第1章实验数据及模型参数
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第1章 实验数据及模型参数 拟合方法
• 1.1 问题的提出 • 1.2拟合的标准 • 1.3单变量拟合和多变量拟合 • 1.4解矛盾方程组 • 1.5梯度法拟合参数 • 1.6吸附等温曲线回归
总202目0/3/录31
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.1 问题的提出 200 150
100
Y Y
1.0
m
m
Q (a ,b ) (p (ti)p i)2 (a bi tp i)2(1-7) 0.8
i 1
i 1
0.6
拟合得到得直线方程为：
p
0.4
p0.303204.01t21(1-8) 0.2
相关系数R为0.97296， 平均绝对偏差SD为0.05065。
0.0 -30
图1-3
-20
-10
0
10
转化率 y 0.1 0.3
3
4
5
6
7
8
30
40
50
60
70
80
0.7 0.94 0.95 0.68 0.34 0.13
表1-1
总202目0/3/录31
本章目录
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.1 问题的提出
• 确定在其他条件不变的情况下，转化率y和 温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合 实验数据，两种模型分别是：
表1-2 DME饱和蒸气压和温度的关系
由表1-2的数据观测可得，DME的饱和蒸汽压和温 度有正相关关系。
总202目0/3/录31
本章目录
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.2 拟合的标准
实例
• 如果以直线拟合p=a+bt,即拟合函数是一条直线。 通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方 程（见图1-3）
0.2
0.0
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
温 度 , t(℃ )
图1-4 DME饱和蒸汽压和温度之间的
二次拟合
总202目0/3/录31
本章目录
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.2 拟合的标准
实例
比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和平均绝对 偏差可知：
• 对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验 温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。
Rma(x x i)yi
(1-5)
1im
• （3）用各点误差的平方和表示
m
RR 2 ( (xi)yi)2
i 1
R称为均方误差
或RQ(x 2)(1-6-) Y 2
总202目0/3/录31
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.2 拟合的标准
• 由于计算均方误差的最小值的原则容易实 现而被广泛采用。按均方误差达到极小构 造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时 还有许多种其他的方法构造拟合曲线，感 兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲 述用最小二乘法构造拟合曲线。
2
4
6
8
10
X
无法同时满足某特定函数的数据序列
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1.5
1.6
1.1 问题的提出
• 在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术， 求出最佳的模型和模型参数。
• 如在某一反应工程实验中，我们测得了如表1-1所示 的实验数据：
序号
1
2
温度 T 10
20
i 1
i 1
拟合得二次方程为：
1.0
p0.248 04 .05 0t90 5.070t02 1（15-10） 0.8 0.6
压 力, P ( M P a )
相关系数为R为0.99972， 平均绝对偏差SD为0.0056。 具体拟合曲线见图1-4
0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x 2
20
30
40
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DME饱和蒸汽t 压和温度之间的
线性拟合
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.2 拟合的标准
实例
如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差：
m
m
Q ( a 0 ,a 1 ,a 2 )(p ( ti) p i)2( a 0 a 1 ti a 2 ti2 p i)2 （1-9）
ya1b1Tc1T2
(1-2)
y a2
c2 b2(T45)2
(1-3)
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1.6
1.2 拟合的标准
向量Q与Y之间的误差或距离有以下几种定义方法：
• （1）用各点误差绝对值的和表示
m
R1 (xi)yi
(1-4)
• （2）用各i点1 误差按绝对值的最大值表示
总202目0/3/录31
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1.3
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1.5
1.6
1.2 拟合的标准
实例
• 实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸汽压和 温度的关系如下表 ：
序号
温度 ℃
蒸气压 MPa
1
-23.7
0.101
2
-10
0.174
3
0
0.254
4
10
0.359
5
20
0.495
6
30
0.662
7
40
0.880
m
m
Q (a ,b ) (p (x i)yi)2 (a bi xyi)2
i 1
i 1
（1-11）
Q (a , b)的极小值需满足：
Q (a a,b)2im 1(abixyi)0 Q (a b,b)2im 1(abixyi)xi 0
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1.1
1.2
1.3
1.4
• 二次拟合曲线具有局限性，由图1-4观察可知，当 温度低于-30℃时，饱和压力有升高的趋势，但在 拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏差又小 于一次拟合，故对物性数据进行拟合时，不仅要看 在拟合条件下的拟合效果，还必须根据物性的具体 性质，判断在拟合条件之外的物性变化趋势，以便 使拟合公式在已做实验点数据之外应用。
1.5
1.3.1 单变量拟合
1.6
线性拟合
• 整理得到拟合曲线满足的方程：
总202目0/3/录31
本章目录
1.1
1.2
1.3
1.4
Байду номын сангаас1.5
1.6
1.3 单变量拟合和多变量拟合
• 1.3.1单变量拟合
• 1.3.2 多变量的曲线拟合
总202目0/3/录31
本章目录
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.3.1 单变量拟合
1.6
线性拟合
• 给定一组数据（xi,yi）,i=1, 2 , …, m ，做拟合直线 p (x)=a + bx , 均方误差为 ：
• 化工设计及化工模拟 计算中，有大量的物 性参数及各种设备参 数。实验测量得到的 常常是一组离散数据 序列（xi ,yi）
• 图1-1所示为“噪声”
• 图1-2所示为无法同时 满足某特定的函数
50
0
-2
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
X
图1-1 含有噪声的数据
20
15
10
5
0 0
图1-2
• 1.1 问题的提出 • 1.2拟合的标准 • 1.3单变量拟合和多变量拟合 • 1.4解矛盾方程组 • 1.5梯度法拟合参数 • 1.6吸附等温曲线回归
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1.1 问题的提出 200 150
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Y Y
1.0
m
m
Q (a ,b ) (p (ti)p i)2 (a bi tp i)2(1-7) 0.8
i 1
i 1
0.6
拟合得到得直线方程为：
p
0.4
p0.303204.01t21(1-8) 0.2
相关系数R为0.97296， 平均绝对偏差SD为0.05065。
0.0 -30
图1-3
-20
-10
0
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转化率 y 0.1 0.3
3
4
5
6
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0.7 0.94 0.95 0.68 0.34 0.13
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1.1 问题的提出
• 确定在其他条件不变的情况下，转化率y和 温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合 实验数据，两种模型分别是：
表1-2 DME饱和蒸气压和温度的关系
由表1-2的数据观测可得，DME的饱和蒸汽压和温 度有正相关关系。
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1.2 拟合的标准
实例
• 如果以直线拟合p=a+bt,即拟合函数是一条直线。 通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方 程（见图1-3）
0.2
0.0
-30
-20
-10
0
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温 度 , t(℃ )
图1-4 DME饱和蒸汽压和温度之间的
二次拟合
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1.2 拟合的标准
实例
比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和平均绝对 偏差可知：
• 对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验 温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。
Rma(x x i)yi
(1-5)
1im
• （3）用各点误差的平方和表示
m
RR 2 ( (xi)yi)2
i 1
R称为均方误差
或RQ(x 2)(1-6-) Y 2
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1.2 拟合的标准
• 由于计算均方误差的最小值的原则容易实 现而被广泛采用。按均方误差达到极小构 造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时 还有许多种其他的方法构造拟合曲线，感 兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲 述用最小二乘法构造拟合曲线。
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X
无法同时满足某特定函数的数据序列
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1.1 问题的提出
• 在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术， 求出最佳的模型和模型参数。
• 如在某一反应工程实验中，我们测得了如表1-1所示 的实验数据：
序号
1
2
温度 T 10
20
i 1
i 1
拟合得二次方程为：
1.0
p0.248 04 .05 0t90 5.070t02 1（15-10） 0.8 0.6
压 力, P ( M P a )
相关系数为R为0.99972， 平均绝对偏差SD为0.0056。 具体拟合曲线见图1-4
0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x 2
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DME饱和蒸汽t 压和温度之间的
线性拟合
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1.2 拟合的标准
实例
如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差：
m
m
Q ( a 0 ,a 1 ,a 2 )(p ( ti) p i)2( a 0 a 1 ti a 2 ti2 p i)2 （1-9）
ya1b1Tc1T2
(1-2)
y a2
c2 b2(T45)2
(1-3)
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1.2 拟合的标准
向量Q与Y之间的误差或距离有以下几种定义方法：
• （1）用各点误差绝对值的和表示
m
R1 (xi)yi
(1-4)
• （2）用各i点1 误差按绝对值的最大值表示
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1.2 拟合的标准
实例
• 实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸汽压和 温度的关系如下表 ：
序号
温度 ℃
蒸气压 MPa
1
-23.7
0.101
2
-10
0.174
3
0
0.254
4
10
0.359
5
20
0.495
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0.662
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0.880
m
m
Q (a ,b ) (p (x i)yi)2 (a bi xyi)2
i 1
i 1
（1-11）
Q (a , b)的极小值需满足：
Q (a a,b)2im 1(abixyi)0 Q (a b,b)2im 1(abixyi)xi 0
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• 二次拟合曲线具有局限性，由图1-4观察可知，当 温度低于-30℃时，饱和压力有升高的趋势，但在 拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏差又小 于一次拟合，故对物性数据进行拟合时，不仅要看 在拟合条件下的拟合效果，还必须根据物性的具体 性质，判断在拟合条件之外的物性变化趋势，以便 使拟合公式在已做实验点数据之外应用。
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1.3.1 单变量拟合
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线性拟合
• 整理得到拟合曲线满足的方程：
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Байду номын сангаас1.5
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1.3 单变量拟合和多变量拟合
• 1.3.1单变量拟合
• 1.3.2 多变量的曲线拟合
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1.3.1 单变量拟合
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线性拟合
• 给定一组数据（xi,yi）,i=1, 2 , …, m ，做拟合直线 p (x)=a + bx , 均方误差为 ：
• 化工设计及化工模拟 计算中，有大量的物 性参数及各种设备参 数。实验测量得到的 常常是一组离散数据 序列（xi ,yi）
• 图1-1所示为“噪声”
• 图1-2所示为无法同时 满足某特定的函数
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图1-1 含有噪声的数据
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