第5章之一三维图形生成和变换技术-1(计算机图形学)资料

且a不平行于b，该平面片是由矢量a和b张成的四边形
。
r(u,v)
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又例如，如图5.4所示，以固定方向长度为a的直线段作
为母线沿给定一条空间曲线r1 （u）移动生成一个柱面 ，其方程为
r(u, v) r（1 u) av
(o u,v 1)
式中a是沿母线方向的常矢量。
图5.4 柱面
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r(u, v j ) [ x(u, v j ), y(u, v j ), z(u, v j )
上式则是另一条参数曲线r(u,vj)，或称u线。上述两条 参数曲线r(ui,v)和r(u,vj)的交点则是r(ui, vj) 。事实上 ，用u= ui,v=vj代人式（5．l）也得到曲面上同一点位 置矢量r(ui,vj)
在计算机图形学中最重要的部分还是三维图形生成 与变换，不仅人们对它感兴趣，而且在实际应用中更 加广泛。三维图形生成比起二维图形生成要复杂得多 ，其根本原因在于我们的图形输入设备和输出设备基 本上都是二维的，用这些二维的图形设备去表现空间 三维实体自然会增加许多复杂性优需要运用许多新的 方法去处理三维图形。
这些三维图形都是我们在计算机图形学中要研究和予 以实现的内容。
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5.2 自由曲面的生成
一、概述
在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展之 前，一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、船 舶、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传统 的处理办法是用一组或几组平行平面去裁这个曲面，画 出几组截交线来表示这个曲面。例如船体就是用互相正 交的三组平面截得的纵剖线，横剖线和水平线表示；地 面则是用一组水平面截得等高线表示的。这实际上是把 曲面问题转化成了曲线问题。这种处理办法可称为曲线 网格表示法。
r(ui , v j ) [ x(ui , v j ), y(ui , v j ), z(ui , v j )]
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r(ui,vj)
r(ui,v)
r(u,vj) v
u
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例如，如图的平面片方程为：
r(u, v) r0 au bv
(o u, v 1)
式中矢量r0为平面上一点的位置矢量，a和b为常矢量，
Bi，n
(u)
C
i n
u
i
(1
u)ni
B
j，m
(v
)
C
j m
v
j
(1
v)m
Hale Waihona Puke Baidu
j
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如 果 用 一 系 列 直 线 段 将 相 邻 的 点 Pi0，Pi1…Pim(i=0，1…n) 和P0j，P1j…Pnj( j=0，l，…m)—一连接起来组成一张空间网
格，称这张网络为m×n次曲面特征网格，如图所示。
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Computer Graphics
教材：《计算机图形学》王汝传等 编著 人民邮电出版社
第五章 目录
第五章 三维图形生成和变换技术 5.1 三维图形的概念 5.2 自由曲面的生成 5.3 三维图形的变换 5.4 三维图形剪裁和消隐
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第五章 三维图形生成和变换技术
5.1 三维图形的概念
图5.1 曲面的网格表示
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这使得本来精度不很高近似曲面在这一点精度更加降 低，所以用这种方法来产生曲面只适合于一部分精度要 求不太高场合，我们可以把平面里自由曲线生成方法加 以推广，借助于曲面的解析表达式来处理有关曲面问题 。
曲面的种类繁多，为便于讨论，将曲面分为两类，（ 1）规则曲面：如柱、锥、椭球、环、双曲面、抛物面 等，它可以用参数方程解析地描述。 （2）不规则曲面、如Coons曲面、Bezier曲面、B样 条曲面等，这是构造某种曲面方程问题，也是下面要讨 论重点。
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二、空间曲面的参数表示
在空间解析几何中，三维空间内一张任意曲面一段用两 个参数曲面矢量 方程或参数方程表示，可以写成，
r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
x x(u,v) 或 y y(u,v)
z z(u,v)
u0 u u1 v0 v v1
(5 1)
式中u、v为参数
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曲面的图形如图所示，曲面有两族参数曲线，或称坐标
曲线，通常简称u线和v线。当u=ui时，代人式（5–1）
得
r(ui , v) [ x(ui , v), y(ui , v), z(ui , v)
上式中是曲面上一条参数曲线r(ui,v)，即一条v线。当 v=vj时，代人式（5–1）得,
一组等高线 表示地面
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正是利用这些曲线网格来近似地表示自由曲面，因此 ，在产生一张曲面时，我们可以利用一系列的纵横交错 且相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。
我们如何确定这张曲面上任意一点位置呢？很明显， 如果这点恰好落在某一条网格线上，如图A点，那么就 可以根据这条网格线函数表示来计算这一点位置（坐标 ）；若这一点不在任何网格线上，如图中的B点，那么 就无法计算出该点精确位置，只能用离该点最近一条网 格线上的点近似地表示。
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在计算机图形学研究中，三维图形概念有几种: 1、是采用线框图构成的三维图形，这是最基本、最简 单的，它实际上是在二维屏幕上展示的具有三维视觉效 果的图形； 2、三维实体图形，它是采用各种颜色图案、纹理等填 充过的图形，在视觉上也具有三维效果； 3、三维立体图形，它借助于光照、浓淡和明暗技术， 产生了真正的三维立体效果。
二、Bezier(贝塞尔）曲面
如前所述，Bezier曲线是一条与控制多边形顶点位置 有严格的相关联关系的曲线，Bezier曲线形状趋向于特 由控四 制个的数三征据次多点贝边形形状，P阶1 次由控制多P边2 形顶点个数来决定。 塞尔曲线
P3 P0
Bezier 曲 面 是 由 Bezier 曲 线 拓 广 而 来 ， 它 也 是 以 Bernstein函数作为基函数，可以构造由空间点阵列的 位置来控制曲面。
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1、贝塞尔曲面的数学表达式
在三维空间里，给定(n＋l)×(m+1)个点的空间点到Pij（ i=0，l…n；j=0，1…m），称n×m次参数曲面：
nm
P(u, v)
Pij Bi，n (u)B j，m (v)
i0 j0
(0 u, v 1)
为 n×m 次 Bezier曲面。
Pij是的控制顶点，和为Bernstein基函数，具体表示为：