时域离散系统的基本网络结构
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3.有N个极点和M个零点。为了保持系统稳定，所有极点应在单位 圆内
4.基本网络结构有三种：直接型，级联型，并联型.
9
5.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构
1 直接型网络结构
将N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
为简单起见, 假设M=N=2
11
例 5.3.1 已知系统用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n-1)+0.8y(n-2)+x(n)-1.4x(n-1)
试画出它的直接型网络结构。 先画反馈部分，即0.9y(n-1)+0.8y(n-2); 再画前向通路部分，这里的延时支路要和反馈环路的 延时支路共用，这样就得到最后的流图。
15
例 5.3.2 设系统函数如下式：
H
(
z
)
1
8 4z 1.25z 1
1
11z2 0.75z 2
2 z 3 0.125z
3
试画出它的级联型网络结构。
解 上式中分子分母多项式的根分别有一个实根和
一对共轭成对的虚根，将共轭成对的虚根放在一起 ，形成一个具有实系数的二阶多项式，如下式：
H(z)
第五章 时域离散系统的基本网络结构
1
本章思路
时域离散系统或者网络一般可以用三种描述方法： 差分方程 单位脉冲响应h(n) 系统函数H(z) 但是要用计算机对输入的时域离散序列进行处理，必须要体 现为一种算法。同一个离散时间系统可能有很多不同的算法 来实现，这些算法就表现为系统的不同结构。网络结构的不 同对运算速度、误差、成本等都有很大影响 1.网络结构的表示方法－－信号流图 2.无限脉冲响应（IIR）基本网络结构 3.有限脉冲响应（FIR）基本网络结构 4.线性相位结构 5.频率采样型结构
2 0.379z1 4 1.24z1 5.26z2 1 0.25z1 1 z1 0.5z2
16
为了节省延时支路，将分子分母中的一阶多 项式放在一起形成一个IIR一阶网络，分子分母 中的二阶多项式放在一起形成一个IIR二阶网络
H
(z)
2 0.379z1 1 0.25z1
4
1.24z1 5.264z2 1 z1 0.5z2
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
按照系统函数或者差分方程直接画出它的 结构图如图所示。
23
2 FIR级联型网络结构 将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对 的根放在一起，形成具有实系数的二阶网络。
例 5.4.1 设FIR网络系统函数如下式： H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出它的直接型结构和级联型结构图。
因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到 前面， 因此运算的累积误差比直接型小
19
3 并联型网络结构 将系统函数展成部分分式，每个部分分式一般是一阶
或二阶的形式，每个部分分式用直接型结构实现，将
这些直接型结构并联，形成并联型结构的系统
例 5.3.0 设系统函数如下式：
H
(
z)
1
1 0.7z1 0.1z1 0.3z
按照上式画出它的级联型结构如图。
显然这种级联方式不如前面结构简单，它多用 了一个延时支路。
18
级联型结构的特点：
② 级联型结构的特点是每个二阶节是相互独立的， 可分别通过调整各个 “ 零极点对 ” 来对滤波器 性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排。 实现需要(M+N)个加法器、(M+N)个乘法器和N个 延时单元。该结构应用最广泛。
6
二者的相 互转换
实际系统的描述
信号流图
系统的数学描述
系统函数H(z)
7
FIR数字网络的特点：
差分方程：
M
y(n) b0x(n) b1x(n 1) b2x(n 2) bM x(n M ) h(k) x(n k) k 0
M
系统函数： H (z) h(n) Z n b0 b1Z 1 b2Z 2 bM Z M n0
(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状， 其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完 全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相 同部分便于标准化、模块化。
31
然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：
(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘 法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。
B
H (z) z
(z
0.6) |z0.6
z z
0.7 0.5
|z0.6
13 11
C
H (z) z
(z
0.5)
|z0.5
z z
0.7 0.6
|z0.5
2 11
13
2
H (z)
1
11 0.6 z 1
1
11 0.5 z 1
21
例 5.3.6 假设系统函数如下式：
H (z) (2 0.379z1)(4 1.24z1 5.264z2 ) 1 0.25z1 (1 z1 0.5z2 ) 画出它的并联型结构图。 解 将系统函数展成部分分式，得到
29
H
(z)
1 (
zN N
N 1
)
k 0
1
H (k) WNk z 1
极点位置
j2πk
zk e N
k 0,1,2,, N 1
零点位置
j2πk
zk e N
k 0,1,2,, N 1
30
优点：
(1)只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的 系数)，就可以有效地调整频响特性，使实际调 整方便。
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0
N
1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
3
两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
8
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
1.系统的单位脉冲响应h(n)有限长（只存在有限多个n，使h(n)不为零） 2.不存在输出到输入的反馈，即信号流图中不含有环路，系统函数H(z)的分母 多项式等于1，系统只有一个极点 Z=0，为 M阶极点。 3.无论差分方程的系数取任何有效的值，系统都是因果稳定的。 4.单位脉冲响应的值等于差分方程系数： h(n)=bn n=0,1,·····,M 5.基本网络结构有三种：直接型，级联型，线性相位型，频率采样型
2
试画出它的并联型结构图。
解 首先将系统函数写成下式:
H (z)
z(z 0.7) z2 0.1z 0.3
20
将分母进行因式分解，得到:
H (z) z(z 0.7) (z 0.6)(z 0.5)
H (z) z
z 0.7 (z 0.6)(z 0.5)
B z 0.6
C z 0.5
数乘：
移位：
信号流图由基本支路构成，基本支路的表示方法： 1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的符号 表示增益（缺省为1）。 2.输出节点变量等于输入节点变量乘以增益，增益等于z-1 表示移位。 3.输出节点对应多个输入支路时，输出节点变量等于所有输入节点变量之和。
4
认识信号流图
1 0.3z1 1 0.6z1
1 1
0.4 0.5
z z
1 1
H1(z) H2 (z)
14
还可以如下式这样进行分解：
H (z)
1 0.4 z1 1 0.6z1
1 1
0.3 0.5
z z
1 1
H3(z) H4(z)
因式分解时，可能出现系数为虚数的情况， 但是实际中的乘法器都是实数乘法器，为此 希望因式分解后的系数都是实数。如果多项 式系数是实数，多项式的根不是实数，就是 共轭成对的，可将共轭成对的根放在一起构 成二阶网络。
H (z) ( N )k0 1 WNk z1
1
N 1
H (z)
N
Hc(z)
k 0
Hk (z)
Hc(z) 1 zN
H
k
(
z)
1
H (k) WNk z1
Hc(z)就是第二章中例2.6.4中的H(z)。在该例题中曾分析出在 它的幅度特性中有N个等幅度的峰，并称它为梳状滤波器。式中
Hk(z)是IIR一阶网络，N个Hk(z)进行相加，表示N个一阶网络相 并联。
w1(n) = x(n)+aw3(n) w2(n) = w1(n) w3(n) = w2(n-1) w4(n) = b0w2(n)+b1w3(n)
y(n) = w4(n)
1.输入x(n) 称为输入节点变量，y(n)表示输出节点变 量，w1(n), w2(n), w3(n)和w4(n)也是节点变量。这些 节点变量和其他节点变量之间的关系可以表示为：
2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回 到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路。
环路增益等于：环路上所有增益的乘积。
3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路 （前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路）。 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积。
H
(z)
16
1
8 0.5z 1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16 20z1 z1 0.5z2
将上式中的每一部分画成直接型结构，再进行并联 ，最后得到IIR并联型结构如图7.3.8所示。
22
5.4 有限长脉冲响应（FIR）的基本网络结构
1 FIR直接型网络结构 假设单位脉冲响应h(n)的长度是N，它的
系统函数和差分方程用下式表示：
5
从基本运算考虑，如果满足以下条件，则称为 基本信号流图: (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增 益是常数或者是z-1; (2) 流图环路中必须存在延时支路; (3) 节点个数和支路个数都是有限的。
按照上面的条件可知，图 (a)所示的流图是基本 流图，图中有一个环路，环路增益是az-1 ，环 路中有延时支路。 而图 (b)不是基本信号流图，因为它不是由基本 支路组成的，也不能决定一种具体的算法。
将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 按照上式画出它的级联型结构如图7.4.2(b)所示。
24
级联型的特点
每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点 系数比直接型多，所需的乘法运算多
25
5.5 线性相位结构
线性相位结构是FIR系统的直接型结构的简化网络 结构
h(n) h(N n 1)
N / 21
H (z) h(n)[z n z (N n1) ] n0
H
(z)
(
N 1)1 2
h(n)[ z n
z ( N n1)
]
h(
N
1 )z
N 1 2
n0
2
26
图5.5.1 第一类线性相位网络结构流图
27
图5.5.2 第二类线性相位网络结构流图
28
1 zN N 1 H (k )
2
2
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
10
将H1(z)和H2(z)交换次序， 得到H(z)=H2(z)H1(z) 。 另外, 节点变量w1等于节点变量w2，即w1=w2 ，同时, 前后两部分经过延时, 对应的节点变量 也相等，可以将前后两部分的延时支路合并成 一个延时支路。这样形式的流图为IIR直接型网 络结构。
12
例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H
(
z)
8 4 z1 1 5 z1
11z 2 3 z2
2 1
z 3 z 3
448
试画出该滤波器的直接型网络结构。
解： 根据系统函数表达式可见，流图含有四个前
向通路和三个反馈环路（相互有接触），前向通 路和反馈环路公用延时支路
由系统函数画信号流图，注意环路增益
上式中的第一部分是IIR一阶网络，它 的系数决定一个零点和一个极点； 第二部分是
IIR二阶网络，它决定一对零点和一对极点。这 两部分相互级联起来，构成IIR级联型网络结构
17
当然, 也可以将系统函数写成下面形式：
H (z)
2 0.379z1 1 z1 0.5z2
4
1.24z1 5.264z2 1 0.25z1
13
2 级联型网络结构
将系统函数分子分母分别因式分解，分解成简单的一 阶或者二阶的形式，这些简单分式用直接型结构实现 ，然后级联形成级联型结构的系统
H
(
z
)
1 0.7z1 0.12z2 1 0.1z1 0.3z2
1 0.3z1 1 0.4z1 H (z) 1 0.6z1 1 0.5z1
4.基本网络结构有三种：直接型，级联型，并联型.
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5.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构
1 直接型网络结构
将N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
为简单起见, 假设M=N=2
11
例 5.3.1 已知系统用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n-1)+0.8y(n-2)+x(n)-1.4x(n-1)
试画出它的直接型网络结构。 先画反馈部分，即0.9y(n-1)+0.8y(n-2); 再画前向通路部分，这里的延时支路要和反馈环路的 延时支路共用，这样就得到最后的流图。
15
例 5.3.2 设系统函数如下式：
H
(
z
)
1
8 4z 1.25z 1
1
11z2 0.75z 2
2 z 3 0.125z
3
试画出它的级联型网络结构。
解 上式中分子分母多项式的根分别有一个实根和
一对共轭成对的虚根，将共轭成对的虚根放在一起 ，形成一个具有实系数的二阶多项式，如下式：
H(z)
第五章 时域离散系统的基本网络结构
1
本章思路
时域离散系统或者网络一般可以用三种描述方法： 差分方程 单位脉冲响应h(n) 系统函数H(z) 但是要用计算机对输入的时域离散序列进行处理，必须要体 现为一种算法。同一个离散时间系统可能有很多不同的算法 来实现，这些算法就表现为系统的不同结构。网络结构的不 同对运算速度、误差、成本等都有很大影响 1.网络结构的表示方法－－信号流图 2.无限脉冲响应（IIR）基本网络结构 3.有限脉冲响应（FIR）基本网络结构 4.线性相位结构 5.频率采样型结构
2 0.379z1 4 1.24z1 5.26z2 1 0.25z1 1 z1 0.5z2
16
为了节省延时支路，将分子分母中的一阶多 项式放在一起形成一个IIR一阶网络，分子分母 中的二阶多项式放在一起形成一个IIR二阶网络
H
(z)
2 0.379z1 1 0.25z1
4
1.24z1 5.264z2 1 z1 0.5z2
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
按照系统函数或者差分方程直接画出它的 结构图如图所示。
23
2 FIR级联型网络结构 将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对 的根放在一起，形成具有实系数的二阶网络。
例 5.4.1 设FIR网络系统函数如下式： H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出它的直接型结构和级联型结构图。
因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到 前面， 因此运算的累积误差比直接型小
19
3 并联型网络结构 将系统函数展成部分分式，每个部分分式一般是一阶
或二阶的形式，每个部分分式用直接型结构实现，将
这些直接型结构并联，形成并联型结构的系统
例 5.3.0 设系统函数如下式：
H
(
z)
1
1 0.7z1 0.1z1 0.3z
按照上式画出它的级联型结构如图。
显然这种级联方式不如前面结构简单，它多用 了一个延时支路。
18
级联型结构的特点：
② 级联型结构的特点是每个二阶节是相互独立的， 可分别通过调整各个 “ 零极点对 ” 来对滤波器 性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排。 实现需要(M+N)个加法器、(M+N)个乘法器和N个 延时单元。该结构应用最广泛。
6
二者的相 互转换
实际系统的描述
信号流图
系统的数学描述
系统函数H(z)
7
FIR数字网络的特点：
差分方程：
M
y(n) b0x(n) b1x(n 1) b2x(n 2) bM x(n M ) h(k) x(n k) k 0
M
系统函数： H (z) h(n) Z n b0 b1Z 1 b2Z 2 bM Z M n0
(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状， 其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完 全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相 同部分便于标准化、模块化。
31
然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：
(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘 法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。
B
H (z) z
(z
0.6) |z0.6
z z
0.7 0.5
|z0.6
13 11
C
H (z) z
(z
0.5)
|z0.5
z z
0.7 0.6
|z0.5
2 11
13
2
H (z)
1
11 0.6 z 1
1
11 0.5 z 1
21
例 5.3.6 假设系统函数如下式：
H (z) (2 0.379z1)(4 1.24z1 5.264z2 ) 1 0.25z1 (1 z1 0.5z2 ) 画出它的并联型结构图。 解 将系统函数展成部分分式，得到
29
H
(z)
1 (
zN N
N 1
)
k 0
1
H (k) WNk z 1
极点位置
j2πk
zk e N
k 0,1,2,, N 1
零点位置
j2πk
zk e N
k 0,1,2,, N 1
30
优点：
(1)只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的 系数)，就可以有效地调整频响特性，使实际调 整方便。
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0
N
1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
3
两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
8
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
1.系统的单位脉冲响应h(n)有限长（只存在有限多个n，使h(n)不为零） 2.不存在输出到输入的反馈，即信号流图中不含有环路，系统函数H(z)的分母 多项式等于1，系统只有一个极点 Z=0，为 M阶极点。 3.无论差分方程的系数取任何有效的值，系统都是因果稳定的。 4.单位脉冲响应的值等于差分方程系数： h(n)=bn n=0,1,·····,M 5.基本网络结构有三种：直接型，级联型，线性相位型，频率采样型
2
试画出它的并联型结构图。
解 首先将系统函数写成下式:
H (z)
z(z 0.7) z2 0.1z 0.3
20
将分母进行因式分解，得到:
H (z) z(z 0.7) (z 0.6)(z 0.5)
H (z) z
z 0.7 (z 0.6)(z 0.5)
B z 0.6
C z 0.5
数乘：
移位：
信号流图由基本支路构成，基本支路的表示方法： 1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的符号 表示增益（缺省为1）。 2.输出节点变量等于输入节点变量乘以增益，增益等于z-1 表示移位。 3.输出节点对应多个输入支路时，输出节点变量等于所有输入节点变量之和。
4
认识信号流图
1 0.3z1 1 0.6z1
1 1
0.4 0.5
z z
1 1
H1(z) H2 (z)
14
还可以如下式这样进行分解：
H (z)
1 0.4 z1 1 0.6z1
1 1
0.3 0.5
z z
1 1
H3(z) H4(z)
因式分解时，可能出现系数为虚数的情况， 但是实际中的乘法器都是实数乘法器，为此 希望因式分解后的系数都是实数。如果多项 式系数是实数，多项式的根不是实数，就是 共轭成对的，可将共轭成对的根放在一起构 成二阶网络。
H (z) ( N )k0 1 WNk z1
1
N 1
H (z)
N
Hc(z)
k 0
Hk (z)
Hc(z) 1 zN
H
k
(
z)
1
H (k) WNk z1
Hc(z)就是第二章中例2.6.4中的H(z)。在该例题中曾分析出在 它的幅度特性中有N个等幅度的峰，并称它为梳状滤波器。式中
Hk(z)是IIR一阶网络，N个Hk(z)进行相加，表示N个一阶网络相 并联。
w1(n) = x(n)+aw3(n) w2(n) = w1(n) w3(n) = w2(n-1) w4(n) = b0w2(n)+b1w3(n)
y(n) = w4(n)
1.输入x(n) 称为输入节点变量，y(n)表示输出节点变 量，w1(n), w2(n), w3(n)和w4(n)也是节点变量。这些 节点变量和其他节点变量之间的关系可以表示为：
2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回 到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路。
环路增益等于：环路上所有增益的乘积。
3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路 （前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路）。 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积。
H
(z)
16
1
8 0.5z 1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16 20z1 z1 0.5z2
将上式中的每一部分画成直接型结构，再进行并联 ，最后得到IIR并联型结构如图7.3.8所示。
22
5.4 有限长脉冲响应（FIR）的基本网络结构
1 FIR直接型网络结构 假设单位脉冲响应h(n)的长度是N，它的
系统函数和差分方程用下式表示：
5
从基本运算考虑，如果满足以下条件，则称为 基本信号流图: (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增 益是常数或者是z-1; (2) 流图环路中必须存在延时支路; (3) 节点个数和支路个数都是有限的。
按照上面的条件可知，图 (a)所示的流图是基本 流图，图中有一个环路，环路增益是az-1 ，环 路中有延时支路。 而图 (b)不是基本信号流图，因为它不是由基本 支路组成的，也不能决定一种具体的算法。
将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 按照上式画出它的级联型结构如图7.4.2(b)所示。
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级联型的特点
每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点 系数比直接型多，所需的乘法运算多
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5.5 线性相位结构
线性相位结构是FIR系统的直接型结构的简化网络 结构
h(n) h(N n 1)
N / 21
H (z) h(n)[z n z (N n1) ] n0
H
(z)
(
N 1)1 2
h(n)[ z n
z ( N n1)
]
h(
N
1 )z
N 1 2
n0
2
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图5.5.1 第一类线性相位网络结构流图
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图5.5.2 第二类线性相位网络结构流图
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1 zN N 1 H (k )
2
2
y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
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将H1(z)和H2(z)交换次序， 得到H(z)=H2(z)H1(z) 。 另外, 节点变量w1等于节点变量w2，即w1=w2 ，同时, 前后两部分经过延时, 对应的节点变量 也相等，可以将前后两部分的延时支路合并成 一个延时支路。这样形式的流图为IIR直接型网 络结构。
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例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H
(
z)
8 4 z1 1 5 z1
11z 2 3 z2
2 1
z 3 z 3
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试画出该滤波器的直接型网络结构。
解： 根据系统函数表达式可见，流图含有四个前
向通路和三个反馈环路（相互有接触），前向通 路和反馈环路公用延时支路
由系统函数画信号流图，注意环路增益
上式中的第一部分是IIR一阶网络，它 的系数决定一个零点和一个极点； 第二部分是
IIR二阶网络，它决定一对零点和一对极点。这 两部分相互级联起来，构成IIR级联型网络结构
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当然, 也可以将系统函数写成下面形式：
H (z)
2 0.379z1 1 z1 0.5z2
4
1.24z1 5.264z2 1 0.25z1
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2 级联型网络结构
将系统函数分子分母分别因式分解，分解成简单的一 阶或者二阶的形式，这些简单分式用直接型结构实现 ，然后级联形成级联型结构的系统
H
(
z
)
1 0.7z1 0.12z2 1 0.1z1 0.3z2
1 0.3z1 1 0.4z1 H (z) 1 0.6z1 1 0.5z1