第5章之一三维图形生成和变换技术-1(计算机图形学)资料
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
计算机图形学习题参考答案(完整版)
区域二（下半部分）
k (x k, yk) pk 0 (7, 3) b 2(x 0 1/2)2 a 2(y01)2a 2b 2 23 1 (8, 2) p02a 2y1a 22b 2x1 361 2 (8,1) p12a 2y2 a 2 297 3 (8, 0)
2a yk pk 2 2 2 1600 b a b (1/4)a 332 768 p0 2b2x1b2 224 768 p12b 2x 2 b 2 44 768 p2 2b 2x 3 b2 208 2 640 p3 2b x 4 b 22a 2y 4 108 640 p4 2b 2x 5 b 2 288 512 p5 2b 2x 6 b 22a 2y6 244 384
10、使用中点椭圆算法，绘制中心为 (0, 0) ，长半径 a 8 ，短半径 b 6 的椭圆在第一象限中的部分。 解： 区域一（上半部分）
k (x k, yk) 2b x k 0 (0, 8) 0 1 (1, 8) 72 2 (2, 8) 144 3 (3, 8) 216 4 (4, 7) 288 5 (5, 7) 360 6 (6, 6) 432 7 (7, 6) 504 8 8, 5
第 2 章 基本图元的显示
1、假设 RGB 光栅系统的设计采用 810 英寸的屏幕，每个方向的分辨率为每英寸 100 个像素。如果 每个像素 6 位，存放在帧缓冲器中，则帧缓冲器需要多大存储容量（字节数）？ 解： 8100101006/8600000 （字节） 。 2、假设计算机字长为 32 位，传输速率为 1 MIP（每秒百万条指令） 。300 DPI(每英寸点数)的激光打 印机，页面大小为 8.511 英寸，要填满帧缓冲器需要多长时间。 解：
2
11、已知： A(0, 0) 、 B(1, 1) 、 C(2, 0) 、 D(1, 2) ，请判断多边形 ABCD 是否是凹多边形。 解： 多 边 形 的 边 向 量 为 AB (1,1, 0) ， BC (1, 1, 0) ， CD (1, 2, 0) ， DA(1, 2, 0) 。 因 为
三维图形透视投影变换_计算机图形学教程（第3版）_[共5页]
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195 5.3.3 三维图形透视投影变换透视投影属于中心投影，透视图也是一种将三维物体用二维平面来表达的立体图。
与轴测图不同，它是用中心投影法，通过空间一点（即投影中心）将立体投射到投影面上所得到的投影图，如图5.37所示。
投影中心又称为视点，它相当于观察者的眼睛。
投影面置于视点与立体之间，将立体上各点与视点相连所得到的投影线分别与投影面相交，其交点就是立体上相应点的透视投影，再将其依次相连，即获得具有真实立体感的透视图。
透视投影可用矩阵变换方法获得，在4 × 4阶变换矩阵中第4列元素p 、q 、r 、s 称为透视参数，若赋其非零数值即形成透视变换矩阵。
T =a b c p d e f q g h i r l m n s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1．点的透视变换如图5.38所示，在y 轴上取一点E 为视点，投影面取xOz 面（V 面），E 点到V 面的距离记为d ，对于空间里任一点，D (x ，y ，z ) 与视点E 的连线DE 与V 面的交点为D '(x '，y '，z ')，即为D 的透视投影，同样A 的透视投影为A '，B 的透视投影为B '，C 的透视投影为C '。
根据图5.38可以找到空间点坐标与点的透视投影坐标的关系。
图5.37 透视投影 图5.38 透视投影坐标关系 因为△BCE 与△B 'C 'E 相似，所以，'x d x y d =−+，即'1x x y d=−。
同理可得：'z d z y d =−+，即'1z z y d=− 设1q d =−，则1x x qy ′=+，1z z qy′=+。
计算机形学三维几何变换
计算机形学三维几何变换计算机形学是计算机科学中的一个重要分支，主要研究计算机图形学中的各类图形的数学描述方法和计算机图形学技术的应用。
其中，三维几何变换是计算机形学中的一项重要内容。
本文将介绍三维几何变换的概念、常见的三维几何变换操作以及其在计算机图形学中的应用。
一、概述三维几何变换是指对三维空间中的图形进行平移、旋转、缩放等操作，从而改变图形的位置和形状的过程。
三维几何变换是计算机图形学中非常常用的操作，可以实现物体的移动、旋转、缩放等效果。
二、三维几何变换的操作1. 平移（Translation）平移是指将图形沿指定的轴方向移动一定距离。
平移操作可以简单地理解为将图形的每一个顶点坐标向指定方向移动相同距离。
平移操作的数学表达式为：\[T(x,y,z) = (x + dx, y + dy, z + dz)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(dx,dy,dz)表示沿(x,y,z)轴平移的距离。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕指定轴进行旋转。
旋转操作可以用欧拉角、四元数、矩阵等多种方式进行计算。
旋转操作的数学表达式为：\[R(x,y,z) = M(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示旋转前的坐标，M表示旋转变换矩阵。
旋转变换矩阵的计算方式有很多，最常见的是使用旋转角度和旋转轴来计算旋转矩阵。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形沿各个轴向相应的方向按比例进行扩大或缩小。
缩放操作可以用不同的比例因子对每个顶点坐标进行缩放计算。
缩放操作的数学表达式为：\[S(x,y,z) = (sx, sy, sz)(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(sx,sy,sz)表示在x轴、y轴和z轴方向的缩放比例。
4. 其他变换操作除了平移、旋转和缩放之外，三维几何变换还可以包括倾斜、翻转、剪切等其他操作。
这些操作都是通过对图形的顶点坐标进行适当的数学计算而实现。
三、三维几何变换的应用三维几何变换在计算机图形学中有广泛的应用。
[课件]第5章 三维图形变换PPT
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5.1 三维图形齐次坐标变换矩阵
• 齐次变换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透 视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式， 使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。 旋转、错切等 透视变换
平移变换
比例变换
5.2 图形的三维几何变换
三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增 加对 z 坐标的考虑而得到，其变换也为平移、缩放、 旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨 论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是 3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4 阶矩阵。在三维图形变换的讨论中，仍采用假定坐标 系不动，图形变换的方式。并且假定变换是在右手坐 标系下进行。
式中sx、sy和sz分别表示点P(x, y, z）沿 X、 Y及 Z轴方 向相对坐标原点的比例变换系数。系数可赋予任何正数值, 当值小于1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx、sy和sz 被赋予相同值时，使图形产生三个坐标轴方向相对比例一 致的变换， sx、sy和sz值不等时则产生不一致的变换。
相对于给定点Pc(xc,yc,zc）的比例变换的矩阵表示为：
5.2.2 缩放变换 x' x s x 相对于原点的 缩放变换的表示式为： y ' y s y
z' z s z
s x 0 矩阵表示是： x ' y ' z ' 1 x y z 1 0 0
0 0 0 s 0 0 y 0 s z 0 0 0 1
（3） 绕Y轴旋转变换
绕Y轴旋转时，图形上各点y坐标不变，x 、z坐标的变化 相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
y z sin y x' xcos y' y z xsin zcon y y
计算机图形学第讲图形变换详解演示文稿
3
第3页，共46页。
本讲内容
齐次坐标表示法
常见的二维图形几何变换
平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换
变换矩阵的功能分区 图形的复合变换
4
第4页，共46页。
齐次坐标表示法
将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量表示
(x1, x2 ,..., xn )
a
1
0
y
y
ax
1 0 0 1 1 1
➢ 简写为： p = Tp
x
26
第26页，共46页。
本讲内容
齐次坐标表示法 常见的二维图形几何变换
平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换
变换矩阵的功能分区
图形的复合变换
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第27页，共46页。
变换矩阵的功能分区
变换矩阵可用3×3矩阵来描述
连续平移变换
得到连续平移变换的复合矩阵T为：
1 0 tx2 1 0 tx1 1 0 tx2 tx1
T T2T1 0
1
t
y
2
0
1
t
y1
0
1
tx
2
t
y1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
即连续的平移变换是平移量的相加
37
第37页，共46页。
连续比例变换
设点P(x,y)经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比 例变换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为P'' (x'',y'')
y
'
y
Ty
0
1
Ty
y
1 1 0 0 1 1
《计算机图形学》学习资料
《计算机图行学》学习包本课程为有关专业的必修课程（或选修课程）。
通过本课程的教学，学生可以学习、了解和掌握计算机图形学中有关的基本原理、概念、方法和技术，培养和提高交互式图形设计的能力。
计算机图形学与图象处理，计算机图形学的研究内容，计算机图形学的发展简史，计算机图形学的发展方向，本课程教学要求与学习方法。
本章无习题计算机图形系统的组成、功能与分类，计算机图形显示器，图形输入设备，图形输出设备，图形软件系统，图形软件标准。
课后习题1. 某光栅系统中，显示器的分辨率为1280×768，其中每个象素点的颜色深度为12 bit，则该系统需要多大的帧缓存（即多少KB）？2. 有甲乙两台光栅图形显示器，它们的产品说明书介绍均称可以显示4096种颜色，但甲机在显示一幅画面时却只有256种颜色，问其中究竟是什么原因？参考答案1．1280×768×12 / (8×1024) = 1440(KB)2．(1) 甲机：8个位平面，采用一张有256个单元，每个单元有12 bit的彩色查找表。
(2) 乙机：12个位平面，没有采用查找表。
1点的生成，生成直线的DDA算法和Bresenham 算法，二次曲线，区域的简单种子填充算法和扫描线种子填充算法，多边形的扫描转换，字符的生成，反走样技术。
课后习题1. 用对称DDA算法画出A(0,0)到B(5,3)连线的各象素点的位置，并在表内填出相应的中间数据。
rx=5, ry=3,x=0,y=0,steps=5,dx=1,dy=0.6;2. 用Bresenham算法画出A(0,0)到B(5,3)连线的各象素点的位置，并在表内填出相应的中间数据。
dx=5, dy=3, d=2dy-dx=1, x=0, y=0, 2dy-2dx=-4, 3dy=6;23. 用Bresenham算法画出圆心为（0,0），半径为8的顺时针90至45的1/8圆弧上各象素点的位置。
《计算机图形学》05 图形的几何变换
绕 y 轴的旋转矩阵：
绕 z 轴的旋转矩阵：
cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
绕空间任意轴规定角度的旋转变换： 思路： 将旋转轴转到 z 轴方向，对图形作绕 z 轴的旋转变换后在转回原位置
P P*
例：设旋转轴由空间一点A(xa , ya , za ) 及其方向
(5) 求 Ry, Rx, TA 的逆变换 z
cos b 0 1 Ry sin b 0 0 sin b 0 1 0 0 0 cos b 0 0 0 1
x
0 0 1 0 cos a sin a 1 Rx 0 sin a cos a 0 0 0
5.2 二维图形变换
采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： a d 0 [ x* y* 1 ] = [ x y 1 ] b e 0 c f 1 P*
变换后的 顶点坐标
=
P
变换前的 顶点坐标
•
M
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b [c d e f] 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 是对图形进行平移变换
第五章
图形的几何变换
5.1 概述
为了使被显示的对象数字化，通常是采用适当的坐标系 耒描述被处理的对象。图形和数字之间的联系也就是通过坐 标建立起来的。因此，所谓图形的几何变换实质上就是图形 的坐标变换。 图形 坐 标 数字化
几何变换，投影变换，视窗变换 线性变换，属性不变，拓扑关系不变。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
当 b (或 d ) < 0 时，图形沿 X (或 Y )负向错切。
计算机图形学-第5章-几何变换课件
a d g T2D b e h
c f i
注意：T2D可看作三个行向量，其中 ✓[1 0 0]：表示x 轴上的无穷远点 ✓[0 1 0]：表示y 轴上的无穷远点
✓[0 0 1]：表示原点
•计算机图形学-第5章-几何变换
5.3.4 二维几何变换的一般形式
从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵
2.窗口区：用户指定的任一区域(W) n 窗口区W小于或等于用户域WD n 小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。
n 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等 n 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗
口中可再定义第I+1层窗口等等。
•计算机图形学-第5章-几何变换
2.错切变换
3) 当b0且d0时， (x* y* 1)=(x+by dx+y 1) ：图形沿x,y两个方向作错切位
移。 ∴错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形
发生变形。
•计算机图形学-第5章-几何变换
5.3.4 二维几何变换的一般形式
设图形上一点的坐标为P（x，y），经过二维几何变换后的坐标为P’（x’， y’），变换矩阵一般可写为：
by
dx ey
1
0 0 1
当b=d=0,a=-1,e=1时，(x* y* 1)=(-x y 1)：与y轴对称的反射变换。 当b=d=0,a=1,e=-1时，(x* y* 1)=( x -y 1)：与x轴对称的反射变换。 当b=d=0,a=e=-1时，(x* y* 1)=(-x -y 1)：与原点对称的反射变换。 当b=d=1,a=e=0时，(x* y* 1)=(y x 1)：与y=x对称的反射变换。 当b=d=-1,a=e=0时，(x* y* 1)=(-y -x 1)：与y=-x对称的反射变换。
计算机图形学2010_06三维图形变换
第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。
矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。
平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。
新-第5章之一-三维图形生成和变换技术-1
计 机图 机图
学
(i=0 如果用一系列直线段将相邻的点 Pi0，Pi1…Pim(i=0，1…n) n) 和 P0j，P1j…Pnj(j=0，l，…m)—一连接起来组成一张空间网格 (j=0 一连接起来组成一张空间网格 称这张网络为m 次曲面特征网格，如图所示。 ，称这张网络为m×n次曲面特征网格，如图所示。 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P( Bezier曲线情况 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P(u,v)的大致形 是对特征网格的逼近。 状；P(u,v)是对特征网格的逼近。 p33 p03 p13 p23 3*3次的特 3*3次的特 征曲面网格 p02 p32 p12 p22 p01 p31 p11 p
计 机图 机图
学
第五章
三维图形生成和变换技术
5.1 第五章 三维图形的概念 三维图形生成和变换技术 5.1在计算机图形学中最重要的部分还是三维图形生 三维图形的概念 成与变换， 不仅人们对它感兴趣， 成与变换 ， 不仅人们对它感兴趣 ， 而且在实际应用中 5.2 自由曲面的生成 更加广泛。 更加广泛 。 三维图形生成比起二维图形生成要复杂得 5.3 三维图形变换 多 ， 其根本原因在于我们的图形输入设备和输出设备 5.4 三维图形剪裁和消隐技术 基本上都是二维的， 基本上都是二维的 ， 用这些二维的图形设备去表现空
r (u, v ) = r1 u) + av （
式中a是沿母线方向的常矢量。 式中a是沿母线方向的常矢量。
(o <= u, v <= 1)
图5.4 柱面
计 机图 机图 学
Bezier(贝塞尔 贝塞尔） 二、Bezier(贝塞尔）曲面
计算机图形学三维图形变换
主视图变换矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
0
பைடு நூலகம்
0
0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0 0 1
俯视图变换矩阵
1 0 0 0 1
0
0 0 1 0 0 0
TH
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
cos(90) sin(90)
三维图形变换
基本几何变换
基本几何变换都是相对于原点和坐标
轴进行的几何变换，有平移、缩放和 旋转等。在以下的讲述中，均假设用
p(x, y, z) 表示三维空间上一个未被变 换的点，而该点经过某种变换后得到 的新点用 p'(x', y', z') 表示。
平移变换
平移是指将点沿直线路径从一个坐标位置移动 到另一个坐标位置的一个重定位过程。
0 1
0
0
0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0
Rx ( )
0
c
d b
b
d c
0
0
dd
0 0 0 1
Ry ( )
d 0 a 0
Ry
(
)
0
a
1 0
0 d
5.3.1 三维图形几何变换_计算机图形学教程（第2版）_[共8页]
![5.3.1 三维图形几何变换_计算机图形学教程（第2版）_[共8页]](https://img.taocdn.com/s3/m/e3674fb11ed9ad51f11df22c.png)
3
×1
子矩阵
⎢ ⎢
q
⎥ ⎥
可使图形实现透视变换；
⎢⎣ r ⎥⎦
1×1 子矩阵［s］可使图形实现全比例变换。
下面介绍三维图形的变换，为了表示清楚三维空间点或立体位置，我们选择右手坐标系，即右手
的食指和中指分别指向 x 和 y 轴方向；而大姆指指向 z 轴的正方向，3 个轴互相垂直，如图 5.16 所示。
⎢⎢1 1 0 1⎥⎥
⎢⎢2 4 0 1⎥⎥
⎢⎣1 1 1 1⎥⎦
⎢⎣2 4 3 1⎥⎦
如图 5.17 所示，空间立体由正方体变成长方体。虚线表示变换前的立方体，实线表示变换后
的长方体。
（2）全比例变换
全比例变换矩阵为
⎡1 0 0 0⎤
T
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
0⎥⎥ 0⎥
⎢⎣0
0
0
s
⎥ ⎦
⎡1 0 0 0⎤
计算机图形学教程（第 2 版）
如果用 [ x y z 1] 表示变换前三维空间的一个点，用 ⎡⎣x' y' z' 1⎤⎦ 表示变换后的结果，则
空间点的变换式为
[ x y z 1] • T = ⎡⎣x' y' z' 1⎤⎦
式中 T 为三维图形变换矩阵，它是一个 4 × 4 阶方阵，即
⎡a b c p⎤
可使整个图形按比例放大或缩小。
当 a＝e＝i＝1 时，图形不变，是恒等变换。
当 a＝e＝i＞1 时，图形放大。
当 a＝e＝i＜1 时，图形缩小。
当 a≠e≠i 时，立体各向缩放比例不同，这时立体要产生类似变化。
⎡2 0 0 0⎤
例 5.1
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在计算机图形学研究中，三维图形概念有几种: 1、是采用线框图构成的三维图形，这是最基本、最简 单的，它实际上是在二维屏幕上展示的具有三维视觉效 果的图形； 2、三维实体图形，它是采用各种颜色图案、纹理等填 充过的图形，在视觉上也具有三维效果； 3、三维立体图形，它借助于光照、浓淡和明暗技术， 产生了真正的三维立体效果。
在计算机图形学中最重要的部分还是三维图形生成 与变换，不仅人们对它感兴趣，而且在实际应用中更 加广泛。三维图形生成比起二维图形生成要复杂得多 ，其根本原因在于我们的图形输入设备和输出设备基 本上都是二维的，用这些二维的图形设备去表现空间 三维实体自然会增加许多复杂性优需要运用许多新的 方法去处理三维图形。
图5.1 曲面的网格表示
计算机图形学
这使得本来精度不很高近似曲面在这一点精度更加降 低，所以用这种方法来产生曲面只适合于一部分精度要 求不太高场合，我们可以把平面里自由曲线生成方法加 以推广，借助于曲面的解析表达式来处理有关曲面问题 。
曲面的种类繁多，为便于讨论，将曲面分为两类，（ 1）规则曲面：如柱、锥、椭球、环、双曲面、抛物面 等，它可以用参数方程解析地描述。 （2）不规则曲面、如Coons曲面、Bezier曲面、B样 条曲面等，这是构造某种曲面方程问题，也是下面要讨 论重点。
一组等高线 表示地面
计算机图形学
正是利用这些曲线网格来近似地表示自由曲面，因此 ，在产生一张曲面时，我们可以利用一系列的纵横交错 且相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。
我们如何确定这张曲面上任意一点位置呢？很明显， 如果这点恰好落在某一条网格线上，如图A点，那么就 可以根据这条网格线函数表示来计算这一点位置（坐标 ）；若这一点不在任何网格线上，如图中的B点，那么 就无法计算出该点精确位置，只能用离该点最近一条网 格线上的点近似地表示。
式中u、v为参数
计算机图形学
曲面的图形如图所示，曲面有两族参数曲线，或称坐标
曲线，通常简称u线和v线。当u=ui时，代人式（5–1）
得
r(ui , v) [ x(ui , v), y(ui , v), z(ui , v)
上式中是曲面上一条参数曲线r(ui,v)，即一条v线。当 v=vj时，代人式（5–1）得,
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二、空间曲面的参数表示
在空间解析几何中，三维空间内一张任意曲面一段用两 个参数曲面矢量 方程或参数方程表示，可以写成，
r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
x x(u,v) 或 y y(u,v)
z z(u,v)
u0 u u1 v0 v v1
(5 1)
r(u, v j ) [ x(u, v j ), y(u, v j ), z(u, v j )
上式则是另一条参数曲线r(u,vj)，或称u线。上述两条 参数曲线r(ui,v)和r(u,vj)的交点则是r(ui, vj) 。事实上 ，用u= ui,v=vj代人式（5．l）也得到曲面上同一点位 置矢量r(ui,vj)
且a不平行于b，该平面片是由矢量a和b张成的四边形
。
r(u,v)
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又例如，如图5.4所示，以固定方向长度为a的直线段作
为母线沿给定一条空间曲线r1 （u）移动生成一个柱面 ，其方程为
r(u, v) r（1 u) av
(o u,v 1)
式中a是沿母线方向的常矢量。
图5.4 柱面
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Bi，n
(u)
C
i n
u
i
(1
u)ni
B
j，m
(v
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
j m
v
j
(1
v)m
j
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如 果 用 一 系 列 直 线 段 将 相 邻 的 点 Pi0，Pi1…Pim(i=0，1…n) 和P0j，P1j…Pnj( j=0，l，…m)—一连接起来组成一张空间网
格，称这张网络为m×n次曲面特征网格，如图所示。
二、Bezier(贝塞尔）曲面
如前所述，Bezier曲线是一条与控制多边形顶点位置 有严格的相关联关系的曲线，Bezier曲线形状趋向于特 由控四 制个的数三征据次多点贝边形形状，P阶1 次由控制多P边2 形顶点个数来决定。 塞尔曲线
P3 P0
Bezier 曲 面 是 由 Bezier 曲 线 拓 广 而 来 ， 它 也 是 以 Bernstein函数作为基函数，可以构造由空间点阵列的 位置来控制曲面。
r(ui , v j ) [ x(ui , v j ), y(ui , v j ), z(ui , v j )]
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r(ui,vj)
r(ui,v)
r(u,vj) v
u
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例如，如图的平面片方程为：
r(u, v) r0 au bv
(o u, v 1)
式中矢量r0为平面上一点的位置矢量，a和b为常矢量，
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1、贝塞尔曲面的数学表达式
在三维空间里，给定(n＋l)×(m+1)个点的空间点到Pij（ i=0，l…n；j=0，1…m），称n×m次参数曲面：
nm
P(u, v)
Pij Bi，n (u)B j，m (v)
i0 j0
(0 u, v 1)
为 n×m 次 Bezier曲面。
Pij是的控制顶点，和为Bernstein基函数，具体表示为：
这些三维图形都是我们在计算机图形学中要研究和予 以实现的内容。
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5.2 自由曲面的生成
一、概述
在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展之 前，一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、船 舶、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传统 的处理办法是用一组或几组平行平面去裁这个曲面，画 出几组截交线来表示这个曲面。例如船体就是用互相正 交的三组平面截得的纵剖线，横剖线和水平线表示；地 面则是用一组水平面截得等高线表示的。这实际上是把 曲面问题转化成了曲线问题。这种处理办法可称为曲线 网格表示法。
计算机图形学
Computer Graphics
教材：《计算机图形学》王汝传等 编著 人民邮电出版社
第五章 目录
第五章 三维图形生成和变换技术 5.1 三维图形的概念 5.2 自由曲面的生成 5.3 三维图形的变换 5.4 三维图形剪裁和消隐
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第五章 三维图形生成和变换技术
5.1 三维图形的概念