不等式：2数集的区间表示
数集区间表示法
数集区间表示法摘要：一、引言二、数集区间表示法的概念1.区间的定义2.区间表示法的形式三、数集区间表示法的性质1.区间运算的性质2.区间表示法的优势四、数集区间表示法的应用1.数学问题求解2.数据处理与分析五、总结正文：一、引言数集区间表示法是一种用于描述和表示数集的数学方法，它以简洁的形式反映了数集的性质和特点。
通过使用数集区间表示法，我们可以更加高效地解决数学问题，并对数据进行处理和分析。
二、数集区间表示法的概念1.区间的定义区间，是指由两个端点围成的部分。
在数轴上，一个区间可以表示为一个闭合的线段，其左端点用小于等于（≤）表示，右端点用大于等于（≥）表示。
例如，区间[1, 5] 表示包括1 和5 在内的所有实数。
2.区间表示法的形式数集区间表示法是通过使用区间来描述一个数集的组成。
一个数集可以表示为若干个区间的并集，或者表示为某个已知数集的子集。
表示形式通常为：A = {x | φ(x) ≤ θ(x) }，其中A 表示数集，φ(x) 和θ(x) 是关于x 的函数，它们定义了区间的范围。
三、数集区间表示法的性质1.区间运算的性质数集区间表示法具有以下运算性质：- 任意区间与空集的并集等于该区间；- 任意区间的交集是其子区间；- 任意区间与自身的差集等于空集。
2.区间表示法的优势数集区间表示法具有以下优势：- 简洁：用较少的符号表示复杂的数集；- 直观：通过区间可以直观地了解数集的范围和特点；- 便于计算：可以方便地进行区间运算，如求交集、并集等。
四、数集区间表示法的应用1.数学问题求解数集区间表示法可以应用于各种数学问题的求解，如求解不等式、集合问题等。
通过将问题转化为区间表示形式，可以更直观地理解和解决这些问题。
2.数据处理与分析在数据处理和分析领域，数集区间表示法也有广泛的应用。
例如，在统计学中，我们可以用区间表示法描述一个数据集的范围；在计算机科学中，我们可以用区间表示法表示一个算法的时间复杂度。
高中数学必修五《不等式及其基本性质》教案
§2.2 不等式及其基本性质预备知识∙数与式的基本运算∙数轴重点∙比较两个实数的大小∙不等式的解集难点∙不等式的基本性质∙比较式的大小学习要求∙了解不等式的概念，∙熟练应用不等式的基本性质解题1. 不等式及其基本性质 我们先用天平来做两个实验． 实验1：在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g 的砝码，观察天平平衡的情况．当天平处在平衡状态，说明两端的 重量是相等的；当天平处在不平衡状态， 则两端的重量不等．在实验中你可以观 察到：(1)天平平衡是可能的；(2)天平不平衡状态是经常发生的， 所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系． 在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“≠”或“<(≤)”、“>(≥)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(≤)”、“>(≥)”表示的不等量关系．用符号“<(≤)”、“>(≥)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．用x 表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x >1，读作x 大于1；图2-11(2)表示x <2，读作x 小于2． 课内练习11.请你用“>(≥)”、“<(≤)”表示你在实验中出现的不等量关系．2.字母a ,b ,c ,d ,e ,f 所表示的数如图所示．用“>(≥)” 、“<(≤)”连接任意两 个字母．实验2：选图2-11中天平一种不平衡态．(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如⇒ 7+3>5+3(即10>8)；⇒ 7+(3⨯3-3)>5+(3⨯3-3)(即13>11)； ⇒ 7-9>5-9(即-2>-4)．(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如7>5 ⇒ 7⨯2>5⨯2 (即14>10)；-5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8d e c f a b∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙第2题图7>57>5 ⇒ 7÷2>5÷2 (即3.5>2.5)； 7>5 ⇒ 7⨯x >5⨯x , x >0．但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：7>5 ⇒ 7⨯(-2)<5⨯(-2)(即-14<-10)； 5>-7 ⇒ 5⨯(-5)<(-7)⨯(-5)(即-25<35)； -3<-2 ⇒ (-3)÷(-4)>(-2)÷(-4)(即43>21)． 这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向． 课内练习2 1. 因为3<5，所以(1)3+2 5+2，根据 ； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据 ． 2. 因为4>2，所以(1)4⨯3 2⨯3，根据 ； (2)4⨯(-3) 2⨯(-3)，根据 ． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x 与3的差大于0； (2)y 与5的和小于1； (3)y 的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空：(1)不等式x +3>0的两边同减去3后，不等式成为 ； (2)不等式y +6<2y -4的两边同加上4后，不等式成为 ； (3)不等式21x +7<-9的两边同乘以2后，不等式成为 ； (4)不等式9x +18<18x +6的两边同除以9后，不等式成为 ； (5)不等式-21x +7<-9的两边同乘以-2后，不等式成为 ； (6)不等式9x +18<-18x +6的两边同除以-9后，不等式成为 ．根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a ,b ，有 a <b ⇔ a-b <0； a >b ⇔ a-b >0； a =b ⇔ a-b =0．(这里的记号“⇔”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．例1 比较65和76的大小． 解 因为 65-76=421423635-=-<0， 所以65<76 ▍ 例2 比较x 2+x 和3x -2的大小，其中x 为任意实数．解 因为 (x 2+x )-( 3x -2) =x 2+x -3x +2 =(x 2-2x +1)+1 =(x -1)2+1>0， 所以 (x 2+x )>( 3x -2) ▍应用求差法还可以证明：若a >b ,b >c , 则a >c ．这个性质称为不等式的传递性 课内练习31. 比较下列各组中两个实数的大小：(1)32和43； (2)-3和-4； (3)12.3和3112．2. 比较下列各组中两个式的大小(式中的x 是任意实数)： (1)(x +1)2和2x +1；(2)(x +5)(x +7)和(x +6)2．2. 数集的区间表示法在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型不等式的解，一般也是数集．此前的数集都是用特征描述法来表示的，为了更方便地表示数集，下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法．(1)开区间(a , b )：(a ,b )表示{x a <x <b }， 如图2-12(1)； (2)闭区间[a , b ]：[a ,b ]表示{x a ≤x ≤b }，如图2-12(2)； (3)左开右闭区间(a ,b ]：(a ,b ]表示{x a <x ≤b }，如图2-12(3)；(4)左闭右开区间[a ,b )：[a ,b )表示{x a ≤x <b }，如图2-12(4)； (5)左开右无界区间(a ,+∞)：(a ,+∞)表示{x x >a }，如图2-12(5)； (6)左闭右无界区间[a ,+∞)：[a ,+∞)表示{x x ≥a }，如图2-12(6)；(7)左无界右开区间(-∞,b )：(-∞,b )表示{x x <b }，如图2-12(7)； (8)左无界右闭区间(-∞,b ]：(-∞,b ]表示{x x ≤b }，如图2-12(8)．图2-12(1)图2-12(2)图2-12(3)图2-12(4)图2-12(5)图2-12(6)例如不等式x +3<6的解集{x ∣x <3}是区间(-∞,3)；不等式x +3≥5的解集{x ∣x ≥2}是区间[2,+∞)；不等式5x ≤2的解集{x ∣x ≤52}是区间(-∞,52]；而不等式2(3+x )>3(3+x )的解集{x ∣x <-3}是区间(-∞,-3)． 课内练习41. 以区间法表示下列数集，并在数轴上出来： (1){x ∣x <-1}；(2){x ∣x ≤0}；(3){x ∣x >21}；(4){x ∣x ≥-31}．2. 解下列不等式，以区间法表示其解集，并在数轴上表示出来： (1) x +2<3； (2) 1-x >10； (3) 5x +2≤3x -8； (4) 1-x ≥4(x +2)．课外习题 A 组1. 用“>”或“<”填空：(1)15+6 13+6； (2)9-4 7-4； (3)6+(-2) 5+(-2)； (4)8+x 10+x ； (5)3⨯2 7⨯2； (6)4⨯(-3) 5⨯(-3)． 2. 用“>”或“<”表示下列实数的大小关系： (1)21和31； (2)32-和21-； (3)72和115； (4)211-和31． 3. 用不等式表示： (1)x 与b 的和不小于5； (2)y 的21倍小于-1； (3)x 与3的差的2倍大于0；(4)y 与-31的和不大于6．4. 在数轴上表示下列数集：(1){x |x <-2}； (2){x |x ≥3.5}； (3){x |x ≤0}； (4){x |x >-4}． 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示和以区间形式表示： (1)x +3<5；(2)x 的2倍不大于x 与3的和．B 组1. 用不等式表示： (1)x 与3的和不小于5； (2)两个数的平方和大于0；图2-12(7)图2-12(8)(3)代数式3a +2小于1； (4)代数式4x +8是负数； (5)代数式2a -1不是负数． 2. 解出题1中5个不等式．3. 比较下列两式，求出确定大小的范围：(1)x 2-2x +1与0； (2)(x +2)2与x 2+2； (3)3x +1与2x -5； (4)-2-5x 与8-6x ．C 组1. 设a >0, b >0，比较下列两式的大小： (1)b a 与a 1+； (2)a b 与1+a b ．2. 证明：若a >b >0，则a 1<b1． 3. 用 “>”,“=”,“<”, “≥”, “≤” 连接： (1)(-1)2 -12； (2)|-21| 21；(3)(-2)3 -2； (4)|a | a ．4. 若a >b , c >d ，那么a +c >b +d 成立吗？a -c >b -d 成立吗？若不成立，应作 怎样的修改使之成立？ 5．解下列不等式(1)7x +5>8x +6； (2)6x -3≤4x -4； (3)2(2-3x )<3(x -2)．。
2020年高中数学专题11区间课件新人教A版必修1
{ x | a < x < b } 开区间
( a, b )
{ x | a ≤ x < b } 半开半闭区间
[ a, b )
{ x | a < x ≤ b } 半开半闭区间
( a, b ]
数轴表示
a
b
a
b
a
b
a
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
例 1．用区间表示下列数集：
（1）{x | x 1}；
注意：①区间是数集,它 表示一段连续的实数; ②定义域、值域经常用 区间表示用; ③实心点表示包括在区 间内的端点，用空心点 表示不包括在区间内的 端点.
知识探究 思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介于这两个数之间的实数x用不等式表示有 哪几种可能情况？
a x b, a x b, a x b, a x b
再 见！
在店里那么多人同在一个屋檐下，相互间的言语冲撞肯定是不可避免的。令人欣慰的是，做同好事销之售间。不管管理当出时效有益多，大一的年切误上管第会半理二，年都，总副是处在一为理下店销问班的刚售题的经服加的一营入务态声情。x度“况xx为很路不超保严上是市证肃小特的副，心别时一大”理候店到中想，的公消，一正司或失1切因-常总得6许对月 此运部我无我，份行的影的来我把销，老体无说认售自我总踪会都真己只们经不。是啦实在保理大够新解现x证违深家x鲜每啦x畅纪出，超的种x销，来看市x，商x商小工问所万也品品到作题接元是的的顾挣也触，陌功货客钱不的毛生能源调都太所利的、，换不全有实。价不一容面事现许格能件易，仔啦多，使商，但细1东随0销品在在归0西时万量。忙新类都检元好针时的，需查，的对互一分要商利商此相年为老品润品类帮中两员的实、问忙定种工生现季题自要：教产啦节超，然广一，日3性我市就增是0我期万商员们成阅“感，元品的工啦历公觉及;有春态一，”与自时缺度节种希，2己啦0豁工都默望二0需解万、以作契自是要同元断总严。己“学类的货肃结在在私习商销的篇谨这”x的品售x现慎二种。x太的超计象伴为默先多市划市发准随契从啦场做相生着则中“。信差得。。平一公于息越甚由安起团”是，远来于初夜活谈，并越，供的员气起他向销好货工降，，们店。售商临们团它做内完最送认，队给什汇后成货为2精我么0报计祝不没x神的我x我公划及年有自感都始的司时这的然觉仔终全%，各种体是，细坚体我必项现一毛的持同们工要的个利看：事每，作字完淋，做新次渐但漓“成耐什年的在渐严计尽心么快订进店致”划的事乐货长入。的。学情，都的尾店这5，，也0得带声么里%从做希，提领。处说商啦望(前下我是于利品就公备经作公有润的一司好过为原私完陈定业一学x分因成列x把绩个习x的界计到超它蒸月实线，划缺市作蒸的施第上的货的好日库后的一2的一。上1存，，便5补名对，%。才是x)报员工一。x考发我x工;作年超上虑现从们很抱胜半市到这商的荣以过公年本样品店幸热一的司店做的长得情年对销大的促，到，。售下部重销她这对我属计分要到是次同门是划商性新我机事店没x品。品们x会抱的有x都它的的超，以日完是使开骄市把关常成代我发傲站自心工好销们一，街己，作，经点x因店在x用都下营一x为一超x积有半，滴x店名x市极严年按的超长普在的格的销学市从通顾行的任量，工来的客动书务结一作都员眼来面又点的算是工中感流接，一心公，不染程踵滴得可私从仅周。而以的体分踏是围不至记会不明入一的但，占。写。x个人收感x两出用于x好，银觉超本年来公的带员市压的同店，购动、力那的工大她物周保天甚作家流对场围安大起分动，属所的员，，使享资下，人有面我。金我员还这严就对得，工是是格困把而到要一我的自难啦直求个在工和己接锻严经作融x压炼利格x营流x力入用，，超规程其，日厂处市范，我中家常理感的理。觉工的问受企货得忙资作题到业、碌下逐金干的，验一的达渐净，同货工步得到利也时中要作存心索是也的，做应货，希让细的使的手决望供节我就。稳不我货也是的定我拖能商有生要们。泥够觉明调活虽的带切得确变整然工水切x的好得这作x，实x规格自样于超但实定已外保细市却做的;的证节是不到心充啦处一会的实态库见个把。，。存真值工多量功得作想，，信上办但所赖的法也以的情，是必合绪加导作须带倍致认伙到付我伴真私出们仔。下，店再细。尽库。说于自存一私已量下，最过“她大大私关努、”心力商。员品工周的转每缓一慢件的事直，接每原次因下之班一总。不忘问一下家远的员工是否有人结着伴回家。我们有如此好的店长真是上天对我们的眷顾!
数学(第一册)不等式22.2 区间
§2.2 区 间【教学目的】理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．【教学重点】各类区间的符号表示．【教学难点】对“∞”符号的理解．【教学过程】不等式(组)的解集也可以用区间来表示．介于两个实数之间的所有实数的集合叫做区间．这两个实数叫做区间的端点． 设a ，为任意两个实数，且，规定： 注：符号“”读作“无穷大”，它不是一个数，只是一个记号，“”表示可以无限制地增大，“-∞”表示可以无限制地减小．例1 用区间表示下列不等式的解：3113x x +≥-．解 移项得31103x x +-≥-，(问：能不能先去分母？) 整理得203x x +≥-．它可化为不等式组：(1) 2030x x +≥⎧⎨->⎩ 或 (2) 2030x x +≤⎧⎨-<⎩．解(1)得 3x >；解(2)得 2x ≤-． 所以，原不等式的解为 ()(,2]3,x ∈-∞-+∞．例2 求下列不等式的解集：⎩⎨⎧≤->+053062x x ．解 解 ⎩⎨⎧≤->+053062x x 得353x x >-⎧⎪⎨≤⎪⎩，即533x -<≤． 则原不等式的解集为533x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，用区间表示为53,3⎛⎤- ⎥⎝⎦． 课堂练习练习1：见书P35．练习2：1. 用区间表示下列数集：(1) 数集B 是大于等于1的实数； (2) 数集A 是大于0、不大于5的实数； 2．解不等式265x -<，并用区间表示不等式的解集．【小结与作业】课堂小结：本次课主要学习了用区间表示数集．理解区间概念，会用区间表示不等式(组)的数集．本课作业：习题2.2．。
2020年高考文科数学专题一 集合与常用逻辑用语 含习题答案
2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。
数集区间表示法
数集区间表示法摘要：1.数集区间表示法的概念与意义2.数集区间表示法的分类与应用3.常见数集区间表示法的实例解析4.数集区间表示法在实际问题中的作用与优势5.总结与展望正文：数集区间表示法是数学中一种重要的表示方法，它能够将数集以更加直观、易懂的方式呈现出来。
在实际问题中，数集区间表示法具有广泛的应用，有助于我们更好地理解和分析问题。
一、数集区间表示法的概念与意义数集区间表示法，顾名思义，就是用区间来表示数集的一种方法。
它包括开区间、闭区间和半开区间等几种形式。
例如，[1, 5]表示一个闭区间，其中1和5是区间的端点，不包括在区间内；(1, 5)表示一个开区间，端点1和5不包括在区间内；[1, 5]表示一个半开区间，端点1包含在区间内，而端点5不包括在区间内。
二、数集区间表示法的分类与应用1.开区间：表示数集中的元素范围，适用于需要求解不等式、比较大小等问题。
2.闭区间：表示数集中的元素完全包含在区间内，适用于需要求解区间端点、判断函数的连续性等问题。
3.半开区间：表示数集中的元素存在于某个端点附近，适用于需要求解区间端点附近的性质等问题。
三、常见数集区间表示法的实例解析1.求解不等式：如求解x^2 - 3x + 2 > 0，可以将其表示为区间[1, +∞)和(-∞, 2)，表示不等式解集的区间范围。
2.判断函数连续性：如判断函数f(x)在区间[0, 1]上是否连续，可以通过观察区间端点处的函数值是否相等来判断。
四、数集区间表示法在实际问题中的作用与优势1.直观表示数集范围，便于分析问题。
2.有助于求解不等式、判断函数连续性等数学问题。
3.应用于实际问题中，如物理、化学、经济学等领域，有助于表示某一范围内的数据分布、变化趋势等。
五、总结与展望数集区间表示法作为一种重要的数学表示方法，在理论研究和实际应用中具有广泛的价值。
通过深入理解和掌握数集区间表示法的各种形式和应用，我们可以更好地应对各类数学问题，提升数学素养。
高一数学区间的知识点讲解
高一数学区间的知识点讲解数学作为一门抽象而又实用的学科，离不开数学中的各种概念和知识点。
在高一的数学学习中，区间是一个非常重要的概念。
本文将为大家全面介绍高一数学中有关区间的知识点。
一、什么是区间？在数学中，区间是数轴上的一段连续的数集。
数轴可以是实数轴或者是整数轴。
区间有两种表示方法，一种是用不等式表示，一种是用集合表示。
常见的区间有开区间、闭区间、半开区间等。
开区间表示为(a, b)，表示数轴上大于a小于b的所有实数。
闭区间表示为[a, b]，表示数轴上大于等于a小于等于b的所有实数。
半开区间表示为(a, b]或[a, b)，分别表示大于a小于等于b或者大于等于a小于b的所有实数。
二、区间的运算在高一数学中，我们有时需要对区间进行交集、并集和补集等运算。
下面我们分别进行介绍。
交集运算：设有两个区间[a, b]和[c, d]，则它们的交集表示为[a,b]∩[c, d]，结果是一个新的区间。
当两个区间没有交集时，结果是空集。
并集运算：设有两个区间[a, b]和[c, d]，则它们的并集表示为[a,b]∪[c, d]，结果是一个新的区间，其中包含了两个区间的所有数。
补集运算：设有一个区间[a, b]，则它的补集表示为[a, b]的补，记作[a, b]的补= R－[a, b]，即在数轴上除了[a, b]内的所有实数。
三、区间的性质1. 区间和不等式的关系：区间和不等式是密切相关的，不等式可以表示一个区间，而区间也可以用不等式表示。
例如，不等式x > 3可以表示为区间(3, +∞)。
2. 区间的包含关系：一个区间可以完全包含另一个区间，也可以没有交集，或者只有部分交集。
例如，区间[1, 5]包含了区间[2, 4]，而区间(1, 3)和区间(3, 5)没有交集。
3. 区间的长度：对于一个区间[a, b]，它的长度等于b-a，即区间中包含的实数的个数。
4. 区间的无穷性：在数轴上，区间可以是有限的，也可以是无限的。
不等式组的解集与区间
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
x-3＜0
（5）x-2≥0
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
1、一元一次不等式（组）的解集
2、一元一次不等式（组）的解集的表示方法
（1）集合描述法 （2）区间：闭区间 开区间 半开半闭区间 无限区间
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
区间是指一定范围内的所有实数所 构成的集合。也就是数轴上某一“段” 所有的点所对应的所有实数。
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
（1）满足不等式a ≤ x ≤ b 的实数x的集 合叫做以 a , b 为端点的闭区间，记作[a,b]
数轴表示
a
b
x
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
b
x
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
-∞ 读作： 负无穷大
+∞ 读作： 正无穷大
x
填
表：
区间表示 数轴表示 a a b b x x x x
解集表示
{x|x≥a}
[a,+ ∞) (a,+ ∞)
{x|x > a} {x|x≤b}
{x|x＜b}
( －∞,b]
（－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞）
《数学 基础模块》上册 2.2.区间的概念
2.2区间的概念教学目标知识目标：理解区间的表示法.能力目标：能够应用区间表示数集.情感目标：感受数形结合的巧妙，提升观察能力与数学思维能力. 教学重点区间表示数集．教学难点区间表示数集．教学备品教学课件．课时安排1课时．教学过程由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.1.开区间：满足不等式a x b <<的所有实数的集合，叫做开区间，记作（a ,b ）.在数轴上，可以表示为：开区间也可以表示为{}x a x b <<.2.闭区间：满足不等式a x b ≤≤的所有实数的集合，叫做开区间，记作[]a ,b .在数轴上，可以表示为：闭区间也可以表示为{}x a x b ≤≤.3.半开半闭区间：满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的所有实数的集合，叫做半开半闭区间，记作[)(]a ,b 或a ,b .在数轴上，可以分别表示为：半开半闭区间也可以表示为{}{},x a x b x a x b ≤<<≤.4.实数集R ：()-+∞∞，，∞读作无穷大.5.半无界区间: 满足不等式,,x a x a x a x a ≥≤><和的所有实数的集合，叫做半无界区间，分别记作[)(],,∞∞,+-,a a()(),∞-∞,+a ,a .在数轴上，可以分别表示为：半无界区间也可以表示为:{}{}{}{},,,.x x a x x a x x a x x a ≥≤><例题讲解{}{}{}{}1.30313131x x x xx x x x-<≤-<<-≤≤-≤<例用区间表示下列集合：（1）;（2）（3）; （4）(]()[][)-3,0-3,-3,13,1-解（1），是半开半闭区间；（2）1，是开区间；（3），是闭区间；（4），是半开半闭区间.{}{}{}{}0;0;;.x x x xx x x xππ>≤≥<-例2把下列集合用区间表示出来:（1）（2）(3)(4)()(][)()0+-0+-ππ∞∞∞∞解（1），；（2），；（3），；（4），.{}{}=14,=05,.x xx xA B-<<≤≤例3 设R为全集，集合AB用区间表示并在数轴上表示出来解由图可知：{}{}()[][)140514050,4，，=-<<≤≤=-=A B x x x x强化练习教材练习P38 1，2，3及时练习，巩固新知.难点突破本节课重难点：对比各类区间表示之间的区别，掌握区间表示法的应用。
区间的概念PPT课件
⑧左无界右闭区间（-∞，a]表示数集{x x≤a}
a 包含a
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2019/7/5
可编辑
例题及训练
例1、把下列集合用区间表示出来，指出它是什
么区间。
⑴ {x -3＜x＜1}
⑵ {x
-3≤x≤1}
⑶ {x -3＜x≤1} -3≤x＜1}
⑷ {x
⑸ {x x＞1} x≤1}
⑹ {x
练习
例题及训练
例2、用区间表示不等式 3x＞2+4x 的解集，并 在数轴上表示出来。
例3、设R为全集，集合A={x -5＜x＜6}, B={x x≥3，或x≤-3} ,用区间表示
A∩B.
练习
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/5
可编辑
2.区间的概念
复习
我们知道： 用描述法表示一个数集时可以用不等式表
示 如：{x -3<x<5}
也可以在数轴上表示出来：
x
-3
0
5
也可以用区间表示：（-3，5）
区间表示法
①开区间（a，b）：表示数集{x a<x<b}
a
b
不包含a、b
②闭区间 [a，b] ：表示数集{x a≤x≤b}
a
b
包含a，b
区间表示法
③左开右闭区间（a，b] ：表示数集{x a＜ x≤b}
பைடு நூலகம்
a
b
不包含a
④右开左闭区间 [a，b）：表示数集{x a≤x＜ b}
a
区间表示法
⑤左开右无界区间（a，+∞）表示数集{x x＞a}
a 不包含a
区间ppt课件
在处理区间端点时，需要注意开闭区间的区别，否则可能导致结 果不准确。
混淆不同类型区间概念
1 2 3
混淆开闭区间 开区间和闭区间在数学上有明确的定义，但解题 者容易混淆二者概念，导致解题错误。
误解区间表示方法 在数学中，区间可以用不同的方式表示，如不等 式、集合等。解题者需要熟悉各种表示方法，避 免误解。
不等式求解与证明
01
02
03
04
区间分析法
将不等式中的变量限制在某个 区间内，通过分析函数在该区
间内的性质来求解不等式。
放缩法
通过适当的放缩，将复杂的不 等式转化为简单的不等式进行
求解。
构造函数法
构造适当的函数，利用函数的 性质来证明不等式。
数学归纳法
对于某些与自然数有关的不等 式，可以利用数学归纳法进行
些变化对函数性质的影响。
谢谢聆听
利用图像求解值域
对于难以直接求解的函数，可以通过绘制函数图像来观察其值域范 围。
多变量不等式处理方法
分离变量法
将多变量不等式中的各个变量分离开来，分别求解每个变量的取 值范围，再综合得出解集。
利用基本不等式性质
利用均值不等式、柯西不等式等基本不等式性质来简化多变量不等 式，降低求解难度。
转化为单变量不等式
B
C
区间乘法
区间乘法稍微复杂一些，需要考虑区间内元 素的符号。如果两个区间内的元素同号，则 它们的积为正；如果异号，则积为负。具体 的积的范围可以通过比较区间端点的大小来 确定。
区间除法
区间除法与乘法类似，只是将乘法运算改为 除法运算。需要注意的是，除数不能为0， 因此在进行区间除法时需要排除这种情况。
经济预测中置信区间计算
七年级数学不等式及其性质
典型例题解析与技巧总结
典型例题
通过解析具有代表性的例题，展示分 式不等式和含参数不等式的求解过程 和方法。
技巧总结
总结在解决分式不等式和含参数不等式问 题时常用的技巧和方法，如去分母、换元 、数形结合、分类讨论等，帮助学生更好 地掌握解题技巧和提高解题效率。
06
实际应用问题中不等式建模与求解
线性规划问题中不等式建模方法
解法步骤
3. 利用图像的对称性、开口方向 和顶点等性质，确定不等式的解 集。
例如，对于不等式 $x^2 - 2x - 3 > 0$，其对应的函数图像开口向 上，与 $x$ 轴交点为 $-1$ 和 $3$。因此，不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x > 3$。
04
绝对值不等式解法与图像分析
绝对值定义及性质回顾
不等式性质及运算规则
01
02
03
04
不等式运算规则
加减同数不等式性质不变。
乘以正数不等式性质不变，乘 以负数不等式反向。
不等式两边同时除以一个正数 ，不等式性质不变；同时除以
一个负数，不等式反向。
一元一次不等式解法
去分母
将不等式两边同时乘以分母的最 小公倍数。
去括号
根据括号前的符号，去掉括号并 改变括号内不等式的符号。
一元二次不等式标准形式及解法
02
01
03
解法步骤 1. 将不等式化为标准形式。 2. 计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$。
一元二次不等式标准形式及解法
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3. 根据 $Delta$ 的值，确定不 等式的解集
3. 根据 $Delta$ 的值，确定不 等式的解集
中职对口升学-高三数学第一轮复习：不等式的基本性质及区间
解析
对于本题选项A ,若c = 0 ,则 ac = bc = 0 ,A选项不成立 ; 对于选项B和选项D ,可以通过特殊值来判断,令a=0,b=1,c=-2,d=-3,可排除选项B和D. 本题选项C正确.
技巧 点拨
解答此类题目,要注意不等式性质的正确应用,同时也 要考虑其他知识 另外也可用特殊值法来判断.
典例解析
例3 已知 的取值范围.
解析
对于a +b ,a b 的取值范围可直接利用不等式的同向可加性和同向可乘性求
得.对a - b 和 的取值范围,应先求出-b 和 的取值范围.
根据不等式的同向可加性可知8<a +b <13;根据不等式的同向可乘性可知
12<a b <30;
因为2<b <3,所以-3<-b <-2.
第一轮 复习
第一节 不等式的基本性质及区间
知识梳理 知识点一 不等式的基本性质
1.不等式的定义 表示不等关系的式子称为不等式，满足不等式的未知数的取 值的集合称为不等式的解集.
知识点一 不等式的基本性质
2.实数的大小比较基本性质
（1）作差比较法.对于任意两个实数a,b.
（2）作商比较法.对于任意两个实数a,b.
又因为6<a <10,所以6-3<a -b <10-2,即3<a -b <8.
又因为
所以
既
技巧 点拨
利用不等式的性质求取值范围时一定要熟练掌握不等式的性质,特别 是同向可加性和同向可乘性.
同学们！再见！
知识点一 不等式的基本性质
3.不等式的基本性质
性质1 性质2 性质3
如果a >b ,并且b >c ,那么a >c 如果a >b ,那么a +c >b +gt;b c ;如果a >b ,c <0,那么a c <b c
2019高中数学 每日一题之快乐暑假 第18天 区间与无穷大(含解析)新人教A版
第18天区间与无穷大高考频度：★★☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆典例在线用区间表示下列数集：（1）；（2）；（3）；（4）R；（5）；（6）．【参考答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【解题必备】1．设是两个实数，而且．我们规定：（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．这里的实数都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．2．实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．我们可以把满足的实数x的集合分别表示为．注意：（1）用区间表示数集的原则：①只能表示连续的一段实数；②区间的端点左小右大；③注意区间的端点是开还是闭．（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．（4）“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能到达，不是一个数．（5）区间也是表示集合的一种方法，但并非所有的集合都能用区间表示．学霸推荐1．不等式的解集用区间可表示为A．（–∞，）B．（–∞，]C．（，+∞）D．[，+∞）2．用区间记法表示下列不等式的解集：（1）9≤3x≤10；（2）2x≤0.4．3．在数轴上表示集合{x|x<－2或x≥1}，并用区间表示该集合．1．【答案】D【解析】解不等式2x–1≥0，得x≥，所以其解集用区间可表示为[，+∞）．故选D．2．【答案】（1）；（2）（－∞，0.2]．3．【答案】答案详见解析．【解析】在数轴上表示集合{x|x<－2或x≥1}，如下图：用区间表示该集合为：．。
不等式与区间表示法
讨论：
｛x|x≤-1或x≥2｝用区间如何表示？
解：用区间表示为
（－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞）
例题：解不等式组
｛6 + x > 4x – 3
7 +3x ≤ 9+5x (1)
(2)
解：原不等式组的（1）（2）的解集分别为
{x|x≥-1}，{x|x<3} 所以原不等式组的解集是: {x|x≥-1}∩{x|x<3}=[-1，3)
-1
0
3
x
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
1、不等式（组）的解集 2、不等式（组）的解集的表示方法
（1）集合描述法 （2）区间：闭区间 开区间 半开半闭区间 实数集R
a
b
x
闭区间
a b x
开区间
a b x
半开半闭区间：实数集的子集{x|a≤x<b}
或 {x| a < x ≤ b}叫做以a,b为端点的半开半
闭区间，记作：[a,b)，(a,b] 数轴表示
a b
x
a
b
x
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
-∞ 读作： 负无穷大
x-3＜0
（5）x-2≥0
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
闭区间：实数集的子集 { x | a ≤ x ≤ b }叫
做以 a , b 为端点的闭区间，记作[a,b]
数轴表示
a
b
不等式的解集与区间的概念
因式分解得
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) < 0
解集表示为
{ x | -2 < x < -1 或 1 < x < 2 }
利用数轴穿根法，解得解集为
-2 < x < -1 或 1 < x < 2
拓展应用：不等式组与区间综合问题
单击此处添加文本具体内容
PART.01
不等式组定义及性质
(a, b) - (c, d) = (a-d, b-c)
区间表示方法及运算规则
区间表示方法
减法运算
乘法运算
除法运算
加法运算
区间运算规则
除了使用圆括号和方括号表示开区间和闭区间外，还可以使用无穷大符号表示包含正无穷大或负无穷大的区间，如(a, +∞)、(-∞, b)等。
对于任意两个实数a、b（a < b）以及实数c、d（c < d），有以下运算规则
根据判别式确定解的情况，将解集在数轴上表示为开区间、闭区间或半开半闭区间。
解集与区间对应关系分析
解集与区间的区别
03
解集是具体的数值集合，而区间是数轴上的连续区域，两者在表现形式和性质上有所不同。
不等式的解集可以表示为区间，而区间也可以用来描述不等式的解集。
解集与区间的定义
01
解集是满足不等式的所有解的集合，而区间是数轴上的一段连续区域。
一元二次不等式案例解析
案例一
解析不等式 x^2 - 4x + 3 < 0
因式分解得
(x - 1)(x - 3) < 0
根据一元二次不等式的解法，解集为
1 < x < 3
2024版高一数学第二章区间教学1ppt课件
一元二次不等式的一般形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$
解法步骤 首先将不等式化为标准形式，然后求解对应的一元二次方 程 $ax^2+bx+c=0$，根据根的情况和二次函数的性质确 定不等式的解集。
注意事项 在求解过程中，要注意讨论二次项系数 $a$ 的正负以及判 别式 $Delta=b^2-4ac$ 的情况。
加法运算规则
对于任意两个区间[a, b]和[c, d]，其 和区间为[a+c, b+d]。
乘法运算规则
对于任意两个区间[a, b]和[c, d]，若a, b, c, d均大于0，则其积区间为
[min{ac, ad, bc, bd}, max{ac, ad, bc, bd}]。
减法运算规则
对于任意两个区间[a, b]和[c, d]，其 差区间为[a-d, b-c]。
03
函数与区间关系
函数定义域与值域确定
01 确定函数定义域的方法
根据函数表达式中变量的取值范围，确定函数的 定义域。
02 确定函数值域的方法
通过观察函数表达式或利用已知函数的性质，推 断出函数的值域。
03 常见函数定义域与值域
掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数 等常见函数的定义域和值域。
题目选择
选择与例题相似的题目， 供学生自主练习。
自主完成
学生独立思考并完成题目， 培养解题能力。
问题反馈
鼓励学生提出问题和疑惑， 及时解答和指导。
教师点评和总结
点评学生表现
针对学生的练习情况，进行点评 和指导。
总结解题技巧
归纳解题方法和技巧，帮助学生 掌握解题规律。
第一章 集合与不等式
第四节 不等式的性质及区间【知识梳理】1、不等式的基本性质（1）传递性：若a ＞b ，且b ＞c ，则a ＞c . （2）加法性质：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c. （3）乘法性质：若a ＞b ，且c ＞0，则a c ＞b c ； 若a ＞b ，且c ＜0，则a c ＜b c.推论：（1）同向不等式可加性：若a >b,c >d,则a +c >b +d. （2）异向不等式可减性:若a >b,c <d,则a −c >b −d. （3）若a >b >0,c >d >0,则ac >bd. （4）可开方性：若a >b >0，则√a n>√b n（5）可乘方性：若a >b >0，则a n =b n .【例题精讲】题型一：比较实数的大小例1. 比较x 2+3x 与5x −2的大小. 练习1、（1）比较a 2+b 2与2ab 的大小；（2）比较(x 2+1)2与x 4+x 2−2x 的大小； （3）比较a 2+b 2与2(a −b −1);（4）已知a ≠b ,比较ab −a 2与b 2−ab 的大小； （5）已知x >3,比较x 3+3与3x 2+x 的大小. 题型二：不等式的基本性质例2. 若a >b,c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A．ac2>bc2 B.ac>bc C.c-a<c-b D.a2>b2练习2、若ac>bc,则（）A．a>b B.a<b c.a≥b D.无法确定a与b的大小关系3、下列命题中正确的是（）A．若a>|b|,则a2>b2 B.若a>b,c>d,则a−c>b−dC.若a>b,c>d，则ac>bdD.若a>b>0,则ca >cb4、填空：若a<b<0,c<0，则（1）ac bc （2）a+2c b+2c （3）c-a c-b（4）(a−1)2c2 (b−1)2c2（5）ca cb（6）a2b2【知识梳理】2、区间（1）定义：数轴上两点之间的一切实数组成的集合.（2）区间的分类：注意：（1）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，其中符号“∞”不是一个具体的数，读作“无穷大”.（2）区间是数集的另一种表示形式，其左端必须小于或等于右端，且区间只能表示连续的数集.例3.集合{x|1<x≤3}用区间表示为（）A．(1,3] B.[1,3) C.(1,3) D. [1,3]例4.设集合A=（-3,2），B=（a,+∞），若A⊆B，求a的取值范围.练习：已知集合A=(−∞，1],B=(−1,5),全集U=R，用区间表示下列集合：（1）A∪B （2）（c u A）∩B （3）（c u A）∩(c u B）【知识梳理】3、解一元一次不等式组的步骤（1）求不等式组中各不等式的解集.（2）求各不等式解集的公共部分.例5.解下列不等式（组），并将解集用区间表示.(1)x−x−12>2x−33+x+16(2){5−9x>12−5x5x+6>3x第五节一元二次不等式的解法【知识梳理】1、概念：只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．2、一般形式：ax＋bx＋c＞0或ax＋bx＋c＜0(a≠0)．3、解法：（1）因式分解： (x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2)<0的形式．（2）图像法：4、解题步骤①化标：将二次项系数化为“+”，即a>0：ax2+bx+c<0(>0)②求根：计算判别式Δ，解方程ax2+bx+c=0③定解：Δ>0时大于取两边，小于取中间【例题精讲】题型一：解不等式例1.解下列不等式（1）x2−2x−3<0 (2)−6x2≤13x+2（3）−x2+10x−25≥0（4）2x2+x+3>0练习1、（1）x2+x+6>0 （2）x2−3x−4>0（3）x2−2x−3<0 （4）x2+6x+9≥0题型二：解含参数的不等式例2 若a<0,解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0练习2、解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0例3 已知解关于x的不等式x2−ax−b<0的解集为{x|2<x<3},求a,b的值.练习3、已知ax2+bx+c>0的解集为（13，12），求bx2+cx+a>0的解集.题型三：恒成立问题①一元二次不等式ax2+bx+c>0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ<0②一元二次不等式ax2+bx+c≥0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ≤0③一元二次不等式ax2+bx+c<0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ<0④一元二次不等式ax2+bx+c≤0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ≤0例4 已知关于x的不等式x2+2(k−1)x+1≥0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围。
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扬州高等职业技术学校教案（首页）
板书设计
教学过程
一、导引
引导学生看书《课本》P.33 探究，引出区间的概念：
数学上，表示一个连续变化范围常用区间表示，所谓区间，就是指一定范围内的所有实数构成的集合也就是数轴上的某“一段”所有的点所对应的的所有实数。
二、讲授新课
1.数集的区间表示法
(1)开区间(){}b x a R x x b a <<∈⇔|，
(2)闭区间[]{}b x a R x x b a ≤≤∈⇔|，
(3)左闭右开区间{}b x a R x x b a <≤∈⇔|)[，
(4)左开右闭区间{}b x a R x x b a ≤<∈⇔|](，
(5)左开右无限区间{}a x R x x a >∈⇔∞+|)(，
(6)左闭右无限区间{}a x R x x a ≥∈⇔∞+|)[，
(7)右开左无限区间{}b x R x x b <∈⇔-∞|)(，
(8)右闭左无限区间{}b x R x x b ≤∈⇔-∞|](，
二、例题解析
例1 用区间表示下列集合，并在数轴上表示出来
(1) {}75<<x x |
(2) {}84<≤-x x |
(3) {}53≤<x x |
(4) {}42≤≤-x x |
(5) {}2>x x |
(6) {}6≥x x |
(7) {}1-≤x x |
例2 已知集合(2,1]A =-，集合[0,4)B =求,
A B A B
例3 用区间表示下列不等式组的解集 ()()50
30122010
x x x x +>-⎧⎧⎨⎨-<+>⎩⎩… 【针对训练】《课本》P.35 练习1 2 3
研究题：已知集合[][]0,0,15M a N ==，如果M N ⊆求实数a 所在的区间
三、巩固练习
《学习指导用书》P.22 A 组 1 2 3
四、小结
区间本身是一种集合的表示形式，用区间表示数集时，需要注意是否包含端点。