(完整版)节二重积分的习题课

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例3 把 f (x, y)d表为极坐标下的二次积分, D
其中D : x2 y 1, 1 x 1。
解 D的图形如下,将D分成
y
三个部分区域。
1
D1
:0
r
sin cos2
,0
Hale Waihona Puke Baidu
4
;
D2
:0
r
1
sin
,
4
3
4
;
D2
D3
D1
1 O
1
x
D3 : 0 r
sin cos2
, 3
4
13
y
f ( x, y)d
f ( x, y)d
D
0,
2
D1
f
( x,
y)d ,
若f ( x, y) f ( x, y) 若f ( x, y) f ( x, y)
其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。
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4、若D关于直线 y =x对称， 即当(x,y)∈D时，必有(y,x)∈D，则
f ( x, y)d f ( y, x)d
分区域两个方面的特点加以考虑。
首先是“能积出”，其次是“易积出”。 如仅从积分区域的特点看，D是X —型区域时先 积y；D是Y —型区域先积x。
D既是X —型区域又是Y —型区域时,选定限时 不需分块或分块较少的积分顺序。
2
若 D : 1( x) y 2( x) ,则
y
a x b
f (x, y)d
0
1 0
y2 1
e 2 dy
0
y2
ye 2
1 0
e
1
2。
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例5 把积分
a
x
dx
x2 y2 dy化为极坐标
0
D
1
D
[ f ( x, y) f ( y, x)]d
2D
（四）有关二重积分的一些证明题
中值定理、变上限积分、换元等
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例1 设D1是以(0,1)为中心,边长为2的正方形,
D2, D3分别为D1的内切圆和外接圆 f ( x, y) (2 y x2 y2 )e x2 y2
Ik f ( x, y)d (k 1, 2, 3)
其中D1是D的右半区域
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2、若D关于x轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x, y) ∈D，则
f ( x, y)d
D
0,
2
D1
f (x,
y)d ,
若f ( x, y) f ( x, y) 若f ( x, y) f ( x, y)
D1是D的上半部分区域
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3、若D关于原点对称， 即当(x,y)D时，必有( x,y) D，则
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3
D1
i 1 Di
1 O
1x
sin
4 d cos2 f (r cos , r sin )rdr
0
0
3
1
4
d
sin 0
f (r cos , r sin )rdr
4
3 d
sin
cos2 f (r cos , r sin )rdr。
0
4
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例4 计算下列二重积分
分区域 D（画出图形），再按新的积分顺序将 D用新的不等式表出，即定出新的积分限。
2、利用极坐标计算二重积分
(1) 积分顺序通常是先 r后
(2) D的极坐标表示
4
(1) 极点在D外
D :1( ) r 2( ),
(2) 极点在D的边界上时
D : 0 r ( ),
(3) 极点在D的内部时
3
03
15
（2）
y2
e 2 dxdy, D : y
x , x 1, y 0 所围。
D
y
D : y2 x 1,0 y 1
y x
应先积x
y2
1 1
I dy e 2 dx
0
y2
O
x
y2
1
(1
y2 )e
2
dy
y2 1
e 2 dy
y2
1
y de 2
0
0
0
y2
y2
1
e 2 dy ye 2
（二）二重积分的计算 1 、直角坐标系中
(1) 积分区域D的类型：
X—型区域，Y—型区域,一般区域分划。
y 2(x)
y
y x 1( y) d
D
y 1(x)
c
oa
bx
o
D x 2( y)
x
1
积分区域的不等式表示的是二重积分化为二 次积分确定积分限的基本依据。
(2) 积分顺序的确定 先积y还是先积x，要结合被积函数f (x,y)及积
Dk
试比较I1
,
I2
,
I
之大小。
3
解 函数f (x, y)连续
y
2 D1 D2 1 D3
o
x
f ( x, y) [1 x2 ( y 1)2]e x2 y2
因为在D2内部f (x,y)0; 所以有 I3I1I2。
在D2外部f(x,y)<0
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例2 设f (x, y)是有界闭域D : x2 y2 a2上的
连续函数,
则求极限
lim
a0
1
a
2
D
f (x, y)dxdy。
解 利用积分中值定理
1
a
2
D
f ( x, y)dxdy
1
a2
f ( ,)
1
a 2
f
( ,)a2
f ( ,) (( ,) D)
lim
a0
1
a
2
D
f ( x, y)dxdy lim f ( ,) a0
f (0,0)
( f (x, y)是连续函数)。
D : 0 r ( ),0 2
如D的边界是由直角坐标方 程:y =f (x) 给出，通常可从几何 意义去确定D的极坐标表示（图
形是重要的）或利用x=rcos， y=rsin 进行变换。
r 2( )
D
O
r 1( )
r x2( ) D
O
r 1( )
x
r ( )
oD
x
5
(3)坐标系的选取
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x)
oa
y 2(x)
D
y 1(x)
bx
若
D
:
1
(
y)
x
2(
y),则
c y d
y x 1( y) d
D
D
f ( x, y)d
d
dy
c
2( y) 1( y)
f
( x,
y)dxc
o
x 2( y)
x
3
(3) 交换积分顺序 由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积
(1) sin x3dxdy, D : x y , x 1, y 0所围。
D
（2）
e
y2 2
dxdy,
D
:
y
x , x 1, y 0 所围。
D
解 (1) D的图形如右。
y x y
应先积y
I
1
dx
x2 sin x3dy
0
0
1 x2 sin x3dx 0
O
x
1 cos x3 1 1 (1 cos1)。
当D的边界用极坐标表示比较简单或D是
圆域、圆的一部分时,
当被积函数形如f
(x2
y2 )、f
y x
、f
x y
时
可考虑选用极坐标系。
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（三）有关二重积分的对称性的应用
1、若D关于y轴对称 即当(x,y)∈D时，必有(x,y) ∈D，则
f ( x, y)d
D
0,
2
D1
f (x,
y)d ,
当f ( x, y) f ( x, y)时 当f ( x, y) f ( x, y)时