2020-2021学年高三数学一轮复习易错题05 三角函数与解三角形

易错点05 三角函数与解三角形—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学） 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+第 3 页 共 36 页【解析】 【分析】利用3tan 5ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ =-，72DQ r =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以212522-=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.故答案为：542π+.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.例3 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.第 5 页 共 36 页【详解】解法一：由sin 3sin A B 可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．【易错警示】易错点1 角的概念不清例1 若α、β为第三象限角，且βα>，则（ ）A ．βαcos cos >B ．βαcos cos <C ．βαcos cos =D ．以上都不对 【错解】A【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似)23,(ππ区间角． 【正解】如取34,672πβππα=+=，可知A 不对．用排除法，可知应选D ． 易错点2 忽视对角终边位置的讨论致误 例2 若α的终边所在直线经过点33(cos,sin )44P ππ，则sin α= ．【错解】∵33(cos,sin )(44P ππ=，所以sin 2α==．第 7 页 共 36 页【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论【正解】∵直线经过二、四象限，又点P 在单位圆上，若α的终边在第二象限，则3sin sin42πα==，若α的终边在第四象限，∴sin 2α=-，综上可知sin 2α=±． 易错点3 忽视函数的定义域对角范围的制约致错 例3 求函数xxy 2tan 1tan 2-=的最小正周期． 【错解】x x x y 2tan tan 1tan 22=-=，2π=∴T ，即函数的最小正周期为2π． 【错因】忽视其定义域导致错误，2π不是x x y 2tan 1tan 2-=的周期，因为当0=x 时，x x y 2tan 1tan 2-=有意义，所以由周期函数定义知应有)0()20(f f =+π成立，然而)20(π+f 根本无意义，故2π不是其周期． 【正解】由于函数x x y 2tan 1tan 2-=的定义域为)(4,2Z k k x k x ∈+≠+≠ππππ，故作出函数x y 2tan =的图象，可以看出，所求函数周期应为π．易错点4 对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误例4 若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97 【错解一】⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos cos[(2)]3ππα=--sin(2)2sin()cos()366πππααα=-=--12(339=⨯⨯±=±，无答案．【错解二】227cos 2cos[(2)]cos(2)12sin ()33369ππππαπααα⎛⎫+=--=-=--=⎪⎝⎭，故选D ．【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角(2)3πα-看作锐角时，(2)3ππα--所在象限的相应余弦三角函数值的符号．【正解】227cos 2cos[(2)]cos(2)12sin ()33369ππππαπααα⎛⎫+=--=--=-+-=- ⎪⎝⎭，故选A ．易错点5 忽略隐含条件例5 若01cos sin >-+x x ，求的取值范围．【错解】 移项得1cos sin >+x x ，两边平方得)(222,02sin Z k k x k x ∈+<<>πππ那么即)(2Z k k x k ∈+<<πππ【错因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了1cos sin -<+x x ．【正解】1cos sin >+x x 即1)4sin(2>+πx ，由22)4sin(>+πx 得 )(432442Z k k x k ∈+<+<+πππππ ∴)(222Z k k x k ∈+<<πππ易错点6 因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错例6 )23sin(2x y -=π单调增区间为（ ）第 9 页 共 36 页A ．5[,]1212k k ππππ-+,()k Z ∈ B ．]1211,125[ππππ++k k ,()k Z ∈C ．]6,3[ππππ+-k k ,()k Z ∈D ．2[,]63k k ππππ++,()k Z ∈ 【错解】由题意，222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈，解得521212k x k ππππ--≤≤-，所以)23sin(2x y -=π单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+,()k Z ∈，故选A ． 【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用sin y x =的单调性来求．【正解】∵sin(2)sin(2)33y x x ππ=-=--，即求函数sin(2)3y x π=-的减区间． 故函数)23sin(2x y -=π的增区间为]1211,125[ππππ++k k ,()k Z ∈，故选B ．易错点7 图象变换知识混乱例7 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数1sin2y x =的图象（ ） A ．先将每个值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移3π个单位． B ．先将每个值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向左平移3π个单位． C ．先把每个值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个6π单位． D ．先把每个值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向右平移6π个单位． 【错解】A 、C 、B【错因】1sin2y x =变换成sin 2y x =误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A 或C ；把sin 2y x =平移到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移方向错了，平移的单位误认为是3π，误选B ．【正解】由1sin2y x =变形为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将1sin2y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍得到函数sin 2y x =的图象，再将函数sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6π单位．即得函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选D ． 易错点8 已知条件弱用例8 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围．【错解】∵a b c b c a 2222220<++->，∴，则cos A b c a bc=+->22220， 由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos900=°，90A <∴°，又∵A 为△ABC 的内角， ∴0°＜A ＜90°．【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误．【正解】由上面的解法，可得A ＜90°，又∵a 为最大边，∴A ＞60°， 因此得A 的取值范围是（60°，90°）． 易错点9 三角变换不熟练例9 在△ABC 中，若a bA B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状．【错解】由正弦定理，得sin sin tan tan 22A B AB=，即sin sin sin cos cos sin sin sin 2200A B A ABB A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22．∴2A ＝2B ，即A ＝B ．故△ABC 是等腰三角形．【错因】由sin sin 22A B =，得2A ＝2B ．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏．【正解】同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+，或222A k B k Z =+-∈ππ()．∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π2．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 易错点10 解三角形时漏解例10 已知在△ABC 中，a ＝3，b ＝045,2=B ,求A ∠、C ∠和边c ．【错解】由正弦定理BbA a sin sin =,得sinA ＝.23所以，︒=60A ，︒=︒︒︒=7560-45-180C ，所以，c ＝sin sin b C B =．【错因】上述解法中，用正弦定理求C 时，丢了一个解，实际上，由sinA ＝.23可得︒=60A 或︒=120A ，故︒=75A 或︒=15A ．【正解】由正弦定理BbA a sin sin =,得sinA ＝.23因为，b a >，所以︒=60A 或︒=120A ，当︒=60A 时，︒=︒︒︒=7560-45-180C ，c＝sin sin b C B =．当︒=120A 时，︒=︒︒︒=15120-45-180C ，c＝sin sin b C B = 易错点11 不会应用正弦定理的变形公式例11 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求a b cA B C++++sin sin sin 的值．【错解】∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，又S ABC △=12bc A sin ，∴312=c sin 60°，解得c ＝4．由余弦定理，得a b c bc A =+-=+-222116860cos cos °=13又由正弦定理，得sin sin C B ==6393239，． ∴a b cA B C++++=++++sin sin sin 1314323239639．【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理．【正解】由已知可得c a ==413，．由正弦定理，得213602393R a A ===sin sin °． ∴a b c A B C R ++++==sin sin sin 22393．【变式练习】1.已知α为第三象限角，则2α是第 象限角，α2是第 象限角．【解析】α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ 当为偶数时，2α为第二象限角；当为奇数时，2α为第四象限角； 而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. 2.函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，1}B ．{1，3}C ．{1，－3}D ．{－1，3}【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D. 3.记cos(80)k -︒=，那么tan100︒=( )AB ．CD ．【解析】∵sin80°=，∴tan100°=－tan80°=－sin 80cos80︒︒=－ sin 80cos(80)︒︒-=B ． 4.已知()0,απ∈，7sin cos 13αα+=，求tan α的值． 【解析】据已知7sin cos 13αα+=（1），有1202sin cos 0169αα=-<，又由于()0,απ∈，故有sin 0,cos 0αα><，从而sin cos 0αα->即17sin cos 13αα-==（2），联立（1）、（2）可得125sin ,cos 1313αα==，可得12tan 5α=．5.若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .【解析】x x x x x y sin sin 3cos cos 3sin 2cos 3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππππ2162sin 21-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx ，所以由πππππk x k 2236222+≤-≤+，可得函数的的单调增区间z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,3ππππ，又因为π≤≤x 0，所以函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ. 6.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 【解析】试题分析：函数⎪⎭⎫⎝⎛-==22cos 2sin πx x y ，将函数πcos(2)3y x =-的图象向右平移π12个单位长度得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3122cos ππx y x x 2sin 22cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π，故答案为C ．7.在ABC ∆中，30,2B AB ︒===．求ABC ∆的面积．【解析】根据正弦定理知：sin sin AB ACC B=，即2sin sin 30C ︒=，得sin 2C =，由于sin30AB AC AB ︒<<即满足条件的三角形有两个故60C ︒=或120︒.则30A ︒=或90︒故相应的三角形面积为12sin 302s ︒=⨯⨯=122⨯=． 8.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C = ．【解析】由正弦定理可得::7:8:13a b c =，所以可设7,8,9a k b k c k ===，由余弦定理()()()2222227891cos 22782k k k a b c C ab k k +-+-===-⨯⨯，所以23C π=．9．（2020·北京高考真题）在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积．条件①：c =7,cosA =−17； 条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（①）8（①）sinC =√32, S =6√3；选择条件①（①）6（①）sinC =√74, S =15√74. 【解析】选择条件①（①）∵c =7,cosA =−17， a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（①）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得：asinA =csinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件①（①）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA=b sinB∴3√78=5√716∴a =6（①）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√7410.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km,10km BC =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．（I ）按下列要求写出函数关系式：①设(rad)BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设(km)OP x =，将y 表示成x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．【答案】（I ）①2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+<<①10)y x x =+<<（①）选择函数模型①，P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 处．【解析】（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，(rad)BAO θ∠=，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠故10cos OB θ=，又1010tan OP θ=-，所以 10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++- 2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<．①(km)OP x =，则10OQ x =-，所以OA OB ===所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<． （①）选择函数模型①．22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----=='． 令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=． 当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数．所以当6πθ=时min 10y =．当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边km 3处． 【典例分析】1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ωππ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962ωπππ-⋅+=-，解得32ω=.所以函数()f x 最小正周期为224332T ωπππ=== 故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A B ．23C ．13D 【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin αα∈π∴==. 故选：A ．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k απ+π<<π+π∈Z ， 所以34244,k k k απ+π<<π+π∈Z此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<， 故选：D ．方法二：当6απ=-时，cos 2cos 03απ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3απ=-时，2cos 2cos 03απ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =， 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =，由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =. 故选：A ．5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A ． 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ． 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ． 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sinn n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sintan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A ．【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅱ卷】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC ．【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =，BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos30132112CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9．【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 Ⅱ ．【答案】13【解析】221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.12．【2020年高考浙江】已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．【答案】35；13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 Ⅱ ． 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-. 故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【2020年新高考全国Ⅱ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以212522-=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15．【2020年高考全国II 卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，②由①，②得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C =，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角， 而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===（Ⅱ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值．【解析】（Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===，有222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin a C A c ==（Ⅱ）由a c <及sin A =cos A ==， 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 4441313A A A +=+==． 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅱ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅱ）17,cos 7c A ==-，11a b += 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 2a c C A C C ==∴=11sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅱ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin 816A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯= 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【解析】（Ⅱ）由正弦定理得2sin sin B A A =，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅱ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。