f ,由

()'0f x =，得121

,x x a a

=-=。这两个实根都在定

()()()()()()

2

2

'

2222

122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛

⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ⎛

⎫

-∞-

⎪⎝⎭

，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值

21f a a ⎛⎫

-=- ⎪⎝⎭

； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

（1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1

(+∞-a

内为增函数，在区间

)1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11

x a

=-处取得极小值

21f a a ⎛⎫

-=- ⎪⎝⎭

；函数

()f x 在

2x a =处取得极大值()1f a =。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点

的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

★★★(区间确定零点不确定的典例)

例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）

的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2

万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.

解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2

,x ∈［9,11］.

(2)L ′(x)=(12-x)2

-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).

令L ′=0得x=6+32

a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+3

2a ≤

3

28. 在x=6+3

2

a 两侧L ′的值由正变负.

所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜2

9

时，

L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2

=9(6-a). ②当9≤6+3

2a ≤

328即2

9

≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以Q(a)=⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

≤≤-<

≤-.52

9

,

)313(4,2

9

3),6(93a a a a

答 若3≤a ＜2

9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若2

9≤a ≤5，则当每件售价为(6+3

2a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=4（3-3

1a ）3

(万元).

★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）

例2、已知()()2,ln 2

3

+-+==x ax x x g x x x f

(Ⅰ).求函数()x f 的单调区间;

(Ⅱ).求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;

(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围. 解：(Ⅰ)(),10,0,1ln )('

'

e

x x f

x x f <<<+=解得令 ();1,0⎪⎭

⎫

⎝

⎛∴e x f 的单调递减区间是

(),1

,0'e x x f >>解得令），，

的单调递增是（∞+e x f )(

(Ⅱ)(ⅰ)0

e 1，t 无解； (ⅱ)0

1

时，e e f x f 1)1()(min -==；

)(x L

y

x

12

9

)(x L '

X=12 3218a x +=