19-20 第4章 4.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质

4.2指数函数

第1课时指数函数的概念、图象与性质

学习目标核心素养

1.理解指数函数的概念与意义，掌握指

数函数的定义域、值域的求法．(重点、

难点)

2．能画出具体指数函数的图象，并能

根据指数函数的图象说明指数函数的

性质．(重点)

1.通过学习指数函数的图象，培养直观

想象的数学素养．

2．借助指数函数的定义域、值域的求

法，培养逻辑推理素养.

1．指数函数的概念

一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

2．指数函数的图象和性质

a的范围a＞10＜a＜1

图象

性

质

定义域R

值域(0，＋∞)

过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1

单调性在R上是增函数在R上是减函数

奇偶性 非奇非偶函数

对称性

函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称

x 提示：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0

思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？ 提示：指数函数值随自变量的变化规律．

1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2x

D ．y ＝3－x

D [由指数函数的定义可知D 正确．] 2．函数y ＝3－x 的图象是( )

A B C D

B [∵y ＝3－x

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

13x

，∴B 选项正确．]

3．若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x

D ．f (x )＝x 1

3

B [设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (3)＝8得 a 3＝8，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ，故选B.]

4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． (1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a >1.]

指数函数的概念

【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x

；②y ＝2x 2－

1

；③y ＝a x ；

④y ＝2·3x . A ．1 B ．2 C ．3

D ．0

(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－32＝39，则f (－2)＝________.

(1)D (2)1

9 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；

③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.

(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－

2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝1

9.]

1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.

2．求指数函数的解析式常用待定系数法．

1．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，1∪(1，＋∞) [由题意可知⎩⎨⎧

2a －1>0，2a －1≠1，

解得a >12，且a ≠1，

所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，1∪(1，＋∞)．]

指数函数的图象的应用

【例2】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )

A ．a >1，b <0

B ．a >1，b >0

C ．00

D ．0

(2)函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． (1)D (2)(3,4) [(1)由于f (x )的图象单调递减，所以00，b <0，故选D.

(2)令x －3＝0得x ＝3，此时y ＝4.故函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点(3,4)．]

指数函数图象问题的处理技巧

(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.

(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.

2．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：

(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1； (4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |.

[解] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到． (2)y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到． (3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．