第3章3.1.2知能优化训练

1．若M ＝cos17°sin13°＋sin17°cos13°，则M 的值为( ) A.12 B.22 C.32

D. 以上都不对 解析：选A.原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝1

2

.

2．sin65°cos35°－cos65°sin35°等于( ) A.12 B.32

C ．－32

D ．－1

2

解析：选A.原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝1

2

.

3．若M ＝sin12°cos57°－cos12°sin57°，N ＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°，则以下判断正确的是( )

A ．M ＞N

B ．M ＝N

C ．M ＋N ＝0

D ．MN ＝1

2

解析：选C.M ＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－sin45°＝－2

2

，

N ＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝cos45°＝2

2

，

∴M ＋N ＝0.

4．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sin αsin ⎝⎛⎭⎫

3π2－β＝________. 解析：原式＝2sin αcos β－2sin αcos β＝0. 答案：0

一、选择题

1．(2010年高考福建卷)计算sin43°·cos13°－cos43°·sin13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32

解析：选A.原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1

2

.

2．(2011年金华高一检测)已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →

＝－1，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )

A.13

B.

23 C.33

D.23 解析：选B.AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →

＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)

＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α ＝1－3(sin α＋cos α)＝－1， ∴3(sin α＋cos α)＝2，

∴32sin(α＋π

4)＝2，

∴sin(α＋π4)＝2

3

.

3．在△ABC 中，若sin A cos B ＝1－cos A sin B ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：选B.∵sin A cos B ＝1－cos A sin B ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1， 即sin(A ＋B )＝1.

∵A ，B 为三角形的内角， ∴A ＋B ＝90°， ∴∠C ＝90°，

∴△ABC 为直角三角形．

4．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝10

10

，则sin C ＝( )

A ．－55 B.5

5

C ．－255 D.255

解析：选D.∵cos B ＝1010∴sin B ＝310

10

，

∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B

＝22×1010＋22×31010＝255

. 5．若0＜α＜β＜π

4

，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )

A ．a ＞b

B ．a ＜b

C ．ab ＜1

D ．ab ＞2

解析：选B.a ＝2sin(α＋π

4

)，b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4. f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫0，π

4上是增函数． 又0＜α＜β＜π

4

，

∴f (α)＜f (β)，即a ＜b .

6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6 解析：选C.∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B ) ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )．

又A ＋B ＝π－C ，∴整理得sin(C ＋π6)＝1

2

，

∵0＜C ＜π，∴π6＜C ＋π6＜7π

6

，

∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.

二、填空题

7．函数f (x )＝3sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫

π2＋x 的最大值是________． 解析：f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6， ∴f (x )的最大值为2.

答案：2

8．sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )＝________. 解析：原式＝sin x cos60°＋cos x sin60°＋2sin x cos60°－2cos x sin60°－3(cos120°cos x ＋sin120°sin x )

＝32sin x －32cos x ＋32cos x －3

2sin x ＝0. 答案：0 9.cos10°tan20°

＋3sin10°tan70°－2cos40°＝________. 解析：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°

＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°

＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°

－2cos40°

＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°

－2cos40°

＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°

－2cos40°

＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°

＝2. 答案：2 三、解答题

10．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35

， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．

解：∵π4＜α＜34π，π2＜π

4＋α＜π，

∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. ∵0＜β＜π4，34π＜3

4π＋β＜π，

∴cos ⎝⎛⎭

⎫3

4π＋β ＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫34π＋β＝－1213

， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)

＝－sin ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫34π＋β ＝－⎣⎡⎦

⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫34π＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365

.