概率的进一步认识 知识精讲

概率的进一步认识--知识讲解

【学习目标】

1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；

2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；

3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；

4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、用树状图或表格求概率

1.树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

2.列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

3.用列举法求概率的一般步骤

（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m ；

（3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=

n

m . 要点二、用频率估计概率

1.频率与概率的定义

频率：在相同条件下重复n 次试验，事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值.

概率：事件A 的频率

n m 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

要点诠释：

（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；

（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.

3.利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

要点诠释：

用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.

【典型例题】 类型一、用树状图或表格求概率

1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）

A ．

13 B ．14 C ．12 D ．34 【答案】B.

【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种，正面都同时向上的占1种，所以概

率为14

. 【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少.

举一反三：

【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）

A ．13

B ．12

C ．14

D ．34

【答案】C.